广东省韶关市新丰县第一中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题

广东省韶关市新丰县第一中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合12,0,,32A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，{|2}B x x =≥-，则A B =( )A ．10,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭ B ．12,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C ．13,2,0,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ D ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭2．函数()lg 1f x x =-( ) A ．[3,)+∞ B ．(10,)+∞C ．()(3,101)0,⋃+∞D ．[3,10)(10,)⋃+∞ 3．下列说法正确的是（ ）A ．多面体至少有3个面B ．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D ．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形4．如图，在三棱锥P-ABQ 中，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH ，则AB 与GH 的关系是 ( )A ．平行B ．垂直C ．异面D ．平行或垂直 5．已知函数()248f x x kx =--在区间[5,20]上单调递增，则实数k 的取值范围是( )A ．{}40B ．[40,160]C ．(,40]-∞D ．[160,)+∞ 6．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为棱1AA ，1BB 的中点，过MN 作一平面分别交底面三角形ABC 的边BC ，AC 于点E ，F ，则（ ）A ．//MF NEB ．四边形MNEF 为梯形C ．四边形MNEF 为平行四边形D ．11//A B NE7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥8．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，且(2)0f =，则满足不等式()0f x x>的x 的取值范围为（ ） A ．(0,2)B ．(2,)+∞C ．(,2)(0,2)-∞-⋃ D ．(,2)(2,)-∞-+∞ 9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1BB 的中点，过E ，F ，G 三点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（ ）A ．在平面11BDDB 内存在直线与平面EFG 平行B ．在平面11BDD B 内存在直线与平面EFG 垂直C ．平面1//AB C 平面EFGD ．直线1AB 与EF 所成角为45︒10．已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩ 00x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题11．已知集合{}11A x Z x =∈-≤≤，则集合A 真子集个数是______.12．已知函数()(]()22,,1,ln ,1,,x x f x x x ⎧+∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩则()()f f e 的值为______. 13．若幂函数()af x x =的图象经过点()3,81，则实数a 的值为______. 14．某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______.15．某停车场规定：停车第一个小时6元，以后每个小时4元；超过5个小时，每个小时5元；不足一小时按一小时计算，一天内60元封顶.小林与小曾在该停车场当天分别停车4.5小时，13小时，则他们两人在该停车场共需交停车费________元.16．已知三棱锥P ABC -的各顶点均在半径为2的球面上，且3,AB BC AC ===P ABC -体积的最大值为______.三、解答题17．（1）计算：130.25627168-⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（2）解不等式()2log 23x +<．18．如图是一个搭建在空地上的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO ，正六棱锥的高为1PO ，且13PO PO =，11124m A B PO ==.（1）求帐篷的表面积（不包括底面）；（2）求帐篷的容积（材料厚度忽略不计）.19．已知函数()21ax f x x =-（a R ∈，且0a ≠）的定义域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）当0a >时，求证：()f x 在定义域内单调递减.20．如图，在多面体ABCDEF 中，AF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为菱形，四边形ABCD 为梯形，且AD BC ∥，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，2BC =，M 为线段BD 的中点.（1）求证：//CE 平面AMF ；（2）求平面AFM 将多面体ABCDEF 分成的两个部分的体积之比.21．已知函数2()log (2)f x x =+，2()2g x x x a =--+.（1）解不等式()4f x <；（2）设函数()()()h x f x g x =-，若()h x 在[2,6]上有零点，求a 的取值范围. 22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，AD 2=，AB 1=，BAD 60︒∠=，平面PCD ⊥平面ABCD ，点M 为PC 上一点．（1）若PA ∥平面MBD ，求证：点M 为PC 中点；（2）求证：平面MBD ⊥平面PCD ．参考答案1．B【解析】【分析】根据交集的定义，直接求A B 即可得答案.【详解】 12,0,,32A ⎧⎫⎨⎭=-⎩-⎬，{}|2B x x =≥-， 12,0,2A B ⎧⎫∴=-⎨⎬⎩⎭. 故选：B ．【点睛】本题考查集合的交运算，考查基本运算求解能力，属于容易题.2．D【分析】解析式中的被开方数大于等于0，分母不为0，对数的真数大于0，从而列出关于x 的不等式组.【详解】据题意，得30lg 100x x x -≥⎧⎪-≠⎨⎪>⎩，3x ∴≥，且10x ≠．故选：D ．【点睛】本题考查具体函数的定义域求法，考查基本运算求解能力，注意函数的定义域是集合或区间的形式.3．D【分析】根据多面体的结构，多面体至少有4个面，故选项A 错误；对于满足选项B 条件的多面体延长各侧棱不一定相交一点，故错误；选项C 底面可能为菱形，故错误；选项D ，分析六棱柱结构特征，可判断正确.【详解】一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4革面，不存在有3个面的多面体，所以选项A 错误；选项B 错误，反例如图1；选项C 错误，反例如图2，上、下底面的全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D 正确.故选D.【点睛】本题考查多面体的定义，结构特征，属于基础题.4．A【解析】因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，所以EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC，又因为EF ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ，所以EF∥平面PCD ，又因为EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ∩平面PCD=GH ，所以EF∥GH，又因为EF∥AB，所以AB∥GH,故选A.点睛:本题考查线面平行的判定定理和线面平行的性质定理的综合应用,属于中档题. 线面平行的判定定理是:平面外一条直线与此平面内的一条直线互相平行，则该直线与此平面平行．性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．5．C【分析】由二次函数的图象特征，其开口向上，所以对称轴需在区间的左边，即可得答案.【详解】 函数图象的对称轴方程为24k x -=-⨯，且开口向上， 又函数()f x 在区间[5,20]上单调递增，所以524k --≤⨯，所以40k ≤． 故选C ．【点睛】本题考查二次函数的图象特征，考查数形结合思想的运用，求解时要注意考虑二次函数的开口方向，对称轴与区间位置关系，考查基本运算求解能力.6．B【分析】由已知条件及线面平行的性质可得MN EF ∥且EF MN ≠，可得四边形MNEF 为梯形，可得答案.【详解】解：∵在11AA B B 中，1AM MA =，1BN NB =，AM BN ∴∥，MN AB ∴∥.又MN ⊄平面ABC ，AB 平面ABC ，MN ∴平面ABC .又MN ⊂平面MNEF ，平面MNEF平面ABC EF =，MN EF ∴∥，EF AB ∴∥. 显然在ABC ∆中，EF AB ≠，EF MN ∴≠，∴四边形MNEF 为梯形.故选：B.【点睛】本题主要考查直线与平面平行的性质定理，需注意其灵活运用，属于基础题型.7．D【解析】试题分析：m α⊥，,n βαβ∴⊥,故选D.考点：点线面的位置关系.8．C【分析】根据偶函数的性质求出f （-2）=0，由条件并对x 分类列出不等式组，分别利用函数的单调性求解即可求出不等式的解集．【详解】偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，得()f x 在(,0)-∞上时为单调增函数，由(2)0f =得(2)0f -=，则当(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x <；当(2,0)(0,2)x ∈-⋃时，()0f x >，所以0,()0()0,x f x f x x >⎧>⇔⎨>⎩或0,()0,x f x <⎧⎨<⎩解集为(,2)(0,2)-∞-⋃. 故选C.【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查分类讨论思想，考查运算能力，属于中档题．9．D【分析】根据直线与平面平行、直线与平面垂直的判定定理及平面与平面平行的判定定理、异面直线所成的角等相关知识分别判断各选项，可得答案.【详解】解:由线面平行判定定理可得，当O 为BD 的中点时，1B O ∥平面EFG ，由线面垂直判定定理可得，1BD ⊥平面EFG ，选项A ，B 都对.因为1EG AB ∥，1FG B C ∥，所以平面EFG ∥平面1AB C ，选项C 正确，易得：EF AC ,1AB C ∆为等边三角形，故直线1AB 与AC 所成角为60︒,即直线1AB 与EF 所成角为60︒，故D 不正确，故选：D.【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定定理及平面与平面平行的判定定理、异面直线所成的角等，考查空间想象能力和运算求解能力. 10．C【分析】由题意，函数()()3y f f x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，进而可得答案.【详解】由题意，函数()()3y f f x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象， 如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，214t =，34t =， 则()1f x =- 有一个解，()14f x =有一个解，()4f x =有三个解， 故方程()()3f f x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.11．7.【分析】计算出集合A 中元素的个数，可得集合A 真子集个数.【详解】 解：{}{}111,0,1A x x =∈-≤≤=-Z ,共三个元素，故集合A 真子集个数为32-1=7个，故答案为：7.【点睛】本题主要考查集合的子集、真子集的个数，得出集合A 中元素的个数是解题的关键. 12．3【分析】由分段函数的性质，先求出()e f 的值，可得()()f f e 的值.解：据题意，得()e lne 1f ==，()()()2e 1123f f f ∴==+=,故答案为：3.【点睛】本题主要考查分段函数的定义与性质，相对不难，注意运算的准确性.13．4.【分析】将点()3,81代入()f x ，可得a 的值.【详解】解：据题意，得381a =，4a ∴=，故答案为：4.【点睛】本题主要考查幂函数的定义，相对简单.14．【分析】将三视图还原几何体，可得该几何体为直三棱柱，由三棱柱体积计算公式可得答案.【详解】解：将三视图还原几何体如图：可知该几何体为直三棱柱，其体积1222V =⨯=,故答案为：【点睛】 本主要考查由三视图还原为几何图及空间几何体体积的计算，相对简单.15．82根据条件，结合分段函数的收费标准进行求解即可．【详解】小林停车4.5小时，按5小时计算，第一小时是6元，其他4小时，每小时4元，停车费为6+4×4＝22元，小曾停车13小时，第一小时是6元，其他4小时，每小时4元，超过5小时的时间为8小时，此时每小时收费5元，停车费为6+4×4+5×8＝62元，由于一天内60元封顶，故小曾只需要交60元，两人合计22+60＝82元，故答案为82【点睛】本题考查函数的应用问题，结合分段函数解析式进行计算计算是解决本题的关键．涉及函数值的计算，属于基础题．16．2【分析】根据条件，确定三棱锥P ABC -外接球的球心，求出球心到底面ABC 距离，结合图形，可求出体积的最大值.【详解】设O 为球心，则2OA OB OC ===，可得O 在底面ABC 的射影为ABC ∆的外心.由3,AB BC AC ===可得ABC ∆是以AC 斜边的直角三角形，O 在底面ABC 的射影为斜边AC 的中点M ，则1OM ===.当P ，O ，M 三点共线时，三棱锥P ABC -的体积最大，此时体积()1132132V =⨯⨯+=.故答案为:【点睛】本题考查多面体外接球问题以及体积的最大值，确定球心是解题的关键，属于中档题. 17．（1）169；（2）()2,6 【分析】（1）利用指数幂运算法则，对式子直接进行运算求值；（2）将不等式的右边化成以2为底的对数，再利用对数函数的单调性解不等式.【详解】（1）113()1330.256664322716168-⨯-⎛⎫⎛⎫+-=+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 28239=+- 6188169999=+-=． （2）2log (2)3x +<，即22log (2)log 8x +<，所以2028x x +>⎧⎨+<⎩， 解得26x -<<．故原不等式的解集为()2,6-．【点睛】本题考查指数幂运算、对数不等式，考查基本运算求解能力，在解不等式时，注意两边化成同底再利用对数函数的单调性进行求解，同时要注意真数大于0这一隐含条件.18．（1）()2144m；（2）)3m . 【分析】（1）连接11O A ，11O B ，分别计算正六棱锥的测面积及正六棱柱的侧面积与底面积，相加可得答案；（2）分别计算出正六棱锥的体积与正六棱柱的体积，相加可得答案.【详解】解：（1）连接11O A ，11O B .由正六边形111111A B C D E F ，可得111O A B ∆为正三角形，所以11114m O B A B ==.取11A B 的中点为Q ，连接1O Q ，PQ ，易得11PQ A B ⊥.所以)1m O Q ===，()4m PQ ===.设帐篷上部的侧面积为1S ，下部的侧面积为2S ，则()21111648m 2S A B PQ =⨯⋅=， ()22111696m S A B OO =⋅=，所以搭建帐篷的表面积为()2124896144mS S +=+=.（2）由（1）得111O A B ∆的面积)1112111114m 22O A B S A B O Q ∆=⨯⋅=⨯⨯=.所以)11111111126mO A B A B C D E F S S ∆==六边形，上部正六棱锥的体积)3112m 3V =⨯=；下部正六棱柱的体积)324mV ==，所求帐篷容积为)312mV V +=. 【点睛】 本题主要考查空间几何体的表面积及体积的计算，需牢记公式，运算准确.19．（1）()f x 为奇函数；（2）证明见解析.【分析】（1）计算()f x 与()f x -的关系，可得()f x 的奇偶性；（2）当0a >时，利用函数单调性的定义进行证明可得答案.【详解】解：（1）解：()()21ax f x f x x --==--，()f x ∴为奇函数. （2）证明：设121122x x -≤<≤，()()()()()()211212122222121211111a x x x x ax ax f x f x x x x x -+-=-=----. 若0a >，则由于2110x -<，2210x -<，210x x ->，1210x x +>. ()()120f x f x ∴->.()()12f x f x ∴>.即()f x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，属于基础题型.20．（1）证明见解析；（2）13. 【分析】（1）延长AM 交BC 于点G ，连接FG ,易证BGM DAM ∆∆≌,可得1BG AD ==， 可得四边形GCEF 为平行四边形，可得CE GF ∥，//CE 平面AMF ；（2）分别计算出三棱柱CDE GAF -的体积与三棱锥F ABG -的体积，可得体积之比.【详解】证明：延长AM 交BC 于点G ，连接FG , .由AD BC ∥，M 为BD 中点，易证BGM DAM ∆∆≌，所以1BG AD ==.因为2BC =，所以1GC =.由已知1FE AD ==，且FE AD ∥，又AD GC ∥，所以FE GC ∥，且FE GC =，所以四边形GCEF 为平行四边形，所以CE GF ∥.因CE ⊄平面AMF ，GF ⊂平面AMF ，所以CE 平面AMF .（2）解：由（1）可得，多面体ABCDEF 被平面分成的两个部分是三棱锥F ABG -和三棱柱CDE GAF -.因为AF ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以AF BD ⊥.又易得BD AG ⊥，所以BD ⊥平面AFG .所以DM 即为三棱柱CDE GAF -的高.所以三棱柱CDE GAF -的体积1111222V =⨯=， 又易得三棱锥F ABG -的体积2111111326V =⨯⨯⨯⨯=， 所以多面体ABCDEF 被分成的两个部分体积比为13. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理及空间几何体体积的计算，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.21．(1) (2,14)- (2) [10,51]【分析】(1)根据对数函数的单调性及真数大于0即可求解 (2)() h x 在[]2,6上有零点等价于()0h x =在[]2,6上有解，转化为方程()22log 22x x x a +++=在[]2,6上有解，只需求()()()22log 2226F x x x x x =+++≤≤的值域即可,可根据函数的单调性求出其值域得到a 的取值范围.【详解】（1）因为()4f x <，所以()2log 24x +<，即0216x <+<，解得214x -<<.故不等式()4f x <的解集为()2,14-.（2）()h x 在[]2,6上有零点等价于()0h x =在[]2,6上有解，即()22log 22x x x a +++=在[]2,6上有解， 设()()()22log 2226F x x x x x =+++≤≤. ∵()2log 2y x =+与22y x x =+在[]2,6上均为增函数， ∴()F x 在[]2,6上为增函数，则()()22min log 2222210F x =+++⨯=， ()()22max log 6262651F x =+++⨯=，从而()1051F x ≤≤，故a 的取值范围为[]10,51.【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，二次函数的单调性，函数的最值，零点，属于难题. 22．（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）连接AC 交BD 于O ，连接OM ，由PA∥平面MBD 证明PA∥OM，利用平行四边形证明M 是PC 的中点；（2）△ABD 中利用余弦定理求出BD 的值，判断△ABD 是Rt△，得出AB⊥BD，再由题意得出BD⊥CD，证得BD⊥平面PCD ，平面MBD⊥平面PCD ．【详解】（1）连接AC 交BD 于O ，连接OM ，如图所示；因为PA∥平面MBD ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC∩平面MBD ＝OM ，所以PA∥OM；因为四边形ABCD 是平行四边形，所以O 是AC 的中点，所以M 是PC 的中点；（2）△ABD 中，AD ＝2，AB ＝1，∠BAD＝60°，所以BD 2＝AB 2+AD 2﹣2AB•ADcos∠BAD＝3，所以AD2＝AB2+BD2，所以AB⊥BD；因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，所以BD⊥CD；又因为平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD＝CD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PCD；因为BD⊂平面MBD，所以平面MBD⊥平面PCD．【点睛】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，考查了线面平行的性质定理与面面垂直的判定定理，是中档题．。