倒易点阵
倒易点阵概念
倒易点阵概念
倒易点阵是一种用于描述晶体结构中原子排列和晶格常数的强大数学工具。
在倒易点阵中，一系列点表示晶格中原子位置的倒易矢量，这些点对应着晶体结构中的原子位置。
通过这些倒易点阵，我们可以计算出晶格常数、原子间距以及晶格结构中的对称性和对称元素。
倒易点阵的概念在晶体学和材料科学中具有极其重要的意义。
首先，它可以帮助我们深入理解晶体的结构和性质。
通过倒易点阵，我们可以直观地观察到原子在晶体中的排列和分布，从而更好地理解晶体的构造和形成机制。
此外，倒易点阵还可以帮助我们预测和解释晶体的物理和化学性质。
通过对倒易点阵的分析，我们可以推断出晶体的力学、光学、电学等性质，为材料科学的研究和应用提供重要依据。
此外，倒易点阵还可以用于计算晶体结构中的对称性和对称元素。
对称性是晶体学中的一个核心概念，它涉及到晶体的几何结构和物理性质。
通过对称性分析，我们可以了解晶体的稳定性和各向异性等特点，从而更好地理解晶体的性质和应
用。
倒易点阵是一种强大的工具，可以帮助我们理解和描述晶体的结构和性质。
它是晶体学和材料科学领域的重要概念之一，对于研究晶体的物理和化学性质、探索新的材料和设计具有广泛应用价值。
倒易点阵
＊
* * * * * a r*001 * * * * * * *c * β * *
＊
＊
202 ＊ ＊ r*001 ＊ ＊
a* = r*200 = 1/d200 = 2/(a.cos[β-90])= 2/(a.sinβ) b* = r*002 = 1/d002 = 2/b c* = r*001 = 1/d001 = 1/(c.cos[β-90])= 1/(c.sinβ) ＊
5、对于面心型，指数同为偶数或奇数的晶面才出现； 、对于面心型，指数同为偶数或奇数的晶面才出现； (111) (220)
(200)
（三）、倒易点阵小结 ）、倒易点阵小结
1、均为无限的周期点阵， 、均为无限的周期点阵， 2、正点阵的晶面对应于倒易点阵的阵点（除有公因子指数外）； 、正点阵的晶面对应于倒易点阵的阵点（除有公因子指数外）； 3、晶系不变，为11种中心对称的劳厄点群； 种中心对称的劳厄点群； 、晶系不变， 种中心对称的劳厄点群 4、P->P*, C->C*, I->F*, F->I*，即对复合单胞出现倒易点阵系统消光， 、 ，即对复合单胞出现倒易点阵系统消光， 立方系指数表见下表
r∗ r∗ r r r∗ r∗ r rhkl ⋅ AB = (ha + kb + lc ) (b / k − a / h) = 1 − 1 = 0 r∗ r c ∴ rhkl ⊥ AB r r∗ 同理可证： 同理可证： rhkl ⊥ AC C r b r∗ rhkl ⊥ BC B
∴
性质一证明 r r r r O A = a / h OB = b / k
1/ a2 cos γ * G* = ab 0
cos γ * ab 1/ b2 0
倒易点阵介绍
n O
光程差 On Am OA S OA S0 OA ( S S0 )
相应的位向差为
2
2
( S S0 )
OA
其中p、q、r是整数 因为S0是入射线方向单位矢量, S是衍射线方向为单 位矢量，因此S- S0是矢量，则：(S S0 ) * *
2
1/
A
O
S0 /
5 、以S0端点O点为原点，作
倒易空间，某倒易点（代表
某倒易矢量与hkl面网）的 端点如果在反射球面上， 说明该g*=S, 满足Bragg’s Law。某倒易点的端点如果
P
S/
S S0 g
2
不在反射球面上， 说明不
满足Bragg’s Law，可以直
1/
A
O
S0 /
25
概念回顾
以A为圆心，1/λ 为半径所做的球称为反 射球，这是因为只有在这个球面上的倒 易点所对应的晶面才能产生衍射。有时 也称此球为干涉球， Ewald球。 围绕O点转动倒易晶格，使每个倒易点 形成的球称为倒易球 以O为圆心，2/λ 为半径的球称为极限球。
26
大倒易球半径为
g=1/d≤ 2/:
hkl
即 d hkl
2
S/的晶面不Fra bibliotek1/
2 C S0/
g
O
Direction of direct beam
可能发生衍射
Sphere of reflection
极限球
Limiting sphere
关于点阵、倒易点阵及Ewald球的思考
(1) 晶体结构是客观存在，点阵是一个数学抽象。 晶体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这 一客观事实的抽象，有严格的物理意义。 (2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在， 没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。 (3) Ewald球本身无实在物理意义，仅为数学工具。 但由于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描 述了X射线和电子在晶体中的衍射，故成为研究晶 体衍射有力手段。
厄瓦尔德图解和倒易点阵课件
Ewald 反射球
2d sin
Ewald Transform
(1912)
2
1
sin
1 d
d
Lattice planes
反
射 球
晶体位 于反射 球中心
1
Bragg
plane 入
k'
k
射 线
Ag 倒易点阵原点
设一与晶
面垂直旳 矢量AB， 若其长度 等于1/d， 则OB方向 产生衍射
入
射 线
2 1 sin
1
1 d
A
倒易点阵
(reciprocal lattice)
倒易点阵是衍射措 施最主要旳理论基础：
若一种点旳方向矢 量垂直于同名指数旳晶 面，大小为1/d，此点便 是相应晶面旳倒易点。
1
由晶体全部倒 易点(不一定都落
在倒易球表面)构
成旳新点阵，称
入
为倒易点阵。
射
倒易点
线
Ag
倒易点阵也反应了 晶体旳周期性本质
正
点
➋正倒点
阵
阵相互倒
易，线、
倒
面互应，
易
互为付Al2里Ni3
点
叶变换。
阵
Silicon Wafer Laue Pattern
倒易点 阵虽是数 学抽象， 但却是实 实在在可 观察到旳 点阵。
90
正点阵 [001]方向 倒易点阵 旋转90º
(100)
正点阵
中旳一组 晶面，相 应倒易点 阵中旳一 种点。
正点阵 正点阵
倒易点阵 倒易点阵
倒易点与原点旳 连线垂直于晶面。
面间距
越大，倒 易点间距 越小。
倒易点阵名词解释
倒易点阵名
倒易点阵是由被称为倒易点的点所构成的一种点阵，它也是描述晶体结构的一种几何方法，它和空间点阵具有倒易关系。
倒易点阵中的一倒易点对应着空间点阵中一组晶面间距相等的点格平面。
倒易点阵的概念在晶体结构和固体物理学中都有十分重要的作用。
到目前为止，大多数教程都是在密勒指数或晶面指数无关的情况下来定义倒易点阵概念的。
由于晶面指数的概念出现得很早，有一些老的晶体学和固体物理学教程中甚至没有提到倒易点阵这个概念。
在目前流行的固体物理学教科书中，对倒易点阵均有叙述，而且处处应用。
但是，倒易点阵概念的引入比较生硬，对倒易点阵与晶面指数的关系交待得不够清楚。
倒易点阵介绍
1
倒易点阵
❖ 倒易点阵概念及定义 ❖ 倒易点阵的物理意义 ❖ 倒易点阵的应用是一个假想的点阵.
❖ 将空间点阵(真点阵或实点阵)经过倒易变换,就 得到倒易点阵,倒易点阵的外形也是点阵,但其 结点对应真点阵的晶面,倒易点阵的空间称为倒 易空间。
❖ 1860年法国结晶学家布拉菲提出并作为空间点 阵理论的一部分，但缺乏实际应用。
24
25
点阵中单胞的体积：V=a·(b×c)=b·(a×c) =c·(a×b)
5
倒易点阵基矢与正点阵基矢的关系
（仅当正交晶系）
6
倒易点阵的性质
1. 正倒点阵异名基矢点乘为0;
a*·b= a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0
同名基矢点乘为1。
a*·a=b*·b=c*·c=1.
2. 在倒易点阵中，由原点O*指向任意坐标为hkl的阵点
的。即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl] 平行的。
7
ghkl=h a*+k b*+lc* 表明：
❖ 1平.倒行易于矢它量的法gh向kl垂N直hkl于正点阵中相应的 [hkl]晶面，或 ❖ 2.倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面
8
晶带定理
❖ 在正点阵中，同时平行于某一晶 向[uvw]的一组晶面构成一个晶带， 而这一晶向称为这一晶带的晶带 轴。
向平行于（hkl）晶面的法线，则有K‘ –K= G，即为布拉格方程 14
的矢量形式。
倒易点阵的应用
倒易点阵使许多晶体几何学问题的解决变得简易。例如单胞体 积，晶面间距、晶面夹角的计算以及晶带定理的推导等等。以 下是倒易点阵的应用。 1°由倒易点阵的基本性质可得： a*=1/d100，b*=1/d010，c*=1/d100 （a*=G100=1/d100） 在晶体点阵S 中，点之间或点阵平面之间的距离用Å 作单位， 因此，a*、b*、c*的单位为Å－1。在用图解法解决实际问题时， 用相对标度值表示相对大小即可。
倒易点阵
由满足这些条件的初基矢量a*, b*, c*决 定的点阵----倒易点阵
倒易点阵与正点阵的基本对应关系为
a * b a * c b * a b * c c * a c * b 0 a * a b * b c * c 1
*
： a 与a的夹角
*
： b*与b 的夹角 ： c 与c 的夹角
*
根据定义， a 与(b c )同方向 * 即： a 1 (b c )
*
倒易点阵的另一种表达方式
a a 1
*
* a a 1 (b c ) a 1 正点阵体积 V (b c ) a
bc a V
*
1 V 1
1 1 / V
a 1 (b c )
*
V a bc bc a c ab
bc bc a V a b c
*
ca ca b V bca
*
ab ab c V cab
*
给出了倒易点阵与正点阵之间的方向 关系和数值关系。
a ,b ,c
* * *
2.3.1 倒易点阵的定义及倒易点阵参数 定义
c* b* 引入倒易点阵初基矢量 c b
令a * a 1, b * b 1; c * c 1
* 令a b , c * b a, c * c b, a
a
a*
*
V abc
bc sin sin a abc a sin 90 1 a a
*
1 b b
*
1 c c
*
1 a b c a
现代材料分析测试技术-第02章-3倒易点阵爱瓦尔德作图法精选全文
爱瓦尔德球与倒易点阵的关联作用
• 若有倒易点G（指数为hkl）落在球上，则 • G点对应的晶面组（hkl）与入射束oo*，
满足布拉格定律 • 有k‘－k＝g • 布拉格定律的另一种表达形式
12
证明：爱瓦尔德作图法－ 布拉格定律的几何表达形式
• O*D＝oo*sinθ • g=1/d （倒易矢量的定义）
• a*·a = b*·b = c*·c =1
• a* b* c*的表达式为：V空间点阵单位晶胞
的体积
a b c ;b a c ;c a b
V
V
V
4
• 某一倒易基矢垂直于正点阵中和自己异名的二 基矢所成的平面
• 正倒点阵异名基矢点乘为0,同名基矢点乘为1
5
倒易点阵与正点阵的倒易关系及 倒易矢量及性质
• 无数倒易点组成点阵－倒易点阵 • 倒易点阵的倒易是正点阵。 • 倒易矢量及性质：
从倒易点阵原点向任一倒易阵点所 连接的矢量叫倒易矢量，表示为：
Hhkl = ha* + kb* + l c* 两个基本性质
6
两个基本性质 ：
1) Hhkl垂直于正点阵中的hkl晶面 2) Hhkl长度等于hkl晶面的晶面间距dhkl的倒数
&2-3 倒易点阵
1
倒易点阵的引入
• 倒易点和倒易原点 • 晶体点阵中的晶面和相应倒易点的关系 • 整个晶体中各种方位、各种面间距的晶
面所对应的倒易点之总和，构成了一个 三维的倒易点阵。正空间与倒空间
2
3
1.倒易点阵中单位矢量的定义式
• a*·b = a*·c = b*·a = b*·c = c*·a = c*·b =0
7
2-4 爱瓦尔德图解法
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倒易点阵:晶体点阵结构与其电子衍射斑点之间可以通过另外一个假想的点阵很好地联系起来，这就是~零层倒易截面：电子束沿晶带轴的反向入射时，通过原点的倒易平面只有一个，我们把这个二维平面叫做~消光距离：透射束或衍射束在动力学相互作用的结果，在晶体深度方向上发生周期性的振荡，这种振荡的深度周期叫做~明场像：通过衍射成像原理成像时，让透射束通过物镜光阑而把衍射束挡掉形成的图像称为明场像。
暗场像：通过衍射成像原理成像时，让衍射束通过物镜光阑而把透射束挡掉形成的图像称为暗场像。
衍射衬度：由于样品中不同位向的晶体的衍射条件不同而造成的衬度差别叫~质厚衬度：是建立在非晶体样品中原子对入射电子的散射和透射电子显微镜小孔径角成像基础上的成像原理，是解释非晶态样品电子显微图像衬度的理论依据。
二次电子：在入射电子束作用下被轰击出来并离开样品表面的样品的核外电子叫~吸收电子：入射电子进入样品后，经多次非弹性散射能量损失殆尽，然后被样品吸收的电子。
透射电子：如果被分析的样品很薄，那么就会有一部分入射电子穿过薄样品而成为透射电子。
结构消光：当Fhkl=0时，即使满足布拉格定律，也没有衍射束产生，因为每个晶胞内原子散射波的合成振幅为零。
这叫做~分辨率：是指成像物体（试样）上能分辨出来的两个物点间的最小距离。
焦点：一束平行于主轴的入射电子束通过电磁透镜时将被聚焦在轴线上一点。
焦长：透镜像平面允许的轴向偏差.景深：透镜物平面允许的轴向偏差.磁转角：电子束在镜筒中是按螺旋线轨迹前进的，衍射斑点到物镜的而一次像之间有一段距离，电子通过这段距离时会转过一定的角度.电磁透镜：透射电子显微镜中用磁场来使电子波聚焦成像的装置。
透射电子显微镜：是以波长极短的电子束作为照明源，用电磁透镜聚焦成像的一种高分辨率，高放大倍数的电子光学仪器。
弹性散射：当一个电子穿透非晶体薄样品时，将与样品发生相互作用，或与原子核相互作用，或与核外电子相互作用，由于电子的质量比原子核小得多，所以原子核入射电子的散射作用，一般只引来电子改变运动方向，而能量没有变化，这种散射叫做弹性散射。
背散射电子：是被固定样品中的原子核反弹回来的一部分入射电子，其中包含弹性背散射电子和非弹性背散射电子。
弹性背散射电子：指被样品中原子核反弹回来的，散射向大于90°的电子其能量没有损失。
非弹性背散射电子：是入射电子和样品河外电子撞击后产生的电子，波方向改变，能量也不同程度损失。
晶带轴：在正点阵中，同时平行于某一晶像的一组晶面构成一个晶带，而这一晶向称为这一晶带的晶带轴。
结构因子：表示晶体的正点晶胞内所有原子的散射波在衍射方向上的合成振幅。
第二相粒子:指那些和基体之间处于共格或半共格状态的粒子。
复型：就是真实样品表面形貌组织结构细节的薄膜复制样品。
萃取复型：是金相样品进行腐蚀使第二相粒子容易从基体上剥离以便把第二相粒子包络起来的方法。
二次复型：先制成逐渐复型，然后在中间复型上晶型第二次复型，再把中间复型溶去，最后得到的是第二次复型。
简答：试述电磁透镜对电子波的聚焦原理?原理图如图，速度为v的平行电子束进入透镜的磁场时，位于A点的电子将受到Br分量Ft的作用，使电子获得一个切向速度Vt，Vt随即和Bz分量叉乘，形成一个向主轴靠近的径向力Fr使电子向主轴偏转（聚焦）。
当电子穿过线圈走到B时，Br的方向改变了180°，Ft随之反向，但是Ft的方向只能减小Vt，而不能改变方向，因此穿过线圈的电子仍然趋向于向主轴靠近。
通电的短线圈就是一种简单的电磁透镜，它能造成一种轴不对称均匀分布的磁场，磁力线围绕导线呈环状。
一种带有软磁铁壳的电磁透镜，导线外围的磁力线都在铁壳中通过，由于在软磁壳的内侧开一道环状的狭缝，从而可以减少磁场的广延度，是大量磁力线都集中在狭缝附近的狭小区域之内，增强了磁场的强度。
一种在环状间隙两边，接出一对顶端呈圆锥状的极靴，带有极靴的电磁透镜可使有效磁场集中到沿透镜轴向几毫米的范围之内。
磁力线分布越集中，轴向距离越短，聚焦能力越强。
电磁透镜的像差是怎样产生的，任何消除和减少像差？像差主要有球差，像散和色差三种。
球差是由于电磁透镜的中心区域和边缘区域对电子的折射能力不符合预定的规律造成的。
通过减小球差系数和减小孔径半可减小球差。
像散是由透镜磁场的非旋转对称引起的。
用消像散器可消除和减少像散。
色差是由于入射电子的波长或能量的单一性所造成的。
通过稳定加速电压的方法减小色差说明影响光学显微镜和电磁透镜分辨率的主要因素是什么，如何提高电磁透镜的分辨率？光学显微镜:分辨率取决于照明光源的波长电磁透镜:若只考虑衍射效应，则照明系统和介质一定的条件下，孔径半角越大，分辨率越高。
若同时考虑衍射和球差对分辨率的影响，则会改善其中一个因素时会使另外一个因素变坏。
要两者兼顾，关键是确定电磁透镜的最佳孔径半角，使得衍射效应埃里斑和球差散焦斑尺寸大小相等，表明两者对透镜分辨率影响效果一样，这样能得到分辨率最高的透镜。
电磁透镜的景深和焦长主要受哪些因素的影响？1.影响景深的因素：透镜物平面允许的轴向偏差称为透镜的景深。
景深的估算公式-------；影响因素有电磁透镜的分辨本领和孔径半角。
分辨本领越大，孔径半角越小，电磁透镜的景深越大.2.影响焦长的因素：透镜像平面允许的轴向偏差称为透镜的焦长。
估算公式-------;影响因素有电磁透镜的分辨本领，孔径半角和放大倍数。
分辨本领值越大，孔径半角越小，放大倍数越大，电磁透镜的焦长越长。
电子波与可见光相比作为显微镜照明光源有何优势？1.电子波的波长比可见光的短，不易发生衍射，因此以电子波为显微镜光源时分辨率较高。
2.电子波的能量比可见光大，因此以电子波为显微镜光源时可以分析试样内部结构。
3.电子波穿透力比可见光强，，因此以电子波为显微镜光源时和组成试样的元素作用，发出各种物理信号，根据这些信息分析材料的晶体结构，成分等。
透射电镜主要由几大系统构成，各系统之间的关系如何？1.由电子光学系统，电源和控制系统，真空系统三大系统构成2.关系：电子光学系统是透射电镜的核心，电源和控制系统和真空系统是电子光学系统正常工作所必须的保证照明系统的作用是什么，应满足什么要求？1.作用：提供一束亮度高，照明孔径半角小，平行度好，束流稳定的照明源。
2.满足的要求：1）电子束的亮度要高2）照明孔径角要小3）平行度要好4）束流要稳定5）照明电子束要可在2~3°范围内倾斜，还可以在一定范围内平移。
透射电镜成像系统的主要构成及其特点？1.透射电镜由物镜，中间镜，投影镜及物镜光阑，选区光阑组成。
2.特点：A物镜：1）强激磁短焦距的透镜2）放大倍数较高3）像差小，分辨率高4）和样品之间的距离总是不变的B中间镜:1）弱激磁长焦距的透镜2）激磁电流固定3)孔径角很小4）景深和交叉都非常大C投影镜: 同中间镜D物镜光阑：直径20—120um E选区光阑：20—400um。
点分辨率与晶格分辨率有何不同？同一台电镜的这两种分辨率哪个高？为什么？1.电子显微镜的点分辨率是电镜能够分辨的两个物点间的最小间距；晶格分辨率是能够分辨的具有最小面间距的晶格像的晶面间距2.同一台电镜晶格分辨率高于点分辨率。
透射电镜中的有哪些主要光阑，在什么位置？其作用如何？1.透射电镜中主要有三种光阑：聚光镜光阑，物镜光阑，选区光阑。
2.位置：聚光镜光阑：第二聚光镜的下方。
物镜光阑：物镜的后焦面上。
选区光阑：一般放在物镜的像平面位置。
3.作用：聚光镜光阑：孔径为20—400um，限制照明孔径角。
物镜光阑：物镜光阑具有减小球差像散和色散的作用；具有提高图像的衬度，故亦称衬度光阑；可用来进行暗场及衍衬成像操作的转换。
选区光阑：为了样品上的一个微小区域，使电子束只能通过光阑孔限定的微区。
倒易点阵与正点阵之间关系如何？倒易点阵与晶体的电子衍射斑点之间有何对应关系？第一问：1、倒易矢量垂直于正点阵中相应的晶面，或平行于它的法向。
2、倒易点阵中的一点代表的正点阵中的一组晶面。
3、倒易矢量的长度等于正点阵中相应品面间距的倒数。
第二问：1、衍射斑点所对应的倒易矢量均基本满足布拉格条件2、衍射斑点是倒易点阵的与入射矢量垂直的零层倒易面的一部风。
3、标准电子衍射花样是标准零层倒易截面的比例图像，关系为：R=Kg 4、衍射斑点所对应的各倒易点的结构因子均不为零5、偏离矢量小于Smax倒易点才能出现在衍射花样中。
为何对称入射（B//[uvw]）时，即只有倒易点阵原点在埃瓦尔德球面上，也能得到除中心斑点以外的一系列衍射斑点？，薄晶体电子衍射时，倒易阵点延伸成杆状是获得零层道义截面比例图像的主要原因，即尽管在对称入射情况下，倒易点阵原点附近的扩展了的倒易阵点也能与埃瓦尔德球相交而得到中心斑点强而周围斑点弱的若干个衍射斑点。
其他一些因素也可以促进电子衍射花样的形成，例如：电子束的波长短：使埃瓦尔德球在小角度范围内球面接近平面：加速电压波动，使埃瓦尔德球面有一定的厚度，电子束有一定的发散度等说明多晶、单晶及非晶的衍射花样的特征及形成原理?1、多晶体的衍射花样是一系列不同半径的同心圆。
大量取向各异单晶体聚集体。
2、单晶体的衍射花样是由排列整齐的许多斑点组成。
是严格满足布拉格方程方向上产生衍射，只有几个方向上产生衍射。
3、非晶体的衍射花样是一个慢散的中心斑点。
远程有序，远程无序的原子排列，在几个原子范围内有一定的序性，主要是指最近角各原子散射相对量。
萃取复型可用来分析哪些组织结构？得到什么信息？第二相粒子的形状、大小、分布、物相及晶体结构。
萃取复型可用来观察基体组织形态的同时可用来分析第二相粒子的形状、大小、分布，用电子衍射法分析它们的物相及晶体结构。
复型样品在透射电镜下的衬度是如何形成的？1．所谓小孔径角成像是指在物镜背焦平面上沿径向插入一个小孔径的物镜光阑，挡住散射角大于a的电子，只允许散射角小于a的电子通过物镜光阑参与成像，而图像的衬度就取决于透过物镜光阑投影到荧光屏或照相底片上不同区域的电子强度差别。
2.质厚衬度原理是建立在非晶体样品中原子对入射电子的散射和衍射电子显微镜小孔径角成像基础上的成像原理，是是解释非晶态样品电子显微图像衬度的理论依据。
何谓二次复型？制备方法如何？有何优缺点？在塑料一级复型上再制作碳复型；首先在样品上制作一级塑料复型，然后再一级复型的基础上，垂直镀上一层碳膜，然后用重金属沿一定角度镀到碳膜上，以增加复兴的衬度，最后用丙酮将塑料溶解掉即可得到二级复兴样品。
优点：不破坏金相试样的原始表面，必要时可重复制备；碳膜，导电导热性好，在电子束照射下较稳定；经重金属“投影”处理，即增加了衬度，又能增加图像的层次感和立体感。
何为零层倒易截面和晶带定理，说明同一晶带中各晶面及其倒易矢量与晶带轴之间的关系？电子束沿晶带轴的反向入射时，通过原点的倒易平面只有一个，我们把这个二维平面叫做零层倒易截面，零层倒易面上的各倒易矢量都和晶带轴垂直，有hu+kv+lw=0为晶带定理。