第五章 目标规划问题
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运筹学第5章-目标规划
[1/2] -1 1 1/2 -1/2
1/2 0 0 -3/2 3/2 1 -1
1
1
-1/2
3/2 -3/2
1
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注意：此时， P2行仍有负检验数，要选X2进基，因为d2+
的 检验数是
p1
3 2
p2 0
。
0
0
P1 0
0
P1 P2 0
CB XB b
x1
X2
d1-
d1+ d2-
d2+ d3-
min d
5x2
d
d
15
（4） “设备B既要充分利用，又要尽量不加班”可表示
为
min d d
4x1
d
d
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3、目标的优先级和权系数
不同的目标重要程度不同，优先级不同；
同一层次优先级的不同目标，重要程度不同，权重不同
优先级因子：P1, P2 , P3，,...且
n
aij x j bi ,
i 1,2,....m
j1
n
clj x j
dl
d
l
gl ,
l 1,2,....L
j1
xi
0,
d
l
,
dl
0, i
1,...,m;
j
1,...L
刚性约束 柔性约束
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§5.2 目标规划的图解分析法
求解目标规划的思路： 刚性约束必须严格满足； 按优先级次序，从高层到低层逐层优化； 在不增加高层偏差值的情况下，使本层的偏差达到最小。
P1 d1- 10 [1] 0 1 -1
运筹学——目标规划
OR2
运筹学——目标规划
5.2目标规划的图解法
n 图解法的基本步骤：
n （1）先作硬约束与决策变量的非负约束， 同一般线性规划作图法。
n （2）作目标约束，此时，先让di- -di+＝ 0，然后标出di- 及di+的增加方向（实际上
是目标值减少与增加的方向）。
n （3）按优先级的次序，逐级让目标规划 的目标函数中极小化偏差变量取0，从而 逐步缩小可行域，最后找出问题的解。
此问题即为多目标决策问题，目标规划就是解这类 问题的方法。
A
B
限量
原材料（kg)
2
1
11
设备（台时）
1
2
10
单位利润
8
10
•minZ=P1 d1+ +P2 (d2-+ d2+) +P3 d3-
OR2
运筹学——目标规划
例2的解法
解：问题分析：找差别、定概念（与单目标规划相 比）
1）绝对约束：必须严格满足的等式约束和不 等式约束，称之为绝对约束。
OR2
运筹学——目标规划
n 例4：
OR2
运筹学——目标规划
5.3 目标规划的单纯形解法
n 考虑目标规划数学模型的一些特点，作以下规定：
n 1）因目标函数为求最小化，所以要求
n 2）因非基变量检验数中含有不同等级的
优先因子，即
，因
p1≫p2≫…≫pk；从每个检验数的整体看： 检验数的正、负首先决定于p1的系数a1j的 正负，若a1j＝0， 则此检验数的正、负就决定于p2的系数 a2j的正负，依次类推。
minZ=P1 d1+ +P2 (d2-+ d2+) +P3 d3-
运筹学第五章_目标规划
第一节目标规划实例与模型
看起来有 点繁～ 有点 ‘烦’… … …★
因此其目标规划的数学模型： minz=p1d1++p2(d2-+d2+)+p3d3s.t 2x1+x2≤11 x1-x2+d1--d1+=0 x1+2x2+d2--d2+=10 8x1+10x2+d3--d3+=56 x1,x2≥0,di-,di+≥0，i=1,2,3
第一节目标规划实例与模型
(5)目标函数—准则函数 目标函数是由各目标约束的正负偏差变量及其相应 的优先级、权因子构成的函数，且对这个函数求极小值， 其中不包含决策变量xi.因为决策者的愿望总是希望尽可能 缩小偏差，使目标尽可能达到理想值，因此目标函数总是 极小化。有三种基本形式：
第一节目标规划实例与模型
第一节目标规划实例与模型
(4)优先级与权因子 多个目标之间有主次缓急之分，凡要求首先达到的目 标，赋于优先级p1,要求第2位达到的目标赋于优先级 p2,…设共有k0个优先级则规定 p1>>p2>>p3……Pk0>0 P1优先级远远高于p2,p3，只有当p1级完成优化后，再考 虑p2,p3。反之p2在优化时不能破坏p1级的优先值，p3级 在优化时不能破坏p1,p2已达到的优值 由于绝对约束是必须满足的约束，因此与绝对约束相 应的目标函数总是放在p1级
第一节目标规划实例与模型
该问题的决策目标是： （1）总利润最大； （2）尽可能少加工； （3）尽可能多销售电扇； （4）生产数量不能超过预销售数量。 （5）绝对目标约束。所谓绝对目标约束就是必须要严格 满足的约束。绝对目标约束是最高优先级，在考虑较低 优先级的目标之前它们必须首先得到满足。
第五章目标规划
如果工厂经营目标的期望值和优先等级如下： 如果工厂经营目标的期望值和优先等级如下： P1：经理希望每周总利润恰好为 经理希望每周总利润恰好为5000元； 元 P2：因合同要求，A型机每周至少生产 台，B型机每周至少 因合同要求， 型机每周至少生产 型机每周至少生产20台 型机每周至少 生产30台 以利润作为权系数）； 生产 台（以利润作为权系数）； P3：工序Ⅱ的生产时间最好用足，甚至可适当加班。 工序Ⅱ的生产时间最好用足，甚至可适当加班。 试建立这个问题的目标规划模型。 试建立这个问题的目标规划模型。
L
K
(
+ k
)
n − + ∑ c kj x j + d k − d k = g k , k = 1,2,..., K j =1 n ∑ aij x j ≤ (=, ≥ )bi , i = 1,2,..., m j =1 x j ≥ 0, j = 1,2,...n d k− , d k+ ≥ 0, k = 1,2,..., K
该厂的目标是： 该厂的目标是： 1、充分利用装配线，避免开工不足。 、充分利用装配线，避免开工不足。 2、允许装配线加班，但尽量不超过10小时。 、允许装配线加班，但尽量不超过 小时 小时。 3、装配电视机的数量尽量满足市场需求。 、装配电视机的数量尽量满足市场需求。
例
车间 产品
甲
乙
பைடு நூலகம்
有效工时
金工 装配 收益
4 2
100
2 4
80 2x1+4x2 ≤ 500 4x1+2x2 ≤ 400
400 500
LP： maxz=100x1 + 80x2
x1 , x2≥ 0 x* =(50,100)
运筹学基础-目标规划
§5.1
目标规划问题的提出与目标规划模型
一、问题的提出
【引例1】某生物药厂需在市场上采购某种原料，现市场上有甲、乙
两个等级，单价分别为2千元/kg和1千元/kg，要求采购的总费用不得 超过20万元，购得原料的总重量不少于100kg，而甲级原料又不得少 于50kg，问如何确定最好的采购方案（即用最少的钱、采购最多数量 的原料）。 分析：这是一个含有两个目标的数学规划问题． 设x1、x2分别为采 购甲级、乙级原材料的数量（单位：kg）， y1为花掉的资金， y2为 所购原料总量．则： 2 x1 x2 200 x x 100 Miny1 2 x1 x2 1 2 目标函数为： Maxy x x 约束条件为： 2 1 2 x2 50 x1 , x2 0 注：此规划模型是一个多目标规划模型
（2）要求实际值小于目标值时，就是正偏差变量要尽可能地小，即 不希望d＋＞0，这时达成函数是：
min d
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（3）要求实际值大于目标值时，就是负偏差变量要尽可能地小，即 不希望d－＞0，这时达成函数是：
min d
目标规划
【例】
x1 x2 d d 0
设备负荷（台小时） 单位产品利润 (元)
分析:设x1、x2分别是计划期内甲、乙产品的产量．则该问 9.2 x1 4 x2 3600 题的数学模型为
max y1 70x1 120x2 max y2 x1 min y x 3 2
s.t. 4 x 5 x 2000 1 2 3 x1 10 x2 3000 x1 , x2 0
min d
17
目标规划
【又例】
运筹学课件 第五章-目标规划
第二步：建立决策目标约束
通过分析决策变量之间的关系以及决策变量与目标值之间 的关系，建立一组目标约束。并从所有的决策目标中，找 出绝对决策目标（即，如果不满足将导致最终结果无法实 现的目标），将这些目标作为第一优先级。而后再确定其 余目标的优先级。
第三步：建立指标偏差函数
目标规划的一般模型为：
其中
xj（ j 1,2,, n ）为决策变量；
Pk（ k 1,2,, K）为第k级优先因子； wkl , wkl 分别为第l 个目标约束的正负偏差变量的权
系数，在同一等级的目标中，根据对各因子考虑的先 后次序的不同，赋予不同权系数。
el（ l 1,2,, L）为目标的预期目标值；
d1+
d11+
1
1
-1
1
1
1
1
1
-1
-1
3
-1
1
-1
单纯形方法——解决
在选择最优列时，先从检验数栏中最优等级 P1 行开始寻找最大正检验数。 如 P1行内有最大正检验数，就确定它为最优列，进行迭代。直到 P1行内检验 数没有正值为止，再转入P2 行寻找最大检验数。如此继续下去，直到所有检 验数全部检查完毕。找关键行是常数项被最优列系数除所得数的最小值所在的行。
来实现；
模型建立
指标偏离函数
第一优先级 决策目标
正偏差：决策 值超过目标值的 偏差部分
负偏差：决策 值小于目标值 的偏差部分
(mx1,ixn2 ){P1(d1
d
2
),
P2
(d3
),
P3
(d4
),
P4
(d1
1.5d
2
通过分析决策变量之间的关系以及决策变量与目标值之间 的关系，建立一组目标约束。并从所有的决策目标中，找 出绝对决策目标（即，如果不满足将导致最终结果无法实 现的目标），将这些目标作为第一优先级。而后再确定其 余目标的优先级。
第三步：建立指标偏差函数
目标规划的一般模型为：
其中
xj（ j 1,2,, n ）为决策变量；
Pk（ k 1,2,, K）为第k级优先因子； wkl , wkl 分别为第l 个目标约束的正负偏差变量的权
系数，在同一等级的目标中，根据对各因子考虑的先 后次序的不同，赋予不同权系数。
el（ l 1,2,, L）为目标的预期目标值；
d1+
d11+
1
1
-1
1
1
1
1
1
-1
-1
3
-1
1
-1
单纯形方法——解决
在选择最优列时，先从检验数栏中最优等级 P1 行开始寻找最大正检验数。 如 P1行内有最大正检验数，就确定它为最优列，进行迭代。直到 P1行内检验 数没有正值为止，再转入P2 行寻找最大检验数。如此继续下去，直到所有检 验数全部检查完毕。找关键行是常数项被最优列系数除所得数的最小值所在的行。
来实现；
模型建立
指标偏离函数
第一优先级 决策目标
正偏差：决策 值超过目标值的 偏差部分
负偏差：决策 值小于目标值 的偏差部分
(mx1,ixn2 ){P1(d1
d
2
),
P2
(d3
),
P3
(d4
),
P4
(d1
1.5d
2
运筹学习题解答(chap5 目标规划)
第五章 目标规划一、建立下列问题的数学模型1、P164, 5.8 某种牌号的酒由三种等级的酒兑制而成。
已知各种等级的酒每天供应量和单位成本如下：等级I ：供应量1500单位/天，成本6元/单位；等级Ⅱ：供应量2000单位/天，成本4.5元/单位； 等级Ⅲ：供应量1000单位/天，成本3元/单位。
该种牌号的酒有三种商标（红、黄、蓝）各种商标酒的混合比及售价如表所示。
确定经营目标：P1：兑制要求配比必须严格满足；P2：企业获取尽可能多的利润； P3：红色商标酒产量每天不低于2000单位。
试对此问题建立相应的目标规划模型。
解：设红黄蓝分别为1、2、3号酒，ij x 表示i 号酒中j 原料的用量。
则依题意建立如下模型：-+-+-=33222)(min d P d d P Z.3,2,3,2,1,,0,,020000)(3)(5.4)(6)(8.4)(0.5)(5.5100020001500)%(10)%(50)%(20)%(70)%(50)%(103313121122332313322212312111333231232221131211332313322212312111333231313332313323222121232221231312111113121113==≥≥=+-++=+-++-++-++-++++++++≤++≤++≤++++≥++≤++≥++≤++≥++≤-+-+-+k j i d d x d d x x x d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k k ij2、P164, 5.9 某公司从三个产地1A ，2A ，3A 将产品运往四个销地1B ，2B ，3B ，4B .各产地的产量，各销地的销量，及各产地往各销地的运费单价如表所示。
运筹学第五章 目标规划
第五章 目标规划§5.1重点、难点提要一、目标规划的基本概念与模型特征 （1）目标规划的基本概念。
当人们在实践中遇到一些矛盾的目标，由于资源稀缺和其它原因，这些目标可能无法同时达到，可以把任何起作用的约束都称为“目标”。
无论它们是否达到，总的目的是要给出一个最优的结果，使之尽可能接近制定的目标。
目标规划是处理多目标的一种重要方法，人们把目标按重要性分成不同的优先等级，并对同一个优先等级中的不同目标赋权，使其在许多领域都有广泛应用。
在目标规划中至少有两个不同的目标；有两类变量：决策变量和偏差变量；两类约束：资源约束（也称硬约束）和目标约束（也称软约束）。
（2）模型特征。
目标规划的一般模型：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=≥==-+=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=+-===++--∑∑∑∑.,,2,1;0,;,,2,10,,2,1,,2,1..)(min 1111K k d d n j x K k g d d x c m i b x a t s d d P Z k k j n j k k k j kj i nj j ij Lr K k k rk k rk r ωω 其中r P 为目标优先因子，+-rk rk ωω,为目标权系数，+-k k d d ,为偏差变量。
1）正、负偏差变量,i i d d +-。
正偏差变量i d +表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量i d -表示决策值未达到目标值的部分。
因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，所以有0i i d d +-⨯=。
2）硬约束和软约束。
硬约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束；软约束是目标规划特有的。
我们可以把约束右端项看成是要努力追求的目标值，但允许发生正、负偏差，通过在约束中加入正、负偏差变量来表示努力的结果与目标的差距，于是称它们为目标约束。
3）优先因子与权系数。
一个规划问题通常有若干个目标，但决策者在要求达到这些目标时，是有主次或缓急之分的。
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3．目标的优先级与权系数。 优先因子 P1 >> P2 >> P3 … 对属于同一层次优先级的不同目标，按其重要程 度可分别乘上不同的权系数——一个具体数字，权 系数越大，表示目标越重要。
P1：力求使利润指标不低于12元； P2：Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产量需保持 1:1 的比例； P3：设备 B 必要时可以加班，但加班时间要控制； 设备A既要求充分利用，又尽可能不加班；且设备A 的重要性是设备B重要性的3倍。
(5.2a) (5.2b) 系统约束 (5.2c) 目标约束 (5.2d ) (5.2e)
n (i = 1," , m) ∑ aij x j ≤ (=, ≥)bi =1 jn (l ) − + + − c x d d (l = 1, ", L) ∑ j j l l = gl j =1 ( j = 1, ", n) x j ≥ 0 d − , d + ≥ 0 (l = 1, ", L) l l Pk : 第k级优先因子，k = 1,", K
运筹学讲义——第五章 目标规划
§1．问题的提出与目标规划的数学模型
目标规划通过以下几个方面来解决上述线性规划建模 中的局限性。 1．设置偏差变量，用来表明实际值同目标值之间的 差异。 d＋ —— 超出目标的差值，正偏差变量 d－ —— 未达到目标的差值，负偏差变量 实际值超出目标值 ： d－ ＝0， d＋ ＞0 实际值未达到目标值 ： d－ ＞0， d＋ ＝0 实际值等于目标值 ： d－ ＝0， d＋ ＝0 因此： d－ · d＋ ＝0
(1) ( 2) (3) (4) (5) ( 6)
满意解：x1=16/5，x2=12/5，利润68/5
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运筹学讲义——第五章 目标规划
§3．用单纯形法求解目标规划
【例3】用单纯形法求解下述目标规划问题： − + − + + min z = P ( d d ) P d 1 1 2 2 3
x1 + d1− − d1+ = 10 − + + d2 − d2 = 40 2 x1 + x2 − + + + − 3 x 2 x d d 2 3 3 = 100 1 − + x , x , d , d 1 2 i i ≥ 0 (i = 1,2,3) 第 1 步 : 列出初始单纯形表。由于目标规划中的 目标函数一定是求极小，为方便起见不转换成求极 大。又由于各目标约束中的负偏差变量其系数均为 单位向量，全部负偏差变量的系数列向量构成一个 17 基。
2
运筹学讲义——第五章 目标规划
§1．问题的提出与目标规划的数学模型
其他目标： （1）力求使利润指标不低于12元； （2）考虑到市场需求，Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产量需保持 1:1的比例； （3）C和D为贵重设备，严格禁止超时使用； （4）设备B必要时可以加班，但加班时间要控制；设备 A既要求充分利用，又尽可能不加班。 线性规划模型的局限性: 第一，要求问题的解必须满足全部约束条件； 第二，只能处理单目标的优化问题； 第三，各个约束条件都处于同等重要地位； 第四，寻求最优解，但很多实际问题中只需找出满意解 3 就可以。
运筹学讲义——第五章 目标规划
§1．问题的提出与目标规划的数学模型
当产品Ⅰ产量小于产品Ⅱ产量，有负偏差d－ ： x 1 ＋ d－ = x 2 ，即 x 1 － x 2 ＋ d－ = 0 当产品Ⅰ产量大于产品Ⅱ产量，有正偏差d＋ ： x 1 － d＋ = x 2 ，即 x 1 － x 2 － d＋ = 0 因正负偏差不可能同时出现，故 x 1 － x 2 ＋ d － － d＋ = 0 若希望产品Ⅰ产量不低于产品Ⅱ产量，即不希 望 d－ ＞0 ，目标约束为：
运筹学讲义——第五章 目标规划
第五章 目标规划
1．问题的提出与目标规划的数学模型 2．目标规划的图解分析法 3．用单纯形法求解目标规划 §1．问题的提出与目标规划的数学模型 多目标决策问题——多目标线性规划——目标 规划 目标规划（ goal programming）：强调系统 性，寻找一个“尽可能”满足所有目标的解，而不 是绝对满足这些目标。
1
运筹学讲义——第五章 目标规划
§1．问题的提出与目标规划的数学模型
【例1】 某企业计划生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。这两种产 品都要分别在 A、B、C、D四种不同设备上加工。按工艺 资料规定，生产每件产品Ⅰ需占用各设备分别为 2 、 1、 4、 0h，生产每件产品Ⅱ，需占用各设备分别为 2、2、0、4h。 已知各设备计划期内用于生产这两种产品的能力分别为12、 8 、 16、 12h，又知每生产一件产品Ⅰ企业能获得 2元利润， 每生产一件产品Ⅱ企业能获得 3 元利润，问该企业应安排 生产两种产品各多少件，使总的利润收入为最大。 目标函数 max z = 2 x1+3 x2 约束条件 2x1 + 2x2 ≤ 12 x1 + 2x2 ≤ 8 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x1、 x2 ≥ 0
− + wkl , wkl : 赋予第l个目标约束的正负偏差变量权系数
g l : 第l个目标的预期目标值，l = 1,", L
12
运筹学讲义——第五章 目标规划
§2．目标规划的图解分析法
适用于模型中只含有两个变量（偏差变量不计 入）的目标规划问题。
− + − + − + min z = P d P ( d d ) 3 P ( d d ) p d + + + + + 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4
10
运筹学讲义——第五章 目标规划
§1．问题的提出与目标规划的数学模型
目标规划适用于多个目标并且还可以带有从 属目标的规划问题。 目标规划的一般数学模型可表示为：
11
运筹学讲义——第五章 目标规划
§1．问题的提出与目标规划的数学模型
− − + + min z = ∑ Pk ∑ ( wkl d l + wkl dl ) k =1 l =1 K L
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
满意解：x1 = 3 ，x2 =3，利润 15
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运筹学讲义——第五章 目标规划
§2．目标规划的图解分析法
+ − − = + + min z P ( d d ) P d 【例 2 】企业重新调整 1 2 2 2 1 + 经营目标 + P3 (d 3+ + d 3− ) + 3P3 d 4 P1：产品Ⅰ、Ⅱ的 4 x1 ≤ 16 产量应尽量满足4 : 3； ≤ 12 4 x2 P2：利润指标不低 2 x + 3 x + d − − d + = 12 1 2 1 1 于12元； − + − + − 3 x 4 x d d 1 2 2 2 =0 P3：设备A充分利用 2 x1 + 2 x2 + d 3− − d 3+ = 12 并不超负荷，设备B允 − + + + − x 2 x d d 2 4 4 =8 许加班，但权系数改为 1 − + x , x , d , d 设备A为1，设备B为3。 1 2 i i ≥ 0 (i = 1,",4)
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运筹学讲义——第五章 目标规划
§2．目标规划的图解分析法
− + − min z = P d P ( d d + + 1 1 2 2 2) + + 3P3 (d 3+ + d 3− ) + p3d 4
≤ 16 4 x1 4 x2 ≤ 12 2 x1 + 3x2 + d1− − d1+ = 12 − + x1 − x2 + d 2 − d 2 = 0 − + 2 x 2 x d d + + − = 12 1 2 3 3 x + 2x + d − − d + = 8 2 4 4 1 − + x1 , x2 , d i , d i ≥ 0 (i = 1,",4)
{ }
min d + − + x 2 x d d + + − =8 2 1
（4）设备A既要求充分利用，又尽可能不加班
{ }
min d − + d + − + + + − = 12 2 x 2 x d d 2 1
{
}
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运筹学讲义——第五章 目标规划
§1．问题的提出与目标规划的数学模型
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运筹学讲义——第五章 目标规划
§1．问题的提出与目标规划的数学模型
− + − + − + + + + + + min z = P d P ( d d ) 3 P ( d d ) p d 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4
≤ 16 4 x1 ≤ 12 4 x2 2 x1 + 3x2 + d1− − d1+ = 12 力求使利润指标不低于12元 − + − + − x x d d 两种产品的产量保持1： 1 1 2 2 2 =0 2 x + 2 x + d − − d + = 12 设备A要充分利用且尽可能不加班 1 2 3 3 − + − d4 =8 设备B必要时可以加班，但时间要控制 x1 + 2 x2 + d 4 − + x , x , d , d (i = 1, ",4) A的重要性是B重要性的3倍 1 2 i i ≥0
P1：力求使利润指标不低于12元； P2：Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产量需保持 1:1 的比例； P3：设备 B 必要时可以加班，但加班时间要控制； 设备A既要求充分利用，又尽可能不加班；且设备A 的重要性是设备B重要性的3倍。
(5.2a) (5.2b) 系统约束 (5.2c) 目标约束 (5.2d ) (5.2e)
n (i = 1," , m) ∑ aij x j ≤ (=, ≥)bi =1 jn (l ) − + + − c x d d (l = 1, ", L) ∑ j j l l = gl j =1 ( j = 1, ", n) x j ≥ 0 d − , d + ≥ 0 (l = 1, ", L) l l Pk : 第k级优先因子，k = 1,", K
运筹学讲义——第五章 目标规划
§1．问题的提出与目标规划的数学模型
目标规划通过以下几个方面来解决上述线性规划建模 中的局限性。 1．设置偏差变量，用来表明实际值同目标值之间的 差异。 d＋ —— 超出目标的差值，正偏差变量 d－ —— 未达到目标的差值，负偏差变量 实际值超出目标值 ： d－ ＝0， d＋ ＞0 实际值未达到目标值 ： d－ ＞0， d＋ ＝0 实际值等于目标值 ： d－ ＝0， d＋ ＝0 因此： d－ · d＋ ＝0
(1) ( 2) (3) (4) (5) ( 6)
满意解：x1=16/5，x2=12/5，利润68/5
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运筹学讲义——第五章 目标规划
§3．用单纯形法求解目标规划
【例3】用单纯形法求解下述目标规划问题： − + − + + min z = P ( d d ) P d 1 1 2 2 3
x1 + d1− − d1+ = 10 − + + d2 − d2 = 40 2 x1 + x2 − + + + − 3 x 2 x d d 2 3 3 = 100 1 − + x , x , d , d 1 2 i i ≥ 0 (i = 1,2,3) 第 1 步 : 列出初始单纯形表。由于目标规划中的 目标函数一定是求极小，为方便起见不转换成求极 大。又由于各目标约束中的负偏差变量其系数均为 单位向量，全部负偏差变量的系数列向量构成一个 17 基。
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运筹学讲义——第五章 目标规划
§1．问题的提出与目标规划的数学模型
其他目标： （1）力求使利润指标不低于12元； （2）考虑到市场需求，Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产量需保持 1:1的比例； （3）C和D为贵重设备，严格禁止超时使用； （4）设备B必要时可以加班，但加班时间要控制；设备 A既要求充分利用，又尽可能不加班。 线性规划模型的局限性: 第一，要求问题的解必须满足全部约束条件； 第二，只能处理单目标的优化问题； 第三，各个约束条件都处于同等重要地位； 第四，寻求最优解，但很多实际问题中只需找出满意解 3 就可以。
运筹学讲义——第五章 目标规划
§1．问题的提出与目标规划的数学模型
当产品Ⅰ产量小于产品Ⅱ产量，有负偏差d－ ： x 1 ＋ d－ = x 2 ，即 x 1 － x 2 ＋ d－ = 0 当产品Ⅰ产量大于产品Ⅱ产量，有正偏差d＋ ： x 1 － d＋ = x 2 ，即 x 1 － x 2 － d＋ = 0 因正负偏差不可能同时出现，故 x 1 － x 2 ＋ d － － d＋ = 0 若希望产品Ⅰ产量不低于产品Ⅱ产量，即不希 望 d－ ＞0 ，目标约束为：
运筹学讲义——第五章 目标规划
第五章 目标规划
1．问题的提出与目标规划的数学模型 2．目标规划的图解分析法 3．用单纯形法求解目标规划 §1．问题的提出与目标规划的数学模型 多目标决策问题——多目标线性规划——目标 规划 目标规划（ goal programming）：强调系统 性，寻找一个“尽可能”满足所有目标的解，而不 是绝对满足这些目标。
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运筹学讲义——第五章 目标规划
§1．问题的提出与目标规划的数学模型
【例1】 某企业计划生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。这两种产 品都要分别在 A、B、C、D四种不同设备上加工。按工艺 资料规定，生产每件产品Ⅰ需占用各设备分别为 2 、 1、 4、 0h，生产每件产品Ⅱ，需占用各设备分别为 2、2、0、4h。 已知各设备计划期内用于生产这两种产品的能力分别为12、 8 、 16、 12h，又知每生产一件产品Ⅰ企业能获得 2元利润， 每生产一件产品Ⅱ企业能获得 3 元利润，问该企业应安排 生产两种产品各多少件，使总的利润收入为最大。 目标函数 max z = 2 x1+3 x2 约束条件 2x1 + 2x2 ≤ 12 x1 + 2x2 ≤ 8 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x1、 x2 ≥ 0
− + wkl , wkl : 赋予第l个目标约束的正负偏差变量权系数
g l : 第l个目标的预期目标值，l = 1,", L
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运筹学讲义——第五章 目标规划
§2．目标规划的图解分析法
适用于模型中只含有两个变量（偏差变量不计 入）的目标规划问题。
− + − + − + min z = P d P ( d d ) 3 P ( d d ) p d + + + + + 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4
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§1．问题的提出与目标规划的数学模型
目标规划适用于多个目标并且还可以带有从 属目标的规划问题。 目标规划的一般数学模型可表示为：
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§1．问题的提出与目标规划的数学模型
− − + + min z = ∑ Pk ∑ ( wkl d l + wkl dl ) k =1 l =1 K L
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
满意解：x1 = 3 ，x2 =3，利润 15
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§2．目标规划的图解分析法
+ − − = + + min z P ( d d ) P d 【例 2 】企业重新调整 1 2 2 2 1 + 经营目标 + P3 (d 3+ + d 3− ) + 3P3 d 4 P1：产品Ⅰ、Ⅱ的 4 x1 ≤ 16 产量应尽量满足4 : 3； ≤ 12 4 x2 P2：利润指标不低 2 x + 3 x + d − − d + = 12 1 2 1 1 于12元； − + − + − 3 x 4 x d d 1 2 2 2 =0 P3：设备A充分利用 2 x1 + 2 x2 + d 3− − d 3+ = 12 并不超负荷，设备B允 − + + + − x 2 x d d 2 4 4 =8 许加班，但权系数改为 1 − + x , x , d , d 设备A为1，设备B为3。 1 2 i i ≥ 0 (i = 1,",4)
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§2．目标规划的图解分析法
− + − min z = P d P ( d d + + 1 1 2 2 2) + + 3P3 (d 3+ + d 3− ) + p3d 4
≤ 16 4 x1 4 x2 ≤ 12 2 x1 + 3x2 + d1− − d1+ = 12 − + x1 − x2 + d 2 − d 2 = 0 − + 2 x 2 x d d + + − = 12 1 2 3 3 x + 2x + d − − d + = 8 2 4 4 1 − + x1 , x2 , d i , d i ≥ 0 (i = 1,",4)
{ }
min d + − + x 2 x d d + + − =8 2 1
（4）设备A既要求充分利用，又尽可能不加班
{ }
min d − + d + − + + + − = 12 2 x 2 x d d 2 1
{
}
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§1．问题的提出与目标规划的数学模型
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运筹学讲义——第五章 目标规划
§1．问题的提出与目标规划的数学模型
− + − + − + + + + + + min z = P d P ( d d ) 3 P ( d d ) p d 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4
≤ 16 4 x1 ≤ 12 4 x2 2 x1 + 3x2 + d1− − d1+ = 12 力求使利润指标不低于12元 − + − + − x x d d 两种产品的产量保持1： 1 1 2 2 2 =0 2 x + 2 x + d − − d + = 12 设备A要充分利用且尽可能不加班 1 2 3 3 − + − d4 =8 设备B必要时可以加班，但时间要控制 x1 + 2 x2 + d 4 − + x , x , d , d (i = 1, ",4) A的重要性是B重要性的3倍 1 2 i i ≥0