系统工程---第五章 目标规划

i1
n
max f 2 i a i x i
i1
max f 3 a 1 x 1
n
maxf1'( xi T) i1
bi ai xi 0, i 2,3,, n
n
xi T 0
i1
xi 0, i 1, 2,, n
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5.1 目标规划数学模型的建立
n
min f 1 x i T
若 令 x (x1 , x2 , , xn )T
i1
n
max f 2 i a i x i
n
n
f (x) (( xi T ) , iai xi , a1x1 )
i1
i 1
i 1
max f 3 a 1 x 1
R {x bi ai xi 0, i 2 , , n ;
bi ai xi 0,
系统工程---第五章 目标规划
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5.1 目标规划数学模型的建立
5.1.1 多目标规划简介
（1）问题的提出及数学模型的建立
在实际问题中，常常需要研究在某些限制条件下，同时 考虑多个目标的最优化问题。例如，人们购买一件物品， 既要求价廉又要求物美，这就包含了两个目标。再把购买 物品具体到购买一件衣服，可能要考虑质量、颜色、式样、 大小、价格这五个目标。又如选择一个新厂址，除了考虑 运费、造价、燃料供应费等经济指标外，还要考虑对环境 的影响等社会因素。
我们可以通过下面几个实例来具体了解多目标规划问题 的提出及数学模型的建立：
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5.1 目标规划数学模型的建立
5.1.1 多目标规划简介
பைடு நூலகம்（1）问题的提出及数学模型的建立
例 5-1 生产计划问题。某工厂生产 n(n 2) 种产品：1 号品，
2 号品，…， n 号品。已知：该厂生产 i （ i 1, 2 , 3,, n ）号品的生 产能力是 ai 吨/小时；生产 1 吨 i 号品可获利润 i 元；据市场预测， 下月 i 号品的最大销售量为 bi （ i 2 , 3,, n ）吨；工厂下月的开工工 时能力为T 小时；下月市场需要尽可能多的 1 号品。问：应如何安排 下月的生产计划，在避免开工不足的条件下，使
1）工人加班时间尽量地少； 2）工厂获得最大利润； 3）满足市场对 1 号品的尽可能多的需求。
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5.1 目标规划数学模型的建立
解: 为制定下月的生产计划，设该厂下月生产 i 号品的时间为
xi （ i 1, 2 , 3,, n ）小时。根据所给的已知条件，可以把问题中希望 追求的三个目标用数量关系描述如下
为使获得的收益最大，又应要求
n
bi xi max
i1
由于该公司的总资金为A万元，故要有限制条件
n
ai xi A
i 1
又因为 xi （ i 1, 2,, n ）只能是取 1 或 0 值，所以还要满足
x i(1 x i) 0 , i 1 , ,n
与前面的假设：
xi=0或1的关系？
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类似上述要考虑的多目标最优化问题的例子还可以举出很多。 例如:
为制定国家的经济发展规划，在一定条件下就需要考虑以生产、 消费、就业、投资回收率等项目的多个目标的最优化问题；
5.1 目标规划数学模型的建立
综上所述，所考虑的投资决策问题可归为对两个目标中的一个 极小化，对另一个极大化的如下问题：
n
min f1 a i x i
i1
n
max f 2 b i x i
i1
n
A aixi 0
i1
xi ( xi 1) 0 ,
i 1, ,n
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5.1 目标规划数学模型的建立
2） 下 月 该 厂 i号 品 的 产 量 为 aixi吨 ， 可 获 得 iaixi元 利 润
（ i1,2,3, ,n） ， 因 而 工 厂 总 利 润 为 niaixi元 。 为 使 该 厂 获 得 最
n
i 1
大 利 润 ， 应 使iaixi max
i1
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5.1 目标规划数学模型的建立
n
为避免工厂开工不足，生产总工时 xi 应不低于开工能力T ，即
i1
n
xi T
i 1
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5.1 目标规划数学模型的建立
当然，生产时间应为非负，故还有
xi0, i1,2, ,n
综合上面
的讨论，所考 虑的生产计划 问题可归纳为 下面具有三个 目标的最优化 问题：
n
min f 1 x i T
例 5-2 投资决策问题。某投资开发公司拥有总资金 A 万元，
今有 n( 2) 个项目可供选择投资。设投资第 i （ i 1, 2 , 3,, n ）个项 目要用资金 ai 万元，预计可获得收益 bi 万元，问应如何决策投资方案。
分析：一个好的投资方案应该是投资少、收益大的方案。设
1,决定投资第i个项目
xi 0,决定不投资第i个项目， （i1,2,3,,n） ，并称它们为投
资决策变量。按问题所给的条件，投资第i个项目的金额应为aixi 万
n
元（i1,2,3,,n） ，因而总投资金额为aixi 万元。
i1
为使投资所用的资金尽可能地少，应使
n
ai xi min
i1
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3）下月 1 号品的产量为 a1x1 吨，故应尽可能多地生产 1 号品， 以供市场需求，即
a1x1 max
此 外 ， 由 预 测 得 知 下 月 i 号 品 的 最 大 销 售 量 为 bi 吨 （ i 2 , 3,, n ），所以 i 号品的产量 ai xi 要不超过 bi ，即
a ixib i , i2 ,3 , ,n
n
xi T 0
i 2,3,, n
n
xi T 0 , x 0}
i 1
i1
xi 0, i 1, 2,, n
则上面的最优化问题又可化为 V max f (x)
（ VP）
x R
的形式。这里， x ， f (x) 皆为向量。
Vector Optimization
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5.1 目标规划数学模型的建立
1） 因 为 下 月 用 xi小 时 生 产 i号 品 （ i1,2,3, ,n） ， 故 工 厂 的 生
n
n
产 总 工 时 为 xi小 时 ， 工 人 的 加 班 时 间 为 xiT小 时 ， 为 使 工 人 的
i 1
i 1
加 班 时 间 尽 量 地 少 ， 应 要 求 n xi T min
i1