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第三章 目标规划 第一节 目标规划的数学模型目标规划法是求一组变量的值，在一组资源约束和目标约束条件下，实现管理目标与实际目标之间的偏差最小的一种方法。

应用目标规划法解决多种目标决策问题时，首先要建立目标规划模型。

目标规划模型由变量、约束和目标函数组成。

为具体说明目标规划与线性规划在处理问题方法上的区别，先通过例子介绍目标规划的有关概念及数学模型。

一、举例例 1 某厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知计划期有关数据如下，求获利最大的生产方案。

生产有关数据表ⅠⅡ 拥有量 原材料 （公斤） 2 1 11 设备台时（小时） 利润 （元/件） 1 82 1010用线性规划方法求解：设Ⅰ、Ⅱ两种产品产量分别为x 1，x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0,102112108max 21212121x x x x x x x x z可得 Z=62元，X=（4，3）T但实际决策时，有可能考虑市场等其它方面因素，例如按重要性排序的下列目标：据市场信息，产品Ⅰ销售量下降，要求产品Ⅰ产量低于产品Ⅱ产量； 尽可能充分利用现有设备，但不希望加班； 达到并超过计划利润指标56元。

这样考虑生产计划问题即为多目标规划问题。

下面结合上述例题介绍有关建立目标规划数学模型的基本概念。

二、目标规划基本概念1. 设x 1，x 2为决策变量，并引入正、负偏差变量d +、d —正偏差变量d +表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量d —表示决策值未达到目标值的部分，d +，d －≥0。

决策值不可能既超过又未达到目标值，因此恒有d +×d －＝0。

2.绝对约束和目标约束绝对约束指必须严格满足的“≤，≥，＝” 约束，称为硬约束，例如线性规划中的约束，不满足它们的约束称为非可行解；目标约束是目标规划所特有的，它把约束的右端常数项看作追求的目标值，允许出现正、负偏差，用“d +、d －”表示，称为软约束。

约束的一般形式为：i i i j iij g d d X C =-++-∑式中i g ——第i 个目标约束的目标值；ij C ——目标约束中决策变量的参数；+-i i d d 、——以目标值i g 为标准而设置的偏差变量。

线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差变量后可变为目标约束；同样，线性规划问题的绝对约束，加入正、负偏差变量后也可变为目标约束。

例如，例1中线性规划问题的目标函数：Z = 8 x 1 + 10x 2 ，可变换为目标规划问题中的目标约束：8 x 1 + 10x 2 =56 + d +－d － ；而同样，线性规划问题的绝对约束：2x 1 + x 2 ≤11，可变换为目标规划问题中的目标约束：2x 1 + x 2 = 11－d － 。

建立约束需注意的问题时：（1）对于绝对约束，i g 则为资源限制值，上式中不加+-i i d d 、。

（2）非负约束是指偏差变量非负，0≥+-i i d d 、，至于决策变量是否要求非负，依具体问题要求决定。

（3）在目标规划约束中，凡已列入目标约束的资源约束，不应再列入资源约束。

（4）如果有明显的目标要求，可在+-i i d d 和中只选一个。

3.优先级与权系数要解决的规划问题往往有多个目标，而决策者对于要达到的目标是有主次之分的。

要求首先达到的目标赋予优先级P 1，稍次者赋予P 2 ，…。

这里规定：不同级目标重要性差异悬殊，P k ＞＞ P k+1，即先保证上一级目标实现的基础上再考虑下一级目标，低级目标的多大收获也不能弥补高级目标的微小损失。

若要区别具有相同优先级的目标的差别，可赋予不同的权系数w j 。

4.目标函数目标规划问题的目标函数是由各目标约束不同的正、负偏差变量d +、d －，优先级P k 与权系数w j 所构成的。

与线性规划不同的是目标函数中不含决策变量x j 。

当各目标值确定之后，决策者希望的是尽可能缩小对目标值的偏离。

因此，目标规划问题的目标函数只能是：Min Z = f (d +，d －)。

其基本形式有下列三种：要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都应尽可能的小，这时目标函数的形式：min Z = f (d + + d －)要求不超过目标值，即正偏差变量应尽可能的小，这时目标函数的形式： min Z = f (d + )要求超过目标值，即负偏差变量应尽可能的小，这时目标函数的形式： min Z = f ( d －)由此可见，目标规划比线性规划体现了新的灵活思想，约束和目标都不看作是绝对的。

决策者根据要求赋予各目标不同的优先级、权系数，构造目标函数。

下面举例说明。

例2 某构件公司商品混凝土车间生产能力为20t/h ，每天工作8h ，现有2个施工现场分别需要商品混凝土A 为150t ，商品混凝土B 为100t ，两种混凝土的构成、单位利润及企业所拥有的原材料见下表所示，现管理部门提出：原材料消耗、拥有量R 单位利润表（1）充分利用生产能力； （2）加班不超过2h ；（3）产量尽量满足两工地需求； （4）力争实现利润2万元/天试建立目标规划模型拟定一个满意的生产计划。

解： 1.确定变量设21x x 、分别为两种混凝土的产量。

2.约束条件 （1）目标约束：1P 级：要求生产能力充分利用，即要求剩余工时越小越好。

1601121=-+++-d d x x 其中要求01→-d2P 级：要求可以加班，但每日不超过2h ，即日产量不超过200t 。

2002221=-+++-d d x x 其中要求02→+d3P 级：两个工地需求尽量满足，但不能超过需求。

15031=+-d x 其中要求03→-d10042=+-d x 其中要求04→-d因需求量不能超过其需求，故++43d d ，=04P 级：目标利润超过2万元。

20000801005521=-+++-d d x x 其中要求05→-d（2）资源约束水泥需求不超过现有资源：5025.035.021≤++x x砂需求不超过现有资源：1306.055.021≤++x x（3）非负约束)521(00021，，，、，，Λ=≥≥≥+-i d d x x i i3.目标函数依目标约束中的要求，第三层目标中有两个子目标，其权数可依其利润多少的比例确定，即100:80，故W 1=5，W 2=4。

故目标函数为---+++++=544332211min )45(d P d d P d P d P Z整理得该问题的目标规划模型为：目标：---+++++=544332211min )45(d P d d P d P d P Z 约束条件：1601121=-+++-d d x x 2002221=-+++-d d x x15031=+-d x10042=+-d x20000801005521=-+++-d d x x5025.035.021≤++x x 1306.055.021≤++x x)521(00021，，，、，，Λ=≥≥≥+-i d d x x i i例 3 例1的决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑：产品Ⅰ产量低于产品Ⅱ产量；其次，尽可能充分利用现有设备，但不希望加班；再次，达到并超过计划利润指标56元，求决策方案。

解 按决策者的要求，分别赋予三个目标不同的优先级P 1，P 2，P 3。

然后建立目标规划模型如下：min z = P 1d 1+ + P 2(d 2++d 2－) + P 3d 3－ 2x 1 + x 2 ≤ 11 x 1－x 2 + d 1－－ d 1+ = 0 x 1 +2x 2 + d 2－－ d 2+ = 10 8x 1 +10x 2 + d 3－－d 3+ = 56x 1，x 2，d i －，d i + ≥ 0， i = 1，2，3目标规划数学模型的一般形式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥==≥≤==-++=+-=+-=++=--=∑∑∑∑n j d d x m i b x a K k g d d x c d w d w p z k k j n j i j ij k k k n j j kj k lk Kk k lk Ll l ,,2,1,0,,,,2,1,),(,,1,)(min 1111ΛΛΛ建立目标规划数学模型时，需要确定目标值，优先级，权系数等，它们都具有一定的主观性，模糊性，通常采用专家评定法给予量化。

第二节 目标规划的图解法对于只有两个决策变量的目标规划数学模型，可采用图解法分析求解，这对于了解目标规划一般问题的解题思路也很有帮助。

下面用例2加以说明。

类似于线性规划，先在平面直角坐标系第一象限绘出各约束条件。

绝对约束的作图与线性规划相同，对于目标约束，先绘出d i +，d i －= 0对应的直线，然后在直线旁相应侧标注d i +，d i －，如图3-1所示。

根据目标函数中的优先级对下图进行分析，即可找到满意解（由于目标规划问题常出现非可行解，因此称目标规划问题的最优解为满意解）。

图3-1例2的目标规划的图解由图可见，首先考虑绝对约束：2x 1 + x 2 ≤11，解的可行域为三角形 0AB ，然后按优先级P 1，目标函数中要求min d 1+，解域缩减至0BC 内；再按优先级P 2，目标函数中要求min (d 2++d 2－)，解域缩减至线段ED 上；最后按优先级P 3，目标函数中要求min d 3－，因此最终满意解域为线段GD 。

可求得相应坐标：G （2，4），D （10/3，10/3）。

GD 的凸线性组合都是该目标规 划的解。

目标规划问题求解时，把绝对约束作为最高优先级（但不必赋P 1）例中能依次满足d 1+=0，d 2++d 2－=0 d 3－=0，因此z *=0。

但大多数情况下并非如此，还可能出现矛盾，这可以通过下面的例子加以说明。

FE例3某电子设备厂装配A、B两种型号同类产品，每装配一台需占用装配线1小时。

每周装配线开动40小时，预计每周销售：A产品24台，每台可获利80元；B产品30台，每台可获利40元。

该厂确定的目标为：第一目标：充分利用装配线每周开动40小时；第二目标：允许装配线加班，但加班时间每周不超过10小时；第三目标：装配数量尽量满足市场需求。

要求建立上述问题的数学模型并求解。

解设x1，x2分别为产品A、B的计划产量。

对于第三目标，由于每台A 产品利润是B产品的2倍，因此取其权系数分别为2，1。

建立目标规划模型：min z = P1d1－+ P2d2+ + P3(2d3－+d4－)x1 + x2 + d1－－d1+ = 40x1+ x2 + d2－－d2+ = 50x1 + d3－－d3+ = 24x2 + d4－－d4+ = 30x1，x2，d i－，d i+≥0，i = 1，2，3，4图3-2 例3的目标规划的图解由图3-2可见，在考虑了第一目标和第二目标之后，x1和x2的取值范围为ABCD。