2013西城高三数学期末试题 电子版

北京市西城区2012 —2013学年度第一学期期末试卷
高三数学（文科）2013.1
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符
合题目要求的一项．
1．已知集合{|01}
A x x
=∈<<
R，{|(21)(1)0}
B x x x
=∈-+>
R，则A B=
（）
（A）
1
(0,)
2
（B）
1
(,1)
2
（C）
1
(,1)(0,)
2
-∞- （D）
1
(,1)(,1)
2
-∞-
2．复数
5i
2i
=
+
（）
（A）12i
+（B）12i
-+（C）12i
--（D）12i
-
3．执行如图所示的程序框图，则输出S=（）
（A）2
（B）6
（C）15
（D）31
4．函数
1
()ln
f x x
x
=-的零点个数为（）
（A）0（B）1（C）2（D）3
5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（ ）
（A ） （B ）
（C ）3
（D ）3
6．过点(2,0)M 作圆2
2
1x y +=的两条切线M A ，M B (A ，B 为切点)，
则MA MB ⋅=
（ ）
（A ）2
（B ）
52
（C ）
2
（D ）
32
7．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ．则“||q =”是“627S S =”的（ ）
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
8．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，
则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：
①()||f x x =； ②()sin f x x =； ③3
()f x x x =-． 其中，具有性质P 的函数的序号是（ ） （A ）① （B ）③
（C ）①②
（D ）②③
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知向量(1,3)=a ，(,21)m m =-b ．若向量a 与b 共线，则实数m =______．
10．平行四边形A B C D 中，E 为C D 的中点．若在平行四边形A B C D 内部随机取一点M ，
则点M 取自△A B E 内部的概率为______．
11．双曲线
2
2
136
45
x
y
-
=的渐近线方程为______；离心率为______．
12．若函数2log ,0,()(),0
x x f x g x x >⎧=⎨<⎩是奇函数，则(8)g -=______．
13．已知函数π()sin()6
f x x =+
，其中π[,]3
x a ∈-
．当2
a π=
时，()f x 的值域是______；
若()f x 的值域是1[,1]2
-，则a 的取值范围是______．
14．设函数2
()65f x x x =-+，集合{(,)|()()0A a b f a f b =+≤，且()()0}f a f b -≥
．在
直角坐标系aO b 中，集合A 所表示的区域的面积为______．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）
在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 2cos 0B B +=． （Ⅰ）求角B 的值；
（Ⅱ）若b =，5a c +=，求△ABC 的面积．
16．（本小题满分13分）
为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间．将数据分成以下5组：第1组[4550)，，第2组[5055)，，第3组[5560)，，第4组[6065)，，第5组[6570]，，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检． （Ⅰ）求每组抽取的学生人数；
（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．
17．（本小题满分14分）
如图，直三棱柱111C B A ABC -中，BC AC ⊥，21===CC BC AC ，M ，N 分别
为AC ，11C B 的中点． （Ⅰ）求线段MN 的长；
（Ⅱ）求证：MN // 平面11A ABB ；
（Ⅲ）线段1CC 上是否存在点Q ，使⊥B A 1平面MNQ ？说明理由．
18．（本小题满分13分）
已知函数2
()x f x x b
=
+，其中b ∈R ．
（Ⅰ）若1x =-是)(x f 的一个极值点，求b 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间．
19．（本小题满分14分）
如图，A ，B 是椭圆
222
2
1x y a
b
+
=(0)a b >>的两个顶点．||A B =A B 的斜
率为12
-．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l 平行于A B ，与,x y 轴分别交于点,M N ，与椭圆相交于,C D ．证明：△O C M
的面积等于△O D N 的面积．
20．（本小题满分13分）
如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n = 表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-．记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．
对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令
1
1
()()()n
n
i
j
i j l A r A c
A ===
+∑∑．
（Ⅰ）对如下数表(4,4)A S ∈，求()l A 的值；
（Ⅱ）证明：存在(,)A S n n ∈，使得()24l A n k =-，其中0,1,2,,k n = ； （Ⅲ）给定n 为奇数，对于所有的(,)A S n n ∈，证明：()0l A ≠．。