Lorentz空间型中正常2-调和超曲面的分类

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数 学 年 刊 Ａ 辑
３９卷
的广义脐超 曲面，或 ｓ￣（２ｃ）的一个开部分，或 ｓｎ１１（Ｃ１）×ｓｎ …－ｎ （ｃ２）（佗 ≠ｎ—Ｔｔ１，ｒｌ ０，１）的 一 个开部分，其中Ｃｌ和 Ｃ２是满足 ＋ １＝ １，ｎｉｃ１＋（礼一礼１） Ｃ２≠ｎ。ｃ和 Ｉ ｔｌＣｌ＋（ｎ～ｒｔ１）Ｃ２＝ ２ｎｃ的两 个正 常数 ．
注 １．３ 由定理 １．２可见，对 于 Ｌｏｒｅｎｔｚ—Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ空 间 中的 ２一调 和超 曲面 ，如果 其形状 算子 的极 小多项式 的 阶数 至多是 ２，那 么 Ｍ 是极 小 的．该结论 已被 Ｆｅｒｒ￣ｎｄｅｚ等 人在文 【１２］中证 明．
熟知，对给 定的 ｎ阶方 阵 Ｂ，如 果多项 式 ｆ（ｘ）＝ Ｘ ＋ａｌＸ ＋… ＋ａ 使得
７２（ ）：＝ｔｒ（Ｖ Ｖ 一Ｖ ）７－（ ）一ｔｒＲ（ｄ￣，７＿（ ））ｄ ＝０，
（１．１）
那 么 称 是 Ａ ＋ 的 ２一调和 子 流形 ，其 中 ７－（ ）＝ ｔｒＶＣｄ￣ 是 的张 力 场． 注意 到 丁（ ）＝ｎＨ，其 中 厅 是 Ｍ２的平均 率 向量 场，易见极 小子 流形 是 ２一调和 子流 形．非极 小 的 ２一调和 子流形 通 常被 称为 正常 ２一调和 子流 形．
１ 引 言
设 ：Ｍｎ ＋ｐ是从 指 标为 ｒ的 ｎ维 伪黎 曼流 形 到 指 标为 ｑ的 ｎ＋Ｐ维 伪
黎 曼流 形 ＋ 的等距 浸入 ．记 Ｒ，Ｖ 和 Ｖ 分 别 为 Ａ ＋ｐ的 曲率 张量 ，向量丛
＋ｐ
上 由 诱 导 的诱导 联络 和 Ｍ 上 的联络 ．
如 果 咖的 ２一张力 场 丁２（ ）满 足 （见文 【１－２］）
近年来对常截 曲率为 Ｃ的伪黎曼空间型 Ｎ２＋Ｐ（ｃ）中的正常 ２一调和子流形的研究呈现 日趋浓厚的研究兴趣．文 【３＿９］对 Ａ ＋ （ｃ）中此类子流形的非存在性问题进行了广泛的研 究，并 且得 到 了许 多深 刻 的结论 ．
正常 ２一子流形的分类 问题是 另一重要研究课题，譬如文 ［１０ ｌｌ】在特殊情形下得到 了一些 漂 亮 的分类 结果 ．本 文将 考虑 Ｌｏｒｅｎｔｚ空 间型 Ⅳ “ （ｃ）中正 常 ２一调和 超 曲面 （ｒ＝０，１）的分类 ．在 假设超 曲面 的形状 算子 的极小 多项 式的 阶数 至多是两 次 的前提 下，得 到 了此 类超 曲面 的一个 完全 分类 结果 ．具体 地，首先 证 明了
２ 预备知识
设 ＋ （ｃ）是 （ｎ＋ １）一维 常截 曲率 为 ｃ的 Ｌｏｒｅｎｔｚ空 间型．当 ｃ＞ ０，ｃ＝ ０或 ｃ＜０ 时，＾ ＋ （ｃ）分别被 称为 ｄｅ Ｓｉｔｔｅｒ空间 ＋ （ｃ），Ｌｏｒｅｎｔｚ—Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ空 间 ＋ 或 ａｎｔｉ—ｄｅ Ｓｉｔｔｅｒ空 间 ⅡⅡ ＋ （ｃ）．
ｆ（Ｂ）＝Ｂ ＋ａｌＢ 一 ＋．．．＋ｎ Ｉ＝ ０， 那么称 ｆ（ｘ）为方 阵 Ｂ 的零 化多项式 ，其中 Ｉ和 ０分别是 ｎ阶单 位矩 阵和零 矩 阵．在 Ｂ 的 所 有零 化 多项 式 中，阶数最 低且 首项 系数 为 １的零 化 多项 式称 为 Ｂ 的极 小 多项式 ，记 为 ￣ｔＢ（Ｘ）．
如 果 Ｌｏｒｅｎｔｚ空间型 中超 盐面 Ｍｎ的形状 算子 的极 小多项式 具有形 式 （Ｘ— ）。或 者 （Ｘ一入）。，那么称 Ｍｎ是一个广义脐超 曲面 （见文 ［１３］）．关于 Ｌｏｒｅｎｔｚ空间型中广义脐超 曲 面的例 子，详见文 『１２—１４］．
不难 发现 广 义脐超 曲面具有 非对 角化形状 算子且 有相 同的主 曲率．对 于定理 １．２中所 陈述的其它超 曲面，根据 ［１５】可知 ￥７（２ｃ）和 衄”（２ｃ）是全脐的，ｓ （ｃ ）×ｓ？ （ｃ ）（ｒ ＝ ０，１）和 ⅡⅡ ）×Ⅱ丑一ｍ（￣２）具有可对角化形状算子且有两个不同主曲率，即这些都不是 广义脐超 曲面 ．
数 学 年 刊 Ａ 辑 ２０１８，３９（１）：６３—７６ ＤＯｈ １０．１６２０５／ｊ．ｃｎｋｉ．ｃａｍａ．２０１８．０００７
Ｌｏｒｅｎｔｚ空间型 中正常 ２一调和超 曲面的分类木
独 力 刘建 成ｚ
提要 本 文对 Ｌｏｒｅｎｔｚ空间型 中的正常 ２一调和超 曲面进行了完全分类，它 的形状 算子的极小多项式 的阶 数 至 多 是 ２． 关键词 Ｌｏｒｅｎｔｚ空 间型，正常 ２一调和超 曲面，极小多项式，广义脐超 曲面 Ｍ Ｒ （２０００）主题分类 ５３Ｃ５０ 中囝法分类 Ｏ１７５．２９ 文 献 标志 码 Ａ 文章 编号 ｉ０００—８３１４（２０１８）０１—００６３—１４
定理 １．１ 设 Ａ （ｎ＞２）是 Ｌｏｒｅｎｔｚ空 间型 计 （ｃ）中的 ２一调 和超 曲面．如 果 Ｍ 的 形状算子的极小多项式的阶数至多是 ２，那么 的平均 曲率是常数．
注 １．１ 当 ｃ＝０，定理 １．１的结果 已被证明，详见文 【１２，定理 ４．２］
本文 ２０１５年 ５月 １２日收到，２０１６年 １０月 ６日收到修改稿． 重 庆 理 工 大 学 理 学 院 ，重 庆 ４０００５４．Ｅ－ｍａｉｌ：ｄｕｌｉ８２０２１０＠１６３．ｔｏｍ 通信作者．西北师范大学数学 与统计学院，兰州 ７３００７０．Ｅ—ｍａｉｌ：ｌｉｕｊｃ￣ｎｗｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎ 本 文受 到 国家 自然基 金 （Ｎｏ．１１２６１０５１， Ｎｏ．１１７６１０６１）， 定 西师 范 高 等专 科 学校 青 年人 才 资 助计 划 （Ｎｏ．２１０２—２０１７）和定西师范高 等专 科学校重点项 目 （Ｎｏ．ＴＤ２０１６ＺＤ０８）的资助．
（ｉｉ）当 Ｃ＜０时，ｒ＝０且 Ｍ 是 Ⅱ （２ｃ），或 ⅡⅡｍ ）×］ＨＩｎ－Ｔｔ （ ）（／ｔｌ≠ｎ—Ｔｔ１）的一个开
部分，其中￣１和 是满足 击＋去＝１ ，ｎ； ＋（礼一礼１）。 ≠ｎｓｃ和 ｎ ＋（ｎ—ｎ１）～Ｃ２＝２ｎｃ
的两个 负常 数．
注 １．２ 当 ｎ＝２时，定理 １．２的结果 已被 Ｓａｓａｈａｒａ在文 ［１１］中证明．因此，本文 只对 礼＞２的情形 研 究．