离散数学课程复习

To know how to do something well is to enjoy it.
战略上藐视敌人，战术上重视敌人。
The trees that are slow to grow bear the best fruit.
谢 谢！
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示例
对于如下公式：
((P ∧ R) → (Q ∨ S )) → (U ↔ S )
（1） 求出成真指派和成假指派 （2） 求其对偶式 （3） 求出主析取范式和主合取范式。
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设命题公式， G ⇔ ¬(P → Q), H ⇔ P → (Q → ¬P) 则G与H的关系是( )
(1) ¬(S⁵R)
P
(2) S⁵ ¬R
T(1) E
(3) (S→¬R)∧( ¬R→ S) T(2) E
(4) ¬R→ S
T(3) I
(5) S→E
P
(6) ¬R→E
T(4)(5) I
(7) E→¬B
P
(8) ¬R→¬B
T(6)(7) I
(9) B→R
T(8) E
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(1) 用主析取范式判断下列两个命题公式是否 等价。
• 所答非所问 • 画蛇添足 • 偷工减料（例如：有若干问，仅回答部分，或问题仅答一
半）
警示
千万不要作弊！命运掌握在自己的手中！
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题目类型
选择题（10题，共20分） 填空题（10题，共20分） 解答题（ 5－6题，共30分） 证明题（5－6题，共30分）
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由于度数是0的结点是孤立结点，而度数为n--1的结点是邻接其它n-1 个结点的，所以，在G中度数为0和度数为n-1的结点不可能同时出现。
因此，在G中可以出现的度数应该分成以下两种情况： （1）O，1，2，…，n—2 （2）1，2，3，…，n一1 无论是哪一种情况都最多有n一1种不同的度数。就第一种情况而 言，我们可以设想具有编号为O，1，2，…，n-2的n-1只匣子，现将G 中的结点按其度数放入与编号数相同的匣子中去。因为G中有n个结 点，而匣子仅有n一1只，所以总有一只匣于包含两个或两个以上的结 点，这些结点具有相同的度数。对于第二种情况，也可类似地证明。
设<G,*>是群，<H,*>、 <K,*>是其子群，R是G上 的二元关系，定义为：对任意a,b∈G，aRb当且 仅当存在h∈H，k∈K，满足b=h*a*k。
试证：R是G上的等价关系。
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设简单图G＝<V，E>且|V|＝v，|E|=e，若有e≥Cv12+2，则G是汉密尔顿图。
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第4章 函 数
考核内容
函数的定义及性质 函数的复合
基本要求：掌握函数的基本概念，函数的运 算，
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第5章 代数系统
考核内容
代数系统定义及二元运算性质 半群定义及性质 独异点定义及性质 群的概念和性质 同态与同构 陪集及拉格朗日定理 阿贝尔群与循环群 环与域
R2=R。 设∀<a,b>∈R,∵R具有自反性，∴<b,b>∈R，则
<a,b>⿞<b,b>=<a,b>∈R2。故R ⊆R2。 另一方面，任意<a,b>∈R2,则存在c使得<a,c>∈R,<c,b>∈R,
根据R的传递性有<a,b>∈R；故R2 ⊆ R； ∴R2＝R。 综上，结论成立。
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用推理规则论证下述问题。 或者是天晴，或者是下雨。如果是天晴，我去看 电影。如果我去看电影，我就不看书。所以，如 果我在看书，则天在下雨。
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一、令S：今天天晴 R：今天下雨
E：我去看电影 B：我去看书
前提：¬(S⁵R)，S→E，E→¬B
结论：B→R 采用直接证法：
（Ａ→Ｂ）∧（Ａ→Ｃ）与Ａ→（Ｂ∧Ｃ） (2) 用真值表判断下列两个公式是否等价： P→(Q→R)与（P∧Q）→R
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用推理规则证明: ˳x(F(x)∧S(x)→˲y(M(y)→W(y))，
˳y(M(y)∧┐W(y)) ⇒˲x(F(x)→┐S(x))
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(A) ∀a, b∈A, a∗b=lcm{a, b}(最小公倍数) (B) ∀a, b∈A, a∗b=gcd{a, b}(最大公约数) (C)∀a, b∈A, a∗b=max{a, b} (D) ∀a, b∈A, a∗b=min{a, b}
答案：(A)
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下列图(如图1)表示的偏序集中，是格的为( )
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给出集合S={1，2，3，4，5，6，7，8}。 （1)画出S在偏序关系“整除”上的哈斯图 （2)求S的极大元、极小元；最大元、最小元； （3)求B1＝{1，2，3，6}和B2＝{2，3，5，7}的上
界、下界、上确界和下确界；
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设R是A上的等价关系，证明R=Rn。 证明： 1、n=1， R=Rn显然成立。 2、假设R=Rn成立，则Rn+1=R⿞Rn=R⿞R。要证Rn+1=R即证
证 明 用 反 证 法 。 如 果 G 不 是 汉 密 尔 顿 图 ， 由 定 理 7-4． 6
可 知 ，存 在 结 点 u1，u2˥ V，使 得 deg(u1)十 deg(u2)≤ v-1。
在 图 G-{u1， u2}中 ， 结 点 数 为 |V|-2=v-2， 故 它 的 边 数
1
1
2
e ≤ 2 （ v - 2 ）（ v - 3 ）+（ v - 1 ）＜ 2 （ v - 2 ）（ v - 3 ）+ v = C v - 1
2
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第2章 谓词逻辑
考核内容
谓词、个体词和量词 谓词演算 谓词公式 谓词演算的永真式 谓词演算的推理理论
基本要求：掌握谓词、个体词和量词，谓词公 式、谓词演算的等价式与蕴涵式，谓词演算的推 理理论。
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第3章 集合论
考核内容
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教材：《离散数学及其应用》 何中胜
第1章 命题逻辑
考核内容
命题的基本概念 逻辑联结词 命题公式 等价关系和蕴涵关系 范式，主析取范式和主合取范式 命题演算的推理理论
基本要求：掌握命题的基本概念，命题公式，真值表， 等价关系和蕴涵关系，对偶式，范式，命题的推理理 论。
关于考试
题 目 类 型 ： 选 择 题 （ 20 分 ） 、 填 空 题 （ 20 分 ） 、 计 算 题 （ 30 分）、证明题（30分） 考试范围：1－10章的内容 侧重考察：基本概念与基本证明方法的掌握
易犯的错误
• 不认真审题（题目的要求理解错误：意思理解错、难题想容 易、容易题想难。关键问题是基本概念不清楚）
(A)Q → H (B)H → G (C)H ⇒ G (D)G ⇒ H
答案：(D)
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将公式 ∀xP(x, y)∨∃yQ(x, y)∧∀zR(x, z) 中的变元适 当换名，使得约束变元不是自由的，自由变元 不是约束的 ( )
(A) ∀uP(u, y)∨∃yQ(u, y)∧∀zR(u, z) (B) ∀xP(u, y)∨∃vQ(x, y)∧∀zR(x, z) (C) ∀xP(x, v)∨∃vQ(x, v)∧∀tR(x, t) (D) ∀uP(u, y)∨∃vQ(x, v)∧∀zR(x, z)
掌握代数系统定义及性质，同态和同构，掌握半群及性 质，群及性质，同态与同构，陪集，阿贝尔群与循环 群。
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第6章 代数系统
考核内容
偏序集与格 子格 格的对偶 有界格、有补格、分配格 布尔格与布尔代数
掌握格的概念，能正确判断格
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+2 与假设矛盾，因此 G 是汉密尔顿图。
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证明：至少有两个结点的简单图有两个相同度数 的结点。
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证： 设G是一个具有n个结点的简单图(n≥2)。 因为每个结点仅仅能 够与另外的n一1个结点邻接，所以，每个结点的度数≤n一1。因 此，在G中结点可能出现的度数是 O，1，2，…，n一1
第7章 图 论
考核内容
图的基本概念 图的矩阵表示 图的连通性 欧拉图与哈密尔顿图 平面图及性质，对偶图与图的着色 树与生成树 根树
基本要求：掌握有向图和无向图的基本概念及表示，图 的表示方法，图的同构，欧拉图和哈密尔顿图，平面 图，树及生成树，根树。
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答案：(D)
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设A={a, b, c}, R={<a, a>, <a, b>, <b, c>}，则R具有 性质（ ）
(A) 自反的 (B) 对称的 (C) 反对称的 (D) 传递的
答案：(C)
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设集合A＝{1, 2, 3,…,10}, 在集合A上定义的运算， 不是封闭的为( )
(A)
(B)
答案：(C)
(C)
(D)
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设L是n阶无向图G上的一条通路，则下面命题为假 的是( )
(A) L可以不是简单通路，而是基本通路 (B) L可以既是简单通路, 又是基本通路 (C) L可以既不是简单通路，又不是基本通路 (D) L可以是简单通路，而不是基本通路
答案：(A)
集合定义及表示法 集合的运算 集合恒等式
笛卡尔乘积 关系的基本概念 二元关系的图形表示法和
矩阵表示法
二元关系的性质 逆关系及性质 复合关系 相容关系与等价关系 集合的划分与覆盖 等价类、商集 偏序关系，哈斯图
基本要求：掌握有关集合的定义，集合恒等式，集合的四 种运算。掌握二元关系的定义，二元关系的的集合表示 法、图形表示法和矩阵表示法，二元关系性质，集合的划 分与覆盖，等价类、商集，等价关系、相容关系、偏序关 系，哈斯图。