量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著)习题答案第4章-2
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4.29——6.1
4.29证明在z
L ˆ的本征态下，0==y x L L 。（提示：利用x y z z y L i L L L L =-，求平均。） 证：设ψ是z L 的本征态，本征值为 m ，即ψψ m L z
=
[]
x L i =-=y z z y z y L L L L L ,L ，[]y L i =-=z x x z x z L L L L L ,L ，
(
)(
)
(
)
011
1 =-=-=-=
∴ψψψψψψψψψψψψy y y z z y y z z y x L m L m i L L L L i L L L L i L
同理有：0=y L 。
附带指
值不为零，能够证明：y x l l =
4.30
L 因此 又()[]
222
2
2
1 m l l L L L z
y x -+=-=+
()[]
222
2
12
1
m l l L L y
x
-+=
=∴ 上题已证 0==y x L L 。
()()
()[]
222
2
2
2
2
12
1
m l l L L L L L L x x x x
x x -+=
=-=-=∆∴
同理 ()
()[]
222
12
1
m l l L y
-+=
∆。 （补白）若需要严格论证2
x l 与2
y l 的相等关系，可设
y
x l i l l ˆˆˆ+≡+ y x l i l l ˆˆˆ-≡- 于是有)ˆˆ(21ˆ-++=l l l x
)ˆˆ(2
ˆ+--=l l i
l y 求其符2ˆx l 的平方，用-+l l ˆˆ来表示：
)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(4
1ˆ2-
-+--++++++=l l l l l l l l l x )ˆˆˆˆˆˆˆˆ(4
1ˆ2--+++--+--+=l l l l l l l l l y
(ˆ2im x Y l = (ˆ2im y Y l = =
⎰⎰Ω
l x 41
2
=
⎰⎰Ω
l y 412
0ˆ2,=Ω⨯=Ω⎰⎰⎰⎰+*
++*d Y Y d Y l l Y m i im im im 常数 0ˆˆ2,=Ω⨯=Ω⎰⎰⎰⎰-*--*d Y Y d Y l l Y m i im im im 常数
2)1)((ˆˆ +-+=Ω⎰⎰-+*
m l m l d Y l l Y im
im 2)1)((ˆˆ ++-=Ω⎰⎰+-*
m l m l d Y l l Y
im
im
注意上述每一个积分的被积函数都要使用（5）的两个式子作重复运算，
再代进积分式中，如：
1,)1)((ˆˆˆ-+-++-+=m l im Y m l m l l Y l l
1,ˆ)1)((-+⋅+-+=m l Y l m l m l
m l Y m l m l m l m l ,1)1()][(1([)1)((⋅+-+--+-+=
将它们代入（3）就得到前一法（考虑y x l l ,对称）得到相同的结果。 ])1)(()1)([(41
222
++-++-+=
m l m l m l m l l x 22])1([2
1
m l l -+= 又从（4）式看出，由于-
-++l l l l ˆˆ,ˆˆ没有贡献，（3）（4）应有相同的结果。第二种方法运用角动量一般理论，这在
4.30——6.2
4.31——6.5
4.31（a ）z L （b ）2
L （c ）x L 解： （a ）由于ψ 2
1C L z =。 （b ）2
L （c ）若1C ，2C 不为0，则x L （及y L ）的可能测值为： 2， ，0， -， 2-。
1）x L 在1=l 的空间，()z L L ,2
对角化的表象中的矩阵是⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛010*******
求本征矢并令1= ，则⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛c b a c b a λ010********， 得，a b λ2=
，b c a λ2=+，c b λ2=。1,0±=λ。
ⅰ）取0=λ，得a c b -== ,0，本征矢为⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 0，归一化后可得本征矢为⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛-10121。
ⅱ）取1=λ
ⅲ）取-=λ
在=1111C Y C x L 取0x L 取 x L 取 -总几率为1C
2）x L 在2=l 的空间，(
)
z L L ,2
对角化表象中的矩阵 利用 ()()1211++-=
+m j m j m j j m j x ()()12
1
1+-+=
-m j m j m j j m j x
11222 =∴x j ，2
3
0212=
x j ，2
3
1202=-x j ，12212=--x j 。