第一章习题答案

第一章

思考题和习题

1 什么是物质波和它的统计解释？

2 如何理解合格波函数的基本条件？

3 如何理解态叠加原理？

4 测不准原理的根源是什么？

5 铝的逸出功是4.2eV ，用2000Å的光照射时，问（a ）产生的光电子动能是多少？(b)与其

相联系的德布罗依波波长是多少？(c)如果电子位置不确定量与德布罗依波波长相当，其动量不确定量如何？

6 波函数e -x (0≤x ≤∞)是否是合格波函数，它归一化了吗？如未归一化，求归一化常数。

7 一个量子数为n ，宽度为l 的一维势箱中的粒子，①在0~1/4 区域内的几率是多少？②n

取何值时几率最大？③当n →∞时，这个几率的极限是多少？ 8 函数x l

l x l l x π

πψ2sin 22sin 23

)(+=是不是一维势箱中粒子的可能状态？如果是，其能量有无确定值？如果有，是多少？如果能量没有确定值，其平均值是多少？ 9 在算符

∑

，

错误！未定义书签。, exp, 错误！未定义书签。中，那些是线性算符？ 10 下列函数, 那些是错误！未定义书签。的本征函数? 并求出相应的本征值。

(a) e imx (b) sin x (c) x 2+ y 2 (d) (a -x )e -x

11 有算符,ˆ,ˆX X dx d D

== 求D X X D ˆˆˆˆ-。 参考答案

1 象电子等实物粒子具有波动性被称作物质波。物质波的波动性是和微粒行为的统计性联系在一起的。对大量粒子而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目就多，而衍射强度小的地方，粒子出现的数目就少。对一个粒子而言，通过晶体到达底片的位置不能准确预测。若将相同速度的粒子，在相同的条件下重复多次相同的实验，一定会在衍射强度大的地方出现的机会多，在衍射强度小的地方出现的机会少。因此按照波恩物质波的统计解释，对于单个粒子，ψψ=ψ

*2

代表粒子的几率密度，

在时刻t ，空间q 点附近体积元τd 内粒子的几率应为τd 2

ψ；在整个空间找到一个粒子的几率应为 12

=ψ

⎰τd 。

表示波函数具有归一性。

2 合格波函数的基本条件是单值，连续和平方可积。由于波函数2

ψ

代表概率密度的物理

意义，所以就要求描述微观粒子运动状态的波函数首先必须是单值的，因为只有当波函数ψ

在空间每一点只有一个值时，才能保证概率密度的单值性；至于连续的要求是由于粒子运动状态要符合Schrö

dinger 方程，该方程是二阶方程，就要求波函数具有连续性的特点；平方可积的是因为在整个空间中发现粒子的概率一定是100%，所以积分⎰

τψψd *必为一个有限数。

3 在经典理论中，一个波可由若干个波叠加组成。这个合成的波含有原来若干波的各种成份（如各种不同的波长和频率）。而在量子力学中，按波函数的统计解释，态叠加原理有更深刻的含义。某一物理量Q 的对应不同本征值的本征态的叠加，使粒子部分地处于Q 1状态，部分地处于Q 2态，……。各种态都有自己的权重（即成份）。这就导致了在态叠加下测量结果的不确定性。但量子力学可以计算出测量的平均值。

4 根源就在于微观粒子的波粒二象性。

5 (a) 19

10

219.3-⨯=T J (b) 10

10

781.8-⨯=λm (c) 25

10546.7-⨯≈∆x P Kg m s -1

6 没有归一化，归一化因子为2

7 （1）2

sin

214124

π

πψn n dx w l

n -=

=

⎰

（2） π

π6141,12s i n ,

...)3,2,1(43m a x +

=-==+=w n k k n 时

（3）4

1=

w 8 根据态叠加原理，)(x ψ是一维势箱中粒子一个可能状态。能量无确定值。 平均值为

2

2

10425ml h

9 错误！未定义书签。和 错误！未定义书签。是线性算符.

10 (a) 和 (b) 是错误！未定义书签。的本征函数，其相应的本征值分别为-m 2和-1。 11 1ˆˆˆˆ=-D X X D

附录1 物理常数表和能量单位换算表 1 一些物理常数 名称 符号 数值

电子质量 m e 9.10953⨯10-31kg 质子质量 M p 1.67265⨯10-27kg 电子电荷

e

-1.60219⨯10-19C

真空光速 c 2.997955⨯108m/s

Planck常数h 6.62618⨯10-34Js

Avogadro常数N 6.02205⨯1023mol-1 Boltzmann常数k 1.38066⨯10-23J/K

2 能量单位换算表

Units Hartree kcal/mole eV cm-1kJ/mole

1Hartree(a.u.) 1.00000E+00 6.27510E+02 2.721138E+01 2.1947463137E+05 2.62550E+03 1kcal/mole 1.59360E-03 1.00000E+00 4.33641E-02 3.49755E+02 4.18400E+00 1eV 3.67493E-02 2.30605E+01 1.00000E+00 8.065541E+03 9.64853E+01 1cm-1 4.55634E-06 2.85914E-03 1.23984E-04 1.00000E+00 1.19627E-02 1kJ/mole 3.80880E-04 2.39006E-01 1.03643E-02 8.35935E+01 1.00000E+00

其中，1 kcal = 4.184 J，E是以10为底的指数。

主要参考书目

1．唐敖庆等，《量子化学》，科学出版社，1982。

2．曾谨言著，《量子力学导论》，北京大学出版社，2002。

3．麦松威，周公度，李伟基编著，《高等无机结构化学》，北京大学出版社，2006。

4．王荣顺等编著，《结构化学》, 高等教育出版社，2003。

5．潘道皑等，《物质结构》，高等教育出版社，1987。

6．周公度，《结构化学基础》，北大出版社，1995。

7．王荣顺，《基础量子化学》, 东北师范大学出版社，2006。

8．江元生，《结构化学》，高等教育出版社，1999。

9．李宗和，《结构化学》，高等教育出版社，2002。

10．赵成大，《新编物理化学》，东北师范大学出版社，1999。