人教版九年级数学下册第26章《二次函数》-二次函数y=a(x-h)^2的图象与性质课件(21张ppt)

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2.2 二次函数的图象与性质二次函数y=a(x-h)2的图象与性质课件初中数学北师大版九年级下册

(1,0).

2
(2)抛物线 y=- (x+3) 的开口向下,对称轴为直线 x=-3,顶点坐标为

(-3,0).
6.已知抛物线y=a(x-h)2向右平移4个单位长度后,所得的图象与抛物
线y=-2(x-5)2 重合,求a,h的值.
解:抛物线y=-2(x-5)2的顶点坐标为(5,0).把点(5,0)向左平移4个单
函数图象如图所示.
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0),函数有最
小值0,
当x>3时,y随x的增大而增大;当x<3时,y随x的增大而减小.
1.将二次函数y=-3x 2 的图象平移后,得到二次函数y=-3(x-1) 2 的图
象,平移方法正确的是(
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
而减小.
新知应用
2
1.已知抛物线 y=a(x+m) (m 为常数)的顶点在 y 轴的右侧,且 am<0,则
此图象的开口方向向上 .

2
2.画出函数 y= (x-3) 的图象,并说出此函数的性质(开口方向、对称

轴、顶点坐标、最值、增减性).
解:当x=0或x=6时,y=4.5;当y=0时,x=3;当x=1或x=5时,y=2.
新知应用
1.在平面直角坐标平面内,把二次函数y=(x+1)2的图象向左平移2个
单位长度,那么图象平移后的函数表达式是( D )
A.y=(x+1)2-2
B.y=(x-1)2
C.y=(x+1)2+2
D.y=(x+3)2
2.函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x2的图象向左

《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》二次函数PPT课件

2
h 0, k 0 y ax k

2

k 0, h 0 y a x h
典例精析
例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，
则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( A )
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是
二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数
难点：通过图象，观察抛物线y=a(x−ℎ)2 +k与抛物线y=ax2的平移规律。
二次函数"y=a(x−ℎ)^2+k的图象
通过描点法画出 = −
1
2
+1
2
− 1的图象？
【列表】
… -4
-3
-2
-1
0
1
2
…
…
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
…
1
= − 2 ( +
1)2 −1
-5.5
二次函数"y=a(x−ℎ)^2+k的图象
y
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
x
D.第一、三、四象限
【分析】观察图象可知二次函数y=a(x+m)2+n中a>0，m<0，n<0,所以
y=mx+n的图象经过二、三、四象限。
1
通过描点法画出 = − 2 + 1
2
− 1的图象？
x=-1
【描点】
y
根据表中x，y的数值在坐标平面中描出对应的点
0
-4
【连线】
-2
用平滑曲线顺次连接各点，就得到

数学九年级人教版 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 (共16张PPT)

拓展延伸
7. 小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线
y=
1 5
x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，
则她与篮底的距离l是(
A.3.5 m B.4 m
) B
C.4.5 m
D.4.6 m
课堂小结
y=ax2
向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位
向右(h>0)[或向左 (h<0)]平移|h|个单位
3
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点，因此，可设这段抛物线对应的函数是y=a(x-1)² +3（0≤x≤3）由这段抛物线经过点(3,0)可得 0=a(3-1)² +3，
解得a 3 4
3
因此y=- 3 ( x 1)2 3(0 x 3) 4
当x=0时，y=2.25，也就是说，水管应长2.25m.
1
2 -1 怎样移动抛物线y - 1 x 2可以得到抛物线y - 1 （x 1）？ 2 2
y - 1 x 2 向左平移一个单位 2
2 y -1 （x +1 ）
y O -4 -2 -2 2 4 x
向下平移一个单位
2
-4
-6
y - 1 x2 2
还有其他平移方法吗？
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
新课导入
问题：说说抛物线y=ax2的平移规律.
y=ax2+k y=ax2
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
推进新课
知识点1
二次函数y=a(x-h)2+k的图象的画法

二次函数y=a(x-h)^2的图像和性质

y=-2x2 y=-2(x+1)2 y=-2(x-1)2
画出二次函数考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.: 解:先列表描点
x x
1 y ( x 1) 2 2 1 y ( x 1) 2 2
1 1 2 y ( x 1) 、 y ( x 1) 2 的图象,并 2 2
点坐标（x-h)2的形
式，并说出开口方向，顶点坐标和对称轴。
(1) y x 6x 9
2
1 2 (2) y x 2 x 2 2
2
2
在同一坐标系中作出下列二次函数:
1 2 y x 2
1 y ( x 2) 2 2
1 2 y x 2 2
1 y ( x 2) 2 2
6 5 4
观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向, 对称轴及顶点.
-8
y
1 2 x 2
y
1 x 2 2 2
y= 2（x-3）2 y= −2（x+3）² y= −2（x-2）2
y= 3（x+1）2
二次函数y=a（x-ｈ）2的性质
y＝a(x-ｈ)2
a>0
a<0
图象
h>0
开口
h<0
h>0
h<0
对称性
顶点增减性
开口向下开口向上 a的绝对值越大，开口越小直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴左侧递增在对称轴右侧递增在对称轴右侧递减顶点是最低点
二次函数y=ax2+c的性质
y＝ax2+c
图象
a>0
a<0

二次函数y=a(x-h)2的图象

3、将抛物线y=ax2向右平移3个单位，且经过点（1，4），求函数解析式。
7.抛物线y=3(x-8)2最小值
.
9.已知二次函数y=8(x -2)2 当时,y随x的增大而增大, 当时，y随x的增大而减小.
1.函数y=-2（x+3）2的图象的对称轴是，顶点坐标是，当x= 时，y有最值为。 2.把二次函数y=-3x2往左平移2个单位，再与x轴对称后，所形成的二次函数的解析式为。
为
x=-2
下
，对称轴
(-2,0) ，顶点坐标为________.
5、形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物线解析式。
6、抛物线y=4（x-3）2的开口方向向上，
对称轴是直线x=3，顶点坐标是（3，0），顶点是最低点，当x= 抛物线与x轴的交点坐标（3，0），与y轴的交点坐标（0，36）。
x=0时,y最小=c
x=0时,y最大=c
抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到.
（1）抛物线y= −2x2+3的顶点坐标是是增大；在，在___
,对称轴时，
侧，y随着x的增大而 ,它是由抛物线y= −2x2
侧，y随着x的增大而减小，当x=
函数y的值最大，最大值是
3 时，y有最小值，其值为 0 。
3、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的顶点移到原点，则下列平移方法正确的是（ C ） A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位
26.1.3
二次函数y=a(xh)2+k的图象

二次函数y=a(x-h)2的图象和性质课件

知
识点
二次函数 y a(x h)2 的图象；
一
三、研读课文
探究在同一直角坐标系中，画出函
数，y

1x
2
12
，y

1 2
x
12
的图象，并分别指出他们的开口方向、
对称轴和顶点.
三、研读课文解：（1）列表
-3 -2 -1 1 2 3
-2

1 2
0
1 2
-2
9 2
-8
开口向上、对称轴x=2、顶点坐标（2,0）
知识点二二次函数 y a(x h)2 的性质；
思考抛物线 y 1 x2 与抛物线
y 1 x 1，2 y 1 x 212 有什么关系？
2
2
分y 析：1请x2在也知画识上点去一。图上把抛物线 2
知识
y归（ 1纳）1：抛x 物12 线的形y 状为12 开x 口12向、y
二次函数 y a(x h)2 的图像和性质
一、学习目标引导学生读懂数学书课题研究成果配套课件课件制作：苏志朝
1、会画二次函数 y a(x h)2的图象； 2、掌握二次函数 y a(x h)2的性质；
3、比较函数 y ax2 与 y a(x h)2
的联系.
二、新课引入 1、填表：
（2）对称轴是直线 x = h
；
（3）顶点坐标是 ( h , 0 )
.
2、抛物线 y a(x h)2 与 y ax2 形状相同，位置不同，y a(x h)2 是由 y ax2 ____左__右____平移得到的. （填“上下”或“左右”）
1、抛物线 y 2(x 3)2 的开口_向__上__；

4-二次函数y=a(x-h)2图象

-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
y 1(x1)2 2
(2)抛物线 y 1(x1)2
y 1(x1)2 2
2y 1 x2 2
有什么关系?
-5 -6 -7 -8 -9
x=－1-10
y 1(x1)2 2
讨论
抛物线 y 1 有什么关系？2
次函数的图象：
y 1 x 22
2
y 1 x 22
2
y 1 x2 2
观察三条抛物线的相互关系，并分别指
出它下，y轴（0, 2) 向上，y轴（0, 6) 向下，y轴（0, - 4)
下面，我们探究二次函数 y = a﹙x-h﹚2的图像和性质,以及与y=ax2的联系与区别.
画出二次函数
y

1 2
(x
1)2、
y 1(x1)2 2
的图像,并
考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.: 解:先列表描点
3.抛物线y=ax2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是y轴;
(3)顶点是(0,k).
抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上;
(2)对称轴是x=h; (3)顶点是(h,0).
巩固提高
1、如何平移：
y 3 (x 1)2
直线x=2
二次函数y=a（x-ｈ）2的性质
y＝a(x-ｈ)2
a>0
a<0
图象
开口对称性
顶点增减性
h>0

4 二次函数y=a(x-h)^2的图像与性质

观察图象,回答问题
(3) 函数 y=3(x-1)2 2的 2 的图象与 y=3x y = 3 ( x - 1) y = 3x 2 图象有什么关系? 它是轴对称图形吗 ?它的对称轴和顶点坐标分别是什么 ? (4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而减少？
二次函数y=a(x-h)2的性质
１.顶点坐标与对称轴
y = a ( x + h)
2
２.位置与开口方向
３.增减性与最值根据图形填表：抛物线顶点坐标对称轴 y=a(x-h)2 (a>0) （h，0）直线x=h 在x轴的上方(除顶点外) 向上
(3)函数 y=3(x-1)2的图象与 y=3x2 的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2 与y=3x2的图象形状相同,可以看作是抛物线y=3x2整体沿x轴向右平移了1 个单位
y = 3x
2
y = 3 ( x - 1)
2
图象是轴对称图形对称轴是平行于 y轴的直线:x=1.
的图象
⑴完成下表,并比较3x2和3(x-1)2的值,它们之间有什么关系?
x -3 27
2
-2 12 27
-1 3 12
0 0 3
1 3 0
2 12 3
3 27 12
4 48 27
y = 3x 2
y = 3( x - 1)
48
(2)在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和 y=3(x-1)2的图象．
函数
开口方向
在对称轴右侧
y=ax2
a＞0

二次函数y=a(x-h)^2的图像与性质

解析式
对称轴
顶点坐标（1，1）（-1，1）（2，1）（-2，1）（3，-2）（-3，2）
最值
X=1 解析式 X=-1
1
1
X=2
1
X=-2
1
X=3
-2
X=-3
2
X=h
(h,k)
k
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时,开口向上; (2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,k).
向上向下向下向上
x=3 x=-3 x=2 x=-1
(3,3) (-3,-2) (2,-1) (-1,1)
3 -2 -1 1
结论: 一般地，抛物线 y = a(xh)2+k
与y = ax2形状相同，位置不同。
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k 与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线 y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
y= 2（x-3）2+3 y= −2（x+3）2-2 y= −2（x-2）2-1
y= 3（x+1）2+1
函数 y= 2（x-3）2+3 y= −2（x+3）2-2 y= −2（x-2）2-1 y= 3（x+1）2+1
开口方向对称轴顶点 Nhomakorabea最值
增减性 x<3，递减；x>3，递增 x>-3，递减；x<-3，递增 x>-2，递减；x<-2，递增 x<-1，递减；x>-1，递增
向上平移7个单位，向右平移3个单位

人教版九年级数学下册第26章《二次函数》二次函数ya(xh)^2的图象与性质课件(21张)

y a ( x-h )2的图象与性质
2020/3/23
在同一直角坐标系中，
画出函 y2 1数 x2与y2 1(x-22)的图象
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
函数y=-(x+3)2的图象可由y=-x2的图象沿x轴向左平移3个
单位长度得到.
函数y=-(x-2)2的图象可由y=-x2的图象沿x轴向右平移2个
单位长度得到.
y=-(x+3)2
y=-x2 y=-(x-2)2
图象向左移还是向右移,移多少个单位长度,有什么规律吗?
2020/3/23Leabharlann 这两个函数的图象有什么关系？
y
1 2
x2
y
1( 2
x2
)2
但是对称轴和顶点坐标不同
的图象向右平移 h个单位得到，当h<0时，
函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象向
平移左个单位得到h 。
(1)函数y=4(x+5)2的图象可由y=4x2的图象向左平移5 个单位得到；y=4(x-11)2的图象可由 y=4x2的图象向右平移11个单位得到。
(2)将函数y=-3(x+4)2的图象向右平移4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2(x-7)2的图象向左平移 7 个单位得到y=2x2的图象。将y=(x-7)2的图象
向左平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
（3）将抛物线y=4x2向左平移3个单位，所得的抛物线的函数式是 y=4(x+3)2。

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向上向上
它们有哪些相同? 有哪些不同？
这两个函数的图象有什么关系？
1 2 y x 2
1 2 y (x 2) 2
但是对称轴和顶点坐标不同
这两个函数的图象开口方向相同
2 函数 y 1(x 2) 的图象
1 2 y x 2
1 2 y (x 2) 2
1 2 可由 y x 的图象 2
在同一直角坐标系中，
1 2 1 2 画出函数 y x 与 y (x - 2) 的图象。 2 2
列表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … …
1 2 … y x 2 1 2 y (x 2) … 2
列表
x … -3 -2 -1 2 0 0 1 2 2 3 … … …
1 2 … 9 y x 2 2 1 2 y (x 2) … 2
这是函数
2 y a(x h) 的性质哦!
当a>0时，抛物线y=a（x-h)2的开口向上，对称轴是x=h ，顶点坐标是(h,0)，在对称轴的左侧，y随x的减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而增大，增大而当x= h 时，函数取得最小值，这个值等于 0 ；当a<0时,抛物线y=a (x-h)2的开口向下，对称轴是 x=h ，顶点坐标是 (h,0) ，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而增大，当x= h 时，函数取得最大值，这个值等于 0 。
（4）抛物线y=-3(x+5)2的开口下，对称轴是 x=-5 ，顶点坐标是 (-5,0) ，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，当x= -5 时，取得最大值，这个值等于 0 。（5）抛物线y=7(x-3)2的开口上，对称轴是 x=3 ，顶点坐标是 (3,0) ，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，当x= 3 时，取得最小值，这个值等于 0 。
x=h时,y最大值=0
抛物线y=a(x-h)2 (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过左右平移得到.
3.试说出函数 y ax2 k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标, 并填写下表。
开口方向对称轴 x=h x=h 顶点坐标 (h , 0) (h , 0)
y a(x - h)
2
a>0
y=a(x-h)2 (a≠0) 开口方向顶点坐标对称轴增减性极值
a>0 向上 (h ,0) x=h
当x<h时， y随着x的增大而减小。当x>h时， y随着x的增大而增大。
a<0 向下 (h ,0) x=h
当x<h时, y随着x的增大而增大。当x>h时， y随着x的增大而减小。
x=h时,y最小值=0
1 图象可由y= x2 2 2
的图象沿x轴向右平移2个单位长度得到.
1 2 y (x 2) 2 1 函数y= (x-2)2的图象与 2 1 2 y= x 的图象的位置有什 2 么关系?
函数y=-(x+3)2的图象可由y=-x2的图象沿x轴向左平移3个单位长度得到.
函数y=-(x-2)2的图象可由y=-x2的图象沿x轴向右平移2个单位长度得到.
沿x轴向右平移2个单位
2
长度得到.
它的对称轴是直线x=2, 顶点坐标是（2，0）
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=a（x-h)2 (a≠0)的图象形状相同，只是位置不同；当h>0时，函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象向右平移 h 个单位得到，当h<0时，函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象向 h 平移左个单位得到。
y=-(x+3)2 y=-x2 y=-(x-2)2
图象向左移还是向右移,移多少个单位长度,有什么规律吗?
根据所画出的图象，说出这两个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表。
开口方向
1 2 y x 2 1 2 y (x - 2) 2
对称轴 y轴 x=2
顶点坐标 (0 , 0) (2 , 0)
9 2 25 2
0
1
1 2 1 2
2
3
9 2
1 2
… … …
1 2 y x 2
2
8
1 2 9 2
0
2
2
0
描点
x
1 2 y (x 2) 2
… -3 -2 -1 … …
9 2 25 2
0
1
1 2 1 2
2
3
9 2
1 2
… … …
1 2 y x 2
2
8
1 2 9 2
0
2
2
0
1 2 y x 2
你会比较这两个函数吗?
连线
相同
1 2 y (x 2) 2
这两个函数的图象的形状相同吗?
x
1 2 y (x 2) 2
… -3 -2 -1 … …
பைடு நூலகம்9 2 25 2
0
1
1 2 1 2
2
3
9 2
1 2
… … …
1 2 y x 2
2
8
1 2 9 2
0
2
2
0
1 2 y x 2
函数y= 1 (x-2)2的
向上向下
a<0
y a(x - h) 的图象与性质
2
回顾：二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k
图象
a>0
a<0
k>0
开口对称性顶点增减性
k<0
k>0
k<0
开口向下开口向上 |a|越大，开口越小关于y轴对称
(0,k)
顶点是最低点顶点是最高点
当x<0时，y随x的增大而减小当x<0时，y随x的增大而增大当x>0时，y随x的增大而增大当x>0时，y随x的增大而减小
(1)函数y=4(x+5)2的图象可由y=4x2的图象向左平移 5 个单位得到；y=4(x-11)2的图象可由 y=4x2的图象向右平移 11个单位得到。 (2)将函数y=-3(x+4)2的图象向右平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2(x-7)2的图象向左平移 7 个单位得到y=2x2的图象。将y=(x-7)2的图象向左平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。（3）将抛物线y=4x2向左平移3个单位，所得的抛物线的函数式是 y=4(x+3)2 。将抛物线y=-5(x+1)2向右平移5个单位,所得的 2 抛物线的函数式是 y=-5(x-4)。
1 2
1 2
9 2
列表
x … -3 -2 -1 0 0 2 1 2 2 0 3 … … …
1 2 … 9 y x 2 2 2 1 2 … 25 y (x 2) 8 2 2
这两个函数有什么不一样的地方?
1 2 9 2
1 2 1 2
9 2 1 2
x
1 2 y (x 2) 2
… -3 -2 -1 … …