旋转变换在解题中的应用
例谈利用旋转变换作辅助线解题
例谈利用旋转变换作辅助线解题作者：邓朋伟来源：《科学大众·教师版》2014年第06期摘要：笔者在一次测验中发现，学生对于一道经典题的解答错误率极高。
笔者对学生的错误情况和原因进行了分析并反思自己的教学，从而产生了一些思考。
关键词：数学教学；几何题中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2014）06-011-002题目：已知正方形ABCD，E是BC上一点，F是CD上一点，且∠EAF=45°，求证EF=BE+DF一、错误分析1.基本思路未形成结论是一个不对称式，解决的思路是化成对称式。
方法有两种，①是将等式左边的EF分成两段分别证与等式右侧两段分别相等。
②是将等式右侧的两条线段合成一条线段与等式左侧相等。
解答中，学生选择①，在EF上取点G，使EG=BE。
然后认为一定能够能证明，麻醉自己，得证。
2.基本思维不能突破从心理学角度讲在原有图形上添设辅助线条件容易想到，拓展在图形外添设辅助线这一点很难突破，这也是学生为什么只是作AQLEF或EG=BE连AG的重要原因，基本思维学生有待突破。
二、教学反思上述出现的问题，对教师提出了一定的要求。
笔者在让学生突破上述两个问题时，除了加强对证明的思路的培养外，更要加强学生解决问题途径的拓展及思路的引导。
如何添设辅助线在此类问题中感觉到尤为的重要。
下面通过一些例题，谈谈如何利用旋转变换作辅助线解决此类问题。
通过添设适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使它们相对集中、聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论。
旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分，绕相等邻边的公共端点旋转到另一位置的引辅助线方法。
旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。
旋转变换经常用在等腰三角形、等边三角形及正方形中。
1.用旋转变换添设辅助线在等腰三角形中应用例1：已知，如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC边上任一点。
六年级数学技巧解决几何问题的旋转变换
六年级数学技巧解决几何问题的旋转变换在数学学科中，几何是一门需要具备解决问题的技巧的重要领域。
在六年级学生的课程中，掌握几何问题的解决方法对于提高数学能力至关重要。
其中，旋转变换是一种常用的技巧之一。
通过旋转变换，学生可以更好地理解和解决各种几何问题。
本文将详细介绍几个旋转变换的技巧，以帮助六年级学生在数学学习中更加轻松地应对几何问题。
一、旋转变换的基本概念在开始介绍旋转变换的具体技巧之前，我们首先需要了解旋转变换的基本概念。
旋转变换是指将一个图形按照一定角度围绕一个固定点旋转，从而得到一个新的图形。
在旋转变换中，固定点被称为旋转中心，旋转的角度被称为旋转角度。
通过旋转变换，我们可以改变图形的朝向和位置，进而解决几何问题。
二、旋转变换的基本技巧1. 顺时针和逆时针旋转在旋转变换中，有两种基本的旋转方式：顺时针旋转和逆时针旋转。
顺时针旋转是指图形按照顺时针方向绕旋转中心旋转，而逆时针旋转则是指图形按照逆时针方向绕旋转中心旋转。
通过掌握这两种旋转方式，学生可以更加灵活地应对不同的几何问题。
2. 旋转角度的确定在进行旋转变换时，旋转角度的确定是非常关键的。
旋转角度通常以度数表示，可以是正值也可以是负值。
根据题目给出的旋转要求，学生需要准确地确定旋转角度，并按照要求进行旋转变换。
3. 图形特征的保持在进行旋转变换时，保持图形的某些特征是十分重要的。
例如，保持图形的某条边不动，只对其他部分进行旋转变换。
通过保持某些特征，学生可以更好地理解图形的变化规律，并解决与旋转变换相关的几何问题。
三、旋转变换的应用技巧1. 旋转对称图形的性质旋转对称图形是指经过旋转变换后仍然与原图形完全相同的图形。
在解决旋转对称图形相关问题时，学生可以利用该性质来简化问题。
例如，对于一个正方形，它的每一条边都相等且与旋转中心的连线长度相等，利用这些性质，学生可以快速获得其他边的长度等信息。
2. 旋转变换的组合运用在实际的几何问题中，旋转变换可以与其他几何技巧相结合，进一步解决更加复杂的问题。
利用旋转解决几何问题较难
例2．如图，在ΔABC中，∠ ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3 ，PB=1，PC=2。求∠ BPC旳度数。
1350
分析：将ΔACP绕C点逆时针旋转90度，AC与 BC重叠，得ΔCBPˊ
提醒1： ΔCBPˊ为等腰直角三角形 提醒2： ΔBPPˊ为直角三角形 ( ⊙o⊙?)
提醒：△ BNQ为Rt△ 提醒：△MCN≌△QCN
推论：在解题过程中，会发觉图形中旳线段AM、BN、MN构成一种直角三角形， 即有结论：MN2=AM2+BN2．
类比练习：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，D 是 BC 上的
任意一点，求证：BD2+CD2=2AD2．
A
B
D
C
提示：将△ADC 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABE，连结 ED．
例 3 如图 3，将边长为 2 的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一
个绕点 B 顺时针旋转一个角度，若使重叠部分面积为 4 3
多少 解：连结BH。
由旋转可知，Rt△ BA' H RtBCH
又因为 S BCH
14 23
3
所以 1 BC HC 2 3
2
3
又BC=2，所以HC 2 3 3
则以线段 OA、OB、OC 为边构成三角形的各角度数是Fra bibliotek多少？A
O
B
C
图2
分析：可将△BOC绕B点按逆时针方向旋转60°可得△BMA。
提醒：△BOM是等边三角形
（二）等腰直角三角形类型
在等腰直角三角形ΔABC中， ∠C=Rt∠ , P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时 针方向旋转900，使得AC与BC重叠。经过这么旋转变化，在图（3-1-b）中旳一种 ΔP' CP为等腰直角三角形。
利用旋转变换解决与圆形有关的高考试题
利用旋转变换解决与圆形有关的高考试题介绍本文档将介绍如何利用旋转变换解决与圆形有关的高考试题。
通过了解旋转变换的概念和应用，我们可以更好地解答与圆形相关的问题，提高高考的得分。
旋转变换的概念旋转变换是指将一个图形绕着一个固定点旋转一定角度的变换。
在与圆形相关的试题中，我们可以使用旋转变换来简化问题，找到更便捷的解题方法。
解题示例示例一试题：已知圆的半径为r，点A在圆上，点B在圆的半径上，且∠AOB = α°，求∠DAB的度数。
解答步骤：1. 以圆心O为中心，顺时针旋转AB，使AB重合。
2. 根据旋转变换的性质，旋转过程中不改变角度大小，所以∠AOB和∠DOE的度数相等。
3. 旋转后，A、B、D三点重合，所以∠DAB = ∠DOE = α°。
示例二试题：已知直径AC的长度为d，点B在直径上，且AB = BC，求∠ABC的度数。
解答步骤：1. 将AC旋转180°，得到A'C'。
2. 由于AB = BC，所以A'B' = B'C'。
3. 旋转过程中不改变角度大小，所以∠ABC = ∠A'B'C'。
4. 由对称性可知，∠A'B'C' = ∠ABC，所以∠ABC = ∠A'B'C' = 180°。
结论通过利用旋转变换，我们可以简化与圆形相关的高考试题，找到更快捷的解题方法。
在解题过程中，要灵活运用旋转变换的性质和概念，合理选择旋转的中心和角度，将问题转化为更简单的形式。
通过熟练掌握旋转变换的应用技巧，可以提高解题效率，得到更好的成绩。
以上是关于利用旋转变换解决与圆形有关的高考试题的介绍。
希望对您有所帮助！。
培优专题5 平移与旋转 (含解答)-
培优专题5 平移与旋转平移是几何变换中最常用的变换之一，用它可以将一些不在同一三角形中要证的两条线段或两角，进行“搬家”，把它们搬到同一个三角形（或平行四边形）中，再利用图形的性质与题设条件，找到解（或比）的途径．平移法能把分散的条件集中起来，收到事半功倍的效果．旋转也是几何变换中较常用的变换之一，在解决问题中主要应用在以下两个方面：一是在题设条件和结论间联系不易沟通或条件不易集中利用的情形下，通过旋转起到铺路架桥作用；二是图形错综复杂，但图形中的量与量之间的关系多，这时也可以看能否使用旋转的办法，移动部分图形，使题目中隐蔽着的关系明朗起来，从而找到解题途径．平移、旋转两种变换在使用中，一定要善于观察变换前后哪些量变了，哪些量没变．只有这样，我们才能充分发挥两种变换的功能，达到有效解决相关问题的目的．例1如图，在△ABC中，D、E是BC边上两点，BD=CE，试说明AB+AC>AD+AE．分析利用平移变换，•将图中已知条件转化为梯形的对角线之和大于两腰之和．解：把△ABD作平移，使BD与EC重合，分别过点E作AB的平行线，过点A作BC•的平行线，两线交于点F，连结CF．再连结EF交AC于O．则AB=EF，∠ABD=∠FEC．∵BD=CE，∴△ABD≌△FEC．∴AD=CF．在梯形AECF中，AO+OE>AE，FO+OC>CF，∴AO+OE+FO+OC>AE+CF．即AC+EF>AE+CF．∴AB+AC>AD+AE．练习11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD+BC=3，AC=3，BD=6，求此梯形的面积．2．如图，长方形花园ABCD中，AB=a，AD=b，花园中建有一条长方形道路LMPQ•及一条平行四边形道路RSTK，若LM=RS=c，求花园中可绿化部分的面积．3．如图，△ABC中，E、F分别为AB、AC边上的点，且BE=CF，试说明EF<BC．例2 如图，△ABC中，∠ACB=90°，M是AB的中点，∠PMQ=90°，请说明PQ2=•AP2+BQ2．分析本题中PQ、AP、BQ不在同一个三角形中，•如果将它们平移，•使PQ、BQ分别转化为PD、AD，将三线段转化在同一三角形中，巧妙运用直角三角形中的勾股定理求解．解：将BQ平移到AD，连结PD、MD．∵BQ∥AD，∴∠BAD=∠ABC．∵MA=MB，BQ=AD，∴△AMD≌△BMQ，∴∠AMD=∠BMQ．而∠AMQ+∠BMQ=180°，∴∠AMQ+∠AMD=180°．∴D、M、Q三点共线．∴∠PMD=∠PMQ=90°，MD=MQ．∴PQ=PD．∵∠PAD=∠BAC+∠BAD=∠BAC+∠ABC=90°．∴△PAD为直角三角形，PD2=AP2+AD2．∴PQ2=AP2+BQ2．1．如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，∠BEG与∠CFH都是锐角，•已知EG=3，FH=4，四边形EFGH的面积为5，求正方形ABCD的面积．2．如图，△ABC中，∠B=90°，M、N分别是AB、BC上的点，AN、CM•交于点P，•若BC=AM，BM=CN，求∠APM的度数．3．如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，且AB-ED=CD-AF=EF-BC>0，请问，六边形ABCDEF的六个角是否都相等．例3如图，在正方形ABCD的边BC和CD上分别取点M和点K，并且∠BAM=∠MAK．求证：BM+KD=KA．分析把Rt△BAM绕点A顺时针旋转90°到△ADM′，使BM与DN拼成一条线段的KM′，只要证明KM′=KA即可．证明：把Rt△ABM绕点A旋转90°，则点B变为点D，M变为M′，则Rt•△BAM•≌Rt•△ADM′，∴∠M′=∠BMA∴DM′=BM．∵∠BAM=∠MAK，∴∠KAM′=∠MAD．∴∠KAM′=∠M′．∴AK=KM′．∴BM+KD=AM．1．如图，在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D•的点，•且∠NMB=∠MBC，求AMAB的值．2．如图，P是等边△ABC内一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比为5：6：7，•求以PA、PB、PC之比为边的三角形三内角之比（从小到大）．3．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，AH⊥BC，且AH=1，•求四边形ABCD的面积．例4如图，在等腰三角形ABC中，∠CAB=90°，P是△ABC内一点，且PA=1，PB=3，PC=7，求∠APC 的度数．分析本题将△BAP绕点A旋转90°，得到△CAQ，构造直角三角形，利用勾股定理求解解：将△BAP绕点A旋转90°，使AB与AC重合，得△CAQ，则△CAQ≌△BAP．∴AQ=AP=1，CQ=BP=3，∠CAQ=∠PAB，∴∠PAQ=∠PAC+∠CAQ=∠PAC+∠PAB=90°Rt△AQP中，PQ2=AQ2+AP2=2，∴PQ=2，∴∠APQ=45°．在△CPQ中，PQ=2，CQ=3CP=7，CQ2=CP2+PQ2．∴△CPQ是直角三角形，∠CPQ=90°．∴∠APC=∠CPQ+∠APQ=135°．练习41．等边三角形内一点到三个顶点距离分别为3、4、5，则此等边三角形边长的平方为________．2．如图，P是正方形内的点，若PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数．3．如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD各有一点P、Q，若△APQ的周长为2，•求∠PCQ．例5 如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，以BC为边的三角形BPC是等边三角形，求AP的最大、最小值．分析通过旋转把AP转移到有两条边确定的三角形中，利用三角形的性质求最值．解：把△ABP绕B点顺时针旋转60°得△DBC，则△ABP≌△DBC．∴DC=AP，BD=BA，∠DBA=60°．∴△ABD是等边三角形，AD=AB=3．在△ACD中，有DC<AD+AC=5，当C在DA的延长线上时才有DC=AD+AC=5，说明DC≤5，•即AP≤5．……①在△ACD中，有DC>AD-AC=1时，当C在DA线段上时才有DC=AD-AC=1，说明DC≥1，•即AP≥1．……②由①②得AP最大值为5，最小值为1．练习51．如图，正方形ABCD中，有一个内接三角形AEF，若∠EAF=45°，AB=8，EF=7，•求△EFC的面积．2．如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，过BC上的中线AD=6，求BC的长．3．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为三角形内一点，∠ADB>∠ADC．试证明：•CD>BD．答案:练习11．解：将BD 平移到CE 交AD 延长线于点E ， 则四边形BDEC 为平行四边形∴DE=BC ，CE=BD ，S △BCD =S △CDE ∵△ABC 与△DBC 同底等高， ∴S △ABC = S △BCD = S △CDE∵S 梯形ABCD = S △ABC + S △ACD = S △CDE + S △ACD = S △ACE ． 又AE=AD+DE=3=2236AC CE +=+，∴△ACE 为直角三角形，∠ACE=90°． ∴S 梯形ABCD = S △ACE =12·AC·CE=322．2．解：把长方形和平行四边形道路平移，在移动过程中道路面积不变，如图，则四块空白可组成长（b-c ），宽（a-c ）的空白长方形，其面积为（b-c ）（a-c ）=ab-bc-ac+c 2．3．解：将EF 平移为BG ，BF 平移为FG ，作∠CFG 的角平分线交BC 于D ，连结DG ，•则由平移知四边形BEFG 是平行四边形． ∴EF=BG ，BE=FG ． ∵BE=CF ，∴FG=CF ． ∵∠1=∠2，FD=FD ． ∴△FGD ≌△FCD （SAS ）． ∴DG=CD ．在△BGD 中， ∵BG<BD+DG ，∴EF<BC ．练习21．解：过E 、F 、G 、H 分别平移AD 、AB ，交点分别为P 、Q 、R 、T ，则四边形PQRT•为矩形．设正方形边长为a ，PQ=b ，PT=c ，由勾股定理得b= 223a -，c=224a -， ∵S △AEH =S △TEH ，S △BEF =S △PEF ， S △CFG =S △QFG ， S △DGH =S △RGH 则S 正方形ABCD +S 矩形PQRT =2S 四边形EFGH ∴a 2+b·c=10． 即a 2+223a -·224a -=10．∴5a2=44，a2=445．∴S正方形ABCD=445．2．解：把MC平移，使点M至A点，过A作MC的平行线，过点C作AB的平行线，•两线交于点D，则MC=AD．∠APM=∠NPC=∠NAD……①∵BM=NC，CD=AM=BC，∠DCN=∠CBM=90°，∴△DCN≌△CBM．从而DN=MC，∴DN=DA……②∴∠CMB=∠DNC．∵∠BCM+∠DMB=90°，∴∠BCM+∠DNC=90°．即MC∥AD．∴ND⊥AD．……③由①，②，③得∠APM=45°．3．解：六个角都相等且都等于120°．将AB沿着BC平移到QC，CD沿着DE平移到ER，EF沿着FA平移到AP，∵AB∥ED，BC∥EF，CD∥AF，∴AB=QC，BC=AQ，CD=ER，DE=CR，EF=AP，FA=PE．∵AB-ED=CD-AF=EF-BC，∴QC-CR=ER-PE=AP-AQ．即PQ=PR=QR．∴∠1=∠2=∠3=60°．由平行线性质知：∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°．练习31．解：将△BAM绕B点旋转90°，A点变为C点，M点变为P点，连结MP，则△BAM≌△BCP．∴∠BPC=∠BMA=∠CBM=∠NMB．∵BM=BP，∴∠NMP=∠NPM．∴MN=NP=NC+CP=NC+AM．设AB=1，AM=x，在Rt△MND中，则有12+x=221()(1)2x+-．∴x=13．即AMAB=13．2．解：将△ABP绕B点顺时针旋转60°得△BCP′，连结PP′，则△ABP≌△CBP′．∴AP=P′C，BP=BP′，∠APB=∠CP′B．∵∠PBP′=60°，∴△BPP′是等边三角形．∴PP′=BP，∠BPP′=60°=∠BP′P．∵∠APB：∠BPC：∠CAP=5：6：7，又∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，∴∠1=120°-60°=60°，∠2=100°-60°=40°，∠PCP′=180°-60°-40°=80°．由PA=P′C，PP′=PB，∴△PP′C是由PA、PB、PC组成的三角形．∴三内角之比为2：3：4．3．解：将△ABH绕A点旋转90°得△ADP，则△ABH≌△ADP．∴∠APD=∠AHB=90°，AH=AP．∵∠BAD=∠BCD=90°，∠HAP=90°．∴四边形AHCP是正方形．∵AH=1，∴S正方形AHCP=1=S四边形AHCD+S△ADP．S四边形ABCD=S四边形AHCD+S△ABH．又∵S△AOP =S△ABH．∴S四边形ABCD=S正方形AHCP=1．练习41．解：如图，以A为中心将△ACP绕A顺时针旋转60°，则C与B重合，P与P′重合，连结AP′，BP′，PP′则AP′=AP，BP′=CP，∠PAP′=60°．∴△APP′是等边三角形，PP′=3．△BPP′中，BP=4，PP′=3，BP′=CP=5．由32+42=52．∴△BPP′为直角三角形，∠BPP′=90°．∴∠BPA=150°．过B作BE⊥AP，交AP延长线于E．∵∠EPB=180°-150°=30°，在Rt△BEP中，BP=4，BE=2，EP=23，Rt△ABE中，BE=2，AE=23+3，AB2=22+（23+3）2=25+123．2．解：将△ABP绕B点旋转90°，得△CBP′，连结PP′，则△ABP≌△CBP′．∴PB=BP′=2，AP=P′C=1，∠APB=∠CP′B．在Rt△PBP′中，BP=BP′=2，∴PP′=22，∠BP′P=45°．在△PP′C中，PC=3，P′C=1，PP′=22．有PC2=P′C2+P′P2，∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°．∴∠APB=∠CP′B=∠BP′P+∠PP′C=135°．3．解：将△CDQ绕C点旋转90°，得△CBM，则△CDO≌△CBM，∠QCM=90°．∵∠D=90°，∠CBA=90°，∴P、B、M在一条直线上．∵QA+AP+QP=2，DQ+AQ+AP+BP=2，∴QP=DQ+BP．∵BM=DQ，PM=PB+BM，∴QP=PM．又CP=CP，CQ=CM．∴△CQP≌△CMP．∴∠QCP=∠PCM．又∠QCP+∠PCM=∠QCM=900∴∠PCQ=45°．练习51．解：把△ADF绕A点旋转到△ABD′的位置．∵∠D和∠ABC均为直角，∴D′、B、E三点在一条直线上，∵∠EAF=45°，∴∠D′AE=45°．在△AD′E和△AEF中，AD′=AF，AE=AE，∠D′AE=∠EAF，∴△AD′E≌△AFE．∴S△D`EF =2S△AD`E =S ABEFD=S正方形ABCD-S△EFC．∴S△EFC =S正方形ABCD-S ABEFD=S正方形ABCD-2S△AD`E =82-2×12×8×7=8．2．解：将△ADC绕D点旋转180°得△BDE．∵BD=CD．- 11 - ∴C 与B 重合，设A 落到E 处，显然A 、D 、E 共线．在△ABE 中，BE=AC=13，AB=5，AE=2AD=12． 则有132=122+52．∴△ABE 为直角三角形，∠BAE=90°． 在Rt △ABD 中，AB=5，AD=6，则有BD=2256 =61．∴BC=2BD=261．3．证明：将△ABD 绕A 点旋转∠BAC 的度数， 得△ACE ，连结DE ．由于AB=AC ． ∴B 与C 重合，则△ABD ≌△ACE ． ∵AD=AE ，∴∠1=∠2．∵∠AEC=∠ADB>∠ADC ．∴∠4>∠3，∴CE<DC ．∵BD=CE ，∴CD>BD ．。
教你如何应用全等三角形的旋转变换
全等三角形作为初中数学中的一个重要知识点，转变换是其中的一个重要应用。
旋转变换是指将一个图形围绕一个固定点进行旋转后得到另一个图形的变换。
在三角形的旋转变换中，我们常用的是以三角形某一个顶点为旋转中心，将整个三角形围绕该点旋转一定角度，再得到一个全等三角形。
本文将教大家如何应用全等三角形的旋转变换。
一、基本概念在进行旋转变换时，我们首先需要了解几个基本概念，这些概念将帮助我们更好地理解旋转变换。
1.旋转中心：旋转中心是指在旋转变换中被旋转的图形围绕的点。
在三角形旋转变换中，我们通常将三角形的某个顶点作为旋转中心。
2.旋转角度：旋转角度指的是图形围绕旋转中心顺时针或逆时针旋转的角度。
在三角形旋转变换中，我们通常使用角度制来表示旋转角度。
3.旋转方向：旋转方向分为顺时针和逆时针两种，根据具体问题来决定采用哪种旋转方向。
二、旋转变换的规律在进行旋转变换时，我们需要掌握一定的规律，这样才能更加准确地进行计算、解题。
1.旋转后对应的点与原点的距离相等在三角形的旋转变换中，旋转后的三角形中点的位置与原三角形中对应点的位置相同，且距离相等。
因此，我们可以通过计算原三角形中对应点与旋转三角形中对应点之间的距离来确定旋转角度。
2.旋转角度相等在三角形的旋转变换中，旋转角度相等，也就是说，如果我们将一个三角形绕不同的顶点旋转，保持其它条件不变，那么我们得到的三角形是全等的。
这个规律对于解决一些旋转变换问题非常有用。
三、应用全等三角形的旋转变换下面我们将通过一些例题来说明如何应用全等三角形的旋转变换。
例题1已知 AB=AC，P为三角形ABC内部一点，且∠CBP = 30°，∠BCP = 75°。
求∠APB 和∠APC 的度数值。
解析：我们可以通过旋转变换来求解该问题。
具体步骤如下：1.以点B为旋转中心，将△BCP绕B点逆时针旋转105°，得到△B'DP。
2.连接AD，可知△B'DA ≌△BCA 。
三角形旋转解题技巧初中
三角形旋转解题技巧初中篇一：三角形旋转是一种重要的几何变换，可以在解题过程中发挥重要作用。
在初中数学中，三角形旋转通常用于解决角度问题和面积问题。
以下是一些初中三角形旋转的解题技巧:1. 了解三角形旋转的性质：三角形旋转后，其顶点的位置不会改变，而边的长度会发生变化。
同时，三角形的面积也可以通过旋转来变化。
2. 利用旋转角求解角度问题：在初中数学中，常常需要求解三角形中的某个角度。
可以利用三角形旋转的性质，将求解的问题转化为已知角度的问题，然后再通过旋转来解决。
3. 利用旋转来解决面积问题：在解决面积问题时，可以利用三角形旋转的性质，将原来的问题转化为面积相等的三角形，然后再通过旋转来解决。
4. 熟悉三角形旋转的基本公式：三角形旋转的基本公式为:旋转角度=原角度 - 旋转角度，旋转角度=旋转角度 + 原角度。
这些公式可以帮助更好地理解和解决三角形旋转的问题。
三角形旋转在初中数学中是一种常见的几何变换，可以帮助我们更好地理解和解决一些问题。
通过不断练习和积累，可以逐渐掌握三角形旋转的解题技巧，提高解题能力。
篇二：三角形旋转是一种重要的几何变换，可以在解题过程中发挥重要作用。
在初中阶段，三角形旋转通常作为求解几何问题的一种技巧来介绍。
下面是一些常见的三角形旋转解题技巧:1. 了解三角形旋转的基本性质：三角形旋转是一个沿固定轴旋转的变换，可以保持不变的性质有面积、周长、对称中心、对称轴等;可以改变的性质有方向、位置、形状等。
2. 利用旋转变换求解几何问题：在初中阶段，常见的利用三角形旋转求解的几何问题有：求解对称轴、对称中心、重心等;将复杂的几何问题转化为简单的代数问题，从而实现化繁为简、化难为易的目的。
3. 掌握常见的旋转变换公式：在三角形旋转中，存在一些常用的旋转公式，如旋转角度、旋转角度与旋转中心的关系、旋转前后面积的变化等。
熟悉这些公式可以更好地理解和解决旋转问题。
4. 实践三角形旋转的技巧：在初中阶段，可以通过一些简单的例子来实践三角形旋转的技巧，如求解三角形的重心、对称中心、对称轴等。
九年级数学下册《旋转变换》优秀教学案例
1.教师带领学生回顾本节课所学内容，总结旋转变换的定义、性质、表示方法和应用。
-强调旋转变换在实际问题中的应用，提高学生的几何解题能力。
2.对学生在课堂上的表现给予积极评价，鼓励他们在今后的学习中继续努力。
（五）作业小结
1.布置课后作业，巩固旋转变换的知识。
-基础题：运用旋转变换解决简单几何问题。
-学生能够将旋转变换应用于解决平面几何问题，如求旋转后图形的面积、周长等。
-学生掌握旋转变换在坐标平面中的应用，能够解决旋转相关的坐标问题。
3.掌握旋转变换与其他几何变换（如平移、轴对称）的综合运用，培养几何变换的综合运用能力。
（二）过程与方法
1.通过观察、实践、探究旋转变换的性质，培养学生的空间想象能力和几何直观。
3.培养学生运用数学思维解决问题的能力，提高数学素养。
-教学过程中，教师引导学生运用数学语言描述旋转变换，培养数学表达和逻辑思维能力。
-学生通过解决旋转变换的实际问题，体会数学在实际生活中的应用，提高数学素养。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发他们的学习积极性。
-教师通过生动的教学情境，让学生感受旋转变换在生活中的应用，激发学习兴趣。
-提高题：结合其他几何变换，解决综合几何问题。
2.鼓励学生利用课余时间观察生活中的旋转变换现象，将数学知识融入日常生活。
五、案例亮点
1.生活情境导入，激发学习兴趣
本案例以生活中的旋转变换现象为切入点，通过多媒体展示和实际操作，让学生直观感受到旋转变换在实际生活中的广泛应用。这种导入方式既激发了学生的学习兴趣，又使他们能够将抽象的数学知识与社会生活紧密联系在一起，增强了学习动机。
四、教学内容与过程
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旋转变换在解题中的应用
道真县旧城中学：郑周宇
旋转变换就是将图形中某一部分绕某点旋转适当角度的一种变形模式，是从运动的角度来理解几何图形的一种思维方法，该方法往往能够使问题简化，达到事半功倍的成效。
一、 求面积
例1：如图1，A 为⊙o 直径， AC = CD
= DB ，若AB=a ，求阴影面积。
分析：将ABM 绕点旋转180 ，AMC
就与DMO 重合，因此，阴影部分面 积就与扇形COD 的面积相等。
图1
解：阴影S ACD=扇形S COD= 60360．π ．2
12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2124a π 例2．如图2，已知⊙o 半径R ，求阴影面积。
图2
分析：将阴影沿图形OA 、OB 、OC 剪开并绕A 、B 、C 点旋转60 转换成右图则问题就容易多了。
解：阴影S =S ⊙O -正六边形S =2R π - 6
⨯122R R ⨯
=2R π⎛ ⎝
⎭ 二、 求角度 例3 ：已知：如图3，ABD 和ACE CD
相交于O ，求BOC ∠
的度数 分析：将ADC 绕A 点逆时针旋转60 就与
ABE 重合，这时DC 边与BE 重合，所以：
DOB ∠=60 ，因此BOC ∠=120 。
图3 例4：设P 为等边三角形ABC 外一点，且PA=3，PB=4，PC=5，求APB ∠的度数。
分析：从3 ，4 ，5 长的线段发现，它们
首尾相接可组成一个三角形。
将APC 绕A
点旋转60 ，如图4点P 落在M 点，PC 与 MB 重合，PM=PA ，所以PAM 为直角三 图4 角形，PAM 为等边三角上形。
故APB ∠=90 -60 =30
三、 巧用旋转变换证明
例5：已知：如图5，ABC 和ADE 是正三角形，B 、C 、D 在同一直线上：
求证：CE=AC+CD
分析：将ACE 绕A 点旋转60 就与ABD
重合了，因此EC 与BD 相等，即得 图5 CE=BC+CD ，故得出结论。
例6：ABC 为等腰三角形，如图6，90A ∠= ，AB=AC ，D 为斜
边上任意一点，
求证：2222BD DC AD +=
分析：将ABD 绕A 点旋转90 后，
ABD 就成了ABC 的位置，因此 图6
1245∠=∠= ，所以DEC 为直角三角形，问题就容易了。
证明：将ABD 绕A 点旋转90 ，ADE 为等腰三角形；
222DE AD =
又 1245∠=∠=
∴DEC 为直角三角形式22222DE CD EC BD CD =+=+ ∴2222BD DC AD +=
四、巧用旋转求线段长
例7：已知，如图7在RT ABC 中，90C ∠= ，AB=2，一动点D
分析：要设法找到与ABC D
的位置，则利用旋转变换构造与D 相关，又与ABC 边长相
解：设D 为动点任位置，将ADC
绕C 点旋转60 ，则CDE 为正
三角形。
DC=DE ，又AD=ME ，
150BCM = ∴ AD+DC+DB=ME+ED+DB 图7
又 ME+ED+DB ≥MB
∴D点应在MB上，设在D处，
由题意可知，
中，
MCB
2222cos150
=+-
MB MC BC MC BC
设AC=X ，MC=X ，
∴222cos150
X
=
3
=解得1X=1 ，2X
，BC=1
当X=1时，
∴RT ABC
两直角边长为1
由上可知，旋转变换在几何解题中，有其独特之处，熟练地掌握了它，能将问题巧妙地解决。