1.1矩阵及其运算

1 4
AT
2
5 ;
2 8
B 18 6,
BT 18. 6
转置矩阵的运算性质
1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
例6 已知
1 7 1
A 2 1
0 3
1, 2
B 4
2
2 0
3
,
求 ABT .
1
解法1
AB 2 1
a11 a12 L a1n
a21
a22
L
a2n
M M M M (6)
am1 am2 L amn
b1
b2
M
(7)
bm
a11 a12 L a1n b1
a21
a22
L
a2n
b2
(8)
M M L M M
am1
am2
L
amn
bm
象这样的数表(2),(3),(4),(6),(7),(8)，我们称之 为矩阵。
4 AE EA A;
5
若A是 n 阶矩阵，则 Ak
Ak AAA 并且 Am A
为A的
k Am
k k,
次幂，即 Am k Amk
.
k个
m ,k为正整数
注意 矩阵不满足交换律，即：
AB BA, ABk Ak Bk .
例 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
则 AB 0 0, BA 2 2 ,
3 1
10.
1
例2 C 2
1
4 2
222 3
4
622
16 8
?
32 16 22
例3 设
1 A 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
B
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
解
A
aij
,
34
B bij 43,
C
cij
.
33
故
1
C AB 1
0
4
4
3
0 0 4 由此归纳出
k
Ak
0
0
kk 1 k
0
kk 1k2
2
kk 1
k
k 2
用数学归纳法证明
当 k 2 时，显然成立. 假设 k n 时成立，则 k n 1时，
n
An1
An A
0
nn1 n
nn 1n2
2
nn1
0
1
0 1 ,
0
0
n
0
0
n1
是一个 3 3 复矩阵,
同型矩阵与矩阵相等的概念
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同 型矩阵.
例如
1 5
62 与 184
3 4
为同型矩阵.
3 7 3 9
2. 两个矩阵A (aij )与B (bij )为同型矩阵，
并且对应元素相等，即
aij bij (i 1, 2,L , m; j 1, 2,L , n), 则称矩阵A与B相等，记作A B.
1 交换律 A A;
2 左分配律 A A A;
3 右分配律 A B A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算.
三、矩阵与矩阵相乘
线性方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
La2L1x1L
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LLL
0 0
2 2
故 AB BA.
但也有例外，比如设
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
BA 2 2
2 2
AB BA.
例4 计算下列乘积：
1
22 1
2
3
解
1
2 2
1
2 1
2 2 1
Fra Baidu bibliotek
2 2 2 2 2 2
4 4.
3
2 2 1 0 2 2 .
0
0
2
2 2
1 1
0
A3 A2 A 0 2 2 0 1
0 0 2 0 0
3 32 3
0 3 32
0 0 3
3 3 2 3 1 0
A4
A3 A
0
3
3
2
0
1
0 0 3 0 0
4 4 3 6 2
am1 am1
称为矩阵A的负矩阵.
a1n a2n amn
aij ,
4 A A 0, A B A B.
二、数与矩阵相乘
1、定义
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
a11 a12
A
A
a21
a22
am1 am1
a1n
a2n
.
amn
2、数乘矩阵的运算规律 （设 A、B为 m n 矩阵， ,为数）
c11 L c1 j L c1n
M
M
M
M
M
=
ci1
L
cij L
cin
M M M M M
cm1 L cmj L cmn
注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘.
1 2 3
例如
3 5
2 8
1 9
1 6
6 0
8 1
不存在.
1 2
3
3 2
1 3 2 2
1.1.矩阵及其运算
1.1.1 矩阵定义
二元线性方程组
3x 2y 6, x 4y 8.
1
中，利用x,y的四个系数以及方程右边的常数 6，8， 按它们在方程组中的原来次序，可以分别把它们排
成二行二列，二行一列，及二行三列的三张数表
3 2
1
4
(2)
6
8
(3)
3 2 6
1
4
8
(4)
b2 L
(10)
an1x1 an2 x2 L ann xn bn
中，设
a11 a12 L
A
a21
a22
L
L L L
an1 an2 L
a1n
a2
n
,
L
ann
x1
x
xxn2 ,
b1
b
b2
M
bn
A称为方程组(10)的系数矩阵, b1,b2,L ,bn称为方程组(10)的常数项
类似地，关于n个未知数x1,x2,…xn的m个方程的线
性方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
La2L1x1L
a22 x2 LLL
L L
a2n xn LLLL
b2 L
(5)
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
中，利用m×n个系数以及方程右边的常数 ，可以分 别把它们排成m行n列，m行一列，及m行n+1列的 三张数表
注意 不同阶数的零矩阵是不相等的.
例如 0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0.
0 0 0 0
3 方阵的定义及几类特殊方阵
(1)行数与列数都等于 n 的矩阵 A ，称为 n 阶 方阵.也可记作 An .
13 6 2
例如
2
2
2
是一个3 阶方阵.
2 2 2
主对角线 a11 a12 L
一、矩阵的加法
１、定义
设有两个m n矩阵 A aij , B bij , 那末矩阵
A 与 B 的和记作A B，规定为
A B (aij bij )mn
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
3 6 8 3 2 1
定义1.1.1
由m×n个数aij (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
排成的m行n列(横排叫行,纵排叫列)的数表:
a11 a12 L a1n
A
a21
a22
L
a2n
(9)
M M L M
am1
am2
L
amn
叫做m行n 列矩阵，简称m×n矩阵，这m×n个数叫做矩
阵A的元素， aij叫做矩阵A的第i行第j列元素，下标i
对方阵A
a21
a22
L
M M L
an1
an2
L
a1n 次 对角线
a2n
M
而言，元素a11
,
a22
,L
ann
ann
组成主对角线，而元素a1n , a2,n1,L ，an1组成次对角线。
不全为0
1 0
（2）形如
0 0
2
O
0
O
0 0
的方阵, 称为对角
n
矩阵(或对角阵）.
记作 A diag1,2, ,n .
0 0 L ann
（6）下三角阵
b11
F
b21
0 b22
L 0
L
O
0
M M O M
bn1
bn2
L
bnn
4 阶梯形矩阵
阶梯形矩阵满足下面两个条件 : (1) A中若有零行,则该行下所有行均为零行; (2)非零行中左起第一个不为零的元素(叫做首非零元素) 的位置, 按行从上到下往右移动.
3 1 3 2 3 6
2
b1
b2
b3
a11 a21
a12 a22
a13 b1 a23 b2
a31 a32 a33 b3
解
b1
b2
b3
a11 a21
a31
=( a11b1 a21b2 a31b3
a12 a13 b1 a22 a23 b2 a32 a33 b3
a12b1 a22b2 a32b3
是一个m n 矩阵 C cij ，其中它的每一个
元素
s
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj k 1 i 1,2, m; j 1,2, ,n,
并把此乘积记作 C AB .
a11 a12 L a1,s1
M
MM
M
ai1
M
ai 2 M
L ai,s1 MM
0 3
21
1 4 2
12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4.
3 3 6 2 8 1 6 8 9
2、 矩阵加法的运算规律
1 交换律 A B B A;
2 结合律 A B C A B C.
a11 a12
3
A
a21
a22
例1 设 A 1 2 3, 3 1 2
B 1 x 3, y 1 z
已知 A B,求 x, y, z. 解 A B,
x 2, y 3, z 2.
几种特殊矩阵
1 只有一行的矩阵
A a1 a2 L am ,
称为行矩阵.
只有一列的矩阵
a1
B
a2
,
an
称为列矩阵.
2 元素全为零的矩阵称为零矩阵，m×n零 矩阵记作O m×n或O.
2 0 1 3 0 0 0 3
4 4 2 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 3 4 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 2
不是阶梯形矩阵
1 2 2 3 4 6 8
0
2
0
0
9
0
0
0 0 0 0 9 2 8
0
0
0
0
0
0
6
0 0 0 0 0 0 0
1.1.2 矩阵的运算
am1 am2 L am,s1
a1s M
b11 b21
ais M
M bs1,1
ams
bs1
L b1 j L b2 j MM L bs1, j L bsj
L b1n
L
b2n
M M
L bs1,n
L
bsn
ai1b1 j ai2b2 j L a b i,s1 s1, j aisbsj
b1 a13b1 a23b2 a33b3） b2
b3
a11b12 a22b22 a33b32 2a12b1b2 2a13b1b3 2a23b2b3 .
1 0
例5
设A
0
1 求Ak .
0 0
1 0 1 0
解
A2 0 1 0 1
0 0 0 0
0
0 1 5
1 3 1
402
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
5 6 7
10 2 6.
2 17 10
２、矩阵乘法的运算规律（假设运算都是可行的）
1 结合律 ABC ABC; 2 右分配律 AB C AB AC,
左分配律 B C A BA CA;
3 AB AB AB （其中 为数）;
0
0
n 1n
n1
0
n 1n n1
2
n 1n
,
n1
所以对于任意的k 都有
k
Ak
0
0
kk 1 k
0
kk 1k2
2
kk 1
.
k
四、矩阵的其它运算
１、转置矩阵
定义 把矩阵A 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 A的转置矩阵，记作 A .
例 A 1 2 2, 4 5 8
(3) 纯量阵
a 0 L 0
B
0a
MOM 00
L O L
O
0
M
a
全为a
记作 B diag a, a,L , a.
(4)方阵
1 0
E
En
0
1 O
0 0
0 O0
1
称为单位矩阵（或单位阵）.
全为1
（5）上三角阵
a11 a12 L a1n
C
0
a22 L
a2n
MO
M
O
M
利用矩阵相乘，上述方程组（10）可写成向量方程
Ax b. （11）
(11)式的左边就是两个矩阵相乘，因此利用矩阵的 乘法运算，不但可以将一个复杂的方程组形式上进 行简化，我们可以用矩阵相乘求解方程组(10).
１、定义
设 A aij 是一个m s 矩阵，B bij 是一个
s n 矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B的乘积
指明行序号，下标j指明列序号，
(9)式简记为
A (aij )mn 或A (aij ),
矩阵通常用A,B,C等表示，m×n矩阵也记做Am×n.
元素都是实数的矩阵叫实矩阵,元素都是复数的矩阵 叫复矩阵.
例如
1 0 3 5 9 6 4 3
是一个 2 4 实矩阵,
13 6 2i 2 2 2 2 2 2