2020年四川省成都市双流中学高考数学一模试卷(一)(有答案解析)
2020年四川省成都市双流中学高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(含解析)
2020年四川省成都市双流中学高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.已知集合A ={x||x|<2}，集合B ={−1, 0, 1, 2, 3}，则A ∩B =（ ） A.{0, 1} B.{0, 1, 2} C.{−1, 0, 1} D.{−1, 0, 1, 2}2.设复数z 满足(1−i)z ＝3+i ，则|z|＝（ ） A.√2 B.√3 C.√5 D.√63.已知a →,b →均为单位向量，若|2a →−b →|=√3，则a →与b →的夹角为（ ） A.π6 B.π3C.π2D.2π34.若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝−1，a 4＝b 4＝8，a2b 2=()A.−4B.−1C.1D.45.命题“若△ABC 的三个内角构成等差数列，则△ABC 必有一内角为π3”的否命题（ ）A.与原命题真假相异B.与原命题真假相同C.与原命题的逆否命题的真假不同 D .与原命题的逆命题真假相异6.已知实数x ，y 满足线性约束条件{x ≥1x +y ≥0x −y +2≥0 ，则z ＝2x +y 的最小值为（ ） A.−1 B.1C.−5D.57.中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法．古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币（如图1）做统计，现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为2cm ，正方形的边长为1cm ，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是P ，则圆周率π的近似值为（ ）A.14(1−p) B.11−pC.11−4pD.41−p8.将函数y ＝sinωx （其中ω>0）的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点(3π4,0)，则ω的最小值是（ ） A.13 B.1C.53D.29.在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC =π2，D 是AC 的中点，E 在BC 上，且AE ⊥BD ，则AE →⋅BC →=() A.16 B.12C.8D.−410.直线l 是圆x 2+y 2＝4在(−1, −√3)处的切线，点P 是圆x 2−4x +y 2+3＝0上的动点，则P 到l 的距离的最小值等于（ ） A.√3 B.2C.3D.411.如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF // 平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为（ ）A.[√2,√3]B.[√2,√5]C.[√2,√6]D.[√2,√7]12.已知点F 1，F 2分别是双曲线C:x 2−y 2b 2=1(b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足|F 1F 2|＝2|OP|，tan∠PF 2F 1≥3，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ） A.(1, √102] B.[√102,+∞) C.(1, √102) D.(√102, 2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡上的相应位置.13.设曲线y ＝ax +e x 在点(0, 1)处的切线方程为3x −y +1＝0，则a ＝________．14.若4sinα−3cosα＝0，则sin2α+2cos 2α＝________．15.若椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与圆C 1:x 2+y 2＝9和圆C 2:x 2+y 2＝8均有且只有两个公共点，则椭圆C 的标准方程是________．16.已知三棱锥S −ABC 的各顶点都在同一个球面上，△ABC 所在截面圆的圆心O 在AB 上，SO ⊥面ABC ，AC ＝1，BC =√3，若三棱锥的体积是√33，则该球体的球心到棱AC 的距离是________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，a 2⋅a 4＝8，S 5＝15；等比数列{b n }的前n 项和T n =2n −1． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）当{a n }各项为正时，设c n ＝a n ⋅b n ，求数列{c n }的前n 项和．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形AB // CD，∠ABC＝∠BCD＝90∘，BC＝CD=AB2=2．（1）证明：BD⊥PD；（2）若△PAD为正三角形，求C点到平面PBD的距离．19.为了了解居民的家庭收人情况，某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了n户家庭进行问卷调查．经调查发现，这些家庭的月收人在5000元到8000元之间，根据统计数据作出如图所示的频率分布直方图．已知图中从左至右第一、三、四小组的频率之比为1:3:6，且第四小组的频数为18．（1）求n；（2）求这n户家庭月收人的众数与中位数（结果精确到0.1）；（3）这n户家庭月收入在第一、二、三小组的家庭中，用分层抽样的方法任意抽取6户家庭，并从这6户家庭中随机抽取2户家庭进行慰问，求这2户家庭月收入都不超过6000元的概率．20.已知椭圆C:x 2a +y2b=1(a>b>0)的短轴顶点分别为A，B，且短轴长为2，T为椭圆上异于A，B的任意一点，直线TA，TB的斜率之积为−13．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，圆O:x2+y2=34的切线l与椭圆C相交于P，Q两点，求△POQ面积的最大值．21.函数f(x)＝a2lnx−a2+a2x2+ax(a≠0)．（1）当a＝−1时，求f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1+2cosαy=√3+2sinα（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝4sinθ（1）写出曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若射线OM:θ＝α0(ρ≥0)平分曲线C1，且与曲线C2交于点A，曲线C2上的点B满足∠AOB=π2，求|AB|．23.已知a>0，b>0，且a2+b2＝1．（1）证明：(1a +1b)(a5+b5)≥1；（2）若1a2+4b2≥|2x−1|−|x−1|恒成立，求x的取值范围．2020年四川省成都市双流中学高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.已知集合A ={x||x|<2}，集合B ={−1, 0, 1, 2, 3}，则A ∩B =() A.{0, 1} B.{0, 1, 2} C.{−1, 0, 1} D.{−1, 0, 1, 2}【解答】解：∵集合A ={x||x|<2}={x|−2<x <2}， B ={−1, 0, 1, 2, 3}， ∴A ∩B ={−1, 0, 1}． 故选C .2.设复数z 满足(1−i)z ＝3+i ，则|z|＝（ ） A.√2 B.√3 C.√5 D.√6【解答】由(1−i)z ＝3+i ， 得z =3+i1−i =(3+i)(1+i)(1−i)(1+i)=2+4i 2=1+2i ，则|z|=√1+22=√5．3.已知a →,b →均为单位向量，若|2a →−b →|=√3，则a →与b →的夹角为（ ） A.π6 B.π3C.π2D.2π3【解答】由a →,b →为单位向量，且|2a →−b →|=√3， 所以(2a →−b →)2=3， 即4a →2−4a →⋅b →+b →2=3； 设a →与b →的夹角为θ， 则4−4cosθ+1＝3， 解得cosθ=12； 又θ∈[0, π]， 所以θ=π3．4.若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝b1＝−1，a4＝b4＝8，a2b2=() A.−4 B.−1 C.1 D.4【解答】等差数列{a n}的公差设为d和等比数列{b n}的公比设为q，由a1＝b1＝−1，a4＝b4＝8，可得−1+3d＝−q3＝8，可得d＝3，q＝−2，则a2b2=−1+3−(−2)=1，5.命题“若△ABC的三个内角构成等差数列，则△ABC必有一内角为π3”的否命题（）A.与原命题真假相异B.与原命题真假相同C.与原命题的逆否命题的真假不同D.与原命题的逆命题真假相异【解答】原命题“若△ABC的三个内角构成等差数列，则△ABC必有一内角为π3”；若A，B，C成等差数列，则A+C＝2B，又A+C+B＝3B＝π；解得B=π3；故其为真命题；否命题：“若△ABC的三个内角不能构成等差数列，则△ABC任意内角均不为π3”根据互为逆否命题的两命题同真假，否命题与逆命题互为逆否命题，即可以研究其逆命题的真假；逆命题为：若△ABC有一内角为π3，则△ABC的三个内角构成等差数列”；若△ABC有一内角为π3，不妨设B=π3，则A+C＝π−B=2π3=2B；所以A+C＝2B；即△ABC的三个内角构成等差数列；所以其逆命题为真；则否命题为真；6.已知实数x，y满足线性约束条件{x≥1x+y≥0x−y+2≥0，则z＝2x+y的最小值为（）A.−1B.1C.−5D.5【解答】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：z＝2x+y，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：{x=1x+y=1，可得点的坐标为：A(1, −1)，据此可知目标函数的最小值为：z＝2x+y＝2−1＝1．7.中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法．古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币（如图1）做统计，现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为2cm，正方形的边长为1cm，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是P，则圆周率π的近似值为（）A.14(1−p)B.11−pC.11−4pD.41−p【解答】圆形钱币的半径为2cm，面积为S圆＝π⋅22＝4π；正方形边长为1cm，面积为S正方形＝12＝1．在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是P=S−SS =1−14π，则π=14(1−p)．8.将函数y＝sinωx（其中ω>0）的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点(3π4,0)，则ω的最小值是（ ） A.13 B.1C.53D.2【解答】将函数y ＝sinωx （其中ω>0）的图象向右平移π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝sinω(x −π4)．再由所得图象经过点(3π4,0)可得sinω(3π4−π4)＝sin(ωπ2)＝0，∴ω⋅π2=kπ，k ∈z ．故ω的最小值是2，9.在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC =π2，D 是AC 的中点，E 在BC 上，且AE ⊥BD ，则AE →⋅BC →=() A.16 B.12C.8D.−4【解答】建立平面直角坐标系，如图所示；则A(0, 4)，B(0, 0)，C(6, 0)，D(3, 2)， 设E(x, 0)，则AE →=(x, −4)，BD →=(3, 2)， 由AE ⊥BD ，得AE →⋅BD →=3x −8＝0，解得x =83， ∴AE →=(83, −4)； 又BC →=(6, 0)，∴AE →⋅BC →=83×6−4×0＝16．10.直线l 是圆x 2+y 2＝4在(−1, −√3)处的切线，点P 是圆x 2−4x +y 2+3＝0上的动点，则P 到l 的距离的最小值等于（ ） A.√3B.2C.3D.4【解答】根据题意，直线l 是圆x 2+y 2＝4在(−1, −√3)处的切线，则直线l 的方程为−x −√3y ＝4，变形可得x +√3y +4＝0，圆x 2−4x +y 2+3＝0，即(x −2)2+y 2＝1，其圆心为(2, 0)，半径r ＝1， 点P 是圆x 2−4x +y 2+3＝0上的动点，则圆心到直线l 的距离d =√1+3=3，则P 到l 的距离的最小值d −r ＝3−1＝2；11.如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF // 平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为（ ）A.[√2,√3]B.[√2,√5]C.[√2,√6]D.[√2,√7]【解答】取AD 的中点N ，A 1D 1的中点M ，连结MN ，NE ，ME ， 则NE // BD ，MN // DD 1， ∴平面MNE // 平面BDD 1B 1，∴当F 在线段MN 上时，EF 始终与平面BB 1D 1D 平行， 故EF 的最小值为NE =√2，最大值为ME =√4+2=√6．12.已知点F 1，F 2分别是双曲线C:x 2−y 2b =1(b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足|F 1F 2|＝2|OP|，tan∠PF 2F 1≥3，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ） A.(1, √102] B.[√102,+∞) C.(1, √102) D.(√102, 2] 【解答】∵|F 1F 2|＝2|OP|，∴|OP|＝c ，根据三角形的性质可知，△PF 1F 2为直角三角形，则PF 1⊥PF 2， ∴|PF 1|2+|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，①由双曲线的定义可得：|PF1|−|PF2|＝2a，即|PF1|＝|PF2|+2a，②将②代入①得：(|PF2|+2a)2+|PF2|2＝4c2，整理可得|PF2|2+2a|PF2|＝2c2−2a2，配方可得(|PF2|+a)2＝2c2−a2，又tan∠PF2F1=|PF1||PF2|≥3，③，则|PF1|≥3|PF2|，结合②得0<|PF2|≤a，则两边同时加上a得：a<|PF2|+a≤2a，即有a2<(|PF2|+a)2≤4a2，所以a2<2c2−a2≤4a2，解得a<c≤√102a即1<e≤√102二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡上的相应位置.13.设曲线y＝ax+e x在点(0, 1)处的切线方程为3x−y+1＝0，则a＝________．【解答】由已知得f′(x)＝a+e x，∴f′(0)＝a+1．因为切线斜率为3．∴a+1＝3，所以a＝2．14.若4sinα−3cosα＝0，则sin2α+2cos2α＝________．【解答】∵4sinα−3cosα＝0，∴可得tanα=sinαcosα=34，∴sin2α+2cos2α=2sinαcosα+2cos2αsin2α+cos2α=2tanα+2tan2α+1=2×34+2916+1=5625．15.若椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)与圆C1:x2+y2＝9和圆C2:x2+y2＝8均有且只有两个公共点，则椭圆C的标准方程是________x 29+y28=1．【解答】椭圆C:x 2a +y2b=1(a>b>0)与圆C1:x2+y2＝9和圆C2:x2+y2＝8均有且只有两个公共点，所以a＝3，b＝2√2，所以椭圆方程为：x 29+y28=1，16.已知三棱锥S−ABC的各顶点都在同一个球面上，△ABC所在截面圆的圆心O在AB上，SO⊥面ABC，AC＝1，BC=√3，若三棱锥的体积是√33，则该球体的球心到棱AC的距离是________．【解答】∵，△ABC所在截面圆的圆心O在AB上，SO⊥面ABC，AC＝1，BC=√3，若三棱锥的体积是√33，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90∘，△ABC外接圆的半径为12AB=12×√1+3=1，设球心为O1，半径为R，过O作OD⊥AC于点D，连接O1D，∵SO⊥面ABC，AD在平面ABC内，∴SO⊥AD，又OD⊥AD，OD在平面SOD内，SO在平面SOD内，SO∩OD＝O，∴AD⊥平面SOD，∵O1D在平面SOD内，∴AD⊥O1D，则O1D为球心到棱AC的距离，依题意可得OD=12BC=√32，∴13×12×√3×1×SO=√33，∴SO＝2，则R=√1+(2−R)2，∴R=54，∴OO1=SO−R=2−54=34，O1D=√OO12+OD2=√214．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{a n}中，S n为其前n项和，a2⋅a4＝8，S5＝15；等比数列{b n}的前n项和T n=2n−1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）当{a n}各项为正时，设c n＝a n⋅b n，求数列{c n}的前n项和．【解答】由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则{(a1+d)(a1+3d)=85a1+5×42⋅d=15，解得{a1=1d=1，或{a1=5d=−1．∴数列{a n}的通项公式为a n＝n，或a n＝6−n．对于等比数列{b n}，当n＝1时，b1＝21−1＝1，当n≥2时，b n＝T n−T n−1＝2n−1−2n−1−1＝2n−1．∴数列{b n}的通项公式为b n＝2n−1．由题意即（1）知，a n＝n，则c n＝a n⋅b n＝n⋅2n−1．设数列{c n}的前n项和为X n，则X n＝c1+c2+...+c n＝1⋅1+2⋅2+3⋅22+...+n⋅2n−1．2X n＝1⋅2+2⋅22+...+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n两式相减，可得−n⋅2n＝(1−n)⋅2n−1，−X n＝1+2+22+...+2n−1−n⋅2n=1−2n1−2∴X n＝(n−1)⋅2n+1．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形=2．AB // CD，∠ABC＝∠BCD＝90∘，BC＝CD=AB2（1）证明：BD⊥PD；（2）若△PAD为正三角形，求C点到平面PBD的距离．【解答】证明：因为BC＝CD＝2，AB＝4，又底面ABCD为直角梯形，∴AD=2√2,BD=2√2,AD2+BD2=AB2，∴BD⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，∴BD⊥平面PAD，又PD在平面PAD内，∴BD⊥PD；因为侧面PAD⊥底面ABCD，△PAD为等边三角形，取AD的中点M，连接PM，∴PM⊥平面ABCD，PM=√6，∴V P−BCD=13PM⋅S△BCD=13×√6×12×2×2=2√63，设C点到面PBD的距离为为d，则V P−BCD=13dS△PBD=13d⋅12⋅2√2⋅2√2=2√63，∴d=√62．19.为了了解居民的家庭收人情况，某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了n户家庭进行问卷调查．经调查发现，这些家庭的月收人在5000元到8000元之间，根据统计数据作出如图所示的频率分布直方图．已知图中从左至右第一、三、四小组的频率之比为1:3:6，且第四小组的频数为18．（1）求n；（2）求这n户家庭月收人的众数与中位数（结果精确到0.1）；（3）这n户家庭月收入在第一、二、三小组的家庭中，用分层抽样的方法任意抽取6户家庭，并从这6户家庭中随机抽取2户家庭进行慰问，求这2户家庭月收入都不超过6000元的概率．【解答】设从左至右第一、三、四小组的频率分别为p1，p2，p3，则由题意可知：{p2=3p1p3=6p1p1+p2+p3+(0.02+0.04+0.04)×5=1，解得：{p1=0.05p2=0.15p3=0.3，从而n=180.3=60；由于第四小组的频率最大，故这n户家庭月收入的众数为65+702=67.5，由于前4组的频率之和为：0.05+0.1+0.15+0.3＝0.6>0.5，故这n户家庭月收入的中位数应落在第四小组，设中位数为x，则0.05+0.1+0.15+x−652×0.3=0.5，解得：x＝66.3；因为家庭月收入在第一、二、三小组的家庭分别有3，6，9户，按照分层抽样的方法分别抽取1，2，3户，第一组记为a ，第二组记为b ，c ，第三组记为d ，e ，f ，从中随机抽取2户家庭的方法共有(a, b)，(a, c)，(a, d)，(a, e)，(a, f)，(b, c)，(b, d)，(b, e)，(b, f)，(c, d)，(c, e)，(c, f)，(d, e)，(d, f)，(e, f)共有15种，其中这2户家庭月收入都不超过6000元的有：(a, b)，(a, c)，(a, d)，(a, e)，(a, f)，(b, c)，(b, d)，(b, e)，(b, f)，(c, d)，(c, e)，(c, f)，共12种， 所以这2户家庭月收入都不超过6000元的概率为P =1215=45．20.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的短轴顶点分别为A ，B ，且短轴长为2，T 为椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线TA ，TB 的斜率之积为−13． （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，圆O:x 2+y 2=34的切线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，求△POQ 面积的最大值． 【解答】由题意可知2b ＝2，b ＝1，A(0, 1)，B(0, −1)，设T(x 0, y 0)，满足x 02a 2+y 02=1，由k TA ⋅k TB =y 0−1x 0⋅y 0+1x 0=y 02−1x 02=−1a 2=−13，则a 2＝3，所以椭圆C 的方程：x 23+y 2=1；设直线PQ 的方程：x ＝my +t ，P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)， 由O 到直线PQ 的距离d =√2=√32，即t 2=34(1+m 2)，联立方程组{x =my +tx 23+y 2=1，消去x ，整理得(m 2+3)y 2+2mty +t 2−3＝0，则△＝(2mt)2−4(m 2+3)(t 2−3)＝12(m 2−t 2+3)＝3(m 2+9)>0， y 1+y 2=−2mtm 2+3，y 1y 2=t 2−3m 2+3， 则|PQ|=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√3×√(1+m 2)(m 2+9)(m 2+3)2，由(1+m 2)(m 2+9)(m 2+3)2=13×(3+3m 2)(m 2+9)(m 2+3)2≤13×(3+3m 2+m 2+92)2(m 2+3)2=43，当且仅当3+3m 2＝m 2+9，即m 2＝3，m =±√3时取等号，所以|PQ|=√3×√(1+m 2)(m 2+9)(m 2+3)2≤√3×√3=2，所以△POQ 面积S =12×|PQ|×√32≤12×2×√32=√32， 所以△POQ 面积的最大值√32． 21.函数f(x)＝a 2lnx −a 2+a 2x 2+ax(a ≠0)．（1）当a ＝−1时，求f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围． 【解答】f(x)的定义域是(0, +∞)， a ＝−1时，f(x)＝lnx −x ，f′(x)=1−x x，令f′(x)>0，解得：x <1，令f′(x)<0，解得：x >1， 故f(x)在(0, 1)递增，在(1, +∞)递减； f′(x)=a 2x−(a 2+a)x +a =−a(x−1)[(a+1)x+a]x，①a >0时，(a +1)x +a >0，令f′(x)>0，解得：0<x <1，令f′(x)<0，解得：x >1， 故f(x)在x ＝1处取极大值； ②a ≤−1时，(a +1)x +a <0， f′(x)=−a(x−1)[(a+1)x+a]x，令f′(x)>0，解得：0<x <1，令f′(x)<0，解得：x >1， 故f(x)在x ＝1处取极大值； ③a =−12时，f′(x)=(x−1)24x≥0，则f(x)无极值；④−1<a <−12时，令f′(x)>0，解得：0<x <1或x >−aa+1， 令f′(x)<0，解得：1<x <−aa+1， 故f(x)在x ＝1处取极大值； ⑤−12<a <0时，令f′(x)>0，解得：0<x <−aa+1或x >1， 令f′(x)<0，解得：−aa+1<x <1，故f(x)在x ＝1处取极小值；综上，a 的范围是(−∞, −12)∪(0, +∞)．选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+2cosαy =√3+2sinα（α为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sinθ（1）写出曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）若射线OM:θ＝α0(ρ≥0)平分曲线C 1，且与曲线C 2交于点A ，曲线C 2上的点B 满足∠AOB =π2，求|AB|． 【解答】由曲线C 1的参数方程为{x =1+2cosαy =√3+2sinα （α为参数），得(x −1)2+(y −√3)2=4，整理得：x 2+y 2−2x −2√3y =0，∴ρ2−2ρcosθ−2√3ρsinθ=0，即ρ−2cosθ−2√3sinθ=0； 由ρcos 2θ＝4sinθ，得ρ2cos 2θ＝4ρsinθ， 即x 2＝4y ；曲线C 1是圆，射线OM 过圆心，∴射线OM 方程是θ=π3(ρ≥0)， 代入ρcos 2θ＝4sinθ，得ρA =4sinπ3cos 2π3=8√3，又∠AOB =π2，∴ρB =4sin5π6cos 25π6=83．∴|AB|=√ρA 2+ρB 2=√(8√3)2+(83)2=16√73． 23.已知a >0，b >0，且a 2+b 2＝1． （1）证明：(1a +1b )(a 5+b 5)≥1；（2）若1a 2+4b 2≥|2x −1|−|x −1|恒成立，求x 的取值范围． 【解答】证明：(1a +1b )(a 5+b 5)=a 4+b 4+b 5a+a 5b≥a 4+b 4+2√a 4b 4=(a 2+b 2)2=1；由a 2+b 2＝1得1a 2+4b 2=(1a 2+4b 2)(a 2+b 2)=5+b 2a 2+4a 2b 2≥9，当且仅当“2a 2＝b 2”时取等号，∴|2x −1|−|x −1|≤9恒成立，当x ≥1时，|2x −1|−|x −1|＝x ≤9，解得1≤x ≤9； 当12≤x <1时，|2x −1|−|x −1|＝3x −2≤9，解得12≤x <1； 当x <12时，|2x −1|−|x −1|＝−x ≤9，解得−9≤x <12； 综上，x 的取值范围[−9, 9]．。
2020年四川省成都市高考数学一诊试卷(理科)(含解析)
2020年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（）A.−3iB.−3+iC.3+iD.3−i2.已知集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，若A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，则实数m的值为（）A.−1或0B.0或1C.−1或2D.1或23.若sinθ=√5cosθ，则tan2θ＝（）A.−√53B.√53C.−√52D.√524.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50, 100]内，按得分分成5组：[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A.72.5B.75C.77.5D.805.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则S9S5=()A.95B.59C.53D.2756.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若m // α，n // β，且α // β，则m // nB.若m // α，n // β，且α⊥β，则m // nC.若m⊥α，n // β，且α // β，则m⊥nD.若m⊥α，n // β且α⊥β，则m⊥n7.(x2+2)(x−1x)6的展开式的常数项为（）A.25B.−25C.5D.−58.将函数y＝sin(4x−π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为（）A.f(x)=sin(2x+π6) B.f(x)=sin(2x−π3)C.f(x)=sin(8x+π6) D.f(x)=sin(8x−π3)9.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为（）A.3B.32C.5 D.5210.已知a=212,b=313,c=ln32，则（）A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)＝f(2+x)，当x≤2时，f(x)＝(x−1)e x−1．若关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A.(−2, 0)∪(0, 2)B.(−2, 0)∪(2, +∞)C.(−e, 0)∪(0, +∞)D.(−e, 0)∪(0, e)12.如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x．现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，AC折起使点P 1，P 3重合，重合后记为点P ，得到三棱锥P −ABC ．现有以下结论： ①AP ⊥平面PBC ；②当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π；③x 的取值范围为(0, 4−2√2)； ④三棱锥P −ABC 体积的最大值为13． 则正确的结论的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0 ，则z ＝x +2y 的最大值为________．设正项等比数列{a n }满足a 4＝81，a 2+a 3＝36，则a n ＝________．已知平面向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|=√3，且b →⊥(a →−b →)，则向量a →与b →的夹角的大小为________．已知直线y ＝kx 与双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为________．三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．bc．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2−a2=4√23 (Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)若△ABC的面积为√2，且√2sinB＝3sinC，求△ABC的周长某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．(Ⅰ)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；(Ⅱ)已知被抽取的这l00名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．附：K2=n(ad−bc)2，其中n＝a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)如图，在四棱锥P−ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC ＝60∘，E分别为BC的中点．(Ⅰ)证明：BC⊥平面PAE；(Ⅱ)若AB＝2．PA＝1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值．已知函数f(x)＝(a−1)lnx+x+ax，a∈R．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当a<−1时，证明∀x∈(1, +∞)，f(x)>−a−a2．已知椭圆C:x 22+y2＝1的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l:x＝2与x轴相交于点H，过点A作AD⊥l，垂足为D．(Ⅰ)求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；(Ⅱ)证明直线BD过定点E．并求出点E的坐标请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1:x2+(y−2)2＝4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90∘得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C1，C2的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，点M(3, π2)，射线θ=π6(ρ≥0)与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．[选修45：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x−3|．(Ⅰ)解不等式f(x)≥4−|2x+l|；(Ⅱ)若1m +4n=2(m>0, n>0)，求证：m+n≥|x+32|−f(x)．2020年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（）A.−3iB.−3+iC.3+iD.3−i【解答】∵复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1＝−3+i．2.已知集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，若A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，则实数m的值为（）A.−1或0B.0或1C.−1或2D.1或2【解答】集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，因为A，B本身含有元素−1，0，1，2，所以根据元素的互异性，m≠−1，0即可，故m＝1或2，3.若sinθ=√5cosθ，则tan2θ＝（）A.−√53B.√53C.−√52D.√52【解答】若sinθ=√5cosθ，则tanθ=√5，则tan2θ=2tanθ1−tan2θ=−√52，4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50, 100]内，按得分分成5组：[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A.72.5B.75C.77.5D.80【解答】由频率分布直方图得：[50, 70)的频率为：(0.010+0.030)×10＝0.4，[70, 80)的频率为：0.040×10＝0.4，∴这100名同学的得分的中位数为：70+0.5−0.40.4×10=72.(5)5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则S9S5=()A.95B.59C.53D.275【解答】依题意，S9S5=a1+a92×9a1+a52×5=9a55a3，又a5a3=3，∴S9S5=95×3=275，6.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若m // α，n // β，且α // β，则m // nB.若m // α，n // β，且α⊥β，则m // nC.若m⊥α，n // β，且α // β，则m⊥nD.若m⊥α，n // β且α⊥β，则m⊥n【解答】由m // α，n // β，且α // β，得m // n或m与n异面，故A错误；由m // α，n // β，且α⊥β，得m // n或m与n相交或m与n异面，故B错误；由m⊥α，α // β，得m⊥β，又n // β，则m⊥n，故C正确；由m⊥α，n // β且α⊥β，得m // n或m与n相交或m与n异面，故D错误．7.(x2+2)(x−1x)6的展开式的常数项为（）A.25B.−25C.5D.−5【解答】(x−1x )6的通项公式为T r+1=∁6r x6−r(−1x)r＝(−1)r∁6r x6−2r，r＝0，1，2， (6)则(x 2+2)(x −1x )6的展开式的常数项须6−2r ＝0或者6−2r ＝−2⇒r ＝3或者r ＝4：∴常数项为(−1)4∁64+2×(−1)3∁63=15−40＝−(25)8.将函数y ＝sin(4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为（ ） A.f(x)=sin(2x +π6) B.f(x)=sin(2x −π3) C.f(x)=sin(8x +π6) D.f(x)=sin(8x −π3)【解答】函数y ＝sin(4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y ＝sin(2x −π6)的图象，再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)＝sin(2x +π6)的图象， 9.已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，M ，N 是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN 的中点到y 轴的距离为（ ） A.3 B.32C.5D.52【解答】由抛物线方程得，准线方程为：x ＝−1， 设M(x, y)，N(x ′, y ′)，由抛物线的性质得，MF +NF ＝x +x ′+p ＝x +x ′+2＝5， 中点的横坐标为32，线段MN 的中点到y 轴的距离为：32， 10.已知a =212,b =313,c =ln 32，则（ ） A.a >b >c B.a >c >b C.b >a >c D.b >c >a【解答】∵a =√2=√86，b =√33=√96，∴1<a <b ． c ＝ln 32<(1) ∴c <a <b ．故选：C．11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)＝f(2+x)，当x≤2时，f(x)＝(x−1)e x−1．若关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A.(−2, 0)∪(0, 2)B.(−2, 0)∪(2, +∞)C.(−e, 0)∪(0, +∞)D.(−e, 0)∪(0, e)【解答】②令f′(x)<0，解得x<0(1)③令f′(x)>0，解得0<x≤(2)∴f(x)在(−∞, 0)上单调递减，在(0, 2]上单调递增，在x＝0处取得极小值f(0)＝−(2)且f(1)＝−1；x→−∞，f(x)→(0)又∵函数f(x)在R上满足f(2−x)＝f(2+x)，∴函数f(x)的图象关于x＝2对称．∴函数y＝f(x)的大致图象如下：关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0可转化为f(x)＝k(x−2)+e−(1)而一次函数y＝k(x−2)+e−1很明显是恒过定点(2, e−1)．结合图象，当k＝0时，有两个交点，不符合题意，当k＝e时，有两个交点，其中一个是(1, −1)．此时y＝f(x)与y＝k(x−2)+e−1正好相切．∴当0<k<e时，有三个交点．同理可得当−e<k<0时，也有三个交点．实数k的取值范围为：(−e, 0)∪(0, e)．故选：D．12.如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x．现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，AC折起使点P1，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P−ABC．现有以下结论：①AP ⊥平面PBC ；②当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π；③x 的取值范围为(0, 4−2√2)； ④三棱锥P −ABC 体积的最大值为13． 则正确的结论的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4【解答】当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，PB ＝PC ＝1，BC =√2， 所以PB 2+PC 2＝BC 2，又AP ⊥平面PBC ，所以PA ，PB ，PC 两两垂直，所以三棱锥P −ABC 的外接球与 以PA ，PB ，PC 为长宽高的长方体的外接球半径相等． 设半径为r ，所以(2r)2＝22+12+12＝6，S ＝4πr 2＝6π．即三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π，②正确（1）因为P 2B ＝P 2C ＝x ，所以PB ＝PC ＝2−x ，而BC =√2x ，故2(2−x)>√2x ，解得x <4−2√2，③正确（2）因为△PBC 的面积为S =12×√2x ×√(2−x)2−(√22x)2=12√x 4−8x 3+8x 2 设f(x)＝x 4−8x 3+8x 2，f′(x)＝4x 3−24x 2+16x ＝4x(x 2−6x +4)当0<x <3−√5时，f′(x)>0，当3−√5<x <4−2√2时，f′(x)<0 f m ax ＝f(3−√5)>f(1)=12，所以S >12． V P−ABC ＝V A−PBC =13S ×2=23S >13，④错误． 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0 ，则z ＝x +2y 的最大值为________． 【解答】作出实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0 对应的平面区域如图：（阴影部分）由z ＝x +2y 得y =−12x +12z ， 平移直线y =−12x +12z ，由图象可知当直线y =−12x +12z 经过点A 时，直线y =−12x +12z 的截距最大， 此时z 最大． 由{x +y −4=0x −2y +2=0，解得A(2, 2)，代入目标函数z ＝x +2y 得z ＝2×2+2＝6设正项等比数列{a n }满足a 4＝81，a 2+a 3＝36，则a n ＝________． 【解答】依题意{a 1q 3=81a 1q +a 1q 2=36 ，解得{a 1=3q =3 ，∴a n =a 1⋅q n−1=3⋅3n−1＝3n ，已知平面向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|=√3，且b →⊥(a →−b →)，则向量a →与b →的夹角的大小为________． 【解答】∵平面向量a →，b →满足|a →|＝2，b →=√3，且b →⊥(a →−b →)， ∴b →⋅(a →−b →)=b ¯⋅a →−b →2=0，∴a →⋅b →=b →2． 设向量a →与b →的夹角的大小为θ，则2⋅√3⋅cosθ＝3， 求得cosθ=√32，故θ=π6，已知直线y ＝kx 与双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为________． 【解答】设|BF|＝m ，则|AF|＝3|BF|＝3m ， 取双曲线的右焦点F ′，连接AF ′，BF ′， 可得四边形AF ′BF 为平行四边形，可得|AF ′|＝|BF|＝m ，设A 在第一象限，可得3m −m ＝2a ，即m ＝a ， 由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和， 可得(2b)2+(2c)2＝2(a 2+9a 2)， 化为c 2＝3a 2，则e =ca =√3．三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2−a 2=4√23bc ． (Ⅰ)求sinA 的值；(Ⅱ)若△ABC 的面积为√2，且√2sinB ＝3sinC ，求△ABC 的周长 【解答】（1）∵b 2+c 2−a 2=4√23bc ， ∴由余弦定理可得2bccosA =4√23bc ， ∴cosA =2√23， ∴在△ABC 中，sinA =√1−cos 2A =13．（2）∵△ABC 的面积为√2，即12bcsinA =16bc =√2， ∴bc ＝6√2，又∵√2sinB＝3sinC，由正弦定理可得√2b＝3c，∴b＝3√2，c＝2，则a2＝b2+c2−2bccosA＝6，∴a=√6，∴△ABC的周长为2+3√2+√6．某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．(Ⅰ)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；(Ⅱ)已知被抽取的这l00名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．，其中n＝a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【解答】（1）由题，2×2列联表如下：∵K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(20×20−40×20)240×60×60×40=259≈2.778<3.841，∴没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（2）由题，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，P(X＝0)=C30C73C03=724，P(X＝1)=C31C72C103=2140，P(X＝2)=C32C71C103=740，P(X＝3)=C33C103=1120，∴X的分布列为：∴E(X)＝1×2140+2×740+3×1120=910．如图，在四棱锥P−ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC ＝60∘，E分别为BC的中点．(Ⅰ)证明：BC⊥平面PAE；(Ⅱ)若AB＝2．PA＝1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）如图，连接AC，因为底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60∘，所以△ABC为正三角形，因为E为BC的中点，所以BC⊥AE，又因为AP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，所以BC⊥AP，因为AP∩AE＝A，AP，AE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE；（2）因为AP⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，所以AP⊥PB，又因为AB＝2，PA＝1，所以PB=√3，由(Ⅰ)得BC⊥PE，又因为E为BC中点，所以PB＝PC=√3，EC＝1，所以PE =√2，如图，过点P 作BC 的平行线PQ ，则PQ ，PE ，PA 两两互相垂直，以P 为坐标原点，PE →,PQ →,PA →的方向分别为xyz 轴的正方形，建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz ，则P(0, 0, 0)，A(0, 0, 1)，B(√2, −1, 0)，C(√2, 1, 0)，D(0, 2, 1)， 设平面BAP 的一个法向量m →=(x, y, z)，又PA →=(0, 0, 1)，PB →=(√2, −1, 0)，由{m →⋅PA →=0m →⋅PB →=0，得√2x −y ＝0，z ＝0，令x ＝1，则m →=(1, √2, 0)， 设平面CDP 的一个法向量n →=(a, b, c)，又PC →=(√2, 1, 0)，PD →=(0, 2, 1)，由{m →⋅PC →=0m →⋅PD →=0，得√2a +b ＝0，2y +z ＝0，令a ＝1，则n →=(1, −√2, 2√2)， 所以cos <m →,n →>=√3⋅√11=−√3333， 即平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值为√3333．已知函数f(x)＝(a −1)lnx +x +ax ，a ∈R ． (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当a <−1时，证明∀x ∈(1, +∞)，f(x)>−a −a 2． 【解答】 （1）f′(x)=a−1x+1−ax 2=x 2+(a−1)x−ax 2=(x−1)(x+a)x 2，因为x >0，a ∈R ，所以当a ≥0时，x +a >0，所以函数在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；当−1<a <0时，0<−a <1，函数f(x)在(0, −a)上单调递增，在(−a, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；当a ＝−1时，f′(x)=(x−1)2x 2≥0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a <−1时，−a >1，函数f(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, −a)上单调递减，在(−a, +∞)上单调递增；（2）当a <−1时，由(Ⅰ)得，函数f(x)在(1, −a)上单调递减，在(−a, +∞)上单调递增；函数f(x)在(1, +∞)上的最小值为f(−a)＝(a −1)ln(−a)−a −1， 欲证明不等式f(x)>−a −a 2成立，即证明−a −a 2<(a −1)ln(−a)−a −1，即证明a 2+(a −1)ln(−a)−1>0，因为a <−1，所以只需证明ln(−a)<−a −1， 令ℎ(x)＝lnx −x +1(x ≥1)，则ℎ′(x)=1x −1=−(x−1)x≤0，所以函数ℎ(x)在[1, +∞)上单调递减，则有ℎ(x)≤ℎ(1)＝0， 因为a <−1，所以−a >1，所以ℎ(−a)＝ln(−a)+a +1<0，即当a <−1时，ln(−a)<−a −1成立， 所以当a <−1时，任意x ∈(1, +∞)，f(x)>−a −a 2． 已知椭圆C:x 22+y 2＝1的右焦点为F ，过点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l:x ＝2与x 轴相交于点H ，过点A 作AD ⊥l ，垂足为D ．(Ⅰ)求四边形OAHB （O 为坐标原点）面积的取值范围； (Ⅱ)证明直线BD 过定点E ．并求出点E 的坐标 【解答】（1）由题意F(1, 0)，设直线AB 的方程：x ＝my +1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，与抛物线联立(m 2+2)y 2+2my −1＝0，因为△＝4m 2+4(m 2+2)>0，y 1+y 2=−2m2+m 2，y 1y 2=−12+m 2，所以|y 1−y 2|=√(y 1−y 2)2−41yy 2=2√2√1+m 22+m 2， 所以四边形OAHB 的面积S =12|OH|⋅|y 1−y 2|＝|y 1−y 2|=2√2⋅√1+m 22+m 2，令t =√1+m 2≥1，S =2√2t1+t =2√2t+1t≤√2，当且仅当t ＝1时，即m ＝0时取等号，所以0<S ≤√2，所以四边形OAHB 的面积的取值范围为(0, √2,](2) B(x2, y2)，D(2, y1)，k BD=y1−y22−x2，所以直线BD的方程：y−y1=y1−y2 2−x2(x−2)，令y＝0，得x=x2y1−2y2y1−y2=my1y2+y1−2y2y1−y2由(Ⅰ)得，y1+y2=−2m2+m2，y1y2=−12+m2，所以y1+y2＝2my1y2，化简得x=12(y1+y2)+y1−2y2y1−y2=32(y1−y2)y1−y2=32，所以直线BD过定点E(32, 0)．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1:x2+(y−2)2＝4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90∘得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C1，C2的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，点M(3, π2)，射线θ=π6(ρ≥0)与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．【解答】（1）由题意，点Q的轨迹是以(2, 0)为圆心，以2为半径的圆，则曲线C2：(x−2)2+y2＝4，∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ；（2）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，∴|AB|＝|ρ1−ρ2|＝4|sinπ6−cosπ6|=2(√3−1)．又∵M(3, π2)到射线θ=π6(ρ≥0)的距离ℎ=3sinπ3=3√32．∴△MAB的面积S=12|AB|⋅ℎ=9−3√32．[选修45：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x−3|．(Ⅰ)解不等式f(x)≥4−|2x+l|；(Ⅱ)若1m +4n=2(m>0, n>0)，求证：m+n≥|x+32|−f(x)．【解答】（I ）原不等式可化为：|x −3|≥4−|2x +1|，即|2x +1|+|x −3|≥4， 当x ≤−12时，不等式−2x −1−x +3≥4，解得x ≤−23，故x ≤−23； 当−12<x <3时，不等式2x +1−x +3≥4，解得x ≥0，故0≤x <3； 当x ≥3时，不等式2x +1+x −3≥4，解得x ≥0，故x ≥3； 综上，不等式的解集为(−∞, −23]∪[0, +∞)； (II)因为f(x)＝|x −3|，所以|x +32|−f(x)＝||x +32|−|x −3|≤|x +32−x +3|=92，当且仅当(x +32)(x +3)≥0，且|x +32|≥|x −3|时，取等号， 又1m +4n =2(m >0, n >0)，所以(m +n)(1m +4n )≥(1+2)2＝9，当且仅当m ＝2n 时，取得等号， 故m +n ≥92，所以m +n ≥|x +32|−f(x)成立．。
2020年四川省成都市高考数学一模试卷(理科)
2020年四川省成都市高考数学一模试卷（理科）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共12小题）1.若复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（）A．﹣3i B．﹣3+i C．3+i D．3﹣i2.已知集合A＝{﹣l，0，m），B＝{l，2}，若A∪B＝{﹣l，0，1，2}，则实数m的值为（）A．﹣l或0 B．0或1 C．﹣l或2 D．l或23.若，则tan2θ＝（）A．﹣B．C．﹣D．4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A．72.5 B．75 C．77.5 D．805.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则＝（）A．B．C．D．6.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nB．若m∥α，n∥β，且α⊥β，则m∥nC．若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥nD．若m⊥α，n∥β且α⊥β，则m⊥n7.的展开式的常数项为（）A．25 B．﹣25 C．5 D．﹣58.将函数y＝sin（4x﹣）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．9.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为（）A．3 B．C．5 D．10.已知，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a11.已知定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（2+x），当x≤2时，f（x）＝（x﹣1）e x﹣1．若关于x的方程f（x）﹣kx+2k﹣e+1＝0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣2，0）∪（2，+∞）C．（﹣e，0）∪（0，+∞）D．（﹣e，0）∪（0，e）12.如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x．现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，AC折起使点P1，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P ﹣ABC．现有以下结论：①AP⊥平面PBC；②当B，C分别为P1P2，P2P3的中点时，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为6π；③x的取值范围为（0，4﹣2）；④三棱锥P﹣ABC体积的最大值为．则正确的结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共4小题）13.已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为．14.设正项等比数列{a n}满足a4＝81，a2+a3＝36，则a n＝．15.已知平面向量，满足||＝2，||＝，且⊥（﹣），则向量与的夹角的大小为．16.已知直线y＝kx与双曲线C：（a＞0，b＞0）相交于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为．三、解答题（共7小题）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求sin A的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，且sin B＝3sin C，求△ABC的周长18.某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．（Ⅰ）完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；属于“追光族”属于“观望族”合计女性员工男性员工合计100（Ⅱ）已知被抽取的这l00名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，E分别为BC的中点．（Ⅰ）证明：BC⊥平面P AE；（Ⅱ）若AB＝2．P A＝1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值．20.已知函数f（x）＝（a﹣1）lnx+x+，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＜﹣1时，证明∀x∈（1，+∞），f（x）＞﹣a﹣a2．21.已知椭圆C：+y2＝1的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x＝2与x轴相交于点H，过点A作AD⊥l，垂足为D．（Ⅰ）求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；（Ⅱ）证明直线BD过定点E．并求出点E的坐标22.在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1：x2+（y﹣2）2＝4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90°得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，点M（3，），射线≥0）与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．23.已知函数f（x）＝|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥4﹣|2x+l|；（Ⅱ）若＝2（m＞0，n＞0），求证：m+n≥|x+|﹣f（x）．2020年四川省成都市高考数学一模试卷（理科）参考答案一、单选题（共12小题）1.【分析】由已知可得复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1可求．【解答】解：∵复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1＝﹣3+i．故选：B．【知识点】复数代数形式的乘除运算2.【分析】因为A∪B＝{﹣l，0，1，2}，A，B本身含有元素﹣1，0，1，2，根据元素的互异性m≠﹣1，0，求出m即可．【解答】解：集合A＝{﹣l，0，m），B＝{l，2}，A∪B＝{﹣l，0，1，2}，因为A，B本身含有元素﹣1，0，1，2，所以根据元素的互异性，m≠﹣1，0即可，故m＝1或2，故选：D．【知识点】并集及其运算3.【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：若，则tanθ＝，则tan2θ＝＝﹣，故选：C．【知识点】二倍角的正弦4.【分析】由频率分布直方图求出[50，70）的频率为0.4，[70，80）的频率为0.4，由此能求出这100名同学的得分的中位数．【解答】解：由频率分布直方图得：[50，70）的频率为：（0.010+0.030）×10＝0.4，[70，80）的频率为：0.040×10＝0.4，∴这100名同学的得分的中位数为：70+＝72.5．故选：A．【知识点】频率分布直方图5.【分析】将S9，S5转化为用a5，a3表达的算式即可得到结论．【解答】解：依题意，＝＝，又＝3，∴＝×3＝，故选：D．【知识点】等差数列6.【分析】由考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：由m∥α，n∥β，且α∥β，得m∥n或m与n异面，故A错误；由m∥α，n∥β，且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故B错误；由m⊥α，α∥β，得m⊥β，又n∥β，则m⊥n，故C正确；由m⊥α，n∥β且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故D错误．故选：C．【知识点】命题的真假判断与应用7.【分析】求出（x﹣）6的通项公式，考虑r＝3，r＝4时的系数，相加求和即可得到所求值．【解答】解：（x﹣）6的通项公式为T r+1＝x6﹣r（﹣）r＝（﹣1）r x6﹣2r，r＝0，1，2， (6)则（x2+2）（x﹣）6的展开式的常数项须6﹣2r＝0或者6﹣2r＝﹣2⇒r＝3或者r＝4：∴常数项为（﹣1）4+2×（﹣1）3＝15﹣40＝﹣25．故选：B．【知识点】二项式定理8.【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【解答】解：函数y＝sin（4x﹣）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y＝sin（2x﹣）的图象，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数f（x）＝sin（2x+）的图象，故选：A．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换9.【分析】抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可．【解答】解：由抛物线方程得，准线方程为：x＝﹣1，设M（x，y），N（x'，y'），由抛物线的性质得，MF+NF＝x+x'+p＝x+x'+2＝5，中点的横坐标为，线段MN的中点到y轴的距离为：，故选：B．【知识点】抛物线的简单性质10.【分析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a，b的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c＜1．【解答】解：∵a＝＝，b＝＝，∴1＜a＜b．c＝ln＜1．∴c＜a＜b．故选：C．【知识点】对数值大小的比较11.【分析】本题根据题意先利用一阶导数分析当x≤2时，f（x）＝（x﹣1）e x﹣1．的函数单调性及图象，然后根据f（2﹣x）＝f（2+x）可知函数f（x）关于x＝2对称．即可画出函数y＝f（x）的大致图象．一次函数y＝k（x﹣2）+e﹣1．很明显是恒过定点（2，e﹣1）．则只要考查斜率k的变动情况，当k＝e时，y＝f（x）与y＝k（x﹣2）+e﹣1正好在（1，﹣1）处相切，再根据数形结合法可得k的取值范围，当x＞2时也同理可得．【解答】解：由题意，当x≤2时，f（x）＝（x﹣1）e x﹣1．f′（x）＝xe x．①令f′（x）＝0，解得x＝0；②令f′（x）＜0，解得x＜0；③令f′（x）＞0，解得0＜x≤2．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增，在x＝0处取得极小值f（0）＝﹣2．且f（1）＝﹣1；x→﹣∞，f（x）→0．又∵函数f（x）在R上满足f（2﹣x）＝f（2+x），∴函数f（x）的图象关于x＝2对称．∴函数y＝f（x）的大致图象如下：关于x的方程f（x）﹣kx+2k﹣e+1＝0可转化为f（x）＝k（x﹣2）+e﹣1．而一次函数y＝k（x﹣2）+e﹣1很明显是恒过定点（2，e﹣1）．结合图象，当k＝0时，有两个交点，不符合题意，当k＝e时，有两个交点，其中一个是（1，﹣1）．此时y＝f（x）与y＝k（x﹣2）+e﹣1正好相切．∴当0＜k＜e时，有三个交点．同理可得当﹣e＜k＜0时，也有三个交点．实数k的取值范围为：（﹣e，0）∪（0，e）．故选：D．【知识点】函数的零点与方程根的关系12.【分析】根据折起形状的形成条件，分析各结论，即可判断真假．【解答】解：折起后，△CP3A≌△CP A，故AP⊥PC．同理，AP⊥PB，所以AP⊥平面PBC，①正确；当B，C分别为P1P2，P2P3的中点时，PB＝PC＝1，BC＝，所以PB2+PC2＝BC2，又AP⊥平面PBC，所以P A，PB，PC两两垂直，所以三棱锥P﹣ABC的外接球与以P A，PB，PC为长宽高的长方体的外接球半径相等．设半径为r，所以（2r）2＝22+12+12＝6，S＝4πr2＝6π．即三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为6π，②正确；因为P2B＝P2C＝x，所以PB＝PC＝2﹣x，而BC＝，故2（2﹣x）＞，解得x＜4﹣2，③正确；因为△PBC的面积为S＝＝设f（x）＝x4﹣8x3+8x2，f′（x）＝4x3﹣24x2+16x＝4x（x2﹣6x+4）当0＜x＜3﹣时，f′（x）＞0，当3﹣＜x＜4﹣2时，f′（x）＜0f max＝f（3﹣）＞f（1）＝1，所以S＞．V P﹣ABC＝V A﹣PBC＝＞，④错误．故选：C．【知识点】命题的真假判断与应用二、填空题（共4小题）13.【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）由z＝x+2y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（2，2），代入目标函数z＝x+2y得z＝2×2+2＝6故答案为：6．【知识点】简单线性规划14.【分析】将已知条件转化为基本量a1，q的方程组，解方程组得到a1，q，进而可以得到a n．【解答】解：依题意，解得，∴a n＝＝3•3n﹣1＝3n，故答案为：3n．【知识点】等比数列的通项公式15.【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出向量与的夹角的大小．【解答】解：∵平面向量，满足||＝2，＝，且⊥（﹣），∴•（﹣）＝•﹣＝0，∴＝．设向量与的夹角的大小为θ，则2••cosθ＝3，求得cosθ＝，故θ＝，故答案为：．【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系、数量积表示两个向量的夹角16.【分析】取双曲线的右焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AF'BF为平行四边形，运用双曲线的定义和平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，以及离心率公式可得所求值．【解答】解：设|BF|＝m，则|AF|＝3|BF|＝3m，取双曲线的右焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AF'BF为平行四边形，可得|AF'|＝|BF|＝m，设A在第一象限，可得3m﹣m＝2a，即m＝a，由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得（2b）2+（2c）2＝2（a2+9a2），化为c2＝3a2，则e＝＝．故答案为：．【知识点】双曲线的简单性质三、解答题（共7小题）17.【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可求cos A的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sin A的值．（Ⅱ）利用三角形的面积公式可求bc的值，由正弦定理化简已知等式可得b＝3c，解得b，c的值，根据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴由余弦定理可得2bc cos A＝bc，∴cos A＝，∴在△ABC中，sin A＝＝．（Ⅱ）∵△ABC的面积为，即bc sin A＝bc＝，∴bc＝6，又∵sin B＝3sin C，由正弦定理可得b＝3c，∴b＝3，c＝2，则a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝6，∴a＝，∴△ABC的周长为2+3+．【知识点】余弦定理18.【分析】（Ⅰ）根据题意，列出列联表，计算K2，查表判断即可；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，分布求出对应概率，列出分布列，求期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由题，2×2列联表如下：属于“追光族”属于“观望族”合计女性员工204060男性员工202040合计4060100∵K2＝＝＝≈2.778＜3.841，∴没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（Ⅱ）由题，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：X0123P∴E（X）＝1×+2×+3×＝．【知识点】离散型随机变量及其分布列、独立性检验、离散型随机变量的期望与方差19.【分析】（Ⅰ）根据菱形基本性质得BC⊥AE，再由线面垂直得BC⊥AP，故BC⊥平面P AE；（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量即可【解答】解：（Ⅰ）如图，连接AC，因为底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以△ABC为正三角形，因为E为BC的中点，所以BC⊥AE，又因为AP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，所以BC⊥AP，因为AP∩AE＝A，AP，AE⊂平面P AE，所以BC⊥平面P AE；（Ⅱ）因为AP⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，所以AP⊥PB，又因为AB＝2，P A＝1，所以PB＝，由（Ⅰ）得BC⊥PE，又因为E为BC中点，所以PB＝PC＝，EC＝1，所以PE＝，如图，过点P作BC的平行线PQ，则PQ，PE，P A两两互相垂直，以P为坐标原点，的方向分别为xyz轴的正方形，建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz，则P（0，0，0），A（0，0，1），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，1），设平面BAP的一个法向量＝（x，y，z），又＝（0，0，1），＝（，﹣1，0），由，得x﹣y＝0，z＝0，令x＝1，则＝（1，，0），设平面CDP的一个法向量＝（a，b，c），又＝（，1，0），＝（0，2，1），由，得a+b＝0，2y+z＝0，令a＝1，则＝（1，﹣，2），所以cos＜＞＝＝﹣，即平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值为．【知识点】与二面角有关的立体几何综合题、直线与平面垂直的判定20.【分析】（Ⅰ）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间；（Ⅱ）欲证明不等式f（x）＞﹣a﹣a2成立，即证明﹣a﹣a2＜（a﹣1）ln（﹣a）﹣a﹣1，设新函数h（x）＝lnx﹣x+1（x≥1），利用其单调性求出h（x）≤h（1）＝0，进而得证．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝＝＝，因为x＞0，a∈R，所以当a≥0时，x+a＞0，所以函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当﹣1＜a＜0时，0＜﹣a＜1，函数f（x）在（0，﹣a）上单调递增，在（﹣a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当a＝﹣1时，f′（x）＝≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜﹣1时，﹣a＞1，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增；（Ⅱ）当a＜﹣1时，由（Ⅰ）得，函数f（x）在（1，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增；函数f（x）在（1，+∞）上的最小值为f（﹣a）＝（a﹣1）ln（﹣a）﹣a﹣1，欲证明不等式f（x）＞﹣a﹣a2成立，即证明﹣a﹣a2＜（a﹣1）ln（﹣a）﹣a﹣1，即证明a2+（a﹣1）ln（﹣a）﹣1＞0，因为a＜﹣1，所以只需证明ln（﹣a）＜﹣a﹣1，令h（x）＝lnx﹣x+1（x≥1），则h′（x）＝＝≤0，所以函数h（x）在[1，+∞）上单调递减，则有h（x）≤h（1）＝0，因为a＜﹣1，所以﹣a＞1，所以h（﹣a）＝ln（﹣a）+a+1＜0，即当a＜﹣1时，ln（﹣a）＜﹣a﹣1成立，所以当a＜﹣1时，任意x∈（1，+∞），f（x）＞﹣a﹣a2．【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性21.【分析】（Ⅰ）由题意设直线AB的方程，带入椭圆整理设而不求得出纵坐标之和与之积，将四边形的面积分成2个三角形，底相同与纵坐标之差的绝对值之积的二分之一，然后又均值不等式可得面积的取值范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，B，D的坐标，设直线BD的方程，令纵坐标为零得横坐标是定值，即直线BD过定点．【解答】解：（Ⅰ）由题意F（1，0），设直线AB的方程：x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立（m2+2）y2+2my﹣1＝0，因为△＝4m2+4（m2+2）＞0，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以|y1﹣y2|＝＝，所以四边形OAHB的面积S＝|OH|•|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|＝，令t＝≥1，S＝＝≤，当且仅当t＝1时，即m＝0时取等号，所以0，所以四边形OAHB的面积的取值范围为（0，，]（Ⅱ）B（x2，y2），D（2，y1），k BD＝，所以直线BD的方程：y﹣y1＝（x﹣2），令y＝0，得x＝＝由（Ⅰ）得，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以y1+y2＝2my1y2，化简得x＝＝＝，所以直线BD过定点E（，0）．【知识点】直线与椭圆的位置关系22.【分析】（Ⅰ）由题意，点Q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，写出其普通方程，再结合ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，求得|AB|＝|ρ1﹣ρ2|，再求出M（3，）到射线≥0）的距离h＝，代入三角形面积公式求△MAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意，点Q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，则曲线C2：（x﹣2）2+y2＝4，∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ；（Ⅱ）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝4||＝．又∵M（3，）到射线≥0）的距离h＝．∴△MAB的面积S＝．【知识点】简单曲线的极坐标方程23.【分析】（I）原不等式可化为：|x﹣3|≥4﹣|2x+1|，即|2x+1|+|x﹣3|≥4，分段讨论求出即可；（II）根据绝对值的性质求出|x+|﹣f（x）≤，m+n，证明即可．【解答】解：（I）原不等式可化为：|x﹣3|≥4﹣|2x+1|，即|2x+1|+|x﹣3|≥4，当x≤时，不等式﹣2x﹣1﹣x+3≥4，解得x，故x；当﹣＜x＜3时，不等式2x+1﹣x+3≥4，解得x≥0，故0≤x＜3；当x≥3时，不等式2x+1+x﹣3≥4，解得x≥0，故x≥3；综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）；（II）因为f（x）＝|x﹣3|，所以|x+|﹣f（x）＝||x+|﹣|x﹣3|≤|x+﹣x+3|＝，当且仅当（x+）（x+3）≥0，且|x+|≥|x﹣3|时，取等号，又＝2（m＞0，n＞0），所以（m+n）（）≥（1+2）2＝9，当且仅当m＝2n时，取得等号，故m+n，所以m+n≥|x+|﹣f（x）成立．【知识点】绝对值不等式的解法、不等式的证明。
四川省成都市2020届高考一诊试卷数学(理科)(含答案)
四川省成都市2020届高考一诊模拟试卷数学（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|x＞1}，B={x|x＜5}，则A∩B=（）A. {x|1＜x＜5}B. {x|x＞1}C. {2，3，4}D. {1，2，3，4，5}2.已知复数z满足iz=1+i，则z的共轭复数=（）A. 1+iB. 1-iC.D. -1-i3.若等边△ABC的边长为4，则•=（）A. 8B. -8C.D. -84.在（2x-1）（x-y）6的展开式中x3y3的系数为（）A. 50B. 20C. 15D. -205.若等比数列{a n}满足：a1=1，a5=4a3，a1+a2+a3=7，则该数列的公比为（）A. -2B. 2C. ±2D.6.若实数a，b满足|a|＞|b|，则（）A. e a＞e bB. sin a＞sin bC.D.7.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=4，AB=2，点E，F分别为棱BB1，CC1上两点，且BE=BB1，CF=CC1，则（）A. D1E≠AF，且直线D1E，AF异面B. D1E≠AF，且直线D1E，AF相交C. D1E=AF，且直线D1E，AF异面D. D1E=AF，且直线D1E，AF相交8.设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m-1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（）A. m≤2B. m≥4C. 1＜m≤2D. 0＜m≤39.国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20：20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29：29时，那么先到第30分的一方获胜．在一局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球赢球的概率为，则在比分为20：20，且甲发球的情况下，甲以23：21赢下比赛的概率为（）A. B. C. D.10.函数f（x）=的图象大致为（）A. B.C. D.11.设圆C：x2+y2-2x-3=0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则线段PC长度的最大值为（）A. B. 2 C. 4 D.12.设函数f（x）=cos|2x|+|sin x|，下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）的最小正周期为π；③f（x）的最小值为0；④f（x）在[0，2π]上有3个零点．其中所有正确结论的编号是（）A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ②③④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若等差数列{a n}满足：a1=1，a2+a3=5，则a n=______．14.今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类．某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为______．15.已知双曲线C：x2-=1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l分别与两条渐进线交于A，B两点，若•=0，=λ，则λ=______．16.若函数f（x）=恰有2个零点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，消费次第第1次第2次第3次第4次≥5次收费比例10.950.900.850.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如表：消费次第第1次第2次第3次第4次第5次频数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X元，求X 的分布列和数学期望E（X）．18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（Ⅰ）求sin B；（Ⅱ）若△ABC的周长为8，求△ABC的面积的取值范围．19.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ADC=60°，，．（Ⅰ）证明：平面CDD1⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D1-AD-C的余弦值．20.设椭圆，过点A（2，1）的直线AP，AQ分别交C于不同的两点P，Q，直线PQ恒过点B（4，0）．（Ⅰ）证明：直线AP，AQ的斜率之和为定值；（Ⅱ）直线AP，AQ分别与x轴相交于M，N两点，在x轴上是否存在定点G，使得|GM|•|GN|为定值？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．21.设函数，，．（Ⅰ）证明：f（x）≤0；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求m的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数）与曲线C：（m为参数）相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）当α=时，求直线l与曲线C的普通方程；（Ⅱ）若|MA||MB|=2||MA|-|MB||，其中M（，0），求直线l的倾斜角．23.已知函数f（x）=|x+1|+|ax-1|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，证明：a+b≥0．答案和解析1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】C12.【答案】B13.【答案】n14.【答案】0.415.【答案】116.【答案】[，1）∪{2}∪[e，+∞）17.【答案】解：（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，∴估计一位会员至少消费两次的概率为．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200-150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为200×0.95-150=40（元），∴公司这两次服务的平均利润为（元）．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，X的分布列为：X5045403530P0.60.20.10.050.05X数学期望为E（X）=50×0.6+45×0.2+40×0.1+35×0.05+30×0.05=46.25（元）．【解析】（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，即可得出估计一位会员至少消费两次的概率．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200-150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为200×0.95-150=40（元），即可得出公司这两次服务的平均利润．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，即可得出X的分布列．本题考查了频率与概率的关系、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵且sin（A+C）=sin B∴，又∵∴，∴，∴，∴，∴．（2）由题意知：a+b+c=8，故b=8-（a+c）∴，∴∴，，∴∴，或（舍），即∴（当a=c时等号成立）综上，△ABC的面积的取值范围为．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的变换的应用和倍角公式的应用求出结果．（2）利用余弦定理和不等式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】（1）证明：令CD的中点为O，连接OA，OD1，AC，∵，∴D1O⊥DC且又∵底面ABCD为边长为2的菱形，且∠ADC=60°，∴AO=，又∵，∴，∴D1O⊥OA，又∵OA，DC⊆平面ABCD，OA∩DC=O，又∵D1O⊆平面CDD1，∴平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O作直线OH⊥AD于H，连接D1H，∵D1O⊥平面ABCD，∴D1O⊥AD，∴AD⊥平面OHD1，∴AD⊥HD1，∴∠D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角，又∵OD=1，∠ODA=60°，∴，∴，∴．【解析】（1）令CD的中点为O，连接OA，OD1，AC，证明D1O⊥DC，D1O⊥OA，然后证明平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O作直线OH⊥AD于H，连接D1H，说明∠D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角，通过求解三角形，求解即可．本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，由得（1+4k2）x2-32k2x+64k2-8=0，△＞0，可得：，，，==；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，得x3=2-，即M（2-，0），同理，即N（2-，0），设x轴上存在定点G（x0，0），=|（x0-2）2+（x0-2）（）+|=，要使|GM|•|GN|为定值，即x0-2=1，x0=3，故x轴上存在定点G（3，0）使|GM|•|GN|为定值，该定值为1．【解析】（Ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线y=k（x-4）和椭圆方程，运用韦达定理，直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，运用直线的斜率公式，化简整理即可得到得证；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，求得M的坐标，同理可得N的坐标，再由两点的距离公式，化简整理可得所求乘积．本题考查椭圆的方程和运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，以及存在性问题的解法，考查化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=-cos x在x∈[0，]上单调递增，f′（x）∈[-1，]，所以存在唯一x0∈（0，），f′（x0）=0．当x∈（0，x0），f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（x0，），f′（x）＞0，f（x）递增．所以f（x）max=max=0，∴f（x）≤0，0≤x≤；（Ⅱ）g′（x）=-sin x+m（x-），g″（x）=-cos x+m，当m≥0时，g′（x）≤0，则g（x）在[0，]上单调递减，所以g（x）min=g（）=，满足题意．当-＜m＜0时，g″（x）在x上单调递增．g''（0）=+m＞0，所以存在唯一x1∈（0，），g″（x1）=0．当x∈（0，x1），g″（x）＜0，则g′（x）递减；当x∈（x1，），g″（x）＞0，则g′（x）递增．而g′（0）=-m＞0，g′（）=0，所以存在唯一x2，g′（x2）=0，当x∈（0，x2），g′（x）＞0，则g（x）递增；x，g′（x）＜0，则g（x）递减．要使g（x）≥恒成立，即，解得m≥，所以≤m＜0，当m≤-时，g″（x）≤0，当x∈[0，]，g′（x）递减，又，g′（x）≥0，所以g（x）在递增．则g（x）≤g（）=与题意矛盾．综上：m的取值范围为[，+∞）．【解析】（Ⅰ）利用f（x）的导数可先判断出其单调区间，比较可求出函数的最大值，即可证；（Ⅱ）对g（x）二次求导判断出m≥0时，可求出g（x）min=g（）=，当-＜m＜0时，与题意矛盾，综合可求出m的取值范围．本题考查利用导数求函数单调区间，求函数最值问题，还涉及函数恒成立问题，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）当α=时，直线l：（t为参数）化为，消去参数t，可得直线l的普通方程为y=x-；由曲线C：（m为参数），消去参数m，可得曲线C的普通方程为y2=2x；（Ⅱ）将直线l：（t为参数）代入y2=2x，得．，．由|MA||MB|=2||MA|-|MB||，得|t1t2|=2|t1+t2|，即，解得|cosα|=．∴直线l的倾斜角为或．【解析】（Ⅰ）当α=时，直线l：（t为参数）化为，消去参数t，可得直线l的普通方程；直接把曲线C的参数方程消去参数m，可得曲线C的普通方程；（Ⅱ）将直线l：（t为参数）代入y2=2x，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系结合已知等式列式求得|cosα|=，则直线l的倾斜角可求．本题考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23.【答案】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=|x+1|+|x-1|=．∵f（x）≤4，∴或-1≤x≤1或，∴1＜x≤2或-1≤x≤1或-2≤x＜-1，∴-2≤x≤2，∴不等式的解集为{x|-2≤x≤2}．（Ⅱ）证明：当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，则x+1+|ax-1|≤3x+b，∴|ax-1|≤2x+b-1，∴-2x-b+1≤ax-1≤2x+b-1，∴，∵x≥1，∴，∴，∴a+b≥0．【解析】（Ⅰ）将a=1代入f（x）中，然后将f（x）写出分段函数的形式，再根据f（x）≤4分别解不等式即可；（Ⅱ）根据当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，可得|ax-1|≤2x+b-1，然后解不等式，进一步得到a+b≥0．本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
2020年四川省成都市高考数学一诊试卷(理科)-教师用卷
2020年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z1与z2=−3−i(i为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1=()A. −3iB. −3+iC. 3+iD. 3−i【答案】B【解析】解：∵复数z1与z2=−3−i(i为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z1与z2=−3−i(i为虚数单位)的实部相等，虚部互为相反数，则z1=−3+i．故选：B．由已知可得复数z1与z2=−3−i(i为虚数单位)的实部相等，虚部互为相反数，则z1可求．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.已知集合A={−l,0，m)，B={l,2}，若A∪B={−l,0，1，2}，则实数m的值为()A. −l或0B. 0或1C. −l或2D. l或2【答案】D【解析】解：集合A={−l,0，m)，B={l,2}，A∪B={−l,0，1，2}，因为A，B本身含有元素−1，0，1，2，所以根据元素的互异性，m≠−1，0即可，故m=1或2，故选：D．因为A∪B={−l,0，1，2}，A，B本身含有元素−1，0，1，2，根据元素的互异性m≠−1，0，求出m即可．考查已知集合并集求含参问题，基础题．3.若sinθ=√5cosθ，则tan2θ=()A. −√53B. √53C. −√52D. √52【答案】C【解析】解：若sinθ=√5cosθ，则tanθ=√5，则tan2θ=2tanθ1−tan2θ=−√52，故选：C．由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50,100]内，按得分分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为()A. 72.5B. 75C. 77.5D. 80【答案】A【解析】解：由频率分布直方图得：[50,70)的频率为：(0.010+0.030)×10=0.4，[70,80)的频率为：0.040×10=0.4，∴这100名同学的得分的中位数为：70+0.5−0.40.4×10=72.5．故选：A．由频率分布直方图求出[50,70)的频率为0.4，[70,80)的频率为0.4，由此能求出这100名同学的得分的中位数．本题考查中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5=3a3，则S9S5=()A. 95B. 59C. 53D. 275【答案】D【解析】解：依题意，S9S5=a1+a92×9a1+a52×5=9a55a3，又a5a3=3，∴S9S5=95×3=275，故选：D．将S9，S5转化为用a5，a3表达的算式即可得到结论．本题考查了等差数列的前n项和，等差中项的性质，考查计算能力，属于基础题．6.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是()A. 若m//α，n//β，且α//β，则m//nB. 若m//α，n//β，且α⊥β，则m//nC. 若m⊥α，n//β，且α//β，则m⊥nD. 若m⊥α，n//β且α⊥β，则m⊥n【答案】C【解析】解：由m//α，n//β，且α//β，得m//n或m与n异面，故A错误；由m//α，n//β，且α⊥β，得m//n或m与n相交或m与n异面，故B错误；由m⊥α，α//β，得m⊥β，又n//β，则m⊥n，故C正确；由m⊥α，n//β且α⊥β，得m//n或m与n相交或m与n异面，故D错误．故选：C．由考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．7.(x2+2)(x−1x)6的展开式的常数项为()A. 25B. −25C. 5D. −5【答案】B【解析】解：(x−1x)6的通项公式为T r+1=∁6r x6−r(−1x)r=(−1)r∁6r x6−2r，r=0，1，2， (6)则(x2+2)(x−1x)6的展开式的常数项须6−2r=0或者6−2r=−2⇒r=3或者r=4：∴常数项为(−1)4∁64+2×(−1)3∁63=15−40=−25．故选：B．求出(x −1x )6的通项公式，考虑r =3，r =4时的系数，相加求和即可得到所求值．本题考查了二项式定理的应用，注意运用分类组合法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8. 将函数y =sin (4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为( )A. f(x)=sin (2x +π6) B. f(x)=sin (2x −π3) C. f(x)=sin (8x +π6) D. f(x)=sin (8x −π3)【答案】A【解析】解：函数y =sin (4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y =sin (2x −π6)的图象，再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)=sin (2x +π6)的图象，故选：A ．直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9. 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，M ，N 是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|=5，则线段MN 的中点到y 轴的距离为( )A. 3B. 32C. 5D. 52【答案】B【解析】解：由抛物线方程得，准线方程为：x =−1， 设M(x,y)，N(x′,y′)，由抛物线的性质得，MF +NF =x +x′+p =x +x′+2=5， 中点的横坐标为32，线段MN 的中点到y 轴的距离为：32，故选：B ．抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可． 考查抛物线的定义的应用，属于基础题．10. 已知a =212,b =313,c =ln 32，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. b >c >a【答案】C【解析】解：∵a =√2=√86，b =√33=√96，∴1<a <b ． c =ln 32<1．∴c <a <b ． 故选：C ．利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a ，b 的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c <1．本题考查了根式的运算性质、幂函数的单调性、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2−x)=f(2+x)，当x ≤2时，f(x)=(x −1)e x −1.若关于x 的方程f(x)−kx +2k −e +1=0有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ) A. (−2,0)∪(0,2) B. (−2,0)∪(2,+∞) C. (−e,0)∪(0,+∞) D. (−e,0)∪(0,e) 【答案】D【解析】解：由题意，当x ≤2时，f(x)=(x −1)e x −1． f′(x)=xe x ．①令f′(x)=0，解得x =0； ②令f′(x)<0，解得x <0； ③令f′(x)>0，解得0<x ≤2．∴f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,2]上单调递增，在x =0处取得极小值f(0)=−2.且f(1)=−1；x →−∞，f(x)→0． 又∵函数f(x)在R 上满足f(2−x)=f(2+x)， ∴函数f(x)的图象关于x =2对称． ∴函数y =f(x)的大致图象如下：关于x 的方程f(x)−kx +2k −e +1=0可转化为f(x)=k(x −2)+e −1．而一次函数y =k(x −2)+e −1很明显是恒过定点(2,e −1)． 结合图象，当k =0时，有两个交点，不符合题意， 当k =e 时，有两个交点，其中一个是(1,−1).此时y =f(x)与y =k(x −2)+e −1正好相切． ∴当0<k <e 时，有三个交点．同理可得当−e <k <0时，也有三个交点． 实数k 的取值范围为：(−e,0)∪(0,e)． 故选：D ．本题根据题意先利用一阶导数分析当x ≤2时，f(x)=(x −1)e x −1.的函数单调性及图象，然后根据f(2−x)=f(2+x)可知函数f(x)关于x =2对称．即可画出函数y =f(x)的大致图象．一次函数y =k(x −2)+e −1.很明显是恒过定点(2,e −1).则只要考查斜率k 的变动情况，当k =e 时，y =f(x)与y =k(x −2)+e −1正好在(1,−1)处相切，再根据数形结合法可得k 的取值范围，当x >2时也同理可得． 本题主要考查数形结合法的应用，利用导数分析函数的单调性并画出函数图象，再根据直线过定点而斜率变动分析出斜率的取值范围．本题属中档题．12. 如图，在边长为2的正方形AP 1P 2P 3中，线段BC 的端点B ，C 分别在边P 1P 2，P 2P 3上滑动，且P 2B =P 2C =x.现将△AP 1B ，△AP 3C 分别沿AB ，AC 折起使点P 1，P 3重合，重合后记为点P ，得到三棱锥P −ABC.现有以下结论：①AP ⊥平面PBC ；②当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π； ③x 的取值范围为(0,4−2√2)；④三棱锥P −ABC 体积的最大值为13． 则正确的结论的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：折起后，△CP 3A≌△CPA ，故A P ⊥PC ． 同理，AP ⊥PB ，所以AP ⊥平面PBC ，①正确；当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，PB =PC =1，BC =√2， 所以PB 2+PC 2=BC 2，又AP ⊥平面PBC ，所以PA ，PB ，PC 两两垂直，所以三棱锥P −ABC 的外接球与 以PA ，PB ，PC 为长宽高的长方体的外接球半径相等．设半径为r ，所以(2r)2=22+12+12=6，S =4πr 2=6π． 即三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π，②正确；因为P 2B =P 2C =x ，所以PB =PC =2−x ，而BC =√2x ， 故2(2−x)>√2x ，解得x <4−2√2，③正确；因为△PBC 的面积为S =12×√2x ×√(2−x)2−(√22x)2=12√x 4−8x 3+8x 2设f(x)=x 4−8x 3+8x 2，f′(x)=4x 3−24x 2+16x =4x(x 2−6x +4)当0<x <3−√5时，f′(x)>0，当3−√5<x <4−2√2时，f′(x)<0 f max =f(3−√5)>f(1)=12，所以S >12．V P−ABC =V A−PBC =13S ×2=23S >13，④错误．故选：C ．根据折起形状的形成条件，分析各结论，即可判断真假．本题主要考查线面垂直的判定定理的应用，三棱锥的体积以及其外接球的体积求法，意在考查学生的直观想象能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于较难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0，则z =x +2y 的最大值为______．【答案】6【解析】解：作出实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0对应的平面区域如图：(阴影部分)由z =x +2y 得y =−12x +12z ， 平移直线y =−12x +12z ，由图象可知当直线y =−12x +12z 经过点A 时，直线y =−12x +12z 的截距最大， 此时z 最大．由{x +y −4=0x −2y +2=0，解得A(2,2)， 代入目标函数z =x +2y 得z =2×2+2=6 故答案为：6．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，是基础题．14. 设正项等比数列{a n }满足a 4=81，a 2+a 3=36，则a n =______． 【答案】3n【解析】解：依题意{a 1q 3=81a 1q +a 1q 2=36，解得{a 1=3q =3， ∴a n =a 1⋅q n−1=3⋅3n−1=3n ， 故答案为：3n ．将已知条件转化为基本量a 1，q 的方程组，解方程组得到a 1，q ，进而可以得到a n ． 本题考查了等比数列的通项公式，主要考查计算能力，属于基础题．15. 已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=√3，且b ⃗ ⊥(a −b ⃗ )，则向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角的大小为______． 【答案】π6【解析】【分析】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出向量a⃗ 与b ⃗ 的夹角的大小． 【解答】解：∵平面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2，b ⃗ =√3，且b ⃗ ⊥(a −b⃗ )，∴b ⃗ ⋅(a −b ⃗ )=b −⋅a −b ⃗ 2=0，∴a ⋅b ⃗ =b ⃗ 2． 设向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角的大小为θ，则2⋅√3⋅cosθ=3，求得cosθ=√32，故θ=π6，故答案为：π6．16. 已知直线y =kx 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足|AF|=3|BF|，|OA|=b(O 为坐标原点)，则双曲线C 的离心率为______． 【答案】√3【解析】解：设|BF|=m ，则|AF|=3|BF|=3m ， 取双曲线的右焦点F′，连接AF′，BF′， 可得四边形AF′BF 为平行四边形， 可得|AF′|=|BF|=m ，设A 在第一象限，可得3m −m =2a ，即m =a ， 由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和， 可得(2b)2+(2c)2=2(a 2+9a 2)， 化为c 2=3a 2，则e =ca =√3．故答案为：√3．取双曲线的右焦点F′，连接AF′，BF′，可得四边形AF′BF 为平行四边形，运用双曲线的定义和平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，以及离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查平行四边形的性质，以及化简运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2−a 2=4√23bc ．(Ⅰ)求sin A 的值；(Ⅱ)若△ABC 的面积为√2，且√2sinB =3sinC ，求△ABC 的周长． 【答案】解：(Ⅰ)∵b 2+c 2−a 2=4√23bc ， ∴由余弦定理可得2bccosA =4√23bc ， ∴cosA =2√23， ∴在△ABC 中，sinA =√1−cos 2A =13． (Ⅱ)∵△ABC 的面积为√2，∴12bcsinA =16bc =√2，即bc =6√2， 又∵√2sinB =3sinC ，∴由正弦定理可得√2b =3c ， ∴b =3√2，c =2，∴由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA =6， ∴a =√6，∴△ABC 的周长为2+3√2+√6．【解析】本题考查了余弦定理，同角三角函数的基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(Ⅰ)由已知利用余弦定理可求cos A 的值，进而根据同角三角函数的基本关系式可求sin A 的值．(Ⅱ)利用三角形的面积公式可求bc 的值，由正弦定理化简已知等式可得√2b =3c ，解得b ，c 的值，根据余弦定理可求a 的值，即可求解三角形的周长．18. 某公司有l 000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G 手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G 手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G 手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．属于“追光族” 属于“观望族” 合计女性员工 男性员工合计10010名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ． P(K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】解：Ⅰ由题，列联表如下：属于“追光族” 属于“观望族” 合计 女性员工 20 40 60 男性员工 20 20 40 合计4060 100∵K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(20×20−40×20)240×60×60×40=259≈2.778<3.841，∴没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关； (Ⅱ)由题，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3，P(X =0)=37C 30CC 03=724，P(X =1)=27C 31CC 103=2140，P(X =2)=17C 32CC 103=740，P(X =3)=C 33C 103=1120，X 0 1 2 3P72421407401120∴E(X)=1×2140+2×740+3×1120=910．【解析】(Ⅰ)根据题意，列出列联表，计算K 2，查表判断即可；(Ⅱ)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，分布求出对应概率，列出分布列，求期望即可．本题考查了独立性经验，考查了超几何分布，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，AP ⊥平面PBC ，底面ABCD 为菱形，且∠ABC =60°，E 分别为BC 的中点．(Ⅰ)证明：BC ⊥平面PAE ；(Ⅱ)若AB =2.PA =1，求平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值．【答案】解：(Ⅰ)如图，连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，且∠ABC =60°，所以△ABC 为正三角形， 因为E 为BC 的中点，所以BC ⊥AE ， 又因为AP ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以BC ⊥AP ，因为AP ∩AE =A ，AP ，AE ⊂平面PAE ， 所以BC ⊥平面PAE ；(Ⅱ)因为AP ⊥平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以AP ⊥PB ， 又因为AB =2，PA =1，所以PB =√3，由(Ⅰ)得BC ⊥PE ，又因为E 为BC 中点，所以PB =PC =√3，EC =1，所以PE =√2，如图，过点P 作BC 的平行线PQ ，则PQ ，PE ，PA 两两互相垂直，以P 为坐标原点，PE⃗⃗⃗⃗⃗ ,PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为xyz 轴的正方形，建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz ，则P(0,0，0)，A(0,0，1)，B(√2,−1,0)，C(√2,1，0)，D(0,2，1)，设平面BAP 的一个法向量m⃗⃗ =(x,y ，z)，又PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−1,0)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得√2x −y =0，z =0，令x =1，则m ⃗⃗ =(1,√2,0)，设平面CDP 的一个法向量n⃗ =(a,b ，c)，又PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,1，0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，1)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得√2a +b =0，2y +z =0，令a =1，则n ⃗ =(1,−√2,2√2)， 所以cos <m ⃗⃗ ,n ⃗ >=√3⋅√11=−√3333， 即平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值为√3333．【解析】(Ⅰ)根据菱形基本性质得BC ⊥AE ，再由线面垂直得BC ⊥AP ，故BC ⊥平面PAE ； (Ⅱ)建立如图所示空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量即可本题考查空间平面二面角问题，涉及证明线面垂直等知识点，建系是解决该类问题的常用方法，属于中档题．20. 已知函数f(x)=(a −1)lnx +x +ax ，a ∈R ．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当a <−1时，证明∀x ∈(1,+∞)，f(x)>−a −a 2． 【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=a−1x+1−ax 2=x 2+(a−1)x−ax 2=(x−1)(x+a)x 2，因为x >0，a ∈R ，所以当a ≥0时，x +a >0，所以函数在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；当−1<a <0时，0<−a <1，函数f(x)在(0,−a)上单调递增，在(−a,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；当a =−1时，f′(x)=(x−1)2x 2≥0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a <−1时，−a >1，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,−a)上单调递减，在(−a,+∞)上单调递增； (Ⅱ)当a <−1时，由(Ⅰ)得，函数f(x)在(1,−a)上单调递减，在(−a,+∞)上单调递增； 函数f(x)在(1,+∞)上的最小值为f(−a)=(a −1)ln (−a)−a −1，欲证明不等式f(x)>−a −a 2成立，即证明−a −a 2<(a −1)ln (−a)−a −1， 即证明a 2+(a −1)ln (−a)−1>0，因为a <−1，所以只需证明ln (−a)<−a −1， 令ℎ(x)=lnx −x +1(x ≥1)，则ℎ′(x)=1x −1=−(x−1)x≤0，所以函数ℎ(x)在[1,+∞)上单调递减，则有ℎ(x)≤ℎ(1)=0， 因为a <−1，所以−a >1，所以ℎ(−a)=ln (−a)+a +1<0，即当a <−1时，ln (−a)<−a −1成立， 所以当a <−1时，任意x ∈(1,+∞)，f(x)>−a −a 2．【解析】(Ⅰ)先求出函数的导数，通过讨论a 的范围，得到函数的单调区间；(Ⅱ)欲证明不等式f(x)>−a −a 2成立，即证明−a −a 2<(a −1)ln (−a)−a −1，设新函数ℎ(x)=lnx −x +1(x ≥1)，利用其单调性求出ℎ(x)≤ℎ(1)=0， 进而得证．本题考查导数的运用，利用分类讨论思想求单调区间，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．21. 已知椭圆C ：x 22+y 2=1的右焦点为F ，过点F 的直线(不与x 轴重合)与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l ：x =2与x 轴相交于点H ，过点A 作AD ⊥l ，垂足为D ． (Ⅰ)求四边形OAHB(O 为坐标原点)面积的取值范围； (Ⅱ)证明直线BD 过定点E.并求出点E 的坐标【答案】解：(Ⅰ)由题意F(1,0)，设直线AB 的方程：x =my +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，与抛物线联立(m 2+2)y 2+2my −1=0，因为△=4m 2+4(m 2+2)>0，y 1+y 2=−2m 2+m 2，y 1y 2=−12+m 2，所以|y 1−y 2|=√(y 1−y 2)2−41yy 2=2√2√1+m 22+m 2， 所以四边形OAHB 的面积S =12|OH|⋅|y 1−y 2|=|y 1−y 2|=2√2⋅√1+m 22+m2，令t =√1+m 2≥1，S =2√2t1+t2=2√2t+1t≤√2，当且仅当t =1时，即m =0时取等号，所以0<S ≤√2，所以四边形OAHB 的面积的取值范围为(0,√2,] (Ⅱ)B(x 2，y 2)，D(2,y 1)，k BD =y 1−y 22−x 2，所以直线BD 的方程：y −y 1=y 1−y 22−x 2(x −2)，令y =0，得x =x 2y 1−2y 2y 1−y 2=my 1y 2+y 1−2y 2y 1−y 2由(Ⅰ)得，y 1+y 2=−2m2+m 2，y 1y 2=−12+m 2，所以y 1+y 2=2my 1y 2，化简得x =12(y 1+y 2)+y 1−2y 2y 1−y 2=32(y 1−y 2)y 1−y 2=32，所以直线BD 过定点E(32,0)．【解析】(Ⅰ)由题意设直线AB 的方程，带入椭圆整理设而不求得出纵坐标之和与之积，将四边形的面积分成2个三角形，底相同与纵坐标之差的绝对值之积的二分之一，然后又均值不等式可得面积的取值范围；(Ⅱ)由(Ⅰ)得，B ，D 的坐标，设直线BD 的方程，令纵坐标为零得横坐标是定值，即直线BD 过定点． 考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是曲线C 1：x 2+(y −2)2=4上的动点，将OP 绕点O 顺时针旋转90°得到OQ ，设点Q 的轨迹为曲线C 2以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，点M(3,π2)，射线θ=π6(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别相交于异于极点O 的A ，B 两点，求△MAB 的面积．【答案】解：(Ⅰ)由题意，点Q 的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆， 则曲线C 2：(x −2)2+y 2=4，∵ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ，y =ρsinθ， ∴曲线C 1的极坐标方程为ρ=4sinθ， 曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ；(Ⅱ)在极坐标系中，设A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2， ∴|AB|=|ρ1−ρ2|=4|sin π6−cos π6|=2(√3−1)．又∵M(3,π2)到射线θ=π6(ρ≥0)的距离ℎ=3sin π3=3√32．∴△MAB 的面积S =12|AB|⋅ℎ=9−3√32． 【解析】(Ⅰ)由题意，点Q 的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，写出其普通方程，再结合ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ，y =ρsinθ，可得曲线C 1，C 2的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，设A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，求得|AB|=|ρ1−ρ2|，再求出M(3,π2)到射线θ=π6(ρ≥0)的距离ℎ=3sin π3=3√32，代入三角形面积公式求△MAB 的面积．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，是中档题．23. 已知函数f(x)=|x −3|．(Ⅰ)解不等式f(x)≥4−|2x +l|；(Ⅱ)若1m +4n =2(m >0,n >0)，求证：m +n ≥|x +32|−f(x)．【答案】解：(I)原不等式可化为：|x −3|≥4−|2x +1|，即|2x +1|+|x −3|≥4， 当x ≤−12时，不等式−2x −1−x +3≥4，解得x ≤−23，故x ≤−23； 当−12<x <3时，不等式2x +1−x +3≥4，解得x ≥0，故0≤x <3； 当x ≥3时，不等式2x +1+x −3≥4，解得x ≥0，故x ≥3； 综上，不等式的解集为(−∞,−23]∪[0,+∞)； (II)因为f(x)=|x −3|，所以|x +32|−f(x)=||x +32|−|x −3|≤|x +32−x +3|=92，当且仅当(x +32)(x +3)≥0，且|x +32|≥|x −3|时，取等号， 又1m +4n =2(m >0,n >0)，所以(m +n)(1m +4n )≥(1+2)2=9，当且仅当m =2n 时，取得等号， 故m +n ≥92，所以m +n ≥|x +32|−f(x)成立．【解析】(I)原不等式可化为：|x −3|≥4−|2x +1|，即|2x +1|+|x −3|≥4，分段讨论求出即可； (II)根据绝对值的性质求出|x +32|−f(x)≤92，m +n ≥92，证明即可．考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，柯西不等式的应用等，中档题．。
2020年四川省成都市双流中学高考数学模拟试卷(文科)(5月份)
2020年四川省成都市双流中学高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1. 已知集合A ={x||x|<2}，集合B ={−1, 0, 1, 2, 3}，则A ∩B =( ) A.{0, 1} B.{0, 1, 2} C.{−1, 0, 1} D.{−1, 0, 1, 2}2. 设复数z 满足(1−i)z ＝3+i ，则|z|＝（ ） A.√2 B.√3C.√5D.√63. 已知a →,b →均为单位向量，若|2a →−b →|=√3，则a →与b →的夹角为（ ） A.π6B.π3C.π2D.2π34. 若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝−1，a 4＝b 4＝8，a2b 2=( )A.−4B.−1C.1D.45. 命题“若△ABC 的三个内角构成等差数列，则△ABC 必有一内角为π3”的否命题（ ） A.与原命题真假相异B.与原命题真假相同C.与原命题的逆否命题的真假不同D.与原命题的逆命题真假相异6. 已知实数x ，y 满足线性约束条件{x ≥1x +y ≥0x −y +2≥0，则z ＝2x +y 的最小值为（ ）A.−1B.1C.−5D.57. 中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法．古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币（如图1）做统计，现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为2cm ，正方形的边长为1cm ，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是P ，则圆周率π的近似值为（ ）A.14(1−p) B.11−pC.11−4pD.41−p8. 将函数y ＝sin ωx （其中ω>0）的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点(3π4,0)，则ω的最小值是（ ）A.13B.1C.53 D.29. 在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC =π2，D 是AC 的中点，E 在BC 上，且AE ⊥BD ，则AE →⋅BC →=( ) A.16 B.12C.8D.−410. 直线l 是圆x 2+y 2＝4在(−1, −√3)处的切线，点P 是圆x 2−4x +y 2+3＝0上的动点，则P 到l 的距离的最小值等于（ ） A.√3 B.2C.3D.411. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF // 平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为（ ）A.[√2,√3]B.[√2,√5]C.[√2,√6]D.[√2,√7]12. 已知点F 1，F 2分别是双曲线C:x 2−y 2b 2=1(b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足|F 1F 2|＝2|OP|，tan ∠PF 2F 1≥3，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ） A.(1, √102] B.[√102,+∞) C.(1, √102) D.(√102, 2] 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡上的相应位置.13. 设曲线y ＝ax +e x 在点(0, 1)处的切线方程为3x −y +1＝0，则a ＝________．14. 若4sin α−3cos α＝0，则sin 2α+2cos 2α＝________．15. 若椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与圆C 1:x 2+y 2＝9和圆C 2:x 2+y 2＝8均有且只有两个公共点，则椭圆C的标准方程是________x 29+y 28=1 ．16. 已知三棱锥S −ABC 的各顶点都在同一个球面上，△ABC 所在截面圆的圆心O 在AB 上，SO ⊥面ABC ，AC＝1，BC =√3，若三棱锥的体积是√33，则该球体的球心到棱AC 的距离是________． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，a 2⋅a 4＝8，S 5＝15；等比数列{b n }的前n 项和T n =2n −1． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （2）当{a n }各项为正时，设c n ＝a n ⋅b n ，求数列{c n }的前n 项和．18. 如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形AB // CD，∠ABC＝∠BCD＝90∘，BC＝CD=AB2=2．（1）证明：BD⊥PD；（2）若△PAD为正三角形，求C点到平面PBD的距离．19. 为了了解居民的家庭收人情况，某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了n户家庭进行问卷调查．经调查发现，这些家庭的月收人在5000元到8000元之间，根据统计数据作出如图所示的频率分布直方图．已知图中从左至右第一、三、四小组的频率之比为1:3:6，且第四小组的频数为18．（1）求n；（2）求这n户家庭月收人的众数与中位数（结果精确到0.1）；（3）这n户家庭月收入在第一、二、三小组的家庭中，用分层抽样的方法任意抽取6户家庭，并从这6户家庭中随机抽取2户家庭进行慰问，求这2户家庭月收入都不超过6000元的概率．20. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴顶点分别为A，B，且短轴长为2，T为椭圆上异于A，B的任意一点，直线TA，TB的斜率之积为−13．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，圆O:x2+y2=34的切线l与椭圆C相交于P，Q两点，求△POQ面积的最大值．21. 函数f(x)＝a2ln x−a2+a2x2+ax(a≠0)．（1）当a＝−1时，求f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1+2cosαy=√3+2sinα（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝4sinθ（1）写出曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若射线OM:θ＝α0(ρ≥0)平分曲线C1，且与曲线C2交于点A，曲线C2上的点B满足∠AOB=π2，求|AB|．23. 已知a>0，b>0，且a2+b2＝1．（1）证明：(1a+1b)(a5+b5)≥1；（2）若1a2+4b2≥|2x−1|−|x−1|恒成立，求x的取值范围．参考答案与试题解析2020年四川省成都市双流中学高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1.【答案】 C【考点】 交集及其运算 【解析】先求出集合A 和B ，由此利用交集的定义能求出A ∩B ． 【解答】解：∵ 集合A ={x||x|<2}={x|−2<x <2}， B ={−1, 0, 1, 2, 3}， ∴ A ∩B ={−1, 0, 1}． 故选C . 2.【答案】 C【考点】 复数的模 【解析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案． 【解答】由(1−i)z ＝3+i ， 得z =3+i1−i =(3+i)(1+i)(1−i)(1+i)=2+4i 2=1+2i ，则|z|=√1+22=√5． 3.【答案】 B【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】根据平面向量的数量积，利用模长公式和两向量的夹角公式，计算即可． 【解答】由a →,b →为单位向量，且|2a →−b →|=√3， 所以(2a →−b →)2=3， 即4a →2−4a →⋅b →+b →2=3； 设a →与b →的夹角为θ， 则4−4cos θ+1＝3，解得cos θ=12；又θ∈[0, π]， 所以θ=π3． 4.【答案】 C【考点】等差数列与等比数列的综合 【解析】等差数列{a n }的公差设为d 和等比数列{b n }的公比设为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d ，q ，计算可得所求值． 【解答】等差数列{a n }的公差设为d 和等比数列{b n }的公比设为q ， 由a 1＝b 1＝−1，a 4＝b 4＝8， 可得−1+3d ＝−q 3＝8， 可得d ＝3，q ＝−2， 则a 2b 2=−1+3−(−2)=1，5.【答案】 B【考点】四种命题间的逆否关系 【解析】根据命题的否命题与原命题的关系，写出否命题，并判断逆命题的真假即可得到结论． 【解答】原命题“若△ABC 的三个内角构成等差数列，则△ABC 必有一内角为π3”；若A ，B ，C 成等差数列，则A +C ＝2B ，又A +C +B ＝3B ＝π；解得B =π3；故其为真命题； 否命题：“若△ABC 的三个内角不能构成等差数列，则△ABC 任意内角均不为π3”根据互为逆否命题的两命题同真假，否命题与逆命题互为逆否命题，即可以研究其逆命题的真假； 逆命题为：若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三个内角构成等差数列”； 若△ABC 有一内角为π3，不妨设B =π3，则A +C ＝π−B =2π3=2B ；所以A +C ＝2B ；即△ABC 的三个内角构成等差数列；所以其逆命题为真； 则否命题为真； 6.【答案】 B【考点】简单线性规划 【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可． 【解答】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：z ＝2x +y ，其中z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值， 联立直线方程：{x =1x +y =1，可得点的坐标为：A(1, −1)，据此可知目标函数的最小值为：z ＝2x +y ＝2−1＝1． 7.【答案】 A【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】计算圆形钱币的面积和正方形的面积，求出对应面积比得P ，则π可求． 【解答】圆形钱币的半径为2cm ，面积为S 圆＝π⋅22＝4π； 正方形边长为1cm ，面积为S 正方形＝12＝1． 在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是 P =S−S S=1−14π，则π=14(1−p)．8.【答案】 D【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】图象变换后所得图象对应的函数为y ＝sin ω(x −π4)，再由所得图象经过点(3π4,0)可得sin ω(3π4−π4)＝sin (ωπ2)＝0，故ω⋅π2=kπ，由此求得ω的最小值． 【解答】将函数y ＝sin ωx （其中ω>0）的图象向右平移π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝sin ω(x −π4)．再由所得图象经过点(3π4,0)可得sin ω(3π4−π4)＝sin (ωπ2)＝0，∴ ω⋅π2=kπ，k ∈z ． 故ω的最小值是2， 9.【答案】 A【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】由题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量AE →、BD →和BC →，计算即可． 【解答】建立平面直角坐标系，如图所示；则A(0, 4)，B(0, 0)，C(6, 0)，D(3, 2)， 设E(x, 0)，则AE →=(x, −4)，BD →=(3, 2)， 由AE ⊥BD ，得AE →⋅BD →=3x −8＝0，解得x=83，∴ AE →=(83, −4)； 又BC →=(6, 0)，∴ AE →⋅BC →=83×6−4×0＝16．10.【答案】 B【考点】直线与圆的位置关系 圆的切线方程 【解析】根据题意，由圆的切线方程可得直线l 的方程，由圆的方程分析圆的圆心与半径，进而求出圆心到直线l 的距离，结合直线与圆的位置关系分析可得答案． 【解答】根据题意，直线l 是圆x 2+y 2＝4在(−1, −√3)处的切线，则直线l 的方程为−x −√3y ＝4，变形可得x +√3y +4＝0，圆x2−4x+y2+3＝0，即(x−2)2+y2＝1，其圆心为(2, 0)，半径r＝1，点P是圆x2−4x+y2+3＝0上的动点，则圆心到直线l的距离d=1+3=3，则P到l的距离的最小值d−r＝3−1＝2；11.【答案】C【考点】棱柱的结构特征【解析】过E作出与平面BB1D1D平行的截面，得出F的轨迹，从而得出EF的长度范围．【解答】取AD的中点N，A1D1的中点M，连结MN，NE，ME，则NE // BD，MN // DD1，∴平面MNE // 平面BDD1B1，∴当F在线段MN上时，EF始终与平面BB1D1D平行，故EF的最小值为NE=√2，最大值为ME=√4+2=√6．12.【答案】A【考点】双曲线的离心率【解析】由|F1F2|＝2|OP|，可得PF1⊥PF2，利用勾股定理及双曲线的定义，结合tan∠PF2F1≥3列式求解双曲线C的离心率的取值范围．【解答】∵|F1F2|＝2|OP|，∴|OP|＝c，根据三角形的性质可知，△PF1F2为直角三角形，则PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，①由双曲线的定义可得：|PF1|−|PF2|＝2a，即|PF1|＝|PF2|+2a，②将②代入①得：(|PF2|+2a)2+|PF2|2＝4c2，整理可得|PF2|2+2a|PF2|＝2c2−2a2，配方可得(|PF2|+a)2＝2c2−a2，又tan∠PF2F1=|PF1||PF2|≥3，③，则|PF1|≥3|PF2|，结合②得0<|PF2|≤a，则两边同时加上a得：a<|PF2|+a≤2a，即有a2<(|PF2|+a)2≤4a2，所以a2<2c2−a2≤4a2，解得a<c≤√102a即1<e≤√102二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡上的相应位置.13.【答案】2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】先对原函数求导数，然后分别求出切点处的导数值，利用斜率为3，求出a的值．【解答】由已知得f′(x)＝a+e x，∴f′(0)＝a+1．因为切线斜率为3．∴a+1＝3，所以a＝2．14.【答案】5625【考点】二倍角的三角函数【解析】由已知等式利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算求值得解．【解答】∵4sinα−3cosα＝0，∴可得tanα=sinαcosα=34，∴sin2α+2cos2α=2sinαcosα+2cos2αsinα+cosα=2tanα+2tanα+1=2×34+2916+1=5625．15.【答案】x29+y28=1【考点】椭圆的离心率【解析】利用已知条件求出椭圆的半长轴与半短轴的长，即可得到椭圆方程．【解答】椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与圆C1:x2+y2＝9和圆C2:x2+y2＝8均有且只有两个公共点，所以a＝3，b＝2√2，所以椭圆方程为：x29+y28=1，16.【答案】√214【考点】点、线、面间的距离计算【解析】作图，分析可知O1D为球心到棱AC的距离，再求解即可．【解答】∵，△ABC所在截面圆的圆心O在AB上，SO⊥面ABC，AC＝1，BC=√3，若三棱锥的体积是√33，∴ △ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90∘，△ABC 外接圆的半径为12AB =12×√1+3=1，设球心为O 1，半径为R ，过O 作OD ⊥AC 于点D ，连接O 1D ，∵ SO ⊥面ABC ，AD 在平面ABC 内， ∴ SO ⊥AD ，又OD ⊥AD ，OD 在平面SOD 内，SO 在平面SOD 内，SO ∩OD ＝O ， ∴ AD ⊥平面SOD ， ∵ O 1D 在平面SOD 内， ∴ AD ⊥O 1D ，则O 1D 为球心到棱AC 的距离，依题意可得OD =12BC =√32， ∴ 13×12×√3×1×SO =√33， ∴ SO ＝2，则R =√1+(2−R)2， ∴ R =54，∴ OO 1=SO −R =2−54=34，O 1D =√OO 12+OD 2=√214． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【答案】由题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则 {(a 1+d)(a 1+3d)=85a 1+5×42⋅d =15 ，解得{a 1=1d =1 ，或{a 1=5d =−1 ． ∴ 数列{a n }的通项公式为a n ＝n ，或a n ＝6−n ．对于等比数列{b n }，当n ＝1时，b 1＝21−1＝1，当n ≥2时，b n ＝T n −T n−1＝2n −1−2n−1−1＝2n−1． ∴ 数列{b n }的通项公式为b n ＝2n−1． 由题意即（1）知，a n ＝n ， 则c n ＝a n ⋅b n ＝n ⋅2n−1．设数列{c n }的前n 项和为X n ，则X n ＝c 1+c 2+...+c n ＝1⋅1+2⋅2+3⋅22+...+n ⋅2n−1． 2X n ＝1⋅2+2⋅22+...+(n −1)⋅2n−1+n ⋅2n 两式相减，可得−X n ＝1+2+22+...+2n−1−n ⋅2n =1−2n 1−2−n ⋅2n ＝(1−n)⋅2n −1，∴ X n ＝(n −1)⋅2n +1． 【考点】 数列的求和 【解析】本题第（1）题根据等差数列的通项公式和求和公式进行代入计算可得数列{a n }的通项公式，再运用b n ={T 1,n =1T n −T n−1,n ≥2，可得数列{b n }的通项公式；第（2）题先计算出数列{c n }的通项公式，然后运用错位相减法求出前n 项和． 【解答】由题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则{(a 1+d)(a 1+3d)=85a 1+5×42⋅d =15 ，解得{a 1=1d =1 ，或{a 1=5d =−1．∴ 数列{a n }的通项公式为a n ＝n ，或a n ＝6−n ．对于等比数列{b n }，当n ＝1时，b 1＝21−1＝1，当n ≥2时，b n ＝T n −T n−1＝2n −1−2n−1−1＝2n−1． ∴ 数列{b n }的通项公式为b n ＝2n−1． 由题意即（1）知，a n ＝n ， 则c n ＝a n ⋅b n ＝n ⋅2n−1．设数列{c n }的前n 项和为X n ，则X n ＝c 1+c 2+...+c n ＝1⋅1+2⋅2+3⋅22+...+n ⋅2n−1． 2X n ＝1⋅2+2⋅22+...+(n −1)⋅2n−1+n ⋅2n 两式相减，可得 −X n ＝1+2+22+...+2n−1−n ⋅2n=1−2n 1−2−n ⋅2n ＝(1−n)⋅2n −1，∴ X n ＝(n −1)⋅2n +1．18.【答案】证明：因为BC ＝CD ＝2，AB ＝4，又底面ABCD 为直角梯形，∴ AD =2√2,BD =2√2,AD 2+BD 2=AB 2， ∴ BD ⊥AD ，又侧面PAD ⊥底面ABCD ， ∴ BD ⊥平面PAD ， 又PD 在平面PAD 内， ∴ BD ⊥PD ；因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，△PAD 为等边三角形，取AD 的中点M ，连接PM ， ∴ PM ⊥平面ABCD ，PM =√6，∴ V P−BCD =13PM ⋅S △BCD =13×√6×12×2×2=2√63， 设 C 点到 面PBD 的距离为为 d ，则V P−BCD =13dS △PBD =13d ⋅12⋅2√2⋅2√2=2√63， ∴ d =√62．【考点】点、线、面间的距离计算 【解析】（1）利用面面垂直的性质定理即可证出． （2）利用等体法即可求解． 【解答】证明：因为BC ＝CD ＝2，AB ＝4，又底面ABCD 为直角梯形，∴AD=2√2,BD=2√2,AD2+BD2=AB2，∴BD⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，∴BD⊥平面PAD，又PD在平面PAD内，∴BD⊥PD；因为侧面PAD⊥底面ABCD，△PAD为等边三角形，取AD的中点M，连接PM，∴PM⊥平面ABCD，PM=√6，∴V P−BCD=13PM⋅S△BCD=13×√6×12×2×2=2√63，设C点到面PBD的距离为为d，则V P−BCD=13dS△PBD=13d⋅12⋅2√2⋅2√2=2√63，∴d=√62．19.【答案】设从左至右第一、三、四小组的频率分别为p1，p2，p3，则由题意可知：{p2=3p1p3=6p1p1+p2+p3+(0.02+0.04+0.04)×5=1，解得：{p1=0.05p2=0.15p3=0.3，从而n=180.3=60；由于第四小组的频率最大，故这n户家庭月收入的众数为65+702=67.5，由于前4组的频率之和为：0.05+0.1+0.15+0.3＝0.6>0.5，故这n户家庭月收入的中位数应落在第四小组，设中位数为x，则0.05+0.1+0.15+x−652×0.3=0.5，解得：x＝66.3；因为家庭月收入在第一、二、三小组的家庭分别有3，6，9户，按照分层抽样的方法分别抽取1，2，3户，第一组记为a，第二组记为b，c，第三组记为d，e，f，从中随机抽取2户家庭的方法共有(a, b)，(a, c)，(a, d)，(a, e)，(a, f)，(b, c)，(b, d)，(b, e)，(b, f)，(c, d)，(c, e)，(c, f)，(d, e)，(d, f)，(e, f)共有15种，其中这2户家庭月收入都不超过6000元的有：(a, b)，(a, c)，(a, d)，(a, e)，(a, f)，(b, c)，(b, d)，(b, e)，(b, f)，(c, d)，(c, e)，(c, f)，共12种，所以这2户家庭月收入都不超过6000元的概率为P=1215=45．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率频率分布直方图【解析】（1）根据从左至右第一、三、四小组的频率之比为1:3:6，求出第四小组的频率，再由频率=，即可求解；（2）由频率分布直方图第四小组矩形底边中点的横坐标为众数，中位数等于各个小矩形面积与其小矩形底边中点横坐标之积的和；（3）根据分层抽样得出第一、二、三小组应分别抽取1，2，3，分别记为a，b，c，d，e，f，依次列出基本事件个数，由古典概型的概率公式即可求解．【解答】设从左至右第一、三、四小组的频率分别为p1，p2，p3，则由题意可知：{p2=3p1p3=6p1p1+p2+p3+(0.02+0.04+0.04)×5=1，解得：{p1=0.05p2=0.15p3=0.3，从而n=180.3=60；由于第四小组的频率最大，故这n户家庭月收入的众数为65+702=67.5，由于前4组的频率之和为：0.05+0.1+0.15+0.3＝0.6>0.5，故这n户家庭月收入的中位数应落在第四小组，设中位数为x，则0.05+0.1+0.15+x−652×0.3=0.5，解得：x＝66.3；因为家庭月收入在第一、二、三小组的家庭分别有3，6，9户，按照分层抽样的方法分别抽取1，2，3户，第一组记为a，第二组记为b，c，第三组记为d，e，f，从中随机抽取2户家庭的方法共有(a, b)，(a, c)，(a, d)，(a, e)，(a, f)，(b, c)，(b, d)，(b, e)，(b, f)，(c, d)，(c, e)，(c, f)，(d, e)，(d, f)，(e, f)共有15种，其中这2户家庭月收入都不超过6000元的有：(a, b)，(a, c)，(a, d)，(a, e)，(a, f)，(b, c)，(b, d)，(b, e)，(b, f)，(c, d)，(c, e)，(c, f)，共12种，所以这2户家庭月收入都不超过6000元的概率为P=1215=45．20.【答案】由题意可知2b＝2，b＝1，A(0, 1)，B(0, −1)，设T(x0, y0)，满足x02a2+y02=1，由k TA⋅k TB=y0−1x0⋅y0+1x0=y02−1x02=−1a2=−13，则a2＝3，所以椭圆C的方程：x23+y2=1；设直线PQ的方程：x＝my+t，P(x1, y1)，Q(x2, y2)，由O到直线PQ的距离d=2=√32，即t2=34(1+m2)，联立方程组{x=my+tx23+y2=1，消去x，整理得(m2+3)y2+2mty+t2−3＝0，则△＝(2mt)2−4(m2+3)(t2−3)＝12(m2−t2+3)＝3(m2+9)>0，y1+y2=−2mtm2+3，y1y2=t2−3m2+3，则|PQ|=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√3×√(1+m 2)(m 2+9)(m 2+3)2，由(1+m 2)(m 2+9)(m 2+3)2=13×(3+3m 2)(m 2+9)(m 2+3)2≤13×(3+3m 2+m 2+92)2(m 2+3)2=43，当且仅当3+3m 2＝m 2+9，即m 2＝3，m =±√3时取等号， 所以|PQ|=√3×√(1+m 2)(m 2+9)(m 2+3)2≤√3×3=2， 所以△POQ 面积S =12×|PQ|×√32≤12×2×√32=√32， 所以△POQ 面积的最大值√32．【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 椭圆的标准方程 【解析】（1）根据直线的斜率公式及b ＝1，求得椭圆方程；（2）设直线PQ 的方程x ＝my +t ，根据点到直线的距离公式求得t 与m 的关系，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式，根据基本不等式构造，求得|PQ|的最大值，即可求得△POQ 面积的最大值． 【解答】由题意可知2b ＝2，b ＝1，A(0, 1)，B(0, −1)， 设T(x 0, y 0)，满足x 02a2+y 02=1，由k TA ⋅k TB =y 0−1x 0⋅y 0+1x 0=y 02−1x 02=−1a 2=−13，则a 2＝3，所以椭圆C 的方程：x 23+y 2=1；设直线PQ 的方程：x ＝my +t ，P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)， 由O 到直线PQ 的距离d =2=√32，即t 2=34(1+m 2)，联立方程组{x =my +tx 23+y 2=1，消去x ，整理得(m 2+3)y 2+2mty +t 2−3＝0，则△＝(2mt)2−4(m 2+3)(t 2−3)＝12(m 2−t 2+3)＝3(m 2+9)>0， y 1+y 2=−2mt m 2+3，y 1y 2=t 2−3m 2+3，则|PQ|=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√3×√(1+m 2)(m 2+9)(m 2+3)2，由(1+m 2)(m 2+9)(m +3)=13×(3+3m 2)(m 2+9)(m +3)≤13×(3+3m 2+m 2+92)2(m +3)=43，当且仅当3+3m 2＝m 2+9，即m 2＝3，m =±√3时取等号， 所以|PQ|=√3×√(1+m 2)(m 2+9)(m 2+3)2≤√3×√3=2，所以△POQ 面积S =12×|PQ|×√32≤12×2×√32=√32， 所以△POQ 面积的最大值√32． 21.【答案】f(x)的定义域是(0, +∞)， a ＝−1时，f(x)＝ln x −x ，f′(x)=1−x x，令f′(x)>0，解得：x <1，令f′(x)<0，解得：x >1，故f(x)在(0, 1)递增，在(1, +∞)递减； f′(x)=a 2x−(a 2+a)x +a =−a(x−1)[(a+1)x+a]x，①a >0时，(a +1)x +a >0，令f′(x)>0，解得：0<x <1，令f′(x)<0，解得：x >1， 故f(x)在x ＝1处取极大值；②a ≤−1时，(a +1)x +a <0， f′(x)=−a(x−1)[(a+1)x+a]x，令f′(x)>0，解得：0<x <1，令f′(x)<0，解得：x >1， 故f(x)在x ＝1处取极大值； ③a =−12时，f′(x)=(x−1)24x≥0，则f(x)无极值；④−1<a <−12时，令f′(x)>0，解得：0<x <1或x >−a a+1，令f′(x)<0，解得：1<x <−aa+1， 故f(x)在x ＝1处取极大值； ⑤−12<a <0时，令f′(x)>0，解得：0<x <−aa+1或x >1， 令f′(x)<0，解得：−a a+1<x <1，故f(x)在x ＝1处取极小值；综上，a 的范围是(−∞, −12)∪(0, +∞)．【考点】利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）代入a 的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值，确定a 的范围即可． 【解答】f(x)的定义域是(0, +∞)，a ＝−1时，f(x)＝ln x −x ，f′(x)=1−x x，令f′(x)>0，解得：x <1，令f′(x)<0，解得：x >1， 故f(x)在(0, 1)递增，在(1, +∞)递减； f′(x)=a 2x−(a 2+a)x +a =−a(x−1)[(a+1)x+a]x，①a >0时，(a +1)x +a >0，令f′(x)>0，解得：0<x <1，令f′(x)<0，解得：x >1， 故f(x)在x ＝1处取极大值；②a ≤−1时，(a +1)x +a <0， f′(x)=−a(x−1)[(a+1)x+a]x，令f′(x)>0，解得：0<x <1，令f′(x)<0，解得：x >1， 故f(x)在x ＝1处取极大值； ③a =−12时，f′(x)=(x−1)24x≥0，则f(x)无极值；④−1<a <−12时，令f′(x)>0，解得：0<x <1或x >−aa+1， 令f′(x)<0，解得：1<x <−aa+1， 故f(x)在x ＝1处取极大值； ⑤−12<a <0时，令f′(x)>0，解得：0<x <−aa+1或x >1， 令f′(x)<0，解得：−a a+1<x <1，故f(x)在x ＝1处取极小值；综上，a 的范围是(−∞, −12)∪(0, +∞)．选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 【答案】由曲线C 1的参数方程为{x =1+2cos αy =√3+2sin α （α为参数），得(x −1)2+(y −√3)2=4，整理得：x 2+y 2−2x −2√3y =0，∴ ρ2−2ρcos θ−2√3ρsin θ=0，即ρ−2cos θ−2√3sin θ=0； 由ρcos 2θ＝4sin θ，得ρ2cos 2θ＝4ρsin θ， 即x 2＝4y ；曲线C 1是圆，射线OM 过圆心，∴ 射线OM 方程是θ=π3(ρ≥0)， 代入ρcos 2θ＝4sin θ，得ρA =4sinπ3cos 2π3=8√3，又∠AOB =π2，∴ ρB =4sin5π6cos 25π6=83．∴ |AB|=√ρA 2+ρB 2=√(8√3)2+(83)2=16√73．【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 【解析】（1）曲线C 1的参数方程消去参数，能求出曲线C 1的直角坐标方程，由此能求出曲线C 1的极坐标方程；把曲线C 2的极坐标方程两边同时乘以ρ，即可得到曲线C 2的直角坐标方程；（2）射线OM 方程是θ=π3(ρ≥0)，代入曲线C 2的极坐标方程求得A 的极径，再求出B 的极径，再由勾股定理求|AB|． 【解答】由曲线C 1的参数方程为{x =1+2cos αy =√3+2sin α （α为参数），得(x −1)2+(y −√3)2=4，整理得：x 2+y 2−2x −2√3y =0，∴ ρ2−2ρcos θ−2√3ρsin θ=0，即ρ−2cos θ−2√3sin θ=0； 由ρcos 2θ＝4sin θ，得ρ2cos 2θ＝4ρsin θ， 即x 2＝4y ；曲线C 1是圆，射线OM 过圆心，∴ 射线OM 方程是θ=π3(ρ≥0)， 代入ρcos 2θ＝4sin θ，得ρA =4sinπ3cos 2π3=8√3，又∠AOB =π2，∴ ρB =4sin5π6cos 25π6=83．∴ |AB|=√ρA 2+ρB 2=√(8√3)2+(83)2=16√73．23.【答案】证明：(1a+1b )(a 5+b 5)=a 4+b 4+b 5a +a 5b ≥a 4+b 4+2√a 4b 4=(a 2+b 2)2=1；由a 2+b 2＝1得1a 2+4b 2=(1a 2+4b 2)(a 2+b 2)=5+b 2a 2+4a 2b 2≥9，当且仅当“2a 2＝b 2”时取等号，∴ |2x −1|−|x −1|≤9恒成立，当x ≥1时，|2x −1|−|x −1|＝x ≤9，解得1≤x ≤9； 当12≤x <1时，|2x −1|−|x −1|＝3x −2≤9，解得12≤x <1；当x <12时，|2x −1|−|x −1|＝−x ≤9，解得−9≤x <12； 综上，x 的取值范围[−9, 9]． 【考点】 不等式的证明 【解析】（1）利用基本不等式即可证出．（2）利用基本不等式求出1a2+4b2最小值，然后再分类讨论解不等式即可求解．【解答】证明：(1a +1b)(a5+b5)=a4+b4+b5a+a5b≥a4+b4+2√a4b4=(a2+b2)2=1；由a2+b2＝1得1a2+4b2=(1a2+4b2)(a2+b2)=5+b2a2+4a2b2≥9，当且仅当“2a2＝b2”时取等号，∴|2x−1|−|x−1|≤9恒成立，当x≥1时，|2x−1|−|x−1|＝x≤9，解得1≤x≤9；当12≤x<1时，|2x−1|−|x−1|＝3x−2≤9，解得12≤x<1；当x<12时，|2x−1|−|x−1|＝−x≤9，解得−9≤x<12；综上，x的取值范围[−9, 9]．。
2020年四川省成都市双流中学高考数学模拟试卷(文科)(5月份) (含答案解析)
2020年四川省成都市双流中学高考数学模拟试卷(文科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合 A ={x|x 2<4}，B ={0,1，2，3}，则A ∩B =( )A. ⌀B. {0}C. {0,1}D. {0,1，2}2. 已知复数z 满足(2−i)z =|3+4i|，则z =( )．A. −2−iB. 2−iC. −2+iD. 2+i3. 已知a ⃗ ,b ⃗ 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|3a ⃗ +b ⃗ |等于( )A. 4B. √13C. √10D. √74. 已知−1,a 1,a 2,−4成等差数列，−1,b 1,b 2,b 3,−4成等比数列，则a 2−a 1b 2等于( )A. −12B. 14C. 12D. −12或12 5. 下列四个命题： ①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若k >0，则方程x 2+2x −k =0有实根”的逆否命题；④“若ab ≠0，则a ≠0”的否命题．其中真命题的个数是 ( )A. 0B. 1C. 2D. 36. 已知x ，y 满足线性约束条件{2x −y ⩽0x −y +1⩾0x +y −1⩾0，则z =2x +y 的最小值为 ( )A. 4B. 2C. 1D. 13 7. 《世界数学史简编》的封面有一图案(如图)，该图案的正方形内有一内切圆，圆内有一内接正三角形，在此图案内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A. π4−3√316B. π2−3√316C. π4−3√38D. π2−3√38 8. 将函数f(x)=sinωx(其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点(7π4,0)，则ω的最小值是( ) A. 13 B. 23 C. 43 D. 53 9. 在矩形ABCD 中，若AB =3，AD =4，E 是CD 的中点，F 在BC 上，若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =10，则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A. −5B. −6C. −7D. 113 10. 直线l 是圆x 2+y 2=4在(−1,−√3)处的切线，点P 是圆x 2−4x +y 2+3=0上的动点，则P到l 的距离的最小值等于( )A. √3B. 2C. 3D. 411. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF //平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为( )A. [√2,√3]B. [√2,√5]C. [√2,√6]D. [√2,√7]12. 已知点F 1、F 2是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足|F 1F 2|=2|OP|，|PF 1|≥3|PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( ) A. (1,+∞) B. [√102,+∞) C. (1,√102] D. (1,52] 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =e x 在点(0,1)处的切线方程是______．14. 已知，则sin2α=__________． 15. 椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为(2,0)，且点(2,3)在椭圆上，则椭圆的短轴长为______ ．16.已知三棱锥S−ABC的各顶点都在一个球面上，▵ABC所在截面圆的圆心O在AB上，SO⊥面ABC，AC=1，BC=√3，若三棱锥的体积是√3，则该球体的球心到棱AC的距离是_______．3三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.公差不为0的等差数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S4=10，且a1，a3，a9成等比数列．(Ⅰ)求｛a n｝的通项公式；}的前n项和T n．(Ⅱ)求数列{a n3n18.如图，四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，AB=BC=1AD=1，∠BAD=∠ABC=90°．2(1)证明：PD⊥AB；(2)取AD中点E，求点E到平面PAC的距离．19.某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,200)，[220.240),[240,260)，[260,280)，[280,300)分组的频率分布直方图如图．(1)求月平均用电量的众数和中位数；(2)在月平均用电量为[220.240),[240,260)，[260,280)，[280,300)的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[240.260)的用户中应抽取多少户？20.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)离心率为12，焦距为2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)直线l与椭圆切于点P，OQ⊥l，垂足为Q，其中O为坐标原点．求△OPQ面积的最大值．21.已知函数f(x)=ax2−lnx+(a−2)x．(Ⅰ)求f(x)的单调区间：(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为{x=cosα,y=3sinα(α为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=6．(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(ρ≥0).设m与C相交于点M，m与l相交于点N，求|MN|．(2)若射线m的极坐标方程为θ=π323.已知函数f(x)=|x+2|−|x−1|．(1)求不等式f(x)≥−2的解集；(2)设a，b，c为正实数，若函数f(x)的最大值为m，且a+b+2c=m，求证ab+ac+bc+c2≤9．4-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵集合A={x|x2<4}={x|−2<x<2}，B={0,1，2，3}，∴A∩B={0,1}．故选：C．先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B的值．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.答案：D解析：解：由(2−i)z=|3+4i|=5，得z=52−i =5(2+i)(2−i)(2+i)=2+i．故选：D．把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：B解析：解：a⃗,b⃗ 均为单位向量，它们的夹角为60°，∴a⃗⋅b⃗ =1×1×cos60°=12，∴(3a⃗+b⃗ )2=9a⃗2+6a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=9+6×12+1=13，∴|3a⃗+b⃗ |=√13．故选：B．根据平面向量的数量积，计算模长|3a⃗+b⃗ |即可．本题考查了利用平面向量的数量积求模长的应用问题，是基础题．4.答案：C解析：【试题解析】由等差数列的通项公式可得公差d，运用等比数列的性质，注意奇数项的符号为负，即可得到所求值．本题考查等差数列和等比数列的定义和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．答案：解：−1，a1，a2，−4成等差数列，设公差为d，可得d=a2−a1=−4−(−1)4−1−4−(−1)3=−1，−1，b1，b2，b3，−4成等比数列，可得b22=−1×(−4)=4，且b2<0，解得b2=−2，则a2−a1b2=12，故选：C．5.答案：C解析：此题考查四种命题的关系及真假的判断，利用原命题与逆否命题同真假，否命题与逆命题同真假分别判断．解：①逆命题为：三个内角均为60°的三角形为等边三角形，所以逆命题为真命题；②逆命题为：面积相等的三角形为全等三角形，为假命题，所以否命题为假命题；③因为方程x2+2x−k=0有实根，则Δ=4+4k≥0，解得k≥−1，所以原命题为真命题，则逆否命题为真命题；④因为逆命题：若a≠0，则ab≠0为假命题，所以否命题为假命题．故选C．。
四川省双流中学2020届高三数学考前第一次模拟考试试卷 理(含解析)
四川省双流中学2020届高三数学考前第一次模拟考试试卷理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.已知集合，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】：先解A、B集合，再取并集。
【详解】：先解，故选B【点睛】：一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。
2.2.已知为虚数单位，现有下面四个命题若复数满足，则；若复数满足，则为纯虚数；若复数满足，则；复数与，，在复平面内对应的点关于实轴对称.其中的真命题为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由虚数单位的性质及复数的基本概念逐一核对四个选项得答案．【详解】对于：由，得，则，故是假命题；对于：若复数满足，则，故为纯虚数，则为真命题；对于，若复数满足，则，是假命题，如，；对于：复数与，的实部相等，虚部互为相反数，则在复平面内对应的点关于实轴对称，故是真命题.故选D.【点睛】本题考查了复数的运算法则，复数的实部与虚部的定义，命题的真假判定，注意概念的掌握以及计算的准确性.3.3.林管部门在每年3月12日植树节前，为保证树苗的质量，都会在植树节前对树苗进行检测，现从甲乙两种树苗中抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图.根据茎叶图，下列描述正确的是（）A. 甲树苗的平均高度大于乙树苗的平均高度，且甲种树苗比乙种树长的整齐.B. 甲树苗的平均高度大于乙树苗的平均高度，但乙种树苗比甲种树长的整齐.C. 乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均高度，且乙种树苗比甲种树长的整齐.D. 乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树长的整齐.【答案】D【解析】解：由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为：甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47由已知易得：甲的均值为 ="(19+20+21+23+25+29+31+32+33+37)"10 =27乙的均值为 ="(10+10+14+26+27+30+44+46+46+47)"10 =30S甲2＜S乙2故：乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐．故选D4.4.若是满足约束条件，且，则的最大值为（）A. 1B. 4C. 7D. 10【答案】C【解析】【分析】把约束条件化为，画出约束条件表示的平面区域，由得目标函数，即可求得的最大值.【详解】∵点是满足约束条件∴，画出不等式组表示的平面区域，如图所示：由得目标函数.由图形可知，目标函数过点时，取得最大值，由，解得.∴的最大值为故选C.【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.5.已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线的倾斜角的取值范围是，其斜率为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由一条渐近线的倾斜角的取值范围[，]，则tan≤≤tan，即为≤≤，即，记易知：在上单调递减，上单调递增，，∴的取值范围是故选:D6.6.我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之剩三，七七数之剩六，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”.若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.现将该问题以程序框图（6题图）给出，执行该程序框图，则输出的等于（）A. 13B. 11C. 15D. 8【答案】A【解析】【分析】：按照程序框图的流程逐一写出前面有限项，最后得出输出的结果。
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2020年四川省成都市双流中学高考数学一模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=，集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|x2≥4}，则如图中阴影部分所表示的集合为（）A. {-2，-1，0，1}B. {0}C. {-1，0}D. {-1，0，1}2.如果复数（1-ai）的实部和虚部互为相反数，那么a等于（）A. -B. -1C.D. 13.若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图．该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）A. 6500元B. 7000元C. 7500元D. 8000元4.直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（）A. 0＜m＜1B. -4＜m＜2C. m＜1D. -3＜m＜15.已知直线l1：x•sinα+y-1=0，直线l2：x-3y•cosα+1=0，若l1⊥l2，则sin2α=（）A. B. C. D.6.一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（）A. 1-B.C.D.7.已知函数g（x）=f（x）+x2是奇函数，当x＞0时，函数f（x）的图象与函数y=log2x的图象关于y=x对称，则g（-1）+g（-2）=（）A. -7B. -9C. -11D. -138.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin3x的图象，只需将f（x）的图象（）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位9.已知0＜a＜b＜1，则a b，log b a，的关系是（）A. ＜a b＜log b aB. ＜log b a＜a bC. log b a＜＜a bD. a b＜＜log b a10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A. 20πB. 16πC. 12D. 811.已知直线与椭圆交于A，B两点,与圆交于C，D两点若存在,使得,则椭圆的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.12.若函数在区间A上,对,b,,,,为一个三角形的三边长,则称函数为“三角形函数”已知函数在区间上是“三角形函数”,则实数m的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为______．14.已知向量=（1，），=（3，m），且在上的投影为3，则向量与夹角为______．15.设变量x，y满足约束条件，目标函数z=3x-2y的最小值为-4，则a的值是______．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，C是锐角，且a=2，cos A=，则△ABC的面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.设数列{a n}的前n项之和为S n=-，数列{b n}满足b n=+32n-1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}前n项之和T n．18.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E-ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．19.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D（单位：分贝）与声音能量I（单位：W/cm2）之间的关系，将测量得到的声音强度D i和声音能量I i（i=1，2，…，10）数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值．1.04×10-1 145.7-11.51.56×10-210.51 6.88×10-11 5.1表中W i=lg I i，．（1）根据散点图判断，D=a1+b1I与D=a2+b2lg I哪一个适宜作为声音强度D关于声音能量I的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程；（3）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且．已知点P的声音能量等于声音能量I1与I2之和．请根据（1）中的回归方程，判断P点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由．附：对于一组数据（μ1，v1），（μ2，v2），…，（μn，v n），其回归直线v=α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．20.如图所示，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F垂直于x轴的直线与抛物线C相交于A，B两点，抛物线C在A，B两点处的切线及直线AB所围成的三角形面积为4．（1）求抛物线C的方程；（2）设M，N是抛物线C上异于原点O的两个动点，且满足k OM•k ON=k OA•k OB，求△OMN面积的取值范围．21.已知函数f（x）=ax2-x-ln x，（a∈R，ln x≤x-1）．（1）若时，求函数f（x）的最小值；（2）若-1≤a≤0，证明：函数f（x）有且只有一个零点；（3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为）（t为参数，0≤α＜π），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设点M的坐标为（1，0），直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．由图象可知阴影部分对应的集合为A∩（U B），然后根据集合的基本运算求解即可. 【解答】解：由Venn图可知阴影部分对应的集合为A∩（U B），∵B={x|x2≥4}={x|x≥2或x≤-2}，A={-2，-1，0，1，2}，∴U B={x|-2＜x＜2}，即A∩（U B）={-1，0，1}，故选：D．2.答案：B解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部和虚部互为相反数求解a值．【解答】解：∵（1-ai）=的实部和虚部互为相反数，∴，即a=-1．故选B．3.答案：D解析：【分析】本题考查该教师目前的月退休金的求法，考查条形图和折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，能求出结果．【解答】解：设目前该教师的退休金为x元，则由题意得：6000×15%-x×10%=100．解得x=8000．故选D．4.答案：A解析：解：圆方程整理得：（x-1）2+y2=2，∴圆心（1，0），半径r=，∵直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点，∴直线与圆相交，即d＜r，∴＜，即|m+1|＜2，解得：-3＜m＜1，则直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x+1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是0＜m＜1，故选：A．把圆的方程整理为标准方程，找出圆心坐标与半径r，根据直线与圆有两个不同交点得到直线与圆相交，即圆心到直线的距离d小于半径r，求出m的范围，即可作出判断．此题考查了直线与圆相交的性质，直线与圆有两个不同的交点即为直线与圆相交．5.答案：D解析：【分析】本题考查了两直线的垂直条件，以及二倍角公式，属于基础题；根据两直线垂直的条件，即可求出tanα=3，再根据二倍角公式即可求出．【解答】解：因为l1⊥l2，所以sinα-3cosα=0，所以tanα=3，所以sin2α=2sinαcosα===．故选D．6.答案：A解析：↵【分析】本题考查几何概型的应用，考查运算求解能力，数型结合思想，是基础题.先求出总的三角形的面积，再求出它至少离一个顶点距离小于等于2的区域的面积，根据几何概型即可得到所求概率.【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：其中正三角形ABC的面积=×16=4，满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于等于2的平面区域如图中阴影部分所示，阴影部分的面积为：，则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是：P=1-=1-，故选：A．7.答案：C解析：【分析】本题考查奇函数的定义，以及互为反函数的两函数图象关于直线y=x对称，指数函数和对数函数互为反函数，属于中档题.由x＞0时，函数f（x）的图象与函数y=log2x的图象关于y=x对称，可得出，x＞0时，f（x）=2x，g（x）=2x+x2，再根据g（x）是奇函数即可求出g（-1）+g（-2）的值．【解答】解：∵x＞0时，f（x）的图象与函数y=log2x的图象关于y=x对称；∴x＞0时，f（x）=2x；∴x＞0时，g（x）=2x+x2，又g（x）是奇函数；∴g（-1）+g（-2）=-[g（1）+g（2）]=-（2+1+4+4）=-11．故选：C．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查了三角函数的函数图象，根据函数图象求解析式时，注意应用正弦函数图象的关键点进行求解，考查了读图能力和图象变换法则，属于中档题．根据图象求出φ的值，再由“左加右减”法则判断出函数图象平移的方向和单位长度．【解答】解：∵选项只与平移有关，没有改变函数图象的形状，故ω=3，又函数的图象的与x轴交于点（，0），根据图象，∴3×+φ=π，于是φ=，则f（x）=sin（3x+），故g（x）=sin3x=sin[3（x-）+]，∴函数的图象要向右平移个单位，故选：B．9.答案：A解析：【分析】本题考查对数的运算性质，对数值大小的比较，特殊值法比较大小，是基础题．由题意不妨a，b取特殊值，求出a b，log b a，的值，得到答案．【解答】解：0＜a＜b＜1，不妨取a=，b=，a b=，logb a=2，==-，显然＜a b＜log b a，故选：A．10.答案：A解析：解：根据几何体的三视图，转换为几何体如图：该几何体是底面为边长为2的正方形，有一条侧棱垂直底面的四棱锥，补形该几何体为长方体，过一个顶点的三条棱长分别为2,2，，故几何体的外接球半径R满足：4R2=4+4+12=20，解得：，故：S=4，故选：A．首先把三视图转换为几何体，进一步利用球的表面积公式求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.答案：C解析：【分析】本题考查椭圆的标准方程及其离心率的范围，注意运用直线恒过圆心，以及点差法求直线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．求得直线恒过定点（2，1），即为圆心，CD为直径，由=，可得AB的中点为（2，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），运用点差法和直线的斜率公式、中点坐标公式，即可得到所求离心率的范围．【解答】解：直线l：kx-y-2k+1=0，即为k（x-2）+1-y=0，可得直线恒过定点（2，1），圆C2：（x-2）2+（y-1）2=1的圆心为（2，1），半径为1，且C，D为直径的端点，由=，可得AB的中点为（2，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1，+=1，两式相减可得+=0，由x1+x2=4．y1+y2=2，可得k==-，由-2≤k≤-1，即有≤≤1，则椭圆的离心率e==∈（0，]．故选：C．12.答案：D解析：【分析】本题考查的知识点是函数的最值，能正确理解f（x）为“三角形函数”的概念是解答的关键，属于中档题.若f（x）为“三角形函数”,则在区间A上，函数的最大值M和最小值m应满足：M＜2m，利用导数求出函数的最值，可得实数m的取值范围．【解答】解：若f（x）为区域A上的“三角形函数”，则在区间A上，函数的最大值M和最小值m应满足：M＜2m，∵f（x）=x lnx+m在区间[，e]上是“三角形函数”，∴f′（x）=ln x+1，当x∈[，）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（，e]时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；故当x=时，函数f（x）取最小值-+m，又由f（e）=e+m，f（）=-+m，故当x=e时，函数f（x）取最大值e+m，∴0＜e+m＜2（-+m），解得：m∈，故选D．13.答案：6解析：【分析】本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．求出系统抽样的抽取间隔，即可得出结论．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=6，则48-6×7=6，则抽到的最小学号为6，故答案为：6．14.答案：解析：解：∵在方向上的投影为3，且||==2，•=3+m；∴||×cosθ=||×==3；解得m=，∴||=2；∴cosθ==，由θ∈[0，π]，∴、的夹角θ为．故答案为：．根据在方向上的投影是||×cosθ，列出方程求出m的值，再计算、的夹角θ的值．本题考查向量在另一个向量上的投影定义及计算公式，向量夹角的应用问题，是基础题目．15.答案：-1解析：解：作出约束条件所对应的可行域（如图），目标函数z=3x-2y可化为y=x-z，平移直线y=x-z可知，由，解得x=a-1，y=a，∴A（a-1，a），当直线经过点A截距取最大值，z最小，∴3（a-1）-2a=-4，解得a=-1故答案为：-1．作出可行域，变形目标函数并平移直线y=x-z可得结论．本题考查简单线性规划，准确作图、利用目标函数的几何意义求最值是解决问题的关键，属于中档题．16.答案：7解析：解：∵=，可得：=，可得：，可得：sin2B=sin2C，∴B=C，或B+C=，又∵cos A=，∴B=C，可得：b=c，∴由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A，可得：2b2-=28，可得：b=c=，∴S△ABC=bc sin A=7．故答案为：7．由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得sin2B=sin2C，可得B=C，或B+C=，由cos A=，可得B=C，可得b=c，由余弦定理可得b=c=，利用三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.答案：解：（Ⅰ）根据题意，数列{a n}的前n项之和为S n=-，当n=1时，有a1=S1=-=3，当n≥2时，有S n-1=-，则有a n=S n-S n-1=（-）-（-）=3n，a1=3符合该式，则a n=3n，（Ⅱ）根据题意，a n=3n，b n=+32n-1=+32n-1=（-）+32n-1，则T n=[（1-）+（-）+……+（-）]+（3+33+……+32n-1）=+-．解析：（Ⅰ）根据题意，在S n=-中，令n=1可得a1=S1=-=3，当n≥2时，有S n-1=-，两式相减分析可得a n=S n-S n-1=3n，验证即可得答案；（Ⅱ）根据题意，分析可得b n=+32n-1=+32n-1=（-）+32n-1，由分组求和法分析可得答案．本题考查函数的求和以及数列的递推公式，关键是求出数列的通项公式，属于基础题．18.答案：证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴AC⊥BE，则AC⊥平面BED，∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED；解：（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，得AG=GC=x，GB=GD=，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BG，则△EBG为直角三角形，∴EG=AC=AG=x，则BE==x，∵三棱锥E-ACD的体积V===，解得x=2，即AB=2，∵∠ABC=120°，∴AC2=AB2+BC2-2AB•BC cos ABC=4+4-2×=12，即AC=，在三个直角三角形EBA，EBD，EBC中，斜边AE=EC=ED，∵AE⊥EC，∴△EAC为等腰三角形，则AE2+EC2=AC2=12，即2AE2=12，∴AE2=6，则AE=，∴从而得AE=EC=ED=，∴△EAC的面积S==3，在等腰三角形EAD中，过E作EF⊥AD于F，则AE=，AF==，则EF=，∴△EAD的面积和△ECD的面积均为S==，故该三棱锥的侧面积为3+2．解析：（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）根据三棱锥的条件公式，进行计算即可．本题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理以及体积公式．19.答案：解：（1）根据散点图判断，模型D=a2+b2lg I更适合；（2）令W i=lg I i，先建立D关于W的线性回归方程，由于，∴，∴D关于W的线性回归方程是，即D关于I的回归方程是；（3）点P的声音能量为I=I1+I2，∵，∴=，根据（1）中的回归方程知，点P的声音强度D的预报值为，∴点P会受到噪声污染的干扰．解析：本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是中档题．（1）根据散点图中点的分布成非线性形状，判断两变量适合的模型；（2）令W i=lg I i，建立D关于W的线性回归方程，再写出D关于I的回归方程；（3）根据点P的声音能量I=I1+I2，根据（1）中的回归方程计算点P的声音强度D的预报值，比较即可得出结论．20.答案：解：（1）抛物线的焦点坐标为F（，0），∴，由，得，∴抛物线C在A处的切线斜率为1，由抛物线C的对称性，知抛物线C在B处的切线卸斜率为-1，∴抛物线过A点的切线方程为y-p=x-，令y=0得x=-．∴，解得p=2．∴抛物线C的方程为y2=4x．（2）k OA=2，k OB=-2，∴k OA•k OB=-4，设，则，∴y1y2=-4．令直线MN的方程为x=ty+n，联立方程组消去x得：y2-4ty-4n=0，则y1y2=-4n，y1+y2=4t，∵y1y2=-4，∴n=1．即直线MN过点（1，0）．∴．∵t2≥0，∴S△OMN≥2．综上所示，△OMN面积的取值范围是[2，+∞）．解析：（1）求出A，B坐标，利用导数解出切线方程，求出切线与x轴的交点，利用三角形的面积列方程解出p；（2）计算k OA•k OB=-4，设出MN方程，求出MN与x轴的交点，联立方程组，根据根与系数的关系计算|y M-y N|，得出△OMN面积S关于t的函数，解出函数的最值．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．21.答案：解：（1）当时，，∴=．令f′（x）=0，得x=2，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴当x=2时，f（x）有最小值；证明：（2）由f（x）=ax2-x-ln x，得=，∴当a≤0时，，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．∵当-1≤a≤0时，f（1）=a-1＜0，，∴当-1≤a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上有零点．综上，当-1≤a≤0时，函数f（x）有且只有一个零点；解：（3）由（2）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．∵f（x）有两个零点，∴a＞0．由f（x）=ax2-x-ln x，得．令g（x）=2ax2-x-1，∵g（0）=-1＜0，2a＞0，∴g（x）在（0，+∞）上只有一个零点，设这个零点为x0，当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f'（x）＞0；∴函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增．要使函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，只需要函数f（x）的极小值f（x0）＜0，即．∵，∴===，可得2ln x0+x0-1＞0，又∵h（x）=2ln x+x-1在（0，+∞）上是增函数，且h（1）=0，∴x0＞1，，由，得==，∴0＜2a＜2，即0＜a＜1．以下验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．当0＜a＜1时，=，g（1）=2（a-1）＜0，∴．∵=，且f（x0）＜0，∴函数f（x）在上有一个零点．又∵（ln x≤x-1），且f（x0）＜0，f（x）在上有一个零点．∴当0＜a＜1时，函数f（x）在内有两个零点．综上，实数a的取值范围是（0，1）．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查导数在求函数最值中的应用，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，属难题．（1）把代入函数解析式，求其导函数，由导函数的零点把函数定义域分段，再由导函数在各区间段内的符号求得函数的单调区间，则最小值可求；（2）由f（x）=ax2-x-ln x，求其导函数，可得当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，则a≤0时，f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．当-1≤a≤0时，由f（1）＜0，f（）＞0，可知函数f（x）在（0，+∞）上有零点；（3）由（2）知，f（x）有两个零点，需a＞0．求出函数的导函数．令g（x）=2ax2-x-1，可知g（x）在（0，+∞）上只有一个零点，设这个零点为x0，可得函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增．把函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，转化为函数f（x）的极小值f（x0）＜0，即．再由函数单调性求得0＜a＜1．然后验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点即可．22.答案：解：（1）曲线C的极坐标方程：，转换为直角坐标方程为：．（2）把直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），代入x2+2y2=2，得到：（2sin2α+cos2α）t2+2cosαt-1=0所以：，，所以：=，=，=2．解析：（1）直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化，（2）利用方程组建立一元二次方程根与系数的关系进行应用．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．。