第五章 目标规划
目标规划整数规划第三、四、五章
销地 产地 A1 A2 4
B1
B2
B3 2
B4
B5
产量
3
11 3 6 4 3
12 7 5
5
3 2 5 1 4
6
4 2 9 2 5
4
0 8 0 5 0 9
A3
销量
当产大于销时，即
a b
i 1 i j 1 m
m
n
j
加入假想销地（假想仓库），销量为
a b
i 1 i j 1
n
(二)对偶变量法（位势法） 1.基本原理
检验数的计算： 一般问题：σj = C j- CBB-1 Pj = Cj - Y Pj 运输问题： σij = C ij- CBB-1 Pij = Cij - Y Pij = Cij - (u1,u2, …,um, v1, v2, …,vn) Pij = Cij - ( ui+ vj ) 当xij 为基变量时， σij = Cij - ( ui+ vj )=0 由此，任选一个对偶变量为0，可求出其余所有 的ui， vj 。 再根据σij = Cij - ( ui+ vj )求出所有非基变量的检验 数。
A 1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4
4 12
产量
16 10 2 3 9 10 8 2 8 14 5 11 8 6 22 8 14 12 14 48
10
4
6
11
z 0 8 2 14 5 10 4 2 3 6 11 8 6 246 优点：就近供应，即优先供应运价小的业务。
4. 计划利润不少于48元。
- , P d + , P d -} Min{ P1 d16 maxZ= x1 +8 2 2x2 3 3 5x1 + 10x2 60 • 原材料使用不得超过限额 x1 - 2x2 +d1- -d1+ =0 • 产品II产量要求必须考虑 - -d + =36 4x + 4 x +d 1 2 2 2 • 设备工时问题其次考虑
运筹学——目标规划
OR2
运筹学——目标规划
5.2目标规划的图解法
n 图解法的基本步骤：
n （1）先作硬约束与决策变量的非负约束， 同一般线性规划作图法。
n （2）作目标约束，此时，先让di- -di+＝ 0，然后标出di- 及di+的增加方向（实际上
是目标值减少与增加的方向）。
n （3）按优先级的次序，逐级让目标规划 的目标函数中极小化偏差变量取0，从而 逐步缩小可行域，最后找出问题的解。
此问题即为多目标决策问题，目标规划就是解这类 问题的方法。
A
B
限量
原材料（kg)
2
1
11
设备（台时）
1
2
10
单位利润
8
10
•minZ=P1 d1+ +P2 (d2-+ d2+) +P3 d3-
OR2
运筹学——目标规划
例2的解法
解：问题分析：找差别、定概念（与单目标规划相 比）
1）绝对约束：必须严格满足的等式约束和不 等式约束，称之为绝对约束。
OR2
运筹学——目标规划
n 例4：
OR2
运筹学——目标规划
5.3 目标规划的单纯形解法
n 考虑目标规划数学模型的一些特点，作以下规定：
n 1）因目标函数为求最小化，所以要求
n 2）因非基变量检验数中含有不同等级的
优先因子，即
，因
p1≫p2≫…≫pk；从每个检验数的整体看： 检验数的正、负首先决定于p1的系数a1j的 正负，若a1j＝0， 则此检验数的正、负就决定于p2的系数 a2j的正负，依次类推。
minZ=P1 d1+ +P2 (d2-+ d2+) +P3 d3-
多目标规划
解:
x2
A B C
x1
Eab = E pa = {B}, Ewp = AB, BC
{
}
O
T 2 2 例2 设 X = {( x1 , x2 ) ( x1 + 1) + 2 x = 4}, 求 X , 的 Eab , E pa , Ewp
2
解:
x2
Eab = φ , E pa = Ewp
= AB
{ }
第二节 多目标规划问题的解 一,向量集的极值 1 多目标规划的标准形式是
min( f1 ( x),..., f p ( x))T , p > 1, x ∈ E n g i ( x) ≥ 0 i = 1,..., m s.t. h j ( x) = 0 j = 1,..., l (2.1)
1
介绍A.M.Geoffrion于1968年提出的—种 真有效解—G-有效解.
�
min f ( x) = ( f1 ( x), f 2 ( x))T
x∈D
f1 ( x) = x1 + 2 x2 , f 2 ( x) = x1 x2 , D = ( x1 , x2 )T 0 ≤ x1 ≤ 1,0 ≤ x2 ≤ 1
的有效解和弱有效解. f1 ( x) = 3 x2 1 B
{
}
R pa = Rwp = {OA, AB}
解: 1 画出 D 及 D 的像 f (D )
f1
x
f1 , f 2 联立消去 x
O 1
得
f1 = f 22 + 2 f 2
f2
1
R pa = Rwp
. .
2
.
f2
x
o
1 2
运筹学(第5章 目标规划)
解：设甲、乙产品的产量分别为x1，x2，建立线性规划模型：
max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t
4
x1 x1
2x2
8 16
4x2 12
x1 , x2 0
其最优解为x1＝4，x2＝2，z＊＝14元
但企业的经营目标不仅仅是利润，而且要考虑多个方面，如： (1) 力求使利润指标不低于12元； (2) 考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比
20x1＋50x2≤90000
x1
0
1000
2000
3000
4000
5000
图2 图解法步骤2
针对优先权次高的目标建立线性规划
优先权次高（P2）的目标是总收益超过10000。 建立线性规划如下：
Min d2s.t.
20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700 3x1+4x2-d2++d2-=10000 d1+＝0 x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0
显然，此问题属于目标规划问题。它有两个目标变量：一是限制风险，一 是确保收益。在求解之前，应首先考虑两个目标的优先权。假设第一个目 标（即限制风险）的优先权比第二个目标（确保收益）大，这意味着求解 过程中必须首先满足第一个目标，然后在此基础上再尽量满足第二个目 标。 建立模型：
设x1、x2分别表示投资商所购买的A股票和B股票的数量。 首先考虑资金总额的约束：总投资额不能高于90000元。即 20x1＋50x2≤90000。
目标规划模型的标准化
例6中对两个不同优先权的目标单独建立线性规划进行求解。为简 便，把它们用一个模型来表达，如下：
运筹学第五章_目标规划
第一节目标规划实例与模型
看起来有 点繁～ 有点 ‘烦’… … …★
因此其目标规划的数学模型： minz=p1d1++p2(d2-+d2+)+p3d3s.t 2x1+x2≤11 x1-x2+d1--d1+=0 x1+2x2+d2--d2+=10 8x1+10x2+d3--d3+=56 x1,x2≥0,di-,di+≥0，i=1,2,3
第一节目标规划实例与模型
(5)目标函数—准则函数 目标函数是由各目标约束的正负偏差变量及其相应 的优先级、权因子构成的函数，且对这个函数求极小值， 其中不包含决策变量xi.因为决策者的愿望总是希望尽可能 缩小偏差，使目标尽可能达到理想值，因此目标函数总是 极小化。有三种基本形式：
第一节目标规划实例与模型
第一节目标规划实例与模型
(4)优先级与权因子 多个目标之间有主次缓急之分，凡要求首先达到的目 标，赋于优先级p1,要求第2位达到的目标赋于优先级 p2,…设共有k0个优先级则规定 p1>>p2>>p3……Pk0>0 P1优先级远远高于p2,p3，只有当p1级完成优化后，再考 虑p2,p3。反之p2在优化时不能破坏p1级的优先值，p3级 在优化时不能破坏p1,p2已达到的优值 由于绝对约束是必须满足的约束，因此与绝对约束相 应的目标函数总是放在p1级
第一节目标规划实例与模型
该问题的决策目标是： （1）总利润最大； （2）尽可能少加工； （3）尽可能多销售电扇； （4）生产数量不能超过预销售数量。 （5）绝对目标约束。所谓绝对目标约束就是必须要严格 满足的约束。绝对目标约束是最高优先级，在考虑较低 优先级的目标之前它们必须首先得到满足。
《目标规划》课件
目标规划的工具
层次分析法（AHP）
层次分析法是一种决策分析 工具，是目标规划中最常用 的方法之一，通过对比多个 因素的重要性，取得最佳决 策。
改进灰色关联分析法 （GM(1,N)）
改进灰色关联分析法是一种 定量化分析方法，它将模糊 关系量化到一定的值，分析 多元因素之间的关系，辅助 决策制定。
熵权法
案进行生成与优化，以确保方案的可
行性和可行性。
5
顶层目标的确定
制定目标规划的第一步就是明确目标。 通过与利益相关者沟通，明确顶层目 标的方向和意义。
方案评价指标的确定
评价指标是评价方案的重要标准。在 确定评价指标时，必须考虑目标的重 要性和所需资源的限制。
方案的评价
最后一步是评价方案。需要根据实际 情况和设定的评价标准，对不同方案 进行分析和比较，以确定最终方案。
《目标规划》PPT课件
欢迎大家来到这个介绍《目标规划》的PPT课件。目标规划是一种应用广泛 的决策分析方法，我们将为您详细讲解。
目标规划概述
定义目标规划
目标规划是一种将复杂的决策问题转化为具体 可行的目标及实现步骤的决策分析方法。
目标规划用于企业管理、营销策略、公 共政策等领域。
目标规划的应用领域
目标规划可以应用到多个领域，包括生产调度、 项目管理、市场策略和公共政策等。
目标规划的基本原理
目标规划的概念模型
目标规划的概念模型是一 个通过收集大量数据、分 析数据之间关系、总结经 验和知识的过程。
目标规划的目标层次 结构
目标规划的目标层次结构 包括顶层目标、子目标和 指标，目的在于明确定义 目标，并实现有效监控。
项目管理
在项目管理中，目标规划可以协助管理人员确 定项目目标、计划和时间表，制定可行的工作
第五章目标规划
如果工厂经营目标的期望值和优先等级如下： 如果工厂经营目标的期望值和优先等级如下： P1：经理希望每周总利润恰好为 经理希望每周总利润恰好为5000元； 元 P2：因合同要求，A型机每周至少生产 台，B型机每周至少 因合同要求， 型机每周至少生产 型机每周至少生产20台 型机每周至少 生产30台 以利润作为权系数）； 生产 台（以利润作为权系数）； P3：工序Ⅱ的生产时间最好用足，甚至可适当加班。 工序Ⅱ的生产时间最好用足，甚至可适当加班。 试建立这个问题的目标规划模型。 试建立这个问题的目标规划模型。
L
K
(
+ k
)
n − + ∑ c kj x j + d k − d k = g k , k = 1,2,..., K j =1 n ∑ aij x j ≤ (=, ≥ )bi , i = 1,2,..., m j =1 x j ≥ 0, j = 1,2,...n d k− , d k+ ≥ 0, k = 1,2,..., K
该厂的目标是： 该厂的目标是： 1、充分利用装配线，避免开工不足。 、充分利用装配线，避免开工不足。 2、允许装配线加班，但尽量不超过10小时。 、允许装配线加班，但尽量不超过 小时 小时。 3、装配电视机的数量尽量满足市场需求。 、装配电视机的数量尽量满足市场需求。
例
车间 产品
甲
乙
பைடு நூலகம்
有效工时
金工 装配 收益
4 2
100
2 4
80 2x1+4x2 ≤ 500 4x1+2x2 ≤ 400
400 500
LP： maxz=100x1 + 80x2
x1 , x2≥ 0 x* =(50,100)
运筹学习题解答(chap5 目标规划)
第五章 目标规划一、建立下列问题的数学模型1、P164, 5.8 某种牌号的酒由三种等级的酒兑制而成。
已知各种等级的酒每天供应量和单位成本如下：等级I ：供应量1500单位/天，成本6元/单位；等级Ⅱ：供应量2000单位/天，成本4.5元/单位； 等级Ⅲ：供应量1000单位/天，成本3元/单位。
该种牌号的酒有三种商标（红、黄、蓝）各种商标酒的混合比及售价如表所示。
确定经营目标：P1：兑制要求配比必须严格满足；P2：企业获取尽可能多的利润； P3：红色商标酒产量每天不低于2000单位。
试对此问题建立相应的目标规划模型。
解：设红黄蓝分别为1、2、3号酒，ij x 表示i 号酒中j 原料的用量。
则依题意建立如下模型：-+-+-=33222)(min d P d d P Z.3,2,3,2,1,,0,,020000)(3)(5.4)(6)(8.4)(0.5)(5.5100020001500)%(10)%(50)%(20)%(70)%(50)%(103313121122332313322212312111333231232221131211332313322212312111333231313332313323222121232221231312111113121113==≥≥=+-++=+-++-++-++-++++++++≤++≤++≤++++≥++≤++≥++≤++≥++≤-+-+-+k j i d d x d d x x x d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k k ij2、P164, 5.9 某公司从三个产地1A ，2A ，3A 将产品运往四个销地1B ，2B ，3B ，4B .各产地的产量，各销地的销量，及各产地往各销地的运费单价如表所示。
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第五章目标规划第五章目标规划（Goal Programming，简称GP）要求： 1、理解有关概念； 2、学会图解法； 3、学会单纯形解法；4、学会建模；5、举一反三，学会应用。
§1目标规划的数学模型前面我们介绍的线性规划是单目标决策方法，也就是说，只用一个性能指标的大小来衡量方案的好坏。
但在实际生活中，确定一个方案的好坏，往往要考虑多个目标。
比如，在制定生产计划时，既要求产量高，又要求质量好，还期望成本低。
又如，在选择一个新工厂的厂址时，要考虑的问题有生产成本、运输费用、基建投资费用，环境污染等多种因素。
而且有些指标之间往往不是那么协调，甚至相互矛盾，使得决策人难以确定最优方案。
目标规划是在线性规划的基础上，为适应企业经营管理中多个目标决策的需要而逐步发展起来的。
目标规划是一种多目标决策方法，它是在决策者所规定的若干目标值和要求实现这些目标值的先后顺序，以及在给定有限资源条件下，寻求总的偏离目标值最小的方案，这种方案称为满意方案。
目标规划的有关概念和数学模型是在1961年由美国学者查恩斯(A.Charnes)和库伯(W.W.Cooper)首次在《管理模型及线性规划的工业应用》一书中提出，当时是作为解一个没有可行解的线性规划而引入的一种方法。
这种方法把规划问题表达为尽可能地接近预期的目标。
1965年，尤吉·艾吉里(Yuji · Ijiri )在处理多目标问题，分析各类目标的重要性时，引入了赋予各目标一个优先因子及加权系数的概念；并进一步完善了目标规划的数学模型。
表达和求解目标规划问题的方法是由杰斯基莱恩(Jashekilaineu )和桑·李(Sang #Li)给出并加以改进的。
下面我们用例子来介绍目标规划的数学模型和有关概念。
例1 某厂生产I 、II 两种产品，有关数据见表。
试求获利最大的生产方案。
这是一个单目标线性规划问题，设x 1、x 2分别为生产产品I 、II的数量，可得如下线性规划模型：0,102112..108max21212121≥≤+≤++=x x x x x x t s x x z由图解法可求得最优生产方案是：x 1*= 4，x 2*= 3，Z *= 62 千元。
但实际上，工厂作决策时，不仅要考虑利润，而且要考虑市场等一系列因素，如：（1）根据市场信息，产品I 的销售量有下降的趋势，为此，希望产品I 的产量不超过产品II 的产量；（2）超计划使用原材料要高价采购，会使成本增加。
为此不希望超用；（3）应尽可能充分利用设备台时数，但不希望加班；（4）应尽可能达到或超过计划利润指标56千元。
这样在考虑产品决策时，需要考虑四个目标要求，这就是多目标决策问题。
目标规划就是解决这种多目标决策问题的方法。
下面我们用上例来说明目标规划的有关概念。
1．偏差变量：目标规划中引入了正、负偏差变量d+、d-（d+、d-≥0）。
正偏差变量d+表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量d-表示决策值未达到目标值的部分。
因为正、负偏差不会同时出现，即d+、d-至少有一个为零，因此恒有d+ * d- = 0 .2. 系统（绝对）约束和目标约束系统约束是指必须严格满足的等式或不等式，如线性规划问题中的所有约束条件都是系统约束，不满足这种约束条件的解就不是可行解，所以它们是硬性约束。
目标约束是目标规划特有的等式约束，相对硬性约束来说，它是一种软性约束。
当某些约束条件不是必须严格满足时，可用目标约束来表示。
比如，希望利润不低于56千元，这个要求并不是必须严格大于等于56千元（即8x1+10x2≥56），而是可以有一定的正、负偏差，为此，我们可引入正、负偏差变量d+、d-，将其写成8x1+10x2-d+ + d-=56，并用min(d-)表示希望利润尽量不低于56千元。
又如，希望尽量不超时使用设备，这个要求并不是必须严格小于等于10（即x1+2x2≤10），而是可以有一定的正、负偏差，为此，我们可引入正、负偏差变量d+、d-，将其写成x1+2x2-d+ + d-=10，并用min(d+)表示希望不超时使用设备。
这种等式约束就是目标约束。
它把约束条件右端项看作是要追求的目标值，但在实现此目标值的过程中允许发生正偏差或负偏差，为此，在这种约束中引入了正、负偏差变量。
线性规划的目标函数，在给定目标函数值时，可转化为目标约束。
另外，根据问题的需要，系统约束也可转化为目标约束。
3. 目标的优先级与权系数一个规划问题常常有若干个目标。
但决策者在要求实现这些目标时，是有主次或轻重缓急的。
凡要求第一位要实现的目标，就赋予优先因子P1；第二位要实现的目标赋予优先因子P2，┄，并规定 P k>> P k+1，k =1，2，┄，K ，表示 P k比 P k+1有更大的优先权。
即首先保证P1级目标的实现，这时可以不考虑其他目标；而 P2级目标是在实现 P1级目标的前提下考虑的；以此类推。
若要区别具有相同优先级的两个目标的差别，这时可分别赋予它们不同的权系数 w j，这些都由决策者按照具体情况确定。
4. 目标规划的目标函数目标规划的目标函数（又称准则函数）是由各目标约束中的正、负偏差变量和决策者规定的优先因子而构成的。
当每一目标值确定后，决策者总是希望实现值尽可能接近目标值，也就是希望有关偏差尽量小。
因此，目标规划的目标函数都是求极小值的。
其基本形式有以下三种：（1）若目标要求尽量等于目标值时，这就是希望正、负偏差都尽量小，它可表示为：min Z = f（d+ + d-）（2）若目标要求尽量不超过目标值，而允许达不到目标值时，这就是希望正偏差尽量小。
它可表示为：min Z = f （d +）（3）若目标要求尽量不低于目标值，而允许超过目标值时，这就是希望负偏差尽量小。
它可表示为:min Z = f (d -)对每一个具体目标规划问题，可根据决策者的要求和赋予各级目标的优先因子来构造目标函数，下面用例子来说明。
例2 例1的决策者在原材料供应受严格限制的基础上还要考虑；P1：希望产品I 的产量不高于产品II 的产量；P2：希望充分利用设备的有效台时数，但不希望加班；P3：希望利润不低于 56千元。
求决策方案。
解：按决策者的要求，这三个目标的规划问题的数学模型为：,,,,,,,561081020112)(min 33221121332122211121213322211≥=+-+=+-+=+--≤++++=-+-+-+-+-+-+-+-+d d d d d d x x d d x x d d x x d d x x x x d P d d P d P z式中：P1是希望21x x ≤，但不是必须严格小于，可以有偏差，于是引入-+11d d 和，把21x x ≤改写为01121=+---+d d x x ，并用 )(min 1+d 表示希望21x x ≤。
P2是希望使用设备的台时数尽可能等于10，但不是必须严格等于10，可以有偏差，于是引入-+22d d 和，把10221=+x x 改写为1021121=+-+-+d d x x ，并用 )(m in 22-++d d 表示希望10221=+x x 。
P3是希望利润5610821≥+x x ，但不是绝对不能少，可以有偏差，于是引入-+33d d 和，把5610821≥+x x 改写为561083321=+-+-+d d x x ，并用 )(min 3-d 表示希望利润尽量不低于56千元。
胡运权书P117习题5.6 例2 某厂生产A 、S 两种型号电脑，每种型号的电脑均需经过两道相同的工序，每台电脑所需的加工时间、销售利润及工厂每周最大加工能力见下表。
如果工厂经营目标的期望值和优先等级如下：P1：每周总利润尽量不得低于10000元；P2：因合同要求,A 型电脑每周至少生产10台,S 型电脑每周至少生产15台；P3：希望工序Ⅰ的每周生产时间恰好为150小时，工序Ⅱ的生产时间最好用足，甚至可适当加班。
根据上述要求建立这个问题的目标规划模型，不必求解。
解: 设x 1, x 2分别是生产A 、B 型电脑的台数，则此问题的目标规划模型为：5,2,1,i 0,d ,d ,x ,x 75d d 2x 3x 150d d 6x 4x 15d d x 10d d x 10000d d 450x 300x .t .s )d d d (p )d d (p d p f min i-i 215-5214-4213-322-211-12154-433-22-11 =≥=-++=-++=-+=-+=-+++++++=++++++-+-目标规划数学模型的一般形式如下：建立目标规划的数学模型时，决策者需要事先确定各级目标值g k 、优先等级次序P l 、权系数W lk 等，它都具有一定的主观性和模糊性，可用专家评定法予以量化。
目标规划与线性规划相比有以下优点：1.线性规划立足于求满足所有约束条件的最优解，而在实际问题中，可能存在相互矛盾的约束条件。
目标规划可以在相互矛盾的约束条件下找到满意解。
2.线性规划只能处理一个目标，而现实问题往往要处理多个目标。
目标规划能统筹兼顾地处理多个目标的关系，求得更切合实际要求的解。
3.线性规划的约束条件是不分主次地同等对待，而目标规划可根据实际需要给予轻重缓急的考虑。
4. 目标规划的最优解指的是尽可能地达到或接近一个或若干个已给定的目标值，实际上是满意解。
因此，可以认为目标规划更能确切地描述和解决经营管理中的许多实际问题。
目前，目标规划已在经济计划、生产管理、市场管理、财务分析、技术参数的选择等方面得到广泛的应用。
§2 目标规划的图解法方法：先画出满足系统约束的可行域和各目标偏差变量的出现方向，然后按照优先级顺序在可行域内寻找最满意的解。
满意解可以是一个点、一条线段或者一个区域。
对具有两个决策变量的目标规划可以用图解法求解。
下面我们对前面例2用图解法求解。
画图可知，满足系统约束的可行域是ΔOAB 。
下面按照优先级顺序考虑目标约束，画出各级目标约束及其偏差出现的方向。
P1希望01=+d ，-1d 不限，所以在直线021=-x x 左上方的点满足要求，加上系统约束，可行域缩小到ΔOCB 上；P2希望02=±d ，所以在直线10221=+x x 上的点满足要求，综合前面约束，可行域缩小到线段ED 上；P3希望03=-d ，+3d 不限，所以在直线5610821=+x x 右上方的点满足要求，综合前面约束，可行域缩小到线段GD 上。
从图中可知，该目标规划的最优解是线段GD 上的所有点。
因为线段GD 上的点能够满足目标规划问题的所有约束条件(包括系统约束和目标约束)。
但大多数目标规划问题并非如此，还可能出现非可行解，所以将目标规划问题的最优解称之为满意解。