离散数学(屈婉玲版)第二章习题答案

For personal use only in study and research; not for commercial use

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2.13 设解释I为：个体域D I ={-2,3,6},一元谓词F（X）：X≤3，G（X）：X>5,R(X):X≤7。在I下求下列各式的真值。

（1）∀x(F(x)∧G(x))

解：∀x(F(x)∧G(x))

⇔(F(-2) ∧G(-2)) ∧(F(3) ∧G(3)) ∧(F(6) ∧G(6))

⇔((-2≤3) ∧(-2>5)) ∧((3≤3) ∧(3>5)) ∧((6≤3) ∧(6<5))

⇔((1 ∧0))∧((1 ∧0)) ∧((0 ∧0))

⇔0∧0∧0

⇔0

(2) ∀x(R(x)→F(x))∨G(5)

解：∀x(R(x)→F(x))∨G(5)

⇔(R(-2)→F(-2))∧ (R(3)→F(3))∧ (R(6)→F(6))∨ G(5)

⇔((-2≤7) →(-2≤3))∧ (( 3≤7) →(3≤3))∧ (( 6≤7) →(6≤3)) ∨ (5>5)

⇔(1 →1)∧ (1 →1)∧ (1→0) ∨ 0

⇔1∧ 1∧ 0 ∨ 0

⇔0

(3)∃x(F(x)∨G(x))

解：∃x(F(x)∨G(x))

⇔(F(-2) ∨ G(-2)) ∨ (F(3) ∨G(3)) ∨ (F(6) ∨G(6))

⇔((-2≤3) ∨ (-2>5)) ∨ ((3≤3) ∨ (3>5)) ∨ ((6≤3) ∨ (6>5))

⇔(1 ∨ 0) ∨ (1 ∨ 0) ∨ (0 ∨ 1)

⇔1 ∨ 1 ∨ 1

⇔1

2.14 求下列各式的前束范式，要求使用约束变项换名规则。

（1）⌝∃xF(x)→∀yG(x,y)

(2) ⌝（∀xF(x,y) ∨∃yG(x,y) ）

解：（1）⌝∃xF(x)→∀yG(x,y)

⇔⌝∃xF(x)→∀yG(z,y) 代替规则

⇔∀x⌝F(x)→∀yG(z,y) 定理2.1（2 ）

⇔∃x(⌝F(x)→∀yG(z,y) 定理2.2（2）③

⇔∃x∀y(⌝F(x)→G(z,y)) 定理2.2（1）④

（2）⌝（∀xF(x,y) ∨∃yG(x,y) ）

⇔⌝(∀zF(z,y) ∨∃tG(x,t)) 换名规则

⇔⌝(∀zF(z,y) )∧⌝(∃tG(x,t) )

⇔∃z⌝F(z,y) ∧∀t⌝G(x,z)

⇔∃z (⌝F(z,y) ∧∀t⌝G(x,z))

⇔∃z ∀t(⌝F(z,y) ∧⌝G(x,t))

2.15 求下列各式的前束范式，要求使用自由变项换名规则。（代替规则）

（1）∀xF(x)∨∃yG(x,y)

⇔∀xF(x)∨∃yG(z,y) 代替规则

⇔∀x（F(x)∨∃yG(z,y)）定理2.2（1）①

⇔∀x∃y（F(x)∨G(z,y)）定理2.2（2）①

（2）∃x(F(x)∧∀yG(x,y,z))→∃zH(x,y,z)

⇔∃x(F(x)∧∀yG(x,y,t))→∃zH(s,r,z) 代替规则

⇔∃x∀y (F(x)∧G(x,y,t))→∃zH(s,r,z) 定理2.2（1）②⇔∀x（∀y (F(x)∧G(x,y,t))→∃zH(s,r,z)）定理2.2（2）③⇔∀x∃y（(F(x)∧G(x,y,t))→∃zH(s,r,z)）定理2.2（1）③⇔∀x∃y∃z（(F(x)∧G(x,y,t))→H(s,r,z)）定理2.2（2）④

2.17构造下面推理的证明。

（1）前提：∃xF(x)→∀y((F(y)∨G(y))→R(y))

∃xF(x)

结论：∃xR(x)

应改为：①∃xF(x) 前提引入

②∃xF(x)→∀y((F(x)∨G(y))→R(y))前提引入

③∀y((F(x)∨G(y))→R(y)) ①②假言推理

④F（c）①EI

⑤F（c）∨G(c) →R(c) ③UI

⑥F（c）∨G(c) ④附加

⑦ R(c) ⑤⑥假言推理

⑧∃xR(x) ⑦EG

（2）前提：∀x(F(x)→(G(y) ∧R(x))),∃xF(x).

结论：∃x(F(x)∧R(x)).

证明：

①∃xF(x) 前提引入

②F(c) ①EI

③∀x(F(x)→(G(y) ∧R(x))) 前提引入

④F(c)→(G(c) ∧ R(c)) ③UI

⑤G(c) ∧ R(c) ②④假言推理

⑥R(c) ⑤化简

⑦F(c)∧R(c) ②⑥合取

⑧∃x(F(x)∧R(x)) ⑦EG

2.18在一阶逻辑中构造下面推理的证明。

大熊猫都产在中国，欢欢是大熊猫。所以，欢欢产在中国。

解：将命题符号化.

F(x):x是大熊猫.

G(x):x产在中国.

a: 欢欢.

前提: ∀x(F(x )→G(x)),F(a),

结论: G(a)

证明:

①∀x(F(x )→G(x)), 前提引入;

②F(a)→G(a)①uI;

③F(a) 前提引入

④G(a) ②③假言推理

2.19在一阶逻辑中构造下面推理的证明。

有理数都是实数，有的有理数是整数。因此，有的实数是整数。

设全总个体域为数的集合

F（x）：x是有理数G（x）：x是实数H（x）：x是整数

前提：∀x(F(x)→G(x)) ∃x(F(x)∧H(x))

结论：∃x(G(x)∧H(x))

证明：①∃x(F(x)∧H(x)) 前提引入

②F（c）∧H（C）①EI规则

③∀x(F(x)→G(x)) 前提引入

④F（c）→G（c）③UI规则

⑤F（c）②化简

⑥ G（c）④⑤假言推理

⑦ H（c）②化简

⑧ G（c）∧H（c）⑥⑦合取

⑨∃x（G（x）∧H（x））⑧EG规则

2.23一阶逻辑中构造下面推理的证明。

每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车。每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车。因而有的人不喜欢步行（个体域为人类集合）。

命题符号化：F(x): x喜欢步行。G(x):x喜欢坐汽车。H(x): x喜欢骑自行车。

前提：∀x(F(x)→⌝G(x)), ∀x(G(x)∨H(x)),

∃x(⌝H(x)).

结论：∃x(⌝F(x))

证明

a ∃x(⌝H(x)) 前提引入

b ⌝H(c)

c ∀x(G(x)∨H(x)) 前提引入

d G(c)∨H(c)

e G(c)