倒易点阵
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§1.5 倒易点阵
′ ′ ′ ′ ′ ′ = 2 π( l1h1 + l 2 h2 + l 3 h3 )
= 2 πµ
3.
(2π)3 Ω* =
Ω* = b 1 ⋅ b 2 × b 3
3
(
Ω
分别为正、倒格原胞体积) (其中Ω和Ω*分别为正、倒格原胞体积 其中
)
) [( ) ( )]
2π = a2 × a3 ⋅ a3 × a1 × a1 × a2 Ω
′ ′ ′ Rl′ = l1 a1 + l2 a 2 + l3 a 3
′ ′ ′ K h′ = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3
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第一章 晶体结构
′ ′ ′ ′ ′ ′ Rl′ ⋅ K h′ = (l1 a1 + l2 a 2 + l3 a 3 ) ⋅(h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 )
2π a
2π a
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第一章 晶体结构 例2：证明体心立方的倒格是面心立方。 证明体心立方的倒格是面心立方。 体心立方的原胞基矢： 解： 体心立方的原胞基矢：
a1 a a
2
3
a = − i + j + k 2 a i − j + k = 2 a i + j − k = 2
( ( (
a a 2 +k 2 a a 2 2
−
a 2 a 2
a2 a2 j+ k = 2 2
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第一章 晶体结构
a2 a2 a2 × a3 = j + k 2 2
2π b1 = a2 × a3 = Ω
倒易点阵介绍
n O
光程差 On Am OA S OA S0 OA ( S S0 )
相应的位向差为
2
2
( S S0 )
OA
其中p、q、r是整数 因为S0是入射线方向单位矢量, S是衍射线方向为单 位矢量，因此S- S0是矢量，则：(S S0 ) * *
2
1/
A
O
S0 /
5 、以S0端点O点为原点，作
倒易空间，某倒易点（代表
某倒易矢量与hkl面网）的 端点如果在反射球面上， 说明该g*=S, 满足Bragg’s Law。某倒易点的端点如果
P
S/
S S0 g
2
不在反射球面上， 说明不
满足Bragg’s Law，可以直
1/
A
O
S0 /
25
概念回顾
以A为圆心，1/λ 为半径所做的球称为反 射球，这是因为只有在这个球面上的倒 易点所对应的晶面才能产生衍射。有时 也称此球为干涉球， Ewald球。 围绕O点转动倒易晶格，使每个倒易点 形成的球称为倒易球 以O为圆心，2/λ 为半径的球称为极限球。
26
大倒易球半径为
g=1/d≤ 2/:
hkl
即 d hkl
2
S/的晶面不Fra bibliotek1/
2 C S0/
g
O
Direction of direct beam
可能发生衍射
Sphere of reflection
极限球
Limiting sphere
关于点阵、倒易点阵及Ewald球的思考
(1) 晶体结构是客观存在，点阵是一个数学抽象。 晶体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这 一客观事实的抽象，有严格的物理意义。 (2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在， 没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。 (3) Ewald球本身无实在物理意义，仅为数学工具。 但由于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描 述了X射线和电子在晶体中的衍射，故成为研究晶 体衍射有力手段。
晶体学基础-倒易点阵
倒易点阵晶体学中最关心通常是晶体取向，即晶面的法线方向。
倒易点阵是在晶体点阵的基础上按一定对应关系建立起来的空间几何图形（倒易空间），是晶体点阵的另一种表达形式。
将晶体点阵空间称为正空间。
倒易空间中的结点称为倒易点。
部分。
a a * = b把正点阵基矢与倒易点阵基矢的关系代入，得正点阵与倒易点阵的关系•O 点到(hkl)晶面的垂直距离就是晶面间距d hkl 。
倒数关系（大小）●d hkl =h a H H H1=•确定倒易矢量H ，就确定了正点阵晶面。
S hkl P 及Q ⊥•倒易矢量[hkl]的大小（模）就是其正点阵中相邻平行(hkl)晶面间距的倒数。
(倒—Reciprocal)进行矢量相乘并且展开。
a H hkl •在倒易点阵中，从原点指向阵点[坐标hkl ]的倒易矢量H hkl = ha* +kb* +lc*•H hkl 必和正点阵的(hkl )面垂直，•即倒易点阵的阵点方向[hkl ]*和正点阵的(hkl )面垂直：[hkl ]*⊥(hkl )。
CBAx y z(010)(100)(001)a例：由单斜点阵导出其倒易点阵•单斜点阵：b轴垂直于a和c轴。
左图图面为（010）面。
•从作图可以看出，正点阵和其对应的倒易点阵同属一种晶系。
把上面三个式子写成矩阵形式：•同理，可按下式求出与方向指数为[uvw]的方向相垂直的面的面指数(hkl):•例如，对立方系而言，a*●a* = b* ●b* = c*●c *=1/a2;a*●b* = b* ●c* = c*●a *=0;•u:v:w=h:k:l。
所以(hkl)面的法线指数和面指数同名，即为[hkl]。
倒易点阵名词解释
倒易点阵名
倒易点阵是由被称为倒易点的点所构成的一种点阵，它也是描述晶体结构的一种几何方法，它和空间点阵具有倒易关系。
倒易点阵中的一倒易点对应着空间点阵中一组晶面间距相等的点格平面。
倒易点阵的概念在晶体结构和固体物理学中都有十分重要的作用。
到目前为止，大多数教程都是在密勒指数或晶面指数无关的情况下来定义倒易点阵概念的。
由于晶面指数的概念出现得很早，有一些老的晶体学和固体物理学教程中甚至没有提到倒易点阵这个概念。
在目前流行的固体物理学教科书中，对倒易点阵均有叙述，而且处处应用。
但是，倒易点阵概念的引入比较生硬，对倒易点阵与晶面指数的关系交待得不够清楚。
第1章倒易点阵及电子衍射基础
第1章 倒易点阵及电子衍射基础
1.1 晶体结构知识的简单回顾 1.1.1 点 阵 1.1.2 晶体学点群 1.2 倒易点阵 1.3. 正点阵与倒易点阵的指数互换 1.4. 晶面间距与晶面夹角公式 1.5 Bragg定理及其几何图解 1.6 晶带定律与零层倒易截面 1.7 结构因子与倒易点阵的结构消光及倒易点阵类型 1.8 倒易点阵与电子衍射图的关系
As interference effects occur in wave motions of all sorts, interference or diffraction patterns can also be formed with light.
X光对晶体的衍射花样
电子衍射：
电子衍射是晶体物质对单色电子波产生的衍射现象。 下图 分别是单晶体、多晶体和非晶体的电子衍射花样。
组合。每种组合对应一种对称类型，即一个点群。
点群的表示符号有2种 1) Schonflies符号 2) 国际符号（或H-M符号）
Schonflies符号：
• Cn 表示n次旋转对称，取自循环群（Cyclic group）第1
字母
• D 表示二面体群（dihedral group），即n次旋转对称
轴，+ 与n次轴垂直的二次旋转对称
单晶C-ZrO2
多晶Au
非晶
准晶（quasicrystals）
FIGURE 2.13. Several kinds of DPs obtained from a range of materials in a conventional 100-kV TEM: (A) amorphous carbon, (B) an Al single crystal, (C) polycrystalline Au, (D) Si illuminated with a convergent beam of electrons. In all cases the direct beam of electrons is responsible for the bright intensity at the center of the pattern and the scattered beams account for the spots or rings that appear around the direct beam.
1.1 晶体结构知识的简单回顾 1.1.1 点 阵 1.1.2 晶体学点群 1.2 倒易点阵 1.3. 正点阵与倒易点阵的指数互换 1.4. 晶面间距与晶面夹角公式 1.5 Bragg定理及其几何图解 1.6 晶带定律与零层倒易截面 1.7 结构因子与倒易点阵的结构消光及倒易点阵类型 1.8 倒易点阵与电子衍射图的关系
As interference effects occur in wave motions of all sorts, interference or diffraction patterns can also be formed with light.
X光对晶体的衍射花样
电子衍射：
电子衍射是晶体物质对单色电子波产生的衍射现象。 下图 分别是单晶体、多晶体和非晶体的电子衍射花样。
组合。每种组合对应一种对称类型，即一个点群。
点群的表示符号有2种 1) Schonflies符号 2) 国际符号（或H-M符号）
Schonflies符号：
• Cn 表示n次旋转对称，取自循环群（Cyclic group）第1
字母
• D 表示二面体群（dihedral group），即n次旋转对称
轴，+ 与n次轴垂直的二次旋转对称
单晶C-ZrO2
多晶Au
非晶
准晶（quasicrystals）
FIGURE 2.13. Several kinds of DPs obtained from a range of materials in a conventional 100-kV TEM: (A) amorphous carbon, (B) an Al single crystal, (C) polycrystalline Au, (D) Si illuminated with a convergent beam of electrons. In all cases the direct beam of electrons is responsible for the bright intensity at the center of the pattern and the scattered beams account for the spots or rings that appear around the direct beam.
倒易点阵介绍
倒易点阵
1
倒易点阵
❖ 倒易点阵概念及定义 ❖ 倒易点阵的物理意义 ❖ 倒易点阵的应用是一个假想的点阵.
❖ 将空间点阵(真点阵或实点阵)经过倒易变换,就 得到倒易点阵,倒易点阵的外形也是点阵,但其 结点对应真点阵的晶面,倒易点阵的空间称为倒 易空间。
❖ 1860年法国结晶学家布拉菲提出并作为空间点 阵理论的一部分，但缺乏实际应用。
24
25
点阵中单胞的体积：V=a·(b×c)=b·(a×c) =c·(a×b)
5
倒易点阵基矢与正点阵基矢的关系
（仅当正交晶系）
6
倒易点阵的性质
1. 正倒点阵异名基矢点乘为0;
a*·b= a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0
同名基矢点乘为1。
a*·a=b*·b=c*·c=1.
2. 在倒易点阵中，由原点O*指向任意坐标为hkl的阵点
的。即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl] 平行的。
7
ghkl=h a*+k b*+lc* 表明：
❖ 1平.倒行易于矢它量的法gh向kl垂N直hkl于正点阵中相应的 [hkl]晶面，或 ❖ 2.倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面
8
晶带定理
❖ 在正点阵中，同时平行于某一晶 向[uvw]的一组晶面构成一个晶带， 而这一晶向称为这一晶带的晶带 轴。
向平行于（hkl）晶面的法线，则有K‘ –K= G，即为布拉格方程 14
的矢量形式。
倒易点阵的应用
倒易点阵使许多晶体几何学问题的解决变得简易。例如单胞体 积，晶面间距、晶面夹角的计算以及晶带定理的推导等等。以 下是倒易点阵的应用。 1°由倒易点阵的基本性质可得： a*=1/d100，b*=1/d010，c*=1/d100 （a*=G100=1/d100） 在晶体点阵S 中，点之间或点阵平面之间的距离用Å 作单位， 因此，a*、b*、c*的单位为Å－1。在用图解法解决实际问题时， 用相对标度值表示相对大小即可。
1
倒易点阵
❖ 倒易点阵概念及定义 ❖ 倒易点阵的物理意义 ❖ 倒易点阵的应用是一个假想的点阵.
❖ 将空间点阵(真点阵或实点阵)经过倒易变换,就 得到倒易点阵,倒易点阵的外形也是点阵,但其 结点对应真点阵的晶面,倒易点阵的空间称为倒 易空间。
❖ 1860年法国结晶学家布拉菲提出并作为空间点 阵理论的一部分，但缺乏实际应用。
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点阵中单胞的体积：V=a·(b×c)=b·(a×c) =c·(a×b)
5
倒易点阵基矢与正点阵基矢的关系
（仅当正交晶系）
6
倒易点阵的性质
1. 正倒点阵异名基矢点乘为0;
a*·b= a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0
同名基矢点乘为1。
a*·a=b*·b=c*·c=1.
2. 在倒易点阵中，由原点O*指向任意坐标为hkl的阵点
的。即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl] 平行的。
7
ghkl=h a*+k b*+lc* 表明：
❖ 1平.倒行易于矢它量的法gh向kl垂N直hkl于正点阵中相应的 [hkl]晶面，或 ❖ 2.倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面
8
晶带定理
❖ 在正点阵中，同时平行于某一晶 向[uvw]的一组晶面构成一个晶带， 而这一晶向称为这一晶带的晶带 轴。
向平行于（hkl）晶面的法线，则有K‘ –K= G，即为布拉格方程 14
的矢量形式。
倒易点阵的应用
倒易点阵使许多晶体几何学问题的解决变得简易。例如单胞体 积，晶面间距、晶面夹角的计算以及晶带定理的推导等等。以 下是倒易点阵的应用。 1°由倒易点阵的基本性质可得： a*=1/d100，b*=1/d010，c*=1/d100 （a*=G100=1/d100） 在晶体点阵S 中，点之间或点阵平面之间的距离用Å 作单位， 因此，a*、b*、c*的单位为Å－1。在用图解法解决实际问题时， 用相对标度值表示相对大小即可。
倒易点阵
由满足这些条件的初基矢量a*, b*, c*决 定的点阵----倒易点阵
倒易点阵与正点阵的基本对应关系为
a * b a * c b * a b * c c * a c * b 0 a * a b * b c * c 1
*
： a 与a的夹角
*
： b*与b 的夹角 ： c 与c 的夹角
*
根据定义， a 与(b c )同方向 * 即： a 1 (b c )
*
倒易点阵的另一种表达方式
a a 1
*
* a a 1 (b c ) a 1 正点阵体积 V (b c ) a
bc a V
*
1 V 1
1 1 / V
a 1 (b c )
*
V a bc bc a c ab
bc bc a V a b c
*
ca ca b V bca
*
ab ab c V cab
*
给出了倒易点阵与正点阵之间的方向 关系和数值关系。
a ,b ,c
* * *
2.3.1 倒易点阵的定义及倒易点阵参数 定义
c* b* 引入倒易点阵初基矢量 c b
令a * a 1, b * b 1; c * c 1
* 令a b , c * b a, c * c b, a
a
a*
*
V abc
bc sin sin a abc a sin 90 1 a a
*
1 b b
*
1 c c
*
1 a b c a
倒易点阵
§2.3倒易点阵与爱瓦尔德球图解法一、倒易点阵的概念X 射线衍射晶体结构分析工作是通过衍射花样（包含衍射方向和强度信息）反推出衍射晶体的结构特征。
通过衍射花样反推晶体结构是复杂而困难的工作。
1921年爱瓦尔德（P.P. Ewald ）通过倒易点阵可以把晶体的衍射斑点直接解释成晶体相应晶面的衍射结果。
也可以说，电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵中某一截面上阵点排列的像。
倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的三维空间（倒易空间）点阵，它是一个虚拟点阵（通常将晶体点阵称为正点阵）。
它的真面目只有从它的性质及其与正点阵的关系中才能真正了解。
一、 倒易点阵中基本矢量的定义设正点阵的原点为O ，基矢为a 、b 、c ，倒易点阵的原点为O *，基矢为a *、b *、c *（图2-9），则有V b a c V a c b V c b a ⨯=⨯=⨯=***,, （2-11） 式中，V 为正点阵中单胞的体积：)()()(b a c a c b c b a V ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅= 图2－9 倒易基矢和正空间基矢的关系二、 倒易点阵的性质a ） 根据式（2-11）有（因为00cos *=⋅⋅=⋅=⋅b a b a b a θ）0******=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅b c a c c b a b c a b a （2-12）1***=⋅=⋅=⋅c c b b a a （2-13）b ） 在倒易点阵中，由原点O *指向任意坐标为hkl 的阵点的倒易矢量g hkl 为***lc kb ha g hkl ++= （2-14）Φ3在倒易空间中，画出衍射晶体的倒易点阵，以倒易原点O*为端点作入射波的波矢量k ，该矢量平行于入射束方向，长度等于波长的倒数，即λ1=k ，以O 为中心，1/λ为半径作一个球，这就是爱瓦尔德球。
若有倒易阵点G （指数为hkl ）正好落在爱瓦尔德球的球面上，则相应的晶面组（hkl ）与入射束的方向必满足布拉格条件，而衍射束的方向就是，或者写成衍射波的波矢量k ´，其长度也等于反射球的半径1/λ。
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倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 劳厄方程
当相邻原子的散射X射线光程差等于 入射X射线波长整数倍时发生衍射。
a(cosα-cosα0) = Hλ
一维原子列的衍射示意图
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 劳厄方程
设空间点阵的三个平移向量为a ,b和c,入射的X射线与它们的交角分别为α0，β0和γ0。 衍射方向与它们的交角分别为α，β和γ 。根据上述讨论可知，衍射角α，β和γ在x, y, z三个轴上应满足以下条件：
单晶体电子衍射花样标定
• 确定零层倒易截面上各ghkl矢量端点(倒易阵点)的指数，定出零层倒易截面的 法向(即晶带轴[uvw])，并确定样品的点阵类型、物相及位向。 (1)测量靠近中心斑点的几个衍射斑点至中心斑点距离R1、R2、R3、R4…及 R1与R2、R1与R3等衍射斑点之间的夹角。 (2) 计算R12∶R22∶R32∶…=N1∶N2∶N3∶… 其中N = h2 + k2 + l2
故
于是，它们的点乘 根据倒易基矢定义式，显然有
和
都为0。
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• „ 劳厄的一个科学假设
1911年埃瓦尔德在索末菲的指导下在慕尼黑大学从事博士论文研究，劳厄在 与他的讨论中了解到晶格的平移周期与X射线的波长属于同一量级，因此想到 在二维光栅的两个衍射方程组中再加一个类似的方程，就可以描述X射线在三 维晶体中的衍射。 在此假设的指导下，Knipping和Friedrich在1912年4月开始用CuSO4 后来 用闪锌矿（立方ZnS）进行实验，很快就得到X射线衍射的证据。这不但证明 了X射线的波动性，还确定了晶体的三维周期性。
a*、b*、c*
即倒易基矢
倒易点阵的确定方法
a、根据正点阵的基矢 易点阵的基矢 a*、b*、c*
a、b、c
确定倒
b、对于一切允许的整数h、k、l作向量( )，这些向量的终点就是倒易点阵的结点 ha* kb* lc*
c、结点的集合就构成倒易点阵
倒易点阵的确定方法
• 如何确定倒易基矢？
假定正点阵中晶胞（原胞）的基为 a、b、c 根据倒易点阵与正点阵的对应条件： 。
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 电子衍射基本公式
因θ角非常小，ghkl矢量接近和入射电子束垂直； △OO*G∽△OO’G’，已知样品到底片的距离L
因为
g hkl
1 1 ,k d hkl
1 R L Lg d
所以： R∥ghkl
R g hkl L k
式中K=λL称为电子衍射的相机常数，而L称为相机长度。
第一种方法：正点阵基矢仍取立方晶胞的三条正交棱 a、b、c ；但由于 体心原子的(1/2,1/2,1/2)的存在，只有满足下述条件的(h,k,l)倒易结点才能出 现： (h+k+l)/2=n。 这表明，(h+k+l)必须为偶数的倒易结 点才能在BCC的倒易点阵中存在。
从图看出，BCC的倒易点阵就是 一个FCC点阵，晶胞的边长为2/a。
• 布拉格方程
当一波长为λ的单色平面电子波 以入射角 θ照射到晶面间距为 d 的平行晶面组时（如图）， 相 邻晶面的散射电子束的波程差 为： δ＝SR＋RT＝2dsinθ 各晶面的散射波干涉加强的条件是， 波程差为波长的整数倍，即：2d sinθ＝nλ 这就是布拉格方程，式中 n＝0，1， 2，3……,称为衍射级数，考虑到 dhkl /n = dnhnknl ,则可以把任意(h k l)晶面组的 n 级衍射都看成是与之平行，但晶面 间距小于 n 倍的(nh nk nl)晶面组的一级衍射，这样便使布拉格方程成为更一般的 表达式： 2dhkl sinθhkl = λ 或直接写为 2d sinθ = λ
• 面心立方点阵
仿照上述体心立方点阵不难证明，FCC的倒易点阵就是一个体心立方 点阵，晶胞的边长为2/a。
实际晶体的倒易点阵
• 简单六方点阵
对简单六方点阵来说，由于原胞中只有一个原子(0,0,0)， 故对任何一组h，k，l值，均可作出相应的倒易结点。 由投影图可以看出，简单六方点阵的倒易点阵仍然是简 单六方点阵。
• „ 布拉格父子
老布拉格在1912年夏得知这个消息，与他儿子小布拉格一道尝试用X射线 的粒子性解释它，并由小布拉格在剑桥大学重复这个实验。根据衍射斑点 的椭圆形状和从Pope那里学到的晶格理论（由此得知ZnS具有面心立方晶 格），小布拉格将X射线在晶体中的衍射看作是X射线从一些晶格平面的反 射，从而推导出著名的布拉格方程。
倒易点阵
• 人们在研究晶体对X射线或对电子束的衍射 效应时，某晶面{hkl}能否产生衍射的重要条 件就是该晶面相对于入射束的取向以及晶 面间距d(hkl)。 • 为了研究衍射波的特性，1921年德国物理 学家厄瓦尔德(P．P．Ewald)引入了倒易点 阵的概念。
倒易点阵的定义
• 新点阵中的每一个结点都对应着正点阵的一定晶面，该结 点既反映该晶面的取向也反映该晶面的面间距。 • 具体条件： a. 新点阵中原点O到任意结点P(hkl) （倒易点）的矢量OP 正好沿正点阵中{hkl}面的法线方向。 b. 新点阵中原点O到任意结点P(hkl)的距离等于正点阵中 {hkl}面的面间距的倒数，
由此得到： hx+ky+lz=n（n=0, 1, 2, 3,……………..）
这就是(x,y,z)原子位于第n层(h k l)面上的条件
实际晶体的倒易点阵
• 简单立方点阵
倒易基矢为：
由此可见，
；长度恰为倒数。
简单立方晶体的倒易点阵仍为简单立方，晶胞边长为1/a。
实际晶体的倒易点阵
• 体心立方点阵
OP 1/d (hkl)
• 我们将实际晶体中一切可能的的{hkl}面所对应的倒易点都 画出来，由这些倒易点组成的点阵称为倒易点阵。
倒易点阵的确定方法
倒易基矢 我们将正点阵中晶胞中的a、b、c、、、 六个点阵常数用三个基矢 a、b、c 来代替， 那么 a、b、c 就可以确定一个正点阵。 同样倒易点阵也可以用三个矢量来确定， * * * a 、 b 、 c 即由 三个矢量确定倒易点阵。
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 零层倒易面
零层倒易面：属于［uvw］
晶面的倒易点均在同一 平面上，用(uvw)*0 表 示。 (uvw)*0的法线正好和正 空间中的晶带轴[uvw]重 合。
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 结构因子（消光条件）
2 I | F | hkl hkl 衍射束的强度: 其中 Fhkl叫做(hkL)晶面组的结构因子或结构
a
*
应平行于（100）面的法线方向
a //(b c)
*
（100）
即： 长度：
a*
1 d(100)
a
*
b c
b c d (100)
1
（1）
倒易点阵的确定方法
• 如何确定倒易基矢？
b c d =a 通过正点阵，可以得到： (100) b c
（2）
将（2）式代入（1）式得到：
振幅，表示晶体的正点阵晶胞内所有原子的散射波在衍射方向上的合成振幅， 即： n Fhkl f j exp 2i hx j ky j lz j
j 1
式中 fj——晶胞中位于（xj，yj，zj）的第j个原子的原子散射因数（或原子散射 振幅） n——晶胞内原子个数。 结构消光：当Fhkl=0时，即使满足布拉格定律，也没有衍射束产生，因为每个晶 胞内原子散射波的合振幅为零。 消光条件： 简单立方：Fhkl 恒不等于零，无消光现象。 面心立方：h、k、l为异性数时，Fhkl=0 体心立方：h+k+l=奇数时，Fhkl=0 密排六方：h+2k=3n，l=奇数时，Fhkl=0
a(cosα-cosα0) = Hλ
b(cosβ-cosβ0) = Kλ c(cosγ-cosγ0) = Lλ
劳厄（Laue）方程
式中λ为波长，H, K, L 均为 整数，称为衍射指标，H，K， L，＝ 0 ，±1，±2，……
H,K,L衍射指标和h,k,l晶面指标不同。
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
沿 AO*方向入射的电子束照射在 O 点处的晶体，一部份电子束透射过去，一部份 使晶面间距为 dhkl 的(h k l)晶面发生衍射，在 OG 方向产生衍射束。若入射波矢量 用 （矢量OO*）表示，衍射波矢量用 表示，令矢量 O*G＝ ，其方向平行 于（hkl）晶面的法线，则有 这即为布拉格方程的矢量形式。
实际晶体的倒易点阵
• 体心立方点阵
第二种方法：正点阵的基矢取成原胞的三条棱
a、b、c ，如图。
故倒易基矢为： 由于原胞内只有一个原子(0,0,0)，故在原胞基矢坐标系下的任何晶面都有相应的倒易结点 FCC原胞的基矢应为： 比较两式得，BCC的倒易点阵就是一个FCC点阵，晶胞的边长为2/a。
实际晶体的倒易点阵
实际晶体的倒易点阵
• 如何判断某原子(x,y,z)是否在(h k l)面上？
假定坐标为(x,y,z)的A原子位于第n层 (h k l)面上。若倒易矢量 g=OH=ha*+kb*+lc*，与第n层(h k l) 面交于B点，那么有OB=nd(h k l)，根 据图的几何关系有： OB=nd(h k l)=OA· g/|g| =(xa+yb+zc)· (ha*+kb*+lc*)/(1/d(h k l)) =(hx+ky+lz) d(h k l)
倒易点阵 2dsinθ＝λ改写 为：
并用作图的方法表达了这个方程 和赋予其中一些项以新的含义。 以一晶体为中心（O 点），以1/为半 径，在空间画一个球，这个球即为爱瓦 尔德球。