【五年中考荟萃】2018版中考数学：专题(6)运动变化问题(含答案)

专题六 运动变化问题A 组 2015年全国中考题组一、选择题1．(2015·湖南邵阳，8，3分)如图，在等腰△ABC 中，直线l 垂直底边BC ，现将直线l 沿线段BC 从B 点匀速平移至C 点，直线l 与△ABC 的边相交于E ，F 两点．设线段EF 的长度为y ，平移时间为t ，则下图中能较好反映y 与t 的函数关系的图象是()解析 作AD ⊥BC 于D ，如图，设点F 运动的速度为1，BD ＝m .∵△ABC 为等腰三角形，∴∠B ＝∠C ，BD ＝CD ，当点F 从点B 运动到D 时，如图1，在Rt △BEF 中，∵tan B ＝EF BF ， ∴y ＝tan B ·t (0≤t ≤m )；当点F 从点D 运动到C 时，如图2， 在Rt △CEF 中， ∵tan C ＝EFCF ， ∴y ＝tan C ·CF ＝tan C ·(2m －t )＝－tan B ·t ＋2m tan B (m ≤t ≤2m )． 答案 B图1图22．(2015·四川内江，9，3分)如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一动点P ，使PD ＋PE 最小，则这个最小值为 ( )A. 3B ．23C ．2 6D. 6解析 由题意，可得BE 与AC 交于点P .∵点B 与D关于AC 对称，∴PD ＝PB ，∴PD ＋PE ＝PB ＋PE ＝BE 最小．∵正方形ABCD 的面积为12，∴AB ＝2 3.又∵△ABE 是等边三角形，∴BE ＝AB ＝2 3.故所求最小值为2 3. 答案 B 二、解答题3．(2015·浙江衢州，24，12分)如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，S △ABC ＝272，动点P 从A 点出发，沿射线AB 方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q 从C 点出发，以相同的速度在线段AC 上由C 向A 运动，当Q 点运动到A 点时，P 、Q 两点同时停止运动，以PQ 为边作正方形PQEF (P 、Q 、E 、F 按逆时针排序)，以CQ 为边在AC 上方作正方形QCGH . (1)求tan A 的值；(2)设点P 运动时间为t ，正方形PQEF 的面积为S ，请探究S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；(3)当t 为何值时，正方形PQEF 的某个顶点(Q 点除外)落在正方形QCGH 的边上，请直接写出t 的值．备用图解 (1)如图1，过点B 作BM ⊥AC ，交AC 于点M ， S △ABC ＝12AC ·BM ，BM ＝2S △ABC 9＝3， 根据勾股定理AM ＝AB 2－BM 2＝52－32＝4， ∴tan A ＝34. (2)存在．如图2，过点P 作PN ⊥AC ，交AC 于点N ， 经过时间t ，AP ＝CQ ＝5t ， ∵tan A ＝34，∴AN ＝4t ，PN ＝3t ， ∴QN ＝AC －AN －CQ ＝9－9t ； 根据勾股定理，PN 2＋NQ 2＝PQ 2 S 正方形PQEF ＝PQ 2＝(3t )2＋(9－9t )2 ＝90t 2－162t ＋81⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜t ＜95－b2a ＝－－1622×90＝910，在t 的取值范围内， ∴S 最小值＝4ac －b 24a ＝4×90×81－16224×90＝8110.(3)①如图3，当点E 在HG 上时，t 1＝914， ②如图4，当点F 在GH 上时，t 2＝911，③如图5，当点P 在QH 上(或E 点在QC 上)时，t 3＝1. ④如图6，当点F 在CG 上时，t 4＝97.图1图2 图34．(2015·浙江湖州，23，10分)问题背景已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连结DE交AC于点F，点H是线段AF上一点．(1)初步尝试如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等．求证：HF＝AH＋CF.小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH＝AH，再证GF＝CF，从而证得结论成立；思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM＝AH，再证HF＝MF，从而证得结论成立．请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答，则以第一种方法评分)；(2)类比探究如图2，若在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ADH＝∠BAC＝30°，且点D，E的运动速度之比是3∶1，求ACHF的值；(3)延伸拓展如图3，若在△ABC中，AB＝AC，∠ADH＝∠BAC＝36°，记BCAB＝m，且点D，E的运动速度相等，试用含m的代数式表示ACHF(直接写出结果，不必写解答过程)．(1)证明 法一 (选择思路一)：过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，如图1， ∵△ABC 是等边三角形，∴∠ADG ＝∠B ＝60°，∠A ＝60°， ∴△ADG 是等边三角形，∴GD ＝AD ＝AG .∵D ，E 点的速度相同，∴AD ＝EC ，∴GD ＝CE . ∵DH ⊥AC ，∴GH ＝AH . ∵DG ∥BC ，∴∠GDF ＝∠CEF ，∠DGF ＝∠ECF ， ∴△GDF ≌△CEF ，∴GF ＝CF ， ∴GH ＋GF ＝AH ＋CF ， 即HF ＝AH ＋CF . 法二 (选择思路二)：过点E 作EM ⊥AC ，交AC 的延长线于点M ，如图1， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠ACB ＝∠ECM ＝60°. ∵DH ⊥AC ，EM ⊥AC ， ∴∠AHD ＝∠CME ＝90°. ∵AD ＝CE ，∴△ADH ≌△CEM ， ∴AH ＝CM ，DH ＝EM .又∵∠DHF ＝∠EMF ＝90°，∠DFH ＝∠EFM ， ∴△DFH ≌△EFM ，∴HF ＝MF ＝CM ＋CF ＝AH ＋CF .(2)解 过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，如图2， 则∠ADG ＝∠B ＝90°， ∵∠BAC ＝∠ADH ＝30°， ∴∠HGD ＝∠HDG ＝60°， ∴AH ＝GH ＝GD ，AD ＝3GD.图1图2由题意可知，AD ＝3CE ， ∴GD ＝CE ，∵DG ∥BC ，∴∠GDF ＝∠CEF ，∠DGF ＝∠ECF ， ∴△GDF ≌△CEF ， ∴GF ＝CF ，∴GH ＋GF ＝AH ＋CF ， 即HF ＝AH ＋CF ，∴ACHF＝2. (3)解 AC HF ＝m ＋1m (其他正确表达式也相应给分)． 5．(2015·浙江温州，24，14分)如图，点A 和动点P在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ，以AQ 为边作Rt △ABQ ，使∠BAQ ＝90°，AQ ∶AB ＝3∶4，作△ABQ 的外接圆O .点C 在点P 右侧，PC ＝4，过点C 作直线m ⊥l ，过点O 作OD ⊥m 于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E .在射线CD 上取点F ，使DF ＝32CD ，以DE ，DF 为邻边作矩形DEGF .设AQ ＝3x . (1)用关于x 的代数式表示BQ ，DF .(2)当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长． (3)在点P 的整个运动过程中，①当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形？②作直线BG 交⊙O 于另一点N ，若BN 的弦心距为1，求AP 的长(直接写出答案)．解 (1)在Rt △ABQ 中， ∵AQ ∶AB ＝3∶4，AQ ＝3x ， ∴AB ＝4x ，∴BQ ＝5x . 又∵OD ⊥m ，l ⊥m ，∴OD ∥l . ∵OB ＝OQ ，∴AH ＝BH ＝12AB ＝2x ，∴CD＝2x，∴FD＝32CD＝3x.(2)∵AP＝AQ＝3x，PC＝4，∴CQ＝6x＋4.作OM⊥AQ于点M(如图1)，∴OM∥AB. ∵⊙O是△ABQ的外接圆，∠BAQ＝90°，∴点O是BQ中点，∴QM＝AM＝32x，∴OD＝MC＝92x＋4.∴OE＝12BQ＝52x，∴ED＝2x＋4，∴S矩形DEGF＝DF·DE＝3x(2x＋4)＝90，∴x1＝－5(舍去)，x2＝3，∴AP＝3x＝9.(3)①若矩形DEGF是正方形，则ED＝FD. Ⅰ.点P点A的右侧时(如图1)，∴2x＋4＝3x，解得x＝4，∴AP＝3x＝12.Ⅱ.点P在点A的左侧时，ⅰ.当点C在点Q右侧，①0＜x＜47时，(如图2)，∵ED＝4－7x，FD＝3x，∴4－7x＝3x，解得x＝2 5，∴AP＝6 5.②47≤x＜23时(如图3)，∵ED＝7x－4，DF＝3x，∴7x－4＝3x，解得x＝1(舍去)．ⅱ.当点C在点Q左侧时，即x≥23(如图4)，DE＝7x－4，DF＝3x，图1 图2图3∴7x －4＝3x ，解得x ＝1，∴AP ＝3. 综上所述，当AP 为12或65或3时，矩形DEGF 是正方形．②AP 的长为62或61719.B 组 2014～2011年全国中考题组一、选择题1．(2013·浙江丽水，10，3分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点P 以每秒1 cm 的速度从点A 出发，沿折线AC ，CB 运动，到点B 停止．过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PD 的长y (cm)与点P 的运动时间x (秒)的函数图象如图2所示．当点P 运动5秒时，PD的长是( )A ．1.5 cmB ．1.2 cmC ．1.8 cmD ．2 cm解析 作CE ⊥AB 于E ，观察函数图象可知，点P 运动到C 点时用时3秒，则AC ＝3 cm ，点P 从点C 运动到点B 时用时4秒，则BC ＝4 cm ，在Rt △ABC 中，由勾股定理可得AB ＝5 cm ，由面积法可得CE ＝2.4 cm.当点P 运动5秒时，点P 离点B 还有2秒，则BP ＝2 cm.∵△BPD ∽△BCE ，∴BP BC ＝PD CE ，即24＝PD2.4，解得PD ＝1.2(cm)．故选B. 答案 B2．(2014·山东烟台，12，3分)如图，点P 是▱ABCD 边上一动点，沿A →D →C →B 的路径移动，设P 点经过的路径长为x ，△BAP 的面积是y ，则下列能大致反映y 与x 的函数关系的图象是()图4解析 当点P 在AD 上时，△ABP 的底AB 不变，高随着x 的增大而匀速增大，此时函数关系为一次函数，图象为从左到右上升的一段直线；当点P 在DC 上时，△ABP 的底AB 不变，高不变，此时图象为水平的一段；当点P 在CB 上时，△ABP 的底AB 不变，高越来越小，此时的图象为从左到右下降的一段直线．故选A. 答案 A3．(2014·甘肃兰州，15，4分)如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止，设直线l 扫过正方形OBCD 的面积为S ，直线l 的运动时间为t (秒)，下列能反映S 与t 之间函数关系的图象是( )解析 ①当0≤t ≤4时，S ＝12×t ×t ＝12t 2，即S ＝12t 2.该函数图象是开口向上的抛物线的一部分．故B 、C 错误；②当4＜t ≤8时，S ＝16－12×(8－t )(8－t )，即S ＝－12t 2＋8t －16.该函数图象是开口向下的抛物线的一部分．故A 错误．故选D. 答案 D4．(2012·浙江温州，10，4分)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，M 是AB 的中点．动点P 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动到终点C ，动点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动到终点B .已知P ，Q 两点同时出发，并同时到达终点，连结MP ，MQ ，PQ .在整个运动过程中，△MPQ 的面积大小变化情况是( )A ．一直增大B ．一直减小C ．先减小后增大D ．先增大后减小解析 当点P 运动到边AC 的中点时，点Q 也相应地运动到BC 边的中点，此时△MPQ 是△ABC 的中点三角形，△MPQ ∽△ABC ，其相似比为12，∴△MPQ 的面积等于△ABC 面积的14；当点P 从点A 出发时，△MPQ 的面积约等于△ACM 的面积，即约等于△ABC 面积的12，同样，当点P 接近点C 时，△MPQ 的面积约等于△BCM 的面积，即约等于△ABC 面积的12.综上可知，△MPQ 的面积大小变化情况是先减小后增大．故选C. 答案 C 二、填空题5．(2014·江苏徐州，18，3分)如图1，在正方形ABCD 中，点P 沿边DA 从点D 开始向点A 以1 cm/s 的速度移动；同时，点Q 沿边AB ，BC 从点A 开始向点C 以2 cm/s 的速度移动．当点P 移动到点A 时，P ，Q 同时停止移动．设点P 出发x s 时，△P AQ 的面积为y cm 2，y 与x 的函数图象如图2所示，则线段EF 所在的直线对应的函数关系式为________．解析 由图2可知，△P AQ 的最大面积为9，即此时点P 运动到AD 的中点，Q 运动到点B ，设正方形的边长为a cm ，则有S △P AQ ＝12P A ×AB ＝12×12a ×a ＝14a 2＝9，解得a ＝6，∴当点P 从AD 的中点开始向A 运动的同时，Q 点从点B 向C 运动，此时，y ＝12(6－x )×6＝18－3x ，即y ＝－3x ＋18，则线段EF 所在的直线对应的函数关系式为y ＝－3x ＋18(3≤x ≤6)．答案 y ＝－3x ＋18(3≤x ≤6)6．(2012·浙江宁波，18，3分)如图，△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，AB ＝22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连结EF ，则线段EF 长度的最小值为________________．解析 要使EF 最小，只要圆最小即可，而圆的大小由直径确定， 所以AD 最小即圆最小，故当AD ⊥BC 时，EF 最小．如图，连结OE ，OF .过O 作OH ⊥EF 于H .在Rt △ADB 中，∠ABC ＝45°，AB ＝22，∴AD ＝BD ＝2，即此时圆的直径为2.又∵∠EOH ＝12∠EOF ＝∠BAC ＝60°，∴在Rt △EOH 中，EH ＝OE ×sin ∠EOH ＝1×32＝32，又由垂径定理得EF ＝2EH ＝ 3.故答案为 3.答案 3三、解答题7．(2012·浙江绍兴，24，14分)如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，连结AC ，抛物线y ＝x 2－4x －2经过A ，B 两点．(1)求A 点坐标及线段AB 的长；(2)若点P 由点A 出发以每秒1个单位的速度沿AB 边向点B 移动，1秒后点Q 也由点A 出发以每秒7个单位的速度沿AO ，OC ，CB 边向点B 移动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止移动，点P 的移动时间为t 秒． ①当PQ ⊥AC 时，求t 的值；②当PQ ∥AC 时，对于抛物线对称轴上一点H ，∠HOQ ＞∠POQ ，求点H 的纵坐标的取值范围．解 (1)A (0，－2)，AB ＝4.(2)①由题意知：P 点移动路程为AP ＝t ，Q 点移动路程为7(t －1)＝7t －7，当Q 点在OA 上时，即0≤7t －7≤2，1≤t ≤97时，如图1，若PQ ⊥AC ，则有Rt △QAP ∽Rt △ABC ，∴QA AB ＝AP BC ，即7t －74＝t 2，∴t ＝75.∵75＞97，∴此时t 值不合题意．当Q 在OC 上时，即2≤7t －7＜6，97≤t ＜137时，如图2，过Q 作QD ⊥AB ，∴四边形OADQ 为矩形，∴AD ＝OQ ＝7(t －1)－2＝7t －9.∴DP ＝t －(7t －9)＝9－6t .若PQ ⊥AC ，则有Rt △QDP ∽Rt △ABC ，∴QD AB ＝DP BC ，即24＝9－6t 2，∴t ＝43.∵97＜43＜137，∴t ＝43符合题意．当Q 点在BC 上时，即6≤7t －7≤8，137≤t≤157时，如图3，若PQ ⊥AC ，过Q 点作QG ∥AC ，图1图2 图3则QG ⊥PQ ，即∠GQP ＝90°，∴∠QPB >90°，这与△QPB 的内角和为180°矛盾，∴此时PQ 不与AC 垂直．综上所述，当t ＝43时，有PQ ⊥AC .②当PQ ∥AC 时，如图4，△BPQ ∽△BAC ，BP BA＝BQ BC ，∴4－t 4＝8－7（t －1）2，解得t ＝2，即当t ＝2时，PQ ∥AC .此时AP ＝2，BQ ＝CQ ＝1，∴P (2，－2)，Q (4，－1)．抛物线对称轴的解析式为x ＝2，当H 1为对称轴与OP 的交点时，有∠H 1OQ ＝∠POQ ， ∴当y H ＜－2时，∠HOQ ＞∠POQ .作P 点关于OQ 的对称点P ′，连结PP ′交OQ 于点M ， 过P ′作P ′N 垂直于对称轴，垂足为N ，连结OP ′. 在Rt △OCQ 中，∵OC ＝4，CQ ＝1，∴OQ ＝17. ∵S △OPQ ＝S 四边形ABCO －S △AOP －S △COQ －S △QBP＝3＝12OQ ×PM ，∴PM ＝61717，∴PP ′＝2PM ＝121717，∵∠NPP ′＝∠COQ ，∴Rt △COQ ∽Rt △NPP ′，∴CQ OQ ＝P ′N PP ′，∴P ′N ＝1217， PN ＝4817.∴P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫4617，1417， ∴直线OP ′的解析式为y＝723x ， 图4∴OP ′与NP 的交点H 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1423. ∴当y H ＞1423时，∠HOQ ＞∠POQ .综上所述，当y H ＜－2或y H ＞1423时，∠HOQ ＞∠POQ .。