巴特沃斯数字低通滤波器的设计

课程设计任务书

一．设计目的

1．巩固所学的理论知识。2．提高综合运用所学理论知识独立分析和解决问题的能力。3．更好地将理论与实践相结合。4．掌握信号分析与处理的基本方法与实现。5．熟练使用MATLAB 语言进行编程实现。

二．设计内容

已知四阶归一化低通巴特沃斯模拟滤波器系统函数为()1

6131.24142.36131.21234++++=s s s s s H a ，编写MATLAB 程序实现从()s H a 设计3dB 截止频率为2π=c w 的四阶低通巴特沃斯数字滤波器。

三．设计要求

1、设采样周期为s T 1=，用双线性变换法进行设计；

2、绘出滤波器的的幅频响应曲线并分析所得结果是否满足技术指标；

3、和同组另一同学采用的脉冲响应不变法设计的结果进行比较分析。

四．设计条件

计算机、MATLAB 语言环境

五、参考资料

[1] 丁玉美，高西全.数字信号处理.西安：电子科技大学出版社，2006.

[2] 陈怀琛，吴大正，高西全. MATLAB 及在电子信息课程中的应用.北京：电子科技大学出版社，2003.

[3] 楼顺天，李博苗.基于MATLAB 的系统分析与设计一信号处理 西安：西安电子科技大学出版社，1998.

指导教师（签字）： 教研室主任（签字）： 批准日期： 年 月 日

摘 要

数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统，通过对抽样数据进行数字处理来达到频域滤波的目的。本文是设计一个数字低通滤波器。根据滤波器

的设计思想，通过双线性变换法将巴特沃斯模拟低通滤波器变换到数字低通滤波器，利用MATLAB绘制出数字低通滤波器的系统幅频函数曲线。

关键词：数字滤波器；双线性变换法；巴特沃斯；MATLAB

1课题描述

数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统，通过对抽样数据进行数学处理来达到频域滤波的目的。可以设计系统的频率响应，让它满足一定的要求，从而对通过该系统的信号的某些特定的频率成分进行过滤，这就是滤波器的基本原理。如果系统是一个连续系统，则滤波器称为模拟滤波器。如果系统是一个离散系统，则滤波器称为数字滤波器。

数字滤波实质上是一种运算过程，实现对信号的运算处理。输入数字信号（数字序列）通过特定的运算转变为输出的数字序列，因此，数字滤波器本质上是一个完成特定运算的数字计算过程，也可以理解为是一台计算机。描述离散系统输出与输入关系的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则，使其按照这个规则完成对输入数据的处理。时域离散系统的频域特性:

()()()ω

ωj

ω

j e

j

e

Y=

X

e

H

其中()ωj e Y、()ωj e X分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性）,()ωj e H是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。输入序列的频谱()ωj e X经过滤波后()ωj e X()ωj e H,因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择()ωj e H，使得滤波后的()ωj e X()ωj e H满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。

2设计原理

2.1 IIR数字滤波器设计原理

IIR数字滤波器的设计一般是利用目前已经很成熟的模拟滤波器的设计方法来进行设计，通常采用模拟滤波器原型有butterworth函数、chebyshev函数、bessel 函数、椭圆滤波器函数等。

IIR 数字滤波器的设计步骤：

① 按照一定规则把给定的滤波器技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标；

② 根据模拟滤波器技术指标设计为响应的模拟低通滤波器；

③ 跟据脉冲响应不变法和双线性不变法把模拟滤波器转换为数字滤波器； ④ 如果要设计的滤波器是高通、带通或带阻滤波器，则首先把它们的技术指标转化为模拟低通滤波器的技术指标，设计为数字低通滤波器，最后通过频率转换的方法来得到所要的滤波器。

在MATLAB 中，经典法设计IIR 数字滤波器主要采用以下步骤：

图2.1 IIR 数字滤波器设计步骤

2.2巴特沃斯低通滤波器的原理

巴特沃斯滤波器的特点是同频带内的频率响应曲线最为平坦，没有起伏，而在组频带则逐渐下降为零。在振幅的对数对角频率的波特图上，从某一边界见频率开始，振幅随着角频率的增加而逐渐减少，趋向于负无穷大。

一阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频20分贝，二阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频12分贝，三阶的衰减率为每分贝18分贝，如此类推，巴特沃斯滤波器的振幅对角频率单调下降，并且滤波器的结束越高，在组频带振幅衰减速度越快，其他滤波器高阶的振幅对角频率图和低阶数的振幅对角频率有不同的形状。

N c s s H s H )(11)()(2

2

Ω-+=

- 上述函数的特点是等距离分布在半径为Ω的圆上。

因此，极点用下式表示为

N k j j c k e e s )12(2+∏

Ω=

1,2,1,0-=N k

)(s H a 的表示式：

∏-=-Ω=10)

()(N k k n c

a s

s s H 为了使设计公式和图表统一，将频率归一化。巴特沃斯滤波器采用3dB 截止频率c Ω归一化，归一化后的系统函数为

∏-=Ω-Ω=Ω10)(1)(N k c k c c a s s s G 令c c s j p ΩΩ=Ω=+=λλη,,λ称为归一化频率，p 称为归一化复变量，这样巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为

∏-=-=1

0)

(1

N k k a p p G 式中，c k s p Ω=，为归一化极点，用下式表示: )21221(N k j k e p ++=π 1,2,1,0-=N k

2.3双线性变换法

双线性变换法是将s 平面压缩变换到某一中介1s 平面的一条横带里，再通过标准变换关系)*1exp(T s z =将此带变换到整个z 平面上去，这样就使s 平面与z 平面之间建立一一对应的单值关系，消除了多值变换性。

为了将s 平面的Ωj 轴压缩到1s 平面的1Ωj 轴上的pi -到T pi 一段上，可以通过以下的正切变换来实现：

)2

1tan(21T T Ω=

Ω