【人教A版】高中数学必修2教学同步讲练第三章《直线与方程》单元测试题
人教版高中数学必修2同步单元练习配套练习资料第三章直线与方程(内含详解)
第三章直线与方程§3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率一、基础过关1．下列说法中：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②任何一条直线都有唯一的斜率；③倾斜角为90°的直线不存在；④倾斜角为0°的直线只有一条．其中正确的个数是() A．0 B．1 C．2D．32．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为() A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝33．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为() A．－2 3 B．0 C. 3 D．234．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是() A．[0°，90°]B．[90°，180°)C．[90°，180°)或α＝0°D．[90°，135°]5．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为__________．6．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为_______．7. 如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．8．一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的坐标．二、能力提升9．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为() A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°10. 若图中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则 ( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 211．已知直线l 的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是________．12．△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率． 三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，a >b >c >0，试比较f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小．答案1．B 2．C 3.B 4．C5．30°或150° 33或－336．(－2,1)7．解 直线AD ，BC 的倾斜角为60°，直线AB ，DC 的倾斜角为0°，直线AC 的倾斜角为30°，直线BD 的倾斜角为120°.k AD ＝k BC ＝3，k AB ＝k CD ＝0， k AC ＝33，k BD ＝－ 3.8．解 设P (x,0)，则k P A ＝3－0－1－x ＝－3x ＋1，k PB ＝1－03－x ＝13－x ，依题意，由光的反射定律得k P A ＝－k PB ，即3x ＋1＝13－x ，解得x ＝2，即P (2,0)． 9．D 10．D 11.20°≤α<200°12．解 如右图，由题意知∠BAO ＝∠OAC ＝30°，∴直线AB 的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC 的倾斜角为30°，∴k AB ＝tan 150°＝－33，k AC ＝tan 30°＝33.13．解 画出函数的草图如图，f (x )x可视为过原点直线的斜率．由图象可知：f (c )c >f (b )b >f (a )a.3.1.2 两条直线平行与垂直的判定一、基础过关1．下列说法中正确的有( )①若两条直线斜率相等，则两直线平行；②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值为 ( ) A ．－8 B ．0 C ．2D ．10 3．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为45°，则直线l 2的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．－45°D ．120° 4．已知A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( )A ．1B ．0C ．0或2D ．0或15．经过点A (1,1)和点B (－3,2)的直线l 1与过点C (4,5)和点D (a ，－7)的直线l 2平行，则a ＝________.6． 直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________.7．(1)已知四点A (5,3)，B (10,6)，C (3，－4)，D (－6,11)，求证：AB ⊥CD .(2)已知直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)且l 1⊥l 2，求实数a的值．8. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0)、P (1，t )、Q (1－2t,2＋t )、R (－2t,2)，其中t >0.试判断四边形OPQR 的形状．二、能力提升9．顺次连接A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)所构成的图形是( )A ．平行四边形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．以上都不对10．已知直线l 1的倾斜角为60°，直线l 2经过点A (1，3)，B (－2，－23)，则直线l 1，l 2的位置关系是____________．11．已知△ABC 的顶点B (2,1)，C (－6,3)，其垂心为H (－3,2)，则其顶点A 的坐标为________． 12．已知△ABC 三个顶点坐标分别为A (－2，－4)，B (6，6)，C (0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率． 三、探究与拓展13．已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )，B (5，－1)，C (4，2)，D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形．答案1．A 2．A 3.B 4.D 5．52 6．2 －987．(1)证明 由斜率公式得：k AB ＝6－310－5＝35，k CD ＝11－(－4)－6－3＝－53，则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD .(2)解 ∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即34×a 2＋1－(－2)0－3a＝－1，解得a ＝1或a ＝3. 8．解 由斜率公式得k OP ＝t －01－0＝t ，k QR ＝2－(2＋t )－2t －(1－2t )＝－t －1＝t ，k OR ＝2－0－2t －0＝－1t ，k PQ ＝2＋t －t 1－2t －1＝2－2t＝－1t .∴k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，从而OP ∥QR ，OR ∥PQ . ∴四边形OPQR 为平行四边形． 又k OP ·k OR ＝－1，∴OP ⊥OR ， 故四边形OPQR 为矩形． 9．B 10．平行或重合 11．(－19，－62) 12．解 由斜率公式可得k AB ＝6－(－4)6－(－2)＝54，k BC ＝6－66－0＝0，k AC ＝6－(－4)0－(－2)＝5.由k BC ＝0知直线BC ∥x 轴，∴BC 边上的高线与x 轴垂直，其斜率不存在．设AB 、AC 边上高线的斜率分别为k 1、k 2，由k 1·k AB ＝－1，k 2·k AC ＝－1，即k 1·54＝－1，k 2·5＝－1，解得k 1＝－45，k 2＝－15.∴BC 边上的高所在直线的斜率不存在；AB 边上的高所在直线的斜率为－45；AC 边上的高所在直线的斜率为－15.13．解 ∵四边形ABCD 是直角梯形，∴有2种情形： (1)AB ∥CD ，AB ⊥AD ， 由图可知：A (2，－1)． (2)AD ∥BC ，AD ⊥AB ， ⎩⎪⎨⎪⎧k AD ＝k BC k AD ·k AB ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝3－1n －2m －2·n ＋1m －5＝－1∴⎩⎨⎧m ＝165n ＝－85.综上⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝－1或⎩⎨⎧m ＝165n ＝－85.3.2.2 直线的两点式方程一、基础过关1．过点A (3,2)，B (4,3)的直线方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝02．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( )A ．可以写成两点式或截距式B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式C ．可以写成点斜式或截距式D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式3．直线x a 2－yb 2＝1在y 轴上的截距是( )A ．|b |B ．－b 2C ．b 2D ．±b 4．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )A ．3x －y －8＝0B ．3x ＋y ＋4＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y ＋2＝05．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程是________________． 6．过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是______________．7．已知直线l 的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为37，求直线l 的方程． 8．已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的方程并化为截距式方程． 二、能力提升9．直线x m －y n ＝1与x n －ym＝1在同一坐标系中的图象可能是( )10．过点(5,2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的直线方程是() A．2x＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝011．已知点A(2,5)与点B(4，－7)，点P在y轴上，若|P A|＋|PB|的值最小，则点P的坐标是________．12．三角形ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．(1)求边AC和AB所在直线的方程；(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；(3)求AC边上的中垂线所在直线的方程．三、探究与拓展13．已知直线l经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线l的方程．答案1．D 2.B 3.B 4.B 5.x 3＋y 2＝1或x2＋y ＝1 6.x 2＋y 6＝1 7．解 设所求直线l 的方程为y ＝kx ＋b .∵k ＝6，∴方程为y ＝6x ＋b .令x ＝0，∴y ＝b ，与y 轴的交点为(0，b )；令y ＝0，∴x ＝－b6，与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－b 6，0. 根据勾股定理得⎝⎛⎭⎫－b62＋b 2＝37， ∴b ＝±6.因此直线l 的方程为y ＝6x ±6.8．解 (1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB 、AC 中点坐标为⎝⎛⎭⎫72，1，⎝⎛⎭⎫－12，－2， 所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得，6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1， 即7x －y －11＝0，化为截距式方程为 x 117－y11＝1. 9．B 10．D 11．(0,1)12．解 (1)由截距式得x －8＋y4＝1， ∴AC 所在直线的方程为x －2y ＋8＝0，由两点式得y －46－4＝x－2，∴AB 所在直线的方程为x ＋y －4＝0.(2)D 点坐标为(－4,2)，由两点式得y －26－2＝x －(－4)－2－(－4).∴BD 所在直线的方程为2x －y ＋10＝0.(3)由k AC ＝12，∴AC 边上的中垂线的斜率为－2，又D (－4,2)，由点斜式得y －2＝－2(x ＋4)，∴AC 边上的中垂线所在直线的方程为2x ＋y ＋6＝0.13．解 当直线l 经过原点时，直线l 在两坐标轴上截距均等于0，故直线l 的斜率为17，∴所求直线方程为y ＝17x ，即x －7y ＝0.当直线l 不过原点时，设其方程为x a ＋yb＝1，由题意可得a ＋b ＝0，①又l 经过点(7,1)，有7a ＋1b ＝1，②由①②得a ＝6，b ＝－6，则l 的方程为x 6＋y－6＝1，即x －y －6＝0.故所求直线l 的方程为x －7y ＝0或x －y －6＝0.3.2.3 直线的一般式方程一、基础过关1．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．32．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( )A ．C ＝0，B >0 B ．A >0，B >0，C ＝0 C ．AB <0，C ＝0D ．AB >0，C ＝03．直线x ＋2ay －1＝0与(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( ) A.32 B.32或0 C ．0 D ．－2或0 4．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝05．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，则该直线在y 轴上的截距为________．6．若直线l 1：x ＋ay －2＝0与直线l 2：2ax ＋(a －1)y ＋3＝0互相垂直，则a 的值为________． 7．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率为3，且经过点A (5,3)； (2)过点B (－3,0)，且垂直于x 轴； (3)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (4)在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1.8．利用直线方程的一般式，求过点(0,3)并且与坐标轴围成三角形的面积是6的直线方程．二、能力提升9．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是()10．直线ax＋by＋c＝0 (ab≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足() A．a＝b B．|a|＝|b|且c≠0C．a＝b且c≠0 D．a＝b或c＝011．已知A(0,1)，点B在直线l1：x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，直线AB的一般式方程为________________．12．已知直线l1：(m＋3)x＋y－3m＋4＝0，l2：7x＋(5－m)y－8＝0，问当m为何值时，直线l1与l2平行．三、探究与拓展13．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．答案1．D 2.D 3.A 4.A5．－4156．0或－17．解 (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，即3x －y ＋3－53＝0. (2)x ＝－3，即x ＋3＝0. (3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0. (4)y ＝3，即y －3＝0.(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，即2x ＋y －3＝0. (6)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，即x ＋3y ＋3＝0. 8．解 设直线为Ax ＋By ＋C ＝0，∵直线过点(0,3)，代入直线方程得3B ＝－C ，B ＝－C3.由三角形面积为6，得|C2AB|＝12，∴A ＝±C4，∴方程为±C 4x －C3y ＋C ＝0，所求直线方程为3x －4y ＋12＝0或3x ＋4y －12＝0.9．C 10．D 11．x －y ＋1＝012．解 当m ＝5时，l 1：8x ＋y －11＝0，l 2：7x －8＝0.显然l 1与l 2不平行，同理，当m ＝－3时，l 1与l 2也不平行．当m ≠5且m ≠－3时，l 1∥l 2⇔⎩⎨⎧－(m ＋3)＝7m －53m －4≠85－m，∴m ＝－2.∴m 为－2时，直线l 1与l 2平行．13．(1)证明 将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)， ∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)．而点A (15，35)在第一象限，故l 过第一象限．∴不论a 为何值，直线l 总经过第一象限．(2)解 直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3.∵l 不经过第二象限，∴a ≥3.§3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标一、基础过关1．两直线2x －y ＋k ＝0和4x －2y ＋1＝0的位置关系为( )A ．垂直B ．平行C ．重合D ．平行或重合2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝03．直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24．两条直线l 1：2x ＋3y －m ＝0与l 2：x －my ＋12＝0的交点在y 轴上，那么m 的值为( )A ．－24B ．6C ．±6D ．以上答案均不对5．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________. 6．已知直线l 过直线l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y －5＝0，则直线l 的方程是______________．7．判断下列各题中直线的位置关系，若相交，求出交点坐标． (1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0； (3)l 1：x －y ＋1＝0，l 2：2x －2y ＋2＝0.8．求经过两直线2x ＋y －8＝0与x －2y ＋1＝0的交点，且在y 轴上的截距为在x 轴上截距的两倍的直线l 的方程． 二、能力提升9．若两条直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点位于第二象限，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－32，2 B ．(0,2) C.⎝⎛⎭⎫－32，0D.⎣⎡⎦⎤－32，2 10．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.32B.23C ．－32D ．－2311．当a 取不同实数时，直线(2＋a )x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．12．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的角平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．三、探究与拓展13．一束平行光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线与直线l 的交点坐标．答案1．D 2．A 3.B 4．C 5．26．8x ＋16y ＋21＝07．解 (1)21≠1－2，所以方程组有唯一解，两直线相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)12＝12≠23，所以方程组没有解，两直线平行． (3)12＝－1－2＝12，方程组有无数个解，两直线重合． 8．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意． (2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时， 设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0， 即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0. 据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0.令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ.∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ 解之得λ＝18，此时y ＝23x .即2x －3y ＝0.∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或2x －3y ＝0. 9．A 10．D 11．(－1，－2)12．解 如图所示，由已知，A 应是BC 边上的高线所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝－1， 故A (－1,0)．又∠A 的角平分线为x 轴， 故k AC ＝－k AB ＝－1，∴AC 所在直线方程为y ＝－(x ＋1)，又k BC ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －2＝－2(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－(x ＋1)y －2＝－2(x －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－6， 故C 点坐标为(5，－6)．13．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得 ⎩⎨⎧b a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－18×a 2＋6×b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78y ＝3，∴反射光线与直线l 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫78，3.3.3.2 两点间的距离一、基础过关1．已知点A (－3,4)和B (0，b )，且|AB |＝5，则b 等于 ( )A ．0或8B ．0或－8C ．0或6D ．0或－62．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于( ) A ．5 B ．42C ．2 5D ．2103．已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( ) A ．2 3B ．3＋23C ．6＋3 2D ．6＋2104．已知点A (1,2)，B (3,1)，则到A ，B 两点距离相等的点的坐标满足的条件是 ( )A ．4x ＋2y ＝5B ．4x －2y ＝5C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝55． 已知点A (x,5)关于点C (1，y )的对称点是B (－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是_______． 6．点M 到x 轴和到点N (－4,2)的距离都等于10，则点M 的坐标为______________． 7．已知直线l ：y ＝－2x ＋6和点A (1，－1)，过点A 作直线l 1与直线l 相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 1的方程．8．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半． 二、能力提升9．已知A (－3,8)，B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA |＋|MB |最短，则点M 的坐标是( )A ．(－1,0)B ．(1,0) C.⎝⎛⎭⎫225，0 D.⎝⎛⎭⎫0，225 10．设A ，B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝011．等腰△ABC 的顶点是A (3,0)，底边长|BC |＝4，BC 边的中点是D (5,4)，则此三角形的腰长为________．12．△ABC 中，D 是BC 边上任意一点(D 与B ，C 不重合)，且|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |.求证：△ABC 为等腰三角形． 三、探究与拓展13．已知直线l 过点P (3,1)且被两平行直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段长为5，求直线l 的方程．答案1．A 2．C 3．C 4．B 5.17 6.(2,10)或(－10,10)7．解 由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x 0，－2x 0＋6)．由|AB |2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋7)2＝25， 化简得x 20－6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或5. 当x 0＝1时，AB 方程为x ＝1， 当x 0＝5时，AB 方程为3x ＋4y ＋1＝0. 综上，直线l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0. 8．证明 如图所示，D ，E 分别为边AC 和BC 的中点，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系． 设A (0,0)，B (c,0)，C (m ，n )，则|AB |＝c ， 又由中点坐标公式，可得D ⎝⎛⎭⎫m 2，n 2，E ⎝⎛⎭⎫c ＋m 2，n 2， 所以|DE |＝c ＋m 2－m 2＝c2，所以|DE |＝12|AB |.即三角形的中位线长度等于底边长度的一半． 9．B 10．A 11．2612．证明 作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系(如右图所示)． 设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)．因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，所以，由距离公式可得 b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )， 即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )． 又d －b ≠0，故－b －d ＝c －d ，即－b ＝c . 所以|AB |＝|AC |，即△ABC 为等腰三角形．13．解 设直线l 与直线l 1，l 2分别相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 则x 1＋y 1＋1＝0，x 2＋y 2＋6＝0， 两式相减，得(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝5① 又(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25 ② 联立①②可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－x 2＝5y 1－y 2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝0y 1－y 2＝5， 由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°， 故所求的直线方程为x ＝3或y ＝1.3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离一、基础过关1．已知点(a,1)到直线x －y ＋1＝0的距离为1，则a 的值为 ( ) A ．1 B ．－1 C. 2 D ．±2 2．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP |的最小值是 ( ) A.10B ．22 C. 6D ．2 3．到直线3x －4y －1＝0的距离为2的直线方程为( )A ．3x －4y －11＝0B ．3x －4y ＋9＝0C ．3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0D ．3x －4y ＋11＝0或3x －4y －9＝04．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295 5．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________． 6．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________． 7．△ABC 的三个顶点是A (－1,4)，B (－2，－1)，C (2，3)． (1)求BC 边的高所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积S .8．如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2、l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．二、能力提升9．两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P 、Q 旋 转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[0,5]C ．(0,5]D ．[0，17]10．直线7x ＋3y －21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．011．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是________．(写出所有正确答案的序号) ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°12．已知直线l 1与l 2的方程分别为7x ＋8y ＋9＝0,7x ＋8y －3＝0.直线l 平行于l 1，直线l 与l 1的距离为d 1，与l 2的距离为d 2，且d 1∶d 2＝1∶2，求直线l 的方程． 三、探究与拓展13．等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线2x ＋3y －6＝0上，顶点A 的坐标是(1，－2)．求边AB 、AC 所在直线方程．答案1．D 2.B 3．C 4．C 5.71326 6．2x ＋y －5＝07．解 (1)设BC 边的高所在直线为l ，由题意知k BC ＝3－(－1)2－(－2)＝1，则k l ＝－1k BC＝－1，又点A (－1,4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)， 即x ＋y －3＝0. (2)BC 所在直线方程为y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0， 点A (－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋(－1)2＝22，又|BC |＝(－2－2)2＋(－1－3)2＝42，则S △ABC ＝12·|BC |·d＝12×42×22＝8. 8．解 设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)， 则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )． ∴|AD |＝2，|BC |＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，∴b 2＝9，b ＝±3.但b >1，∴b ＝3. 从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0. 9．C 10．B 11．①⑤12．解 因为直线l 平行l 1，设直线l 的方程为7x ＋8y ＋C ＝0，则d 1＝|C －9|72＋82，d 2＝|C －(－3)|72＋82. 又2d 1＝d 2，∴2|C －9|＝|C ＋3|. 解得C ＝21或C ＝5.故所求直线l 的方程为7x ＋8y ＋21＝0或7x ＋8y ＋5＝0. 13．解 已知BC 的斜率为－23，因为BC ⊥AC ，所以直线AC 的斜率为32，从而方程y ＋2＝32(x －1)，即3x －2y －7＝0，又点A (1，－2)到直线BC ：2x ＋3y －6＝0的距离为|AC |＝1013，且|AC |＝|BC |＝1013.由于点B 在直线2x ＋3y －6＝0上，可设B (a,2－23a )，且点B 到直线AC 的距离为|3a －2(2－23a )－7|32＋(－2)2＝1013，|133a －11|＝10.所以133a －11＝10或133a －11＝－10，所以a ＝6313或313，所以B ⎝⎛⎭⎫6313，－1613或B ⎝⎛⎭⎫313，2413 所以直线AB 的方程为y ＋2＝－1613＋26313－1·(x －1)或y ＋2＝2413＋2313－1(x －1)．即x －5y －11＝0或5x ＋y －3＝0，所以AC 所在的直线方程为3x －2y －7＝0，AB 所在的直线方程为x －5y －11＝0或5x ＋y －3＝0.章末检测一、选择题1．若直线过点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则系数a 为 ( )A ．－3B ．－6C ．－32 D.233．若经过点(3，a )、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为12的直线垂直，则a 的值为( )A.52B.25 C ．10 D ．－10 4．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝05．实数x ，y 满足方程x ＋y －4＝0，则x 2＋y 2的最小值为( ) A ．4B ．6C ．8D ．12 6．点M (1,2)与直线l ：2x －4y ＋3＝0的位置关系是( ) A ．M ∈l B ．M ∉l C ．重合D ．不确定 7．直线mx ＋ny －1＝0同时过第一、三、四象限的条件是( )A ．mn >0B ．mn <0C ．m >0，n <0D ．m <0，n <08．若点A (－2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≤34或k ≥43B ．k ≤－43或k ≥－34C.34≤k ≤43D ．－43≤k ≤－349．已知直线l 1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b＋c 的值为( )A ．－4B ．20C ．0D ．2410．过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)距离相等的直线的方程是( )A ．y ＝1B ．2x ＋y －1＝0C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0 11．直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，而且它的倾斜角是直线3x －y ＝33倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝112．过点A ⎝⎛⎭⎫0，73与B (7,0)的直线l 1与过点(2,1)，(3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k 等于( )A ．－3B ．3C ．－6D ．6二、填空题13．若O (0,0)，A (4，－1)两点到直线ax ＋a 2y ＋6＝0的距离相等，则实数a ＝________. 14．甲船在某港口的东50 km ，北30 km 处，乙船在同一港口的东14 km ，南18 km 处，那么甲、乙两船的距离是________．15．已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率为________．16．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，当2≤x ≤3时，则yx 的最大值为________．三、解答题17．已知点M 是直线l ：3x －y ＋3＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，求所得到的直线l ′的方程．18．求直线l 1：2x ＋y －4＝0关于直线l ：3x ＋4y －1＝0对称的直线l 2的方程．19．在△ABC 中，已知A (5，－2)、B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求： (1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的方程．20．如图，已知△ABC 中A (－8,2)，AB 边上的中线CE 所在直线的方程为x ＋2y －5＝0，AC 边上的中线BD 所在直线的方程为2x －5y ＋8＝0，求直线BC 的方程．21．光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．22．某房地产公司要在荒地ABCDE (如图)上划出一块长方形地面(不改变方位)建一幢公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(精确到1 m 2)．答案1．A 2.B 3.D 4.A 5.C 6.B 7．C 8．C 9．A 10．C 11．D 12.B 13．－2或4或6 14．60 km15．－2316．217．解 在3x －y ＋3＝0中，令y ＝0，得x ＝－3，即M (－3，0)．∵直线l 的斜率k ＝3，∴其倾斜角θ＝60°.若直线l 绕点M 逆时针方向旋转30°，则直线l ′的倾斜角为60°＋30°＝90°，此时斜率不存在，故其方程为x ＝－ 3.若直线l 绕点M 顺时针方向旋转30°，则直线l ′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为tan 30°＝33，故其方程为y ＝33(x ＋3)，即x －3y ＋3＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋3＝0或x －3y ＋3＝0.18．解 设直线l 2上的动点P (x ，y )，直线l 1上的点Q (x 0,4－2x 0)，且P 、Q 两点关于直线l ：3x ＋4y －1＝0对称，则有⎩⎪⎨⎪⎧|3x ＋4y －1|5＝|3x 0＋4(4－2x 0)－1|5，y －(4－2x 0)x －x 0＝43.消去x 0，得2x ＋11y ＋16＝0或2x ＋y －4＝0(舍)． ∴直线l 2的方程为2x ＋11y ＋16＝0.19．解 (1)设C (x 0，y 0)，则AC 中点M ⎝⎛⎭⎫5＋x 02，y 0－22，BC 中点N ⎝⎛⎭⎫7＋x 02，y 0＋32.∵M 在y 轴上，∴5＋x 02＝0，x 0＝－5.∵N 在x 轴上，∴y 0＋32＝0，y 0＝－3，即C (－5，－3)．(2)∵M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)． ∴直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1.即5x －2y －5＝0.20．解 设B (x 0，y 0)，则AB 中点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－82，y 0＋22，由条件可得：⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－5y 0＋8＝0x 0－82＋2·y 0＋22－5＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－5y 0＋8＝0x 0＋2y 0－14＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝6y 0＝4，即B (6,4)，同理可求得C 点的坐标为(5,0)．故所求直线BC 的方程为y －04－0＝x －56－5，即4x －y －20＝0.21．解 设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－yx 0－x＝－23，又PP ′的中点Q ⎝⎛⎭⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x2－(y ＋y 0)＋7＝0.可得P 点的坐标为 x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813，代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， ∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.22．解 在线段AB 上任取一点P ，分别向CD 、DE 作垂线划出一块长方形土地，以BC ，EA的交点为原点，以BC ，EA 所在的直线为x 轴，y 轴，建立直角坐标系，则AB 的方程为x 30＋y20＝1，设P ⎝⎛⎭⎫x ，20－2x3，则长方形的面积 S ＝(100－x )⎣⎡⎦⎤80－⎝⎛⎭⎫20－2x 3(0≤x ≤30)． 化简得S ＝－23x 2＋203x ＋6 000(0≤x ≤30)．当x ＝5，y ＝503时，S 最大，其最大值为6 017 m 2.。
高中数学 人教A版必修二 3.2直线的方程 同步测试
人教新课标A版高中数学必修2 第三章直线与方程 3.2直线的方程同步测试一、单选题（共15题；共30分）1、过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）A、１条B、２条C、３条D、４条2、方程y=k（x﹣1）（k∈R）表示（）A、过点（﹣1，0）的一切直线B、过点（1，0）的一切直线C、过点（1，0）且不垂直于x轴的一切直线D、过点（1，0）且除x轴外的一切直线3、求过点A（2，1）和两直线x﹣2y﹣3=0与2x﹣3y﹣2=0的交点的直线方程是（）A、2x+y﹣5=0B、5x﹣7y﹣3=0C、x﹣3y+5=0D、7x﹣2y﹣4=04、设是x轴上的不同两点，点P的横坐标为2，|PA|=|PB|,若直线PA的方程为，则直线PB的方程是（）A、B、C、D、5、已知A（﹣2，3）、B（4，﹣3）两点，则线段AB的中点坐标是（）A、（3，0）B、（2，3）C、（3，3）D、（1，0）6、已知点A（1，1），B（3，3），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A、y=﹣x+4B、y=xC、y=x+4D、y=﹣x7、已知△ABC的顶点A（2，3），且三条中线交于点G（4，1），则BC边上的中点坐标为（）A、（5，0）B、（6，﹣1）C、（5，﹣3）D、（6，﹣3）8、直线l：2x﹣2y+1=0的倾斜角为（）A、30°B、45°C、60°D、90°9、直线2x﹣3y=12在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（）A、a=6，b=4B、a=﹣6，b=﹣4C、a=﹣6，b=4D、a=6，b=﹣410、直线y=2x+1在y轴上的截距为（）A、1B、-1C、D、-11、已知直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0平行，则系数a=（）A、-3B、-6C、-D、12、直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0平行，则直线l的方程是（）A、3x+2y﹣1=0B、3x+2y+7=0C、2x﹣3y+5=0D、2x﹣3y+8=013、过两点（﹣1，1）和（0，3）的直线在x轴上的截距为（）A、-B、C、3D、-314、若直线l1：（m+3）x+4y+3m﹣5=0与l2：2x+（m+5）y﹣8=0平行，则m的值为（）A、-7B、﹣1或﹣7C、-6D、15、直线（1﹣2a）x﹣2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直，则实数a的值为（）A、-B、C、D、二、填空题（共5题；共5分）16、若直线l过点（1，1），且与直线l′：x+2y﹣3=0垂直，则直线l的方程为________ ．17、过点M（1，2）且在y轴上的截距是12的直线方程是________18、点M（2，1）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标是________ ．19、已知△ABC三顶点分别为A（1，3），B（3，1），C（﹣1，0），则AB边上的中线所在直线的一般式方程为________20、经过点A（3，2）且与直线4x+y﹣2=0平行的直线方程是________三、解答题（共5题；共25分）21、求经过点A（2，﹣1），B（5，1）的直线的两点式方程，并把它化成点斜式，斜截式和截距式．22、已知点A（1，2）在直线y=kx+b上，且该直线在x轴上的截距与在y轴上的截距相等，求k与b的值．23、△ABC的三个顶点为A（4，0），B（8，10），C（0，6），求：（1）BC边上的高所在的直线方程；（2）过C点且平行于AB的直线方程．24、已知点A（﹣1，2），B（3，0），（1）求AB的长度；（2）求AB的直线方程．25、分别求出适合下列条件的直线方程：（Ⅰ）经过点且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；（Ⅱ）经过直线2x+7y﹣4=0与7x﹣21y﹣1=0的交点，且和A（﹣3，1），B（5，7）等距离．答案解析部分一、单选题1、【答案】 C【考点】直线的截距式方程【解析】【分析】若截距为0，则直线过原点，所以斜率k==－2，2x+y=0；若截距不为0，设为a，或，将坐标代入可得a=2或a=－6，所以两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有3条，故选C。
2021年人教A版必修2数学第3章_直线与方程单元测试卷含答案
2021年人教A版必修2数学第3章直线与方程单元测试卷含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 11 小题，每题 5 分，共计55分，）1. 若点P(m,n)在直线x+y−2=0上，则m2+n2的最小值是( )A.2√2B.2C.√2D.162. 已知直线l经过点A(1, 3)，B(−2, −5)，则直线l的斜率为( )A.−2B.−83C.2 D.833. 在平面直角坐标系xOy中，M,N分别是x轴正半轴和y=x(x>0)图像上的两个动点，且|MN|=√2，则|OM|2+|ON|2的最大值是()A.4−2√2B.43C.4D.4+2√24. 若直线x+(1+m)y−2=0和直线mx+2y+4=0平行，则m的值为()A.1B.−2C.1或−2D.−235. “a=−1”是“直线ax+(2a−1)y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直”的（）A.充分不必要的条件B.必要不充分的条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6. 已知两条直线l1:kx+(1−k)y−3=0和l2：(k−1)x+2y−2=0互相垂直，则k=()A.1或−2B.−1或2C.1或2D.−1或−27. 经过点(1,0)且与直线x−2y−2=0平行的直线方程为( )A.x−2y−1=0B.x−2y+1=0C.2x+y−2=0D.2x−y−2=08. 已知A(1,4),B(−3,2)，直线l：ax+y+2=0，若直线l过线段AB的中点，则a=()A.−5B.5C.−4D.49. 直线x−2y=0与直线2x−4y+a=0的距离为√5，则a的值为（）A.±5B.±10C.10D.2√510. 已知直线l在x轴上的截距是−5，在y轴上的截距是6，则直线l的方程是( )A.6x−5y+30=0B.6x+5y−30=0C.6x−5y−30=0D.6x+5y+30=011. 已知P1(a1, b1)与P2(a2, b2)是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于的解的情况是( )x和y的方程组{a1x+b1y=1，a2x+b2y=1A.无论k，P1，P2如何，总是无解B.无论k，P1，P2如何，总有唯一解C.存在k，P1，P2，使之恰有两解D.存在k，P1，P2，使之有无穷多解二、填空题（本题共计 4 小题，每题 6 分，共计24分，）12. 求直线x+y−3=0关于A(6, 8)对称直线方程________．13. 若点(1,t)在过点(0,1)和(3,4)的直线上，则实数t的值为________.14. 经过点R(−2, 3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是________．15. 已知实数x、y满足关系式5x+12y−60＝0，则的最小值为________三、解答题（本题共计 6 小题，每题 11 分，共计66分，）16. 写出满足下列条件的直线的方程：（1）过点(3, 2)，斜率为2；3（2）过点(−1, 2)，斜率为√3；（3）过点(0, 2)，斜率为−1；（4）过点(−3, 1)，平行于x轴；（5）过点(2, −1)，(−2, 3)；（6）过点(−3, 1)，(1, 4)．17. 已知△ABC 的顶点A (2,3),B (−1,0),C (2,0)，求△ABC 的周长．18. 经过点P (1,−1)作直线l ，若直线l 与线段AB 总有公共点，且A (2,−2)，B (4,2).(1)求当斜率为12，−12时直线l 的方程；(2)求直线l 的斜率k 的范围.19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点D (1,2)为正方形OABC 的中心．(1)求直线OD 的方程；(2)若M ，N 分别是OA ，OC 的中点，求直线MN 的方程．20. 已知直线l 1:3x +4y −7＝0与l 2:3x +4y +8＝0．（1）若A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)两点分别在直线l 1、l 2上运动，求AB 的中点D 到原点的最短距离；（2）若M(2, 3)，直线l 过点M ，且被直线l 1、l 2截得的线段长为3，求直线l 的方程．21. 已知△ABC 的顶点A 的坐标为(2,−4)，C 的坐标为(8,−1)，∠B 的平分线所在的直线方程为x +y −2=0.(1)求BC 所在的直线方程；(2)求点B 的坐标．参考答案与试题解析2021年人教A 版必修2数学第3章 直线与方程单元测试卷含答案一、 选择题 （本题共计 11 小题 ，每题 5 分 ，共计55分 ）1.【答案】B【考点】点到直线的距离公式【解析】m 2+n 2表示原点到点P 距离的平方．利用点到直线的距离公式求解即可.【解答】解：∵ 点P (m,n )在直线x +y −2=0上，∴ m 2+n 2表示原点到点P 距离的平方．又原点到直线x +y −2=0的距离为√2， ∴ m 2+n 2的最小值为(√2)2=2. 故选B ．2.【答案】D【考点】直线的斜率【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ 直线l 过点A(1, 3)，B(−2, −5)，∴ 斜率=3+51+2=83. 故选D .3.【答案】D【考点】两点间的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可设，M(a,a),N(b,0),a >0,b >0，则(a −b)2+a 2=2，所以2a 2+b 2=2+2ab ≥2√2ab ， 即2√2−2=1+√2≥ab ，因为|OM|2+|ON|2=b2+2a2≥2√2ab=2√2+4，当且仅当b=√2a时，上式取等号，故|OM|2+|ON|2的最大值是4+2√2.故选D.4.【答案】A【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】由直线平行可得1×2−(1+m)m=0，解方程排除重合可得．【解答】解：∵直线x+(1+m)y−2=0和直线mx+2y+4=0平行，∴1×2−(1+m)m=0，解得m=1或−2，当m=−2时，两直线重合．∴m=1故选A．5.【答案】A【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】当a=−1时直线ax+(2a−1)y+1=0的斜率和直线3x+ay+3=0的斜率都存在，只要看是否满足k1⋅k2=−1即可．【解答】，直线3x+ay+3=0的斜率是3，当a=−1时直线ax+(2a−1)y+1=0的斜率是−13∴满足k1⋅k2=−1a=0时，直线ax+(2a−1)y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直，∴a=−1是直线ax+(2a−1)y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直的充分条件．6.【答案】C【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】根据直线的一般式方程垂直的条件，直接代入即可求解K的值【解答】解：∵直线l1:kx+(1−k)y−3=0和l2：(k−1)x+2y−2=0互相垂直∴k(k−1)+2(1−k)=0∴k2−3k+2=0∴k=2或k=1故选：C．7.【考点】直线的点斜式方程两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：所求直线与直线x−2y−2=0平行，．故所求直线的斜率k=12又直线过点(1,0)，(x−1)，利用点斜式得所求直线的方程为y−0=12即x−2y−1=0．故选A．8.【答案】B【考点】待定系数法求直线方程中点坐标公式【解析】此题暂无解析【解答】解：因为A(1,4),B(−3,2)，所以线段AB的中点为(−1,3)，因为直线l过线段AB的中点，所以−a+3+2=0，解得a=5，故选B.9.【答案】B【考点】两条平行直线间的距离【解析】利用两条平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：直线x−2y=0化为2x−4y=0，∵直线x−2y=0与直线2x−4y+a=0的距离为√5，∴=√5，√22+(−4)2化为|a|=10，解得a=±10．故选：B．10.【考点】各直线方程式之间的转化直线的一般式方程直线的截距式方程【解析】利用截距式的直线方程，再化为一般式.【解答】解：已知直线l在x轴上截距−5，在y轴上的截距6，由截距式得：x−5+y6=1，化为一般式，得6x−5y+30=0.故选A.11.【答案】B【考点】方程组解的个数与两直线的位置关系斜率的计算公式【解析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．【解答】解：P1(a1, b1)与P2(a2, b2)是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y= kx+1的斜率存在，∴k=b2−b1a2−a1，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1−a1b2=ka1a2−ka1a2+a2−a1=a2−a1，{a1x+b1y=1①a2x+b2y=1②①×b2−②×b1得：(a1b2−a2b1)x=b2−b1，即(a1−a2)x=b2−b1．∴方程组有唯一解．故选B.二、填空题（本题共计 4 小题，每题 6 分，共计24分）12.【答案】x+y−25=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【解析】设直线x+y−3=0关于A(6, 8)对称直线上任意一点P(x, y)，则P(x, y)关于A(6, 8)的对称点(12−x, 16−y)在直线x′+y′−3=0上，代入即可得出．【解答】解：设直线x+y−3=0关于A(6, 8)对称直线上任意一点P(x, y)，则P(x, y)关于A(6, 8)的对称点(12−x, 16−y)在直线x′+y′−3=0上，∴12−x+16−y−3=0，化为x+y−25=0．故要求的直线方程为：x+y−25=0．故单为：x+y−25=0．13.【答案】2【考点】直线的点斜式方程三点共线【解析】此题暂无解析【解答】解：过点(0,1)和(3,4)的直线方程为y=x+1，当x=1时，y=2，∴t=2.故答案为：2.14.【答案】y=−3x或x+y−1=02【考点】直线的截距式方程【解析】分类讨论：当直线经过原点时，当直线不经过原点时两种情况，求出即可．【解答】x；解：①当直线经过原点时，直线方程为y=−32②当直线不经过原点时，设所求的直线方程为x+y=a，则a=−2+3=1，因此所求的直线方程为x+y=1．x或x+y−1=0．故答案为：y=−3215.【答案】【考点】点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本题共计 6 小题，每题 11 分，共计66分）16.【答案】过点(3, 2)，斜率为23，则直线的方程为y −2=23(x −3)，变形可得2x −3y ＝0； 过点(−1, 2)，斜率为√3；则直线的方程为y −2=√3(x +1)，变形可得√3x −y +2+√3=0；过点(0, 2)，斜率为−1；则直线的方程为y −2＝−x(x −0)，变形可得x +y −2＝0； 过点(−3, 1)，平行于x 轴；则直线的方程为y ＝1，过点(2, −1)，(−2, 3)；直线的斜率k =3−(−1)(−2)−2=−1，则直线的方程为y −3＝−(x +2)，变形可得x +y −1＝0；过点(−3, 1)，(1, 4)；直线的斜率k =4−11−(−3)=34，则直线的方程为y −1=34(x +3)，变形可得3x −4y +13＝0．【考点】直线的斜率【解析】对于（1）（2）（3），由直线的点斜式方程求出直线的方程，变形为一般式方程即可； 对于（4）（5）（6），先分析直线的斜率，由直线的点斜式方程求出直线的方程，变形为一般式方程即可．【解答】过点(3, 2)，斜率为23，则直线的方程为y −2=23(x −3)，变形可得2x −3y ＝0； 过点(−1, 2)，斜率为√3；则直线的方程为y −2=√3(x +1)，变形可得√3x −y +2+√3=0；过点(0, 2)，斜率为−1；则直线的方程为y −2＝−x(x −0)，变形可得x +y −2＝0； 过点(−3, 1)，平行于x 轴；则直线的方程为y ＝1，过点(2, −1)，(−2, 3)；直线的斜率k =3−(−1)(−2)−2=−1，则直线的方程为y −3＝−(x +2)，变形可得x +y −1＝0；过点(−3, 1)，(1, 4)；直线的斜率k =4−11−(−3)=34，则直线的方程为y −1=34(x +3)，变形可得3x −4y +13＝0．17.【答案】解：|AB|=√(2+1)2+32=3√2，|BC|=√(2+1)2+0=3,|AC|=√(2−2)2+32=3，则△ABC 的周长为6+3√2.【考点】两点间的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：|AB|=√(2+1)2+32=3√2，|BC|=√(2+1)2+0=3,|AC|=√(2−2)2+32=3，则△ABC 的周长为6+3√2.18.【答案】解：(1)由题知，当斜率为12时，直线l 的方程为y −(−1)=12(x −1)，即x −2y −3=0； 当斜率为−12时，直线l 的方程为y −(−1)=−12(x −1)，即x +2y +1=0.(2)k PA =−2−(−1)2−1=−1，k PB =2−(−1)4−1=1.因为l 与线段AB 相交，所以k PA ≤k ≤k PB ，所以−1≤k ≤1．【考点】直线的点斜式方程斜率的计算公式【解析】【解答】解：(1)由题知，当斜率为12时，直线l 的方程为y −(−1)=12(x −1)，即x −2y −3=0； 当斜率为−12时，直线l 的方程为y −(−1)=−12(x −1)，即x +2y +1=0.(2)k PA =−2(−1)2−1=−1，k PB =2−(−1)4−1=1，因为l 与线段AB 相交，所以k PA ≤k ≤k PB ．所以−1≤k ≤1．19.【答案】解：(1)设直线OD 的方程为y =kx ，将D (1,2)代入，得k =2，所以直线OD 的方程为y =2x ．(2)因为k OD =2，AC ⊥OD ，所以k AC =−12，因为M ，N 分别是OA ，OC 的中点，所以MN//AC ，所以k MN =−12，又OD的中点坐标为(12,1)，所以直线MN的方程为y−1=−12(x−12)，即y=−12x+54．【考点】待定系数法求直线方程直线的点斜式方程【解析】（1）设直线OD的方程为y=kx，将D(1,2)代入解得k=2，所以直线OD的方程为y=2x．【解答】解：(1)设直线OD的方程为y=kx，将D(1,2)代入，得k=2，所以直线OD的方程为y=2x．(2)因为k OD=2，AC⊥OD，所以k AC=−12，因为M，N分别是OA，OC的中点，所以MN//AC，所以k MN=−12，又OD的中点坐标为(12,1)，所以直线MN的方程为y−1=−12(x−12)，即y=−12x+54．20.【答案】设与直线l1及l2平行且到此两条直线的距离相等的直线上的任意一点为P(x, y)，则＝，化为：6x+8y−1＝0，可得：AB的中点D到原点的最短距离为原点O到上述直线的距离＝＝；设要求的直线方程为：y−3＝k(x−2)，分别联立：，，解得：，，由题意可得：＝3，化为：11k2+24k+4＝0，解得k＝−2，或-．∴直线l的方程为：y＝−2x+7，或y＝-x+．【考点】直线的一般式方程与直线的性质【解析】（1）设与直线l1及l2平行且到此两条直线的距离相等的直线上的任意一点为P(x, y)，可得：＝，化简即可得出方程．可得：AB的中点D到原点的最短距离为原点O到上述直线的距离．（2）设要求的直线方程为：y−3＝k(x−2)，分别联立：，，解得交点，利用两点之间的距离公式进而得出结论．【解答】设与直线l1及l2平行且到此两条直线的距离相等的直线上的任意一点为P(x, y)，则＝，化为：6x+8y−1＝0，可得：AB的中点D到原点的最短距离为原点O到上述直线的距离＝＝；设要求的直线方程为：y−3＝k(x−2)，分别联立：，，解得：，，由题意可得：＝3，化为：11k 2+24k +4＝0， 解得k ＝−2，或-．∴ 直线l 的方程为：y ＝−2x +7，或y ＝-x +．21. 【答案】解：(1)因为点A 关于∠B 的平分线所在直线的对称点在直线BC 上， 设点A 关于∠B 的平分线所在直线的对称点为A ′(m,n )，则 {n+4m−2⋅(−1)=−1，m+22+n−42−2=0，解得m =6，n =0，故A ′(6,0).由两点式y−0−1−0=x−68−6，整理得x +2y −6=0，即BC:x +2y −6=0.(2)B 点在∠B 的平分线所在直线上，也在边BC 所在直线上， 解{x +2y −6=0，x +y −2=0，得x =−2，y =4， 故B (−2,4).【考点】两条直线的交点坐标直线的一般式方程与直线的性质直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】【解答】解：(1)因为点A 关于∠B 的平分线所在直线的对称点在直线BC 上， 设点A 关于∠B 的平分线所在直线的对称点为A ′(m,n )，则 {n+4m−2⋅(−1)=−1，m+22+n−42−2=0，解得m =6，n =0，故A ′(6,0).由两点式y−0−1−0=x−68−6，整理得x +2y −6=0，即BC:x +2y −6=0.(2)B 点在∠B 的平分线所在直线上，也在边BC 所在直线上， 解{x +2y −6=0，x +y −2=0，得x =−2，y =4， 故B (−2,4).。
高中数学必修2第三章《直线与方程》单元测试题(共两套)
高中数学必修2 第三章 《直线与方程》单元检测题（一）一、选择题1．若直线x ＝1的倾斜角为 α，则 α( )．A ．等于0B ．等于πC ．等于2πD ．不存在 2．图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )．A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 23．已知直线l 1经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)、(x ，6)，且l 1∥l 2，则x ＝( )．A ．2B ．－2C ．4D ．14．已知直线l 与过点M (－3，2)，N (2，－3)的直线垂直，则直线l 的倾斜角是( )．A ．3πB ．32π C ．4π D ．43π 5．如果AC ＜0，且BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )．A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝07．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )．A ．19x －9y ＝0B ．9x ＋19y ＝0C ．19x －3y ＝ 0D ．3x ＋19y ＝08．直线l 1：x ＋a 2y ＋6＝0和直线l 2 : (a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0没有公共点，则a 的值是( )．A ．3B ．－3C ．1D ．－19．将直线l 沿y 轴的负方向平移a (a ＞0)个单位，再沿x 轴正方向平移a ＋1个单位得直线l'，此时直线l' 与l 重合，则直线l' 的斜率为( )．A ．1＋a a B ．1＋－a aC ．aa 1＋ D ．aa 1＋－10．点(4，0)关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点是( )．A ．(－6，8)B ．(－8，－6)C ．(6，8)D ．(－6，－8)二、填空题(第2题)11．已知直线l 1的倾斜角 1＝15°，直线l 1与l 2的交点为A ，把直线l 2绕着点A 按逆时针方向旋转到和直线l 1重合时所转的最小正角为60°，则直线l 2的斜率k 2的值为 ． 12．若三点A (－2，3)，B (3，－2)，C (21，m )共线，则m 的值为 ． 13．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0，1)，B (1，0)，C (3，2)，求第四个顶点D 的坐标为 ．14．求直线3x ＋ay ＝1的斜率 ．15．已知点A (－2，1)，B (1，－2)，直线y ＝2上一点P ，使|AP |＝|BP |，则P 点坐标为 ． 16．与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是 ． 17．若一束光线沿着直线x －2y ＋5＝0射到x 轴上一点，经x 轴反射后其反射线所在直线的方程是 ． 三、解答题18．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6(m ∈R ，m ≠－1)，根据下列条件分别求m 的值：①l 在x 轴上的截距是－3； ②斜率为1．19．已知△ABC 的三顶点是A (－1，－1)，B (3，1)，C (1，6)．直线l 平行于AB ，交AC ，BC 分别于E ，F ，△CEF 的面积是△CAB 面积的41．求直线l 的方程．(第19题)20．一直线被两直线l1：4x＋y＋6＝0，l2：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程．.21．直线l过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．高中数学必修2 第三章 《直线与方程》单元检测题（二）时间：90分钟 满分120分一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1．点A (2，－3)关于点B (－1,0)的对称点A ′的坐标是( )A ．(－4,3)B ．(5，－6)C ．(3，－3) D.⎝⎛⎭⎫12，－32 2．已知直线l 的方程为y ＝－x ＋1，则直线l 的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°3． 点(1,1)到直线x ＋y －1＝0的距离为( )A ．1B ．2 C.22D. 2 4．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于P 、Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3 5．过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．x －2y ＋7＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝06．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝17．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( )A ．3x ＋4y ＋5＝0B ．3x ＋4y －5＝0C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝08．若三点A (3,1)，B (－2，b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( )A ．2B ．3C ．9D ．－99．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与(－6,8)重合，则与点(－4,2)重合的点是( )A ．(4，－2)B ．(4，－3) C.⎝⎛⎭⎫3，32 D ．(3，－1) 10．设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34，或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C ．－34≤k ≤4 D ．以上都不对二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．已知点A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为________． 12．经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是________． 13．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为____________．14．已知点A (4，－3)与B (2，－1)关于直线l 对称，在l 上有一点P ，使点P 到直线4x ＋3y －2＝0的距离等于2，则点P 的坐标是____________．三、解答题(共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(满分12分)已知直线l的倾斜角为135°，且经过点P(1,1)．(1)求直线l的方程；(2)求点A(3,4)关于直线l的对称点A′的坐标．16．(满分12分)已知两条直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0 ，当m为何值时，l1与l2(1)相交；(2)平行；(3)重合？17．(满分12分)如图，已知点A(2,3)，B(4,1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；(2)求△ABC的面积．18．(满分14分)如图所示，在△ABC中，BC边上的高所在直线l的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．高中数学必修2 第三章 《直线与方程》单元检测题（一）参考答案一、选择题 1．C解析：直线x ＝1垂直于x 轴，其倾斜角为90°． 2．D解析：直线l 1的倾斜角 α1是钝角，故k 1＜0；直线l 2与l 3的倾斜角 α2，α3 均为锐角且α2＞α3，所以k 2＞k 3＞0，因此k 2＞k 3＞k 1，故应选D ．3．A解析：因为直线l 1经过两点(－1，－2)、(－1，4)，所以直线l 1的倾斜角为2π，而l 1∥l 2，所以，直线l 2的倾斜角也为2π，又直线l 2经过两点(2，1)、(x ，6)，所以，x ＝2． 4．C解析：因为直线MN 的斜率为1－＝2－3－3＋2，而已知直线l 与直线MN 垂直，所以直线l 的斜率为1，故直线l 的倾斜角是4π． 5．C 解析：直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率k ＝BA-＜0，在y 轴上的截距B C D ＝－＞0，所以，直线不通过第三象限．6．A解析：由已知得点A (－1，0)，P (2，3)，B (5，0)，可得直线PB 的方程是x ＋y －5＝0． 7．D 8．D 9．B解析: 结合图形，若直线l 先沿y 轴的负方向平移，再沿x 轴正方向平移后，所得直线与l 重合，这说明直线 l 和l ’ 的斜率均为负，倾斜角是钝角．设l ’ 的倾斜角为 θ，则tan θ＝1＋－a a． 10．D解析：这是考察两点关于直线的对称点问题．直线5x ＋4y ＋21＝0是点A (4，0)与所求点A'(x ，y )连线的中垂线，列出关于x ，y 的两个方程求解．二、填空题11．－1．解析：设直线l 2的倾斜角为 α2，则由题意知： 180°－α2＋15°＝60°，α2＝135°，∴k 2＝tan α2＝tan (180°－45°)＝－tan45°＝－1． 12．21． 解：∵A ，B ，C 三点共线， ∴k AB ＝k AC ，2＋213－＝2＋33－2－m ．解得m ＝21． 13．(2，3)．解析：设第四个顶点D 的坐标为(x ，y )， ∵AD ⊥CD ，AD ∥BC ， ∴k AD ·k CD ＝－1，且k AD ＝k BC ． ∴0－1－x y ·3－2－x y ＝－1，0－1－x y ＝1． 解得⎩⎨⎧1＝0＝y x (舍去)⎩⎨⎧3＝2＝y x所以，第四个顶点D 的坐标为(2，3)． 14．－a3或不存在． 解析：若a ＝0时，倾角90°，无斜率．若a ≠0时，y ＝－a 3x ＋a1 ∴直线的斜率为－a3． 15．P (2，2).解析：设所求点P (x ，2)，依题意：22)12()2(-++x ＝22)22()1(++-x ，解得x ＝2，故所求P 点的坐标为(2，2)．16．10x ＋15y －36＝0．解析：设所求的直线的方程为2x ＋3y ＋c ＝0，横截距为－2c ，纵截距为－3c ，进而得c = －536． 17．x ＋2y ＋5＝0．解析：反射线所在直线与入射线所在的直线关于x 轴对称，故将直线方程中的y 换成－y ． 三、解答题 18．①m ＝－35；②m ＝34． (第11题)解析：①由题意，得32622---m m m ＝－3，且m 2－2m －3≠0．解得 m ＝－35． ②由题意，得123222-+--m m m m ＝－1，且2m2＋m －1≠0．解得 m ＝34． 19．x －2y ＋5＝0．解析：由已知，直线AB 的斜率 k ＝1311++＝21． 因为EF ∥AB ，所以直线EF 的斜率为21． 因为△CEF 的面积是△CAB 面积的41，所以E 是CA 的中点．点E 的坐标是(0，25)． 直线EF 的方程是 y －25＝21x ，即x －2y ＋5＝0． 20．x ＋6y ＝0．解析：设所求直线与l 1，l 2的交点分别是A ，B ，设A (x 0，y 0)，则B 点坐标为 (－x 0，－y 0)．因为A ，B 分别在l 1，l 2上，所以⎪⎩⎪⎨⎧0＝6－5＋3－0＝6＋＋40000y x y x①＋②得：x 0＋6y 0＝0，即点A 在直线x ＋6y ＝0上，又直线x ＋6y ＝0过原点，所以直线l 的方程为x ＋6y ＝0．21．2x ＋y －4＝0和x ＋y －3＝0．解析：设直线l 的横截距为a ，由题意可得纵截距为6－a ．∴直线l 的方程为1＝－6＋aya x ．∵点(1，2)在直线l 上，∴1＝－62＋1a a ，a 2－5a ＋6＝0，解得a 1＝2，a 2＝3．当a ＝2时，直线的方程为142=+y x ，直线经过第一、二、四象限．当a ＝3时，直线的方程为133=+yx ，直线经过第一、二、四象限．综上所述，所求直线方程为2x ＋y －4＝0和x ＋y －3＝0．①②高中数学必修2 第三章 《直线与方程》单元检测题（二）答案与解析一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1．点A (2，－3)关于点B (－1,0)的对称点A ′的坐标是( )A ．(－4,3)B ．(5，－6)C ．(3，－3)D.⎝⎛⎭⎫12，－32 解析：选A设A ′(x ′，y ′)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ′2＝－1，－3＋y ′2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4，y ′＝3.2．已知直线l 的方程为y ＝－x ＋1，则直线l 的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°解析：选D 由题意知k ＝－1，故倾斜角为135°. 3． 点(1,1)到直线x ＋y －1＝0的距离为( )A ．1B ．2 C.22D. 2解析：选C 由点到直线的距离公式d ＝|1＋1－1|12＋12＝22.4．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于P 、Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选B 设P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3，故直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.a ＝－5.5．过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．x －2y ＋7＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解析：选A ∵直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，∴所求直线的方程为y －3＝12(x ＋1)，即x －2y ＋7＝0.6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D 依题意得－3n ＝－3，－mn ＝tan 120°＝－3，得m ＝3，n ＝1.7．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( )A ．3x ＋4y ＋5＝0B ．3x ＋4y －5＝0C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 设所求直线上的任一点为(x ，y )，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y )，因为点(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x ＋4y ＋5＝0.8．若三点A (3,1)，B (－2，b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( )A ．2B ．3C ．9D ．－9解析：选D 由题意知k AB ＝k BC 即b －1－2－3＝11－b8＋2，解得b ＝－9. 9．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与(－6,8)重合，则与点(－4,2)重合的点是( )A ．(4，－2)B ．(4，－3) C.⎝⎛⎭⎫3，32 D ．(3，－1)解析：选A 由已知知以(10,0)和(－6,8)为端点的线段的垂直平分线的方程为y ＝2x ，则(－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点即为所求点．设所求点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0＋4＝－12，y 0＋22＝2·x 0－42，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4，y 0＝－2.10．设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34，或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C ．－34≤k ≤4D ．以上都不对解析：选A 由题意知k AP ＝－3－12－1＝－4， k BP ＝－2－1－3－1＝34.由斜率的特点并结合图形可知k ≥34，或k ≤－4. 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．已知点A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为________．解析：BC 中点为⎝⎛⎭⎪⎫－2＋02，3＋12即(－1,2)，所以BC 边上中线长为(2＋1)2＋(1－2)2＝10. 答案：1012．经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是________．解析：当直线过原点时，满足要求，此时直线方程为x －y ＝0；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y a＝1，由于点(1,1)在直线上，所以a ＝2，此时直线方程为 x ＋y －2＝0.答案：x －y ＝0或x ＋y －2＝013．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为____________．解析：如右图，只有当直线l 与OA 垂直时，原点到l 的距离最大，此时k OA ＝12，则k l ＝－2，所以方程为y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.答案：2x ＋y －5＝014．已知点A (4，－3)与B (2，－1)关于直线l 对称，在l 上有一点P ，使点P 到直线4x ＋3y －2＝0的距离等于2，则点P 的坐标是____________．解析：由题意知线段AB 的中点C (3，－2)，k AB ＝－1，故直线l 的方程为y ＋2＝x －3，即y ＝x －5.设P (x ，x －5)，则2＝|4x ＋3x －17|42＋32， 解得x ＝1或x ＝277. 即点P 的坐标是(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. 答案：(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87 三、解答题(共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)(2012·绍兴高二检测)已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1,1)．(1)求直线l 的方程；(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标．解：(1)∵k ＝tan 135°＝－1，∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)设A ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ b －4a －3×(－1)＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1，∴A ′的坐标为(－2，－1)．16．(本小题满分12分)已知两条直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0 ，当m 为何值时，l 1与l 2(1)相交；(2)平行；(3)重合？解：当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2.当m ＝2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0，∴l 1与l 2相交．当m ≠0且m ≠2时，由1m －2＝m 23m 得m ＝－1或m ＝3，由1m －2＝62m，得m ＝3. 故(1)当m ≠－1且m ≠3且m ≠0时，l 1与l 2相交．(2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2.(3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．17．(本小题满分12分)如图，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程；(2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点，∴E (3,2)，且k CE ＝－1k AB＝1， ∴CE 所在直线方程为：y －2＝x －3，即x －y －1＝0. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3)，∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2.18．(本小题满分14分)如图所示，在△ABC 中，BC 边上的高所在直线l 的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平。
【优质文档】人教版高中数学同步学习必修二第三章直线与方程单元测试
______
[ 来源: 学科网]
答案： -2
解析：
l1 : y 2x 3,l2 : x
13
1
2 y 3, y x , k2 , k3
22
2
2 [来源 : 学#科# 网]
2 直线 x y 1 0 上一点 P 的横 坐标是 3 ，若该直线 绕点 P 逆时针旋转 900 得直线 l ， 则直线 l 的方程是
k
3k
4 11
0,3k 2
11k
4
0, k
4, 或 k
1
k
3
4
若 方 程 x 2 my2 2 x 2 y 0 表 示 两 条 直 线 ， 则 m 的 取 值 是
答案： 1
1
5 当0 k
时，两条直线 kx y k 1、 ky x 2k 的交点在
2
答案：二 [来源: 学。科。网 ]
解析：
ky
x
2k x ,
ab
D 经过任意两个不同的点 P1 x1， y1 、 P2 x2， y 2 的直线都可以用方程
y y1 x2 x1
x x1 y2
y1
表示 [来源 :Z&xx&]
答案： D
解析： 斜率有可能不存在，截距也有可能为 0
6 若动点 P 到点 F (1,1)和直线 3x y 4 0 的距离相等，则点 P 的轨迹方程为（
5
5
象限
2 求经过点 P(1,2) 的直线，且使 A(2,3) ， B(0, 5) 到它的距离相等的直线方程
答案： 4x y 2 0 ，或 x 1
解析： x 1 显然符合条件；当 A(2,3) ， B(0, 5) 在所求直线同侧时， kAB 4 y 2 4( x 1),4 x y 2 0
人教A版高中数学必修二第三章《直线与方程》检测题含答案.docx
第三章《直线与方程》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1. 不论刃为何值，直线(m —\)x+ (2/7?—l)y=/77—5恒过定点()( \\ A. 1,—— B. (-2,0) C. (2,3) D. (9, -4) I 2丿 '2.x — y — 3 S 02. 已知不等式组x + y-3>0表示的平面区域为M,若以原点为圆心的圆0与M 无公x — 2y + 3 n 0共点，则圆。
的半径的取值范围为()A. (0,—)B. (3匹,+8)C. (0,VK)U(3^,+8)D. (0,—)U(3V2,+oo) 3. 若直线厶：x+ay+6=0与厶：U-2)%+3y+2a=0平行,则厶与厶之间的距离为 ()A. V2B.吨C. V3D.出3 84. 若点A (l,l)关于直线y = kx + b 的对称点是3(-3,3),则直线y = kx + b 在y 轴上 的截距是( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知直线/I ：x-y-l=0,动直线?2：(k + l)x +炒+ k = 0(kw/?)，则下列结论够 误的是( )A.存在k, I 、使得厶的倾斜角为90。
B.对任意的k, I 、与厶都有公共点C.对任意的4人与厶都不重合D.对任意的人与厶都不垂皐 3(-3,-2),直线1过点且与线段AB 相交，则1的斜 率k 的取值范围( A. k> — ^ik<-4 43 C. — 一 <^<4 D.4 7.图中的直线/,,/2,/3的斜率分别是，则有( )B. k y <k }< k 2C. k 3<k 2< k 、D. k 2<k y < k 、6.设点 A (2,—3),)B. -4<k<-4 以上都不对A. ky<k 2< k 3TV TV 27V 5 7TA. 3 B . 6 c. 3 D . 69. 直线3x + y-4 = 0的斜率和在y 轴上的截距分别是（）A. 一3,4B. 3,-4C. -3,-4D. 3,410. 过点（一2, 1）,且平行于向量v=（2, 1）的直线方程为（）A. % — 2y + 4 = 0B. % 4- 2y — 4 = 0C. % — 2y — 4 = 0D. % + 2y + 4 =11・过点水3, 3）且垂直于直线4x + 2y - 7 = 0的直线方程为A. y = -x + 2B. y = —2x + 7 C ・ y = -x + - D. y = -x - 丿 2 J 丿 22 丿 2212. 在平面直角坐标系中，己知A （l,-2）, B （3,0）,那么线段A3中点的坐标为（）. A.（2,-1） B.（2,1） C.（4,-2） D. （-1,2）二、填空题13. 已知G,b,c 为直角三角形的三边长，C 为斜边长，若点在直线Z ：Q + by + 2c = 0上，则加2 +/?2的最小值为 __________ ・14. me R ,动直线 l }\x + my -1 =（）过定点 动直线 /2: nix - y- 2m + A /3 = 0 定点3,若直线1与人相交于点P (异于点A,B),则\PAB 周长的最大值为15. ______________________________________________________________ 过点(2, —3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 ________________________ 16. 定义点POoJo)到直线上似+ By + C = 0(护+ B 2^ 0)的有向距离为d =已知点Pi ，P2到直线2的有向距离分别是心,〃2,给出以下命题: ① 若di — d.2 - ② 若心+ d = =0,则直线P1P2与直线2平行；=0,则直线EE 与直线/平行；③若心+ 〃2 = 0,则直线RE 与直线2垂直；④若didzVO,则直线ED 与直线2相交; 其中正确命题的序号是 ___________________ •三、解答题17. 求符合下列条件的直线方程：(1) 过点P(3,—2),且与直线4% 4- y - 2 = 0平行;(2) 过点P(3,—2),且与直线4% 4- y - 2 = 0垂直;(3) 过点P(3,-2),且在两坐标轴上的截距相等.18.己知ZMBC的三个顶点坐标分别为＞1(-4,-2), B(4,2), C(1 , 3).(1)求边上的高所在直线的一般式方程；(2)求边4B上的中线所在直线的一般式方程.19.已知直线/ :3x + 2y-2 + 22x + 4y + 22 = 0(1)求证：直线1过定点。
《直线与方程》单元测试题
人教A 必修2第三章《直线与方程》单元测试题（时间：60分钟，满分：100分） 班别 座号 姓名 成绩一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.若直线过点（１，２），（４，２＋3），则此直线的倾斜角是（ ）Ａ ３０° Ｂ ４５° Ｃ ６０° Ｄ ９０°2. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=A 、 -3B 、-6C 、23-D 、323.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）（A ）2 （B ）21 （C ）1 （D ）27 4. 点Ｍ（４，m ）关于点Ｎ（n, － 3）的对称点为Ｐ（６，－９），则（ ） Ａ m ＝－３，n ＝１０ Ｂ m ＝３，n ＝１０Ｃ m ＝－３，n ＝５ Ｄ m ＝３，n ＝５5.以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ） Ａ 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0C 3x-y+6=0D 3x+y+2=06.过点Ｍ（２,１）的直线与Ｘ轴，Ｙ轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜, 则Ｌ的方程是（ ）Ａ x-2y+3=0 B 2x-y-3=0C 2x+y-5=0D x+2y-4=07. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是A （-2，1）B （2，1）C （1，-2）D （1，2）8. 直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是（A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交但不垂直 （D ）不能确定9. 如图1，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则必有A. k 1<k 3<k 2B. k 3<k 1<k 2C. k 1<k 2<k 3D. k 3<k 2<k 110.已知A （1，2）、B （-1，4）、C （5，2），则ΔABC 的边AB 上的中线所在的直线方程为（ ）（A ）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=011点(3，9)关于直线x +3y －10=0对称的点的坐标是( )A (－1,－3)B (17,－9)C (－1,3)D (－17,9)12方程(a －1)x －y +2a +1=0(a ∈R )所表示的直线( ) A 恒过定点(－2,3) B 恒过定点(2，3) C 恒过点(－2,3)和点(2，3) D 都是平行直线13直线x tan 3π+y =0的倾斜角是（ ） A －3π B 3π C 3π2 D 3π2- 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）1.已知点)4,5(-A 和),2,3(B 则过点)2,1(-C 且与B A ,的距离相等的直线方程为 .2．过点Ｐ（１，２）且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程是 .3．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是 .4．原点Ｏ在直线Ｌ上的射影为点Ｈ（－２，１），则直线Ｌ的方程为 .三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1. ①求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的2.直线x+m 2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0距离是7的直线的方程; 没有公共点，求实数m 的值.②求垂直于直线x+3y-5=0, 且与点P(-1,0)的距离是1053的直线的方程.*3.已知直线l 被两平行直线063=-+y x 033=++y x 和所截得的线段长为3，且直线过点（1，0），求直线l 的方程.参考答案：；；；；；；；；； A 12 A 13 C+4y-7=0或x=-1; +y-3=0或2x-y=0; 3.261; +5=0; 15. (1)3x+4y+23=0或3x+4y-47=0;(2)3x-y+9=0或3x-y-3=0. =0或m=-1;=1或3x-4y-3=0.。
【人教A版】高中数学必修2教学同步讲练第三章《直线的一般式方程》练习题(含答案)
第三章 直线与方程3.2 直线的方程3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程A 级 基础巩固一、选择题1．过点(－1，1)和(3，9)的直线在x 轴上的截距是( ) A ．－32 B ．－23C ．25D ．22．直线5x －2y －10＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则( )A ．a ＝2，b ＝5B ．a ＝2，b ＝－5C ．a ＝－2，b ＝－5D ．a ＝－2，b ＝53．已知直线l 1：(k －3)x ＋(3－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0垂直，则k 的值是( )A ．2B ．3C ．2或3D ．2或－34．两直线x m －y n ＝1与x n －ym ＝1的图象可能是图中的哪一个( )5．过点P (1，4)且在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条二、填空题6．过(5，7)及(1，3)两点的直线方程为________，若点(a，12)在此直线上，则a＝________．7．在y轴上的截距为－6，且倾斜角为45°角的直线方程是____________．8．若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3，4)的线段的中点，则m＝________．三、解答题9．直线l过点(1，2)和第一、第二、第四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．10．已知在△ABC中，A、B的坐标分别为(－1，2)，(4，3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．(1)求点C的坐标；(2)求直线MN的方程．B级能力提升1.已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则()A．b＞0，d＜0，a＜cB．b＞0，d＜0，a＞cC．b＜0，d＞0，a＞cD．b＜0，d＞0，a＜c2．垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是________．3．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线经过第一、第三、第四象限，求a的取值范围．参考答案第三章 直线与方程3.2 直线的方程3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程A 级 基础巩固一、选择题1．过点(－1，1)和(3，9)的直线在x 轴上的截距是( ) A ．－32 B ．－23C ．25D ．2解析：由两点式得过(－1，1)和(3，9)的直线的方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即2x －y ＋3＝0.令y ＝0，得x ＝－32.答案：A2．直线5x －2y －10＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则( )A ．a ＝2，b ＝5B ．a ＝2，b ＝－5C ．a ＝－2，b ＝－5D ．a ＝－2，b ＝5解析：令x ＝0得y ＝－5，令y ＝0得x ＝2. 答案：B3．已知直线l 1：(k －3)x ＋(3－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0垂直，则k 的值是( )A ．2B ．3C ．2或3D ．2或－3解析：因为l 1⊥l 2，所以2(k －3)2－2(3－k )＝0.即k 2－5k ＋6＝0，得k ＝2或k ＝3.答案：C4．两直线x m －y n ＝1与x n －ym ＝1的图象可能是图中的哪一个( )解析：由x m －y n ＝1，得y ＝n m x －n ；由x n －y m ＝1，得y ＝mn x －m ，即k 1与k 2同号且互为倒数．答案：B5．过点P (1，4)且在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：当直线经过原点时，横、纵截距都为0，符合题意．当直线不经过原点时，设直线方程为x a ＋yb＝1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋4b ＝1，|a |＝|b |，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝5，b ＝5.综上符合题意的直线共有3条． 答案：C 二、填空题6．过(5，7)及(1，3)两点的直线方程为________，若点(a ，12)在此直线上，则a ＝________．解析：过(5，7)及(1，3)两点的直线方程为y －73－7＝x －51－5，即x －y ＋2＝0，点(a ，12)在x －y ＋2＝0上，a －12＋2＝0. 所以a ＝10.答案：x －y ＋2＝0 107．在y 轴上的截距为－6，且倾斜角为45°角的直线方程是____________．解析：设直线的点斜式方程为y ＝kx ＋b ， 由题意得k ＝tan 45°＝1，b ＝－6， 所以y ＝x －6，即x －y －6＝0 答案：x －y －6＝08．若直线mx ＋3y －5＝0经过连接点A (－1，－2)，B (3，4)的线段的中点，则m ＝________．解析：线段AB 的中点为(1，1)，则m ＋3－5＝0，即m ＝2. 答案：2 三、解答题9．直线l 过点(1，2)和第一、第二、第四象限，若直线l 的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程．解：设直线l 的横截距为a ，由题意可得纵截距为6－a ， 所以直线l 的方程为x a ＋y6－a ＝1，因为点(1，2)在直线l 上， 所以1a ＋26－a ＝1，解得：a 1＝2，a 2＝3，当a ＝2时，直线的方程为2x ＋y －4＝0，直线经过第一、第二、第四象限；当a ＝3时，直线的方程为x ＋y －3＝0，直线经过第一、第二、第四象限．综上所述，所求直线方程为2x ＋y －4＝0或x ＋y －3＝0. 10．已知在△ABC 中，A 、B 的坐标分别为(－1，2)，(4，3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．解：(1)设点C (m ，n )，AC 中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧m －12＝0，n ＋32＝0，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝－3.所以C 点的坐标为(1，－3)．(2)由(1)知：点M 、N 的坐标分别为M ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0， 由直线方程的截距式，得直线MN 的方程是x 52＋y－12＝1，即y ＝15x －12.B 级 能力提升1.已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则()A ．b ＞0，d ＜0，a ＜cB ．b ＞0，d ＜0，a ＞cC ．b ＜0，d ＞0，a ＞cD ．b ＜0，d ＞0，a ＜c解析：由题图可知直线l 1、l 2的斜率都大于0，即k 1＝－1a ＞0，k 2＝－1c ＞0且k 1＞k 2，所以a ＜0，c ＜0且a ＞c .又l 1的纵截距－b a ＜0，l 2的纵截距－dc ＞0，所以b ＜0，d ＞0. 答案：C2．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．解析：设直线方程是4x ＋3y ＋d ＝0，分别令x ＝0和y ＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－d 3，－d4，所以6＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－d 3×⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－d 4＝d 224.所以d ＝±12，则直线在x 轴上截距为3或－3. 答案：3或－33．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线经过第一、第三、第四象限，求a 的取值范围． (1)证明：法一 将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15，所以l的斜率为a ，且过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，直线l 恒过第一象限．法二 直线l 的方程可化为(5x －1)a －(5y －3)＝0.由于上式对任意的a 总成立，必有⎩⎨⎧5x －1＝0，5y －3＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝35.即l过定点A ⎝⎛⎭⎪⎫15，35.以下同法一．(2)解：将方程化为斜截式方程：y ＝ax －a －35.要使l 经过第一、第三、第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－a －35＜0，即a ＞3.。
【人教A版】高中数学必修2教学同步讲练第三章《两条直线平行与垂直的判定》练习题(含答案)
第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.2 两条直线平行与垂直的判定A级基础巩固一、选择题1．下列说法正确的是()A．若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行2．已知过点P(3，2m)和点Q(m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3，4)的直线平行，则m的值是()A．1B．－1C．2D．－23．若不同的两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为()A．1 B．－1 C.12D．－124．以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是() A．锐角三角形B．以B为直角顶点的直角三角形C．以A为直角顶点的直角三角形D．钝角三角形5．已知三角形三个顶点的坐标为A(4，2)，B(1，－2)，C(－2，4)，则BC边上的高的斜率为()A．2 B．－2 C.12D．－12二、填空题6．已知直线l1∶y＝x，若直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为________．7．已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2∥l1，且l2过点A(－2，－1)和B(3，a)，则a的值为________．8．已知A(2，3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为________时，AB⊥CD.三、解答题9．当m为何值时，过两点A(1，1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：(1)倾斜角为135°？(2)与过两点(3，2)，(0，－7)的直线垂直？(3)与过两点(2，－3)，(－4，9)的直线平行？10．已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD.B级能力提升1．下列各对直线互相平行的是()A．直线l1经过A(0，1)，B(1，0)，直线l2经过M(－1，3)，N(2，0)B．直线l1经过A(－1，－2)，B(1，2)，直线l2经过M(－2，－1)，N(0，－2)C．直线l1经过A(1，2)，B(1，3)，直线l2经过C(1，－1)，D(1，4)D．直线l1经过A(3，2)，B(3，－1)，直线l2经过M(1，－1)，N(3，2)2．已知点A(－2，－5)，B(6，6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P的坐标为____________．3．直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，且直线l1与l2平行，l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，试求m的值．参考答案第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.2 两条直线平行与垂直的判定A 级 基础巩固一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．若直线l 1与l 2倾斜角相等，则l 1∥l 2B ．若直线l 1⊥l 2，则k 1k 2＝－1C ．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y 轴D ．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行解析：若l 1与l 2倾斜角相等，则l 1∥l 2或l 1与l 2重合，故A 错误；只有当直线l 1，l 2的斜率均存在时，l 1⊥l 2⇒k 1k 2＝－1，故B 错误；斜率不存在的直线可能平行于y 轴，也可能与y 轴重合，故C 错误；D 是正确的．答案：D2．已知过点P (3，2m )和点Q (m ，2)的直线与过点M (2，－1)和点N (－3，4)的直线平行，则m 的值是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：因为k MN ＝4－（－1）－3－2＝－1，所以若直线PQ 与直线MN 平行，则2m －23－m＝－1，解得m ＝－1. 答案：B3．若不同的两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b ，3－a )，则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为( )A ．1B ．－1 C.12 D ．－12解析：由直线斜率的坐标公式，得k PQ ＝3－a －b 3－b －a＝1，所以线段PQ 的垂直平分线的斜率为－1.答案：B4．以A (－1，1)，B (2，－1)，C (1，4)为顶点的三角形是( )A ．锐角三角形B ．以B 为直角顶点的直角三角形C ．以A 为直角顶点的直角三角形D ．钝角三角形解析：因为k AB ＝－1－12－（－1）＝－23， k AC ＝4－11－（－1）＝32， 所以k AB ·k AC ＝－1，即AB ⊥AC ，所以选C.答案：C5．已知三角形三个顶点的坐标为A (4，2)，B (1，－2)，C (－2，4)，则BC 边上的高的斜率为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12解析：k BC ＝4－（－2）－2－1＝－2， 所以BC 边上的高的斜率k ＝12. 答案：C二、填空题6．已知直线l 1∶y ＝x ，若直线l 2⊥l 1，则直线l 2的倾斜角为________．解析：因为直线y ＝x 的斜率k 1＝1，所以若直线l 2⊥l 1，则直线l 2的斜率k ＝－1.所以直线l 2的倾斜角为135°.答案：135°7．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2∥l 1，且l 2过点A (－2，－1)和B (3，a )，则a 的值为________．解析：因为l 2∥l 1，且l 1的倾斜角为45°，所以kl 2＝kl 1＝tan 45°＝1，即a －（－1）3－（－2）＝1，所以a ＝4. 答案：48．已知A (2，3)，B (1，－1)，C (－1，－2)，点D 在x 轴上，则当点D 坐标为________时，AB ⊥CD .解析：设点D (x ，0)，因为k AB ＝－1－31－2＝4≠0，所以直线CD 的斜率存在．则由AB ⊥CD 知，k AB ·k CD ＝－1，所以4·－2－0－1－x＝－1，解得x＝－9.答案：(－9，0)三、解答题9．当m 为何值时，过两点A (1，1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线：(1)倾斜角为135°？(2)与过两点(3，2)，(0，－7)的直线垂直？(3)与过两点(2，－3)，(－4，9)的直线平行？解：(1)由k AB ＝m －32m 2＝tan 135°＝－1，解得m ＝－32或m ＝1. (2)由k AB ＝m －32m 2，且－7－20－3＝3. 则m －32m 2＝－13，解得m ＝32或m ＝－3. (3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2， 解得m ＝34或m ＝－1. 10．已知A (1，－1)，B (2，2)，C (3，0)三点，求点D ，使直线CD ⊥AB ，且CB ∥AD .解：设D (x ，y )，则k CD ＝y x －3，k AB ＝3，k CB ＝－2，k AD ＝y ＋1x －1， 因为k CD ·k AB ＝－1，k AD ＝k CB ，所以y x －3×3＝－1，y ＋1x －1＝－2，所以x ＝0，y ＝1，即D (0，1)．B 级 能力提升1．下列各对直线互相平行的是( )A ．直线l 1经过A (0，1)，B (1，0)，直线l 2经过M (－1，3)，N (2，0)B ．直线l 1经过A (－1，－2)，B (1，2)，直线l 2经过M (－2，－1)，N (0，－2)C ．直线l 1经过A (1，2)，B (1，3)，直线l 2经过C (1，－1)，D (1，4)D ．直线l 1经过A (3，2)，B (3，－1)，直线l 2经过M (1，－1)，N (3，2)解析：对于A ，k 1＝1－00－1＝－1， k 2＝3－0－1－2＝－1，k 1＝k 2. 结合图形知l 1∥l 2；对于B ，k 1＝2－（－2）1－（－1）＝2， k 2＝－1－（－2）（－2）－0＝－12，k 1≠k 2， 所以l 1与l 2不平行；对于C ，因为l 1过(1，2)，(1，3)，l 2过C (1，－1)，D (1，4)，结合图形可知，l 1与l 2重合，所以l 1与l 2不平行；对于D ，由于l 1的斜率不存在，k 2＝2－（－1）3－1＝32， 所以两条直线不平行，故答案为A.答案：A2．已知点A (－2，－5)，B (6，6)，点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为____________．解析：由题意可设点P 的坐标为(0，y )．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，且直线AP 与直线BP 的斜率都存在．又k AP ＝y ＋52，k BP ＝y －6－6，k AP ·k BP ＝－1， 即y ＋52·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－y －66＝－1， 解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为(0，－6)或(0，7) 答案：(0，－6)或(0，7)3．直线l 的倾斜角为30°，点P (2，1)在直线l 上，直线l 绕点P (2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l 1的位置，且直线l 1与l 2平行，l 2是线段AB 的垂直平分线，其中A (1，m －1)，B (m ，2)，试求m 的值．解：如图所示，直线l 1的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以直线l 1的斜率k 1＝tan 60°＝ 3.又直线AB 的斜率k AB ＝m －1－21－m ＝m －31－m ，所以线段AB 的垂直平分线l 2的斜率为 k 2＝m －1m －3.因为l 1与l 2平行．所以k 1＝k 2，即3＝m －1m －3，解得m ＝4＋ 3.。
人教新课标A版高中数学必修2第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率同步测试
人教新课标A版高中数学必修2 第三章直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率同步测试共 25 题一、单选题1、如果直线的倾斜角为，则有关系式（）A.A=BB.A+B=0C.AB=1D.以上均不可能2、直线x+y-1=0的倾斜角是（ ）A.30°B.120°C.135°D.150°3、已知过两点A（﹣1，1），B（4，a）的直线斜率为1，那么a的值是（ ）A.-6B.-4C.4D.64、直线l经过原点和点(－， 1)，则它的斜率为( )A.－B.-C. D.5、已知直线l的方程为y=﹣x+1，则该直线l的倾斜角为（ ）A.30°B.45°C.60°D.135°6、已知M（﹣2，﹣3），N（3，0），直线l过点（﹣1，2）且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）A.或k≥5B.C. D.7、过点A（0，2 ），B （2，0）的直线的斜率是（ ）A.2B.1C.-2D.-18、如图，方程y=ax+ 表示的直线可能是（）A. B.C. D.9、在平面直角坐标系中，直线y=2x+1不经过的象限是（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10、直线l与直线y=1，直线x=7分别交于P，Q两点，PQ中点为M（1，﹣1），则直线l的斜率是（ ）A. B.C.-D.-11、已知两点、，直线l过点且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A. B.或C. D.12、过下列两点的直线斜率不存在的是（ ）A.（4，2）（﹣4，1）B.（0，3）（3，0）C.（3，﹣1）（2，﹣1）D.（﹣2，2）（﹣2，5）13、直线x﹣y+1=0的倾斜角是（ ）A.30°B.45°C.60°D.135°14、如图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（ ）A.k1＜k2＜k3B.k3＜k1＜k2C.k3＜k2＜k1D.k1＜k3＜k215、直线l过点A（1，2），且不经过第四象限，则直线l的斜率的取值范围（ ）A.[0，]B.[0，1]C.[0，2]D.（0，）二、填空题16、已知过两点的直线的斜率为1，则 =________．17、若经过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围是________．18、经过两点A（﹣3，5），B（1，1 ）的直线倾斜角为________19、直线y=2x+1的斜率为________ ．20、已知直线l过A（﹣2，（t+）2）、B（2，（t﹣）2）两点，则此直线斜率为________三、解答题21、如图，直线l1， l2， l3，都经过点P（3，2），又l1， l2， l3分别经过点Q1（﹣2，﹣1），Q2（4，﹣2），Q3（﹣3，2），试计算直线l1， l2， l3的斜率．22、已知两点P（a，2），Q（1，2a﹣1），若直线PQ的倾斜角θ＜135°，求实数a的取值范围．23、已知直线过点P（3，2），且倾斜角为45°，求其与x，y轴相交的三角形面积．24、m为何值时，直线（2m﹣4）x+（m2﹣2m）y=4m+1，（1）在x轴上的截距为1；（2）倾斜角为45°．25、光线从原点O（0，0）出发，经过直线m：8x+6y=25反射后通过点P（﹣4，3），求反射光线所在直线的方程．参考答案一、单选题1、【答案】B【解析】【分析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为1，即,所以，选B。
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高中数学必修2第三章《直线与方程》单元测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x－y＝0的倾斜角为()A．45°B．60°C．90°D．135°解析：因为直线的斜率为1，所以tan α＝1，即倾斜角为45°.答案：A2．若三点A(0，8)，B(－4，0)，C(m，－4)共线，则实数m的值是()A．6 B．－2C．－6 D．2解析：因为A、B、C三点共线，所以k AB＝k AC，所以8－00－（－4）＝8－（－4）－m，所以m＝－6.答案：C3．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是() A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0解析：由斜截式可得直线方程为y＝－x－1，化为一般式即为x ＋y＋1＝0.答案：D4．已知点A(0，4)，B(4，0)在直线l上，则直线l的方程为() A．x＋y－4＝0 B．x－y－4＝0C ．x ＋y ＋4＝0D ．x －y ＋4＝0解析：由截距式方程可得l 的方程为x 4＋y 4＝1，即x ＋y －4＝0. 答案：A5．已知直线l 1：(a －1)x ＋(a ＋1)y －2＝0和直线l 2：(a ＋1)x ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：因为l 1⊥l 2，所以(a －1)(a ＋1)＋2a ＋2＝0，所以a 2＋2a ＋1＝0，即a ＝－1.答案：A6．和直线5x －4y ＋1＝0关于x 轴对称的直线方程为( )A ．5x ＋4y ＋1＝0B ．5x ＋4y －1＝0C ．－5x ＋4y －1＝0D ．－5x ＋4y ＋1＝0解析：设所求直线上的任一点为(x ，y )，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y )，因为点(x ，－y )在直线5x －4y ＋1＝0上，所以5x ＋4y ＋1＝0，故所求直线方程为5x ＋4y ＋1＝0.答案：A7．直线2ax ＋(a 2＋1)y －1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析：设直线2ax ＋(a 2＋1)y －1＝0的倾斜角为θ，则tan θ＝－2a a 2＋1， a ＝0时，tan θ＝0，可得θ＝0，a ＞0时tan θ≥－2a 2a＝－1，当且仅当a ＝1时取等号， 所以θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π， a ＜0时，tan θ≤1，当且仅当a ＝－1时取等号，所以θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π4， 综上可得，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 答案：D8．直线l 过点A (3，4)且与点B (－3，2)的距离最远，那么l 的方程为( )A ．3x －y －13＝0B ．3x －y ＋13＝0C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：因为过点A 的直线l 与点B 的距离最远，所以直线AB 垂直于直线l ，直线l 的斜率为－3，由点斜式可得直线l 的方程为3x ＋y －13＝0.答案：C9．过点(3，－6)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )A ．2x ＋y ＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋3＝0D ．x ＋y ＋3＝0或2x ＋y ＝0解析：当截距均为0时，设方程为y ＝kx ，将点(3，－6)代入得k ＝－2，此时直线方程为2x ＋y ＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a＝1，将(3，－6)代入得a ＝－3，此时直线方程为x ＋y ＋3＝0.答案：D10．设点A(3，－5)，B(－2，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是()A．k≥1或k≤－3 B．－3≤k≤1C．－1≤k≤3 D．以上都不对解析：如图所示，直线PB，PA的斜率分别为k PB＝1，k PA＝－3，结合图形可知k≥1或k≤－3.答案：A11．已知ab＜0，bc＜0，则直线ax＋by＋c＝0通过()A．第一、第二、第三象限B．第一、第二、第四象限C．第一、第三、第四象限D．第二、第三、第四象限解析：因为ab＜0，bc＜0，所以a，b，c均不为零，在直线方程ax＋by＋c＝0中，令x＝0得，y＝－cb＞0，令y＝0得x＝－c a，因为ab＜0，bc＜0，所以ab2c＞0，所以ac＞0，所以－ca＜0，所以直线通过第一、第二、第三象限．答案：A12．如图所示，已知两点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A．210 B．6C．3 3 D．2 5解析：易得AB所在的直线方程为x＋y＝4，由于点P关于直线AB对称的点为A1(4，2)，点P关于y轴对称的点为A′(－2，0)，则光线所经过的路程即A1(4，2)与A′(－2，0)两点间的距离．于是|A1A′|＝（4＋2）2＋（2－0）2＝210.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．与直线7x＋24y＝5平行，并且距离等于3的直线方程是________________．解析：设所求直线为7x＋24y＋m＝0(m≠－5)．把直线7x＋24y＝5整理为一般式得7x＋24y－5＝0.由两平行直线间的距离公式得：|m＋5|72＋242＝3，解得m＝70或m＝－80，故所求直线方程为7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝0.答案：7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝014．已知斜率为2的直线经过点A(3，5)，B(a，7)，C(－1，b)三点，则a，b的值分别为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2， 解得a ＝4，b ＝－3.答案：4，－315．已知直线l 在y 轴上的截距是－3，它被两坐标轴截得的线段的长为5，则此直线的方程为______________________________．解析：设所求的直线方程为x a ＋y －3＝1，则此直线与x 轴交于点(a ，0)，与y 轴交于点(0，－3)，由两点间的距离公式解得a ＝±4，故所求的直线方程为x ±4＋y －3＝1，即3x ＋4y ＋12＝0或3x －4y －12＝0.答案：3x ＋4y ＋12＝0或3x －4y －12＝016．已知直线l 1的方程是ax －y ＋b ＝0，l 2的方程是bx －y －a ＝0(ab ≠0，a ≠b )，则下列各示意图形中，正确的是______(填序号)．解析：①中l 1要求a ＞0，b ＞0，而l 2要求a ＜0，b ＜0，故①不正确；②中l 1要求a ＞0，b ＜0，而l 2要求b ＞0，a ＜0，故②不正确；③中l 1要求a ＜0，b ＞0，而l 2要求a ＜0，b ＜0，故③不正确；④中l 1要求a ＜0，b ＞0，而l 2要求b ＞0，a ＜0，故④正确．答案：④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 1：ax ＋by ＋1＝0(a ，b 不同时为0)，l 2：(a －2)x ＋y ＋a ＝0，(1)若b ＝0，且l 1⊥l 2，求实数a 的值；(2)当b ＝3，且l 1∥l 2时，求直线l 1与l 2之间的距离．解：(1)当b ＝0时，直线l 1的方程为ax ＋1＝0，由l 1⊥l 2，知a －2＝0，解得a ＝2.(2)当b ＝3时，直线l 1的方程为ax ＋3y ＋1＝0，当l 1∥l 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧a －3（a －2）＝0，3a －1≠0，解得a ＝3， 此时，直线l 1的方程为3x ＋3y ＋1＝0，直线l 2的方程为x ＋y ＋3＝0，即3x ＋3y ＋9＝0.故所求距离为d ＝|1－9|9＋9＝423. 18．(本小题满分12分)当m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1满足下列条件？(1)倾斜角为45°；(2)在x 轴上的截距为1.解：(1)倾斜角为45°，则斜率为1.所以－2m 2＋m －3m 2－m＝1，解得m ＝－1或m ＝1(舍去)． 直线方程为2x －2y －5＝0符合题意，所以m ＝－1.(2)当y ＝0时，x ＝4m －12m 2＋m －3＝1， 解得m ＝－12或m ＝2，当m ＝－12或m ＝2时都符合题意， 所以m ＝－12或m ＝2. 19.(本小题满分12分)如图所示，已知点A (2，3)，B (4，1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程；(2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点，所以E (3，2)，且k CE ＝－1k AB＝1， 所以CE 所在直线方程为：y －2＝x －3，即x －y －1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0得C (4，3)，所以|AC |＝|BC |＝2， AC ⊥BC ，所以S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2. 20．(本小题满分12分)已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点．(1)点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．解：(1)经过已知两直线交点的直线系方程为2x ＋y －5＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， 所以|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3， 即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝12或λ＝2. 所以l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2，1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)．所以d max ＝|PA |＝（5－2）2＋（0－1）2＝10.21．(本小题满分12分)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)．(1)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围；(2)证明：不论a 为何值，直线恒过某定点，并求出这个定点的坐标；(3)证明：不论a 为何值，直线恒过第四象限．(1)解：将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）＝0，a －2≤0，成立． 所以a ≤－1，故所求a 的取值范围为a ≤－1.(2)证明：方程可整理成a (x －1)＋x ＋y ＋2＝0，当x ＝1，y ＝－3时方程a (x －1)＋x ＋y ＋2＝0对a ∈R 恒成立，因此，直线恒过点(1，－3)．(3)证明：由(2)知，直线恒过第四象限内的点(1，－3)，因此，不论a 为何值，直线恒过第四象限．22．(本小题满分12分)已知直线l ：2x －y ＋1＝0和点O (0，0)，M (0，3)，试在l 上找一点P ，使得||PO |－|PM ||的值最大，并求出这个最大值．解：设点O (0，0)关于直线l ：2x －y ＋1＝0的对称点为O ′(x 0，y 0)，则OO ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 02，联立2×x 02－y 02＋1＝0和y 0x 0＝－12， 解得x 0＝－45，y 0＝25.所以O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，25，则直线MO ′的方程为y －3＝134x .直线MO ′与直线l ：2x －y ＋1＝0的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，－115即为所求，相应的||PO |－|PM ||的最大值为|MO ′|＝1855.。