第七章 投资组合的选择

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三种资产的最优资产组合习题

如果投资者投资组合中有三种资产：两种风险资产，一 是股票，一是债券；一种是年收益率为5%的无风险短期 国库券。有关数据如下： 债券 8% 12% 股票 13% 20% .30
预期收益,E(r)
标准差,σ 相关系数,ρDE



试求：（鉴于计算繁琐，列出算式即可） 1、最优风险资产组合中各风险资产所占比例？ 2、假定该投资者的A=4，求其最优资本配置？ 3、最优资产组合中各资产所占投资比例？
29



公式1
Max S P
wi
E ( rP ) r f
subject to

w
P
i
1
公式2
E(rp)=wDE(rD)+wEE(rE)
p2=w2DD2+ w2EE2+2wDwEDEρDE

公式3
y*=[E(rp)-rf]/0.01Aσ2p
30
确定最优总资产组合步骤
（计算每种资产的最优投资比例）
2
3
托宾的收益风险理论
托宾(James
Tobin)是著名的经济学家，1955-56年，发 现马克维茨假定投资者在构筑资产组合时是在风险资产 的范围内选择，没有考虑无风险资产和现金，而实际上 投资者会在持有风险资产的同时持有国库券等低风险资 产和现金的。 他指出，投资者首先在风险资产和无风险资产这两种资 产之间进行选择，他还得出：各种风险资产在风险资产 组合中的比例与风险资产组合占全部投资的比例无关。 即投资者的投资决策包括两个决策，资产配置和证券的 选择。

资本配置线
E(rp)

p


rf 资产组合可行集 0
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三种资产最优值的公式推导


目的是找出wA，wB值，以获得斜率最大的资本配置线（最高 的CAL线）因此，目标函数就是斜率，即SP， Sp=[E(rp)rf]/σp 约束条件：只要满足权重和=1，即wA + wB =1 ，有 Max Sp=[E(rp)-rf]/σp 将两种风险资产组合的期望收益和标准差 [E(rp)= wA E(rA)+ wB E(rB)] P2= wA 2A2+ wB 2B2+2 wA wB ABρAB代入目标函数，有 MaxSp=[wAE(rA)+ wB E(rB)-rf]/ [w w 2w w Cov(r r )] 用1-wA代替wB ，对其求导，令导数为零，有 wA={[E(rA)-rf] 2-[E(rB)-rf]Cov(rA,rB)}/[E(rA)rf]B2+[E(rB)-rf]A2-[E(rA)-rf+E(rB)-rf]Cov(rA,rB)}
p 2 D 2 D 2 E 2 E 1 2 D E D E
B
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最优值的计算

把上例中的数据代入，得到的解为
(8 5)400 (13 5)72 wA .40 (8 5)400 (13 5)144 (8 5 13 5)72 wB 1 .40 .60
资本配置线（CAL）的几何图
E(rc)
E(rp)
p
rf
F σc
0
σp
11
最优资本配置的确定

E(rp)=9%

p
(rf)=3%
F 0 21%

确定最优资本配置的程序是首先确定资本配置线，然后沿这条线找到与效用无
差异曲线相切的点。
12
最优资本配置推导





此时需要在给定可行集中（资本配置线上）选出一个 最优组合（y值），这个决策包含收益与风险之间的抉 择，同时投资者的风险厌恶各不相同。因此，确定通 过选择最优配置y来使效用最大化？(y是投资者在风险 资产P的投资比例) 公式推导如下： 根据前面的公式，我们可以得到以下两式： E(rc)=rf +y[E(rp)-rf] σ2C=y2σ2p 将两式代入效用函数，有 U=E(rc)-0.005A2C =rf+y[E(rp)-rf]-0.005Ay2σ2p 求一阶导数U’=E(rp)-rf—0.01Ayσ2p 令导数为0，有： y*=[E(rp)-rf]/0.01Aσ2p 13

11 5 y .7439 2 2 .01 A P .01 4 14 .2
• 投资者将把其财富的74.39% 投资于风险资产组合 P ，
25.61%投资于国库券
25
E (rP ) rf
最优值的计算（3）
之前求得风险资产组合P由40% 债券和60% 股票构成。 则在债券上的财富百分比例是： ywA=.40×.7439=.2976, or 29.76%. 在股票上的财富百分比例是： ywB= .60×.7439=.4463 or 44.63%.

如果投资者投资组合中有三种资产：两种风险资产，一 是债券A，一是股票B；一种是年收益率为5%的无风险 短期国库券。有关数据如下：
债券A 预期收益,E(r) 标准差,σ 相关系数,ρAB 8% 12%
股票B 13% 20% .30
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风险资产组合有效集

E(r) B（股票）


1.确定各种证券的收益特征值：预期收益、方差和相关系数 2.建立最优风险资产组合： 计算最优风险资产组合P中的各风险资产所占比例 ： 根据上页公式1 计算出Wi的值； 计算风险资产组合P的参数值：由求得权重Wi和上页公式 2 ，计算出风险资产组合P的预期收益、方差值； 3.确定最优资本配置：在风险资产组合与无风险资产之间配置 计算风险资产组合P的投资比例y*： 根据公式3，求出y*值； 计算每种风险资产和无风险资产的投资比例： Wi * y*和1-y* 。
6
资本配置线的形成

根据σC=yσp=21y，有y=c/21，将y代入


E(rc)=3+6y
得到 E(rc)=3+(9-3/21)σc
从式中可看出，此资产组合的期望收益率 是标准差的线性函数。

可以画出有关E(rc)和σc的几何图形
7
资本配置线（CAL）的形成图
E(rc)
E(rp)=9%
p
rf=3%
14


15
总结：最优风险资产组合的确定


E(r)


I1
I2 N I3 A（债券)
B（股票）


I2 点 是 适合投资者风险偏好的最大效用的风险资产 组合
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总结：最优资本配置的确定

E(rp)=9%

p
(rf)=3%
F 0 21%

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三种资产的最优资产组合 ——股票+债券+国库券

这个最优资产组合的资本配置线的斜率为 SP=(11-5)/14.2=0.42
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最优值的计算（2）
上一章我们得出了给定风险资产组合情况下最优资本配置的解， 即根据投资者风险厌恶系数计算投资于风险资产组合的最优比例。

风险资产的最优比例公式为：y*=[E(rp)-rf]/ 0.01Aσ2p， 假定A=4，投资者投资于风险资产组合的投资比例为
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资本配置习题




假设你管理一种预期回报率为18%和标准差为28% 的风险资产组合基金，短期国债利率为8%； 你的一委托人决定将其资产组合的70%投入到你的 基金中，另外30%投入到短期国债： 1、那么你的委托人的资产组合的预期收益率与标 准差各是多少？ 2、在预期收益与标准差的图表上画出你的资产组 合的资本配置线(CAL)，并求出其斜率？ 3、在该资本配置线上标出你的委托人的位置。 4、假设你的委托人风险厌恶程度为A=3.5，则 a.应将占总投资额的多少（y）投入到你的风险资 产组合中，以达到其最佳资产组合？ b.你的委托人的最佳资产组合的预期回报率与标 准差各是多少？
（ 25.61%投资于国库券）
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最优总资产组合比例图
Bonds 30%
T-bills 26% T-bills Stocks Bonds
Portfolio P 74%
Stocks 44%
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三资产最优组合的几何表达

E 最优资本配置
资本配置线


P
最优风险资产组合 C rf 机会集合线

4
二、资本配置决策

投资者首先面临的最基本的决策

在投资组合中，风险资产占多大比重，无 风险资产占多大的比重 最优资本配置决策？
5
资本配置线的形成



假 定 某 风 险 资 产 p 的 期 望 收 益 率 为 E(rP) =9% ，标准差为 P =21%，无风险资产F的 收益率为rf =3% ，令投资者在风险资产P的 投资比例为y，无风险资产的投资比例则为 1-y，则整个资产组合C的期望收益率为： E(rc)=y E(rP) +(1-y)rf= 3%+y(9%-3%) = 3+6y 整个资产组合C的标准差为： σC=yσp=21y
第七章

投资组合的选择
确定最优风险资产组合 资本配置决策

1
一、确定最优风险资产组合 ——证券选择决策
非系统风险可以通过多种风险资产的组合来降 低，因此投资者会根据资产的期望收益与方差情况， 来选择组合中的风险资产，并考虑自己的风险厌恶 程度
最优风险资产组合:决定每种风险资产占风险资
产组合的比例，从而达到投资效用最大化。
F