第八章-序贯决策分析

【例8.2】
为了更好地选择检验方案，可先从任意一 箱中随机地抽取一件产品作为样品。 第一次抽样后，可继续进行第二次、第三 次等若干次抽样，每次抽样成本均为4.2元， 样本容量均为1。 试进行序列决策： （1）是否需要抽样？（若需要，抽样几次？） （2）在抽样或不抽样的前提下，采用何种方 案进行检验？
E a 3 / H 3 1 0.353 1 0.353 1 0.294 1 （万元）
故当试销结果为 H3时，也应选择中批生产a2， 截去方案a1、a3 ，结点6的值为1.53万元 。
例8.1

试销收益期望值：
E E a 2 / H 1 p H 1 E a 2 / H 2 p H 2 E a 2 / H 3 p H 3 3.406 0.44 2.62 0.39 1.53 0.17 2.78054 （万元）----结点3
§8.1
多阶段决策
例8.1 某企业考虑是否花费1万元购买某新产 品专利。若购买了专利，可进行大批生产 (a1)、中批生产(a2) 或小批生产(a3)，可能 出现的市场销售情况也分为畅销(θ1)、一般 (θ2)和滞销(θ3 )三种。其收益（利润， 万元）矩阵如下表：
状态θ a1 a2 a3 P(θ) 0.6 0.3 0.1 θ1 4 3 1 θ2 2 3 1 θ3 －3 －2 1
P ( X 1 0 | 2 ) P ( 2 ) 0.60 0.6 P ( 2 | X 1 0) 0.6228 P ( X 1 0) 0.578
P ( X 1 0 | 3 ) P ( 3 ) 0.10 0.2 P ( 3 | X 1 0) 0.0346 P ( X 1 0) 0.578
例8.1
为了更正确地掌握市场情况，正式投产公 司打算先生产少量产品试销，试销费需要 5000元。试销结果分为产品受欢迎(H1)， 一般(H2)和不受欢迎(H3)三种。 由于试销面不宽，试销结果的准确性有限。 其准确度（似然分布矩阵）见下表：
θ θ1 θ2 θ3 P(θ) 0.6 0.3 0.1 P(H1︱θ) 0.6 0.2 0.2 P(H2︱θ) 0.3 0.6 0.3 P(H3︱θ) 0.1 0.2 0.5
§8.1 多阶段决策
8.1.1 多阶段决策问题
决策者关心的是整个决策过程的总体效应， 而不单是各阶段的决策结果。 总之，若一个决策问题需要经过相互衔接、 相互关联的若干阶段决策才能完成，则自然 称之为多阶段决策。
§8.1 多阶段决策
8.1.2 多阶段决策方法及其应用实例 多阶段决策分析的步骤 适当地划分阶段； 确定各阶段的状态变量，寻找各阶段之间 的联系； 从后到前用逆序归纳法进行决策分析，每 一阶段决策可采用各种单阶段决策方法。 主要方法是决策树方法和动态规划方法。
θ1 a1 a2 9 4 a3 10 5 6 8
θ2
θ3
3
H2 H3
（略）
7
第一阶段
第二阶段
第三阶段
例8.1
解：这是一个三阶段决策问题，采用逆序归 纳法进行决策分析，先要计算在一定的试销 结果下的各后验概率。由全概率公式：
p H i
计算得：
p( H / ) p( ) i 1,2,3
0.046 －3万元
2
1.7万
6
2.7万
（略）
1 不试销
7
1.1万元
第一阶段
第二阶段
第三阶段
§8.1 多阶段决策
有一类多阶段决策问题，在进行决策后又 产生一些新情况，需要进行新的决策，接 着又有一些新的情况，又需要进行新的决 策。这样决策、情况、决策„，就构成一 个序列，这就是序列决策。 特点：决策次数事前并不明确，决策阶段 划分次数依赖于决策过程中出现的特殊状 况。 仍可用决策树法解这类问题，关键是：确 定一个决策序列终止的原则。
第八章 序贯决策分析
广西大学数学与信息科学学院 运筹管理系
§8.1 多阶段决策
8.1.1 多阶段决策问题 决策过程比较复杂； 需要将过程分为若干个相互联系的阶段， 分别对每阶段都做出决策； 各阶段的决策结果前后相互衔接，彼此相 互关联，前阶段决策结果影响后阶段决策目 标，后阶段决策状态又依赖于前阶段状态设 置； 各个阶段决策形成一个完整的决策过程 （序列）；
P ( X 1 1) P ( X 1 1 | j ) P ( j )
j 1 3
0.01 0.2 0.40 0.6 0.90 0.2 0.422
【例8.2】
P ( X 1 1 | 1 ) P (1 ) 0.01 0.2 P (1 | X 1 1) 0.0047 P ( X 1 1) 0.422
故当不试销时，应选择大批生产a1，截去方案 a2、a3 ，结点7的值为2.7万元。
例8.1
试销收益期望值扣除试销费用5000元后小于
不试销的收益值，截去试销方案，结点2的值 为2.7万元。 购买专利总期望收益＝2.7－1＝1.7万元，大于 不买技术的收益1.1万元，截去不买专利方案， 结点1的值为1.7万元 。
P ( X 1 1 | 2 ) P ( 2 ) 0.40 0.6 P ( 2 | X 1 1) 0.5687 P ( X 1 1) 0.422
P ( X 1 1 | 3 ) P ( 3 ) 0.90 0.2 P ( 3 | X 1 1) 0.4265 P ( X 1 1) 0.422
a( X1 1) a1
0.3426 97.5 0.6228 0 33.40 a1 0.0346 0 0.3426 0.578 4.325 0 a2 0.5687 4.325 0 0.4265 125 0.0047 97.5 2.69 0.5687 0.4582 0 a1 0.4265 0 0.4582 0.0047 0.422 0 a2 6.89 0.5687 53.31 0 0.4265 125 最满意方案是，应抽取一件产品作样品检验。 0.2 97.5 0.6 a1 19.5 0 0.2 19.5 若为正品，则无 0 0.2 须检验整箱产品； 0 a 2 期望损失值(包含抽样费用) 0.6 若为次品，则整 25 0 箱检验。 0.2 125 S1 S2 A1 A2 A3 A4
i j j j 1
3
p H 1 0.44
p H 2 0.39 p H 3 0.17
例8.1
再由贝叶斯公式：
p j / Hi


p( H i / j ) p( j ) p( H i )
计算得： 1 2 3
H1 0.818 0.462 0.353 p j / H i 0.136 0.462 0.353 H2 0.046 0.076 0.294 H3
0.3426 0.0047 97.5 0 0 0 0 125 0.6228 0.5687 0.0346 0.4265 X 1 1 一次抽样后最满 X1 0
a1 33.40 0.4582 意方案分别为： a2 4.325 53.31 a( X 1 0) a2
E a2 / H 2 3 0.462 3 0.462 ( 2) 0.076
E a3 / H 2 10 0.462 1 0.462 1 0.462 1 （万元）
2.62 （万元）
故当试销结果为 H2时，应选择中批生产a2，截 去方案a1、a3 ，结点5的值为2.62万元 。
例8.1
如不买此项专利，把这笔费用用在其他方 面，在同样的时期可获利1.1万元。那么， 该公司应该如何决策？ （1）是否买专利？ （2）如果买专利，是否采取试销办法？ （3）如果不试销，应大批生产，中批生产还 是小批生产？如果试销，又应该如何根据 试销结果决定其行动？
例8.1
H1
试销 2 1 不试销
第一次抽样的后验概率矩阵为
X1 0
X1 1
1 0.3426 0.0047 P ( | X 1 ) 2 0.6228 0.5687 3 0.0346 0.4265
【例8.2】
后验行动方案的期望损失值矩阵为
R(a | X 1 ) R P( | X 1 )
E a3 / H 1 1 0.818 1 0.136 1 0.046
----结点10 1(万元） 故当试销结果为 H1时，应选择大批生产a1，截 去方案a2、a3，结点4的值为3.406万元。
例8.1

当试销结果为 H2时：
E a1 / H 2 4 0.462 2 0.462 ( 3) 0.076 2.544 （万元）
相应的损失矩阵为
先进行第一次抽样的后验概率计算
P ( X 1 0) p( x1 0 | j ) p( j )
j 1 3
0.99 0.2 0.60 0.6 0.10 0.2 0.578
【例8.2】
p( X 1 0 | 1 ) P (1 ) 0.99 0.2 P (1 | X 1 0) 0.3426 P ( X 1 0) 0.578
【例8.2】
解： θ1，θ2，θ3分别表示产品次品率为 0.01 ， 0.4，0.9三种状态。对于抽样检验一件产品， X=1和X=0分别表示样品为次品和合格品两个结 果。结果值均用期望损失值表示。 序列决策树图不能够一次绘制成功，而是随着 决策过程序列的延伸和终止依次进行。为了简 化图形，行动方案al和a2、可能出现的状态及 其对应的损失值均在图中略去，仅在方案枝末 端标注上期望损失值。


例8.1

当试销结果为 H1时：
E a1 / H 1 4 0.818 2 0.136 ( 3) 0.046