高考数学课堂训练：综合训练(9)

综合训练(9)
一、 填空题
1. 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ∈Z |－x 2＋5x ≤0}，B ＝{x|x －4＜0}则(∁U A)∩B 中最大的元素是________．
2. 定义在R 上的可导函数f(x)，已知y ＝e f ′(x)的图象如图所示，则y ＝f(x)的增区间是________．
3. 已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的体积为________．
4. 已知圆O ：x 2＋y 2＝10，过点P(－3，－4)的直线l 与圆O 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为5，则直线l 的斜率为________．
5. 设不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y ≤4，
y －x ≥0，x －1≥0
表示的平面区域为D.若圆C ：(x ＋1)2
＋(y ＋1)2＝r 2(r ＞0)不经过区域D 上的点，则r 的取值范围是________．
数列{a n }的各项都是整数，满足a 3＝－1，a 7＝4，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列，则数列{a n }前10项的和是________．
7. 在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，
N 为AC 边上的两个动点，且满足MN ＝2，则BM
→·BN →
的取值范围
是________．
已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，前n 项和为S n ，记数
列{log 2a n }的前n 项和为T n .若a 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 016，11 949，且S 6
S 3
＝9，则当n ＝________时，T n 有最小值．
二、 解答题
9. 在△ABC 中，三个内角分别为A ，B ，C ，已知sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
A ＋π6＝
2cos A.
(1) 求角A 的值；
(2) 若B ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π3，且cos (A －B)＝4
5，求sin B.
在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的离心率是
e ，定义直线y ＝±b
e 为椭圆的“类准线”．已知椭圆C 的“类准线”方程为y ＝±23，长轴长为4.
(1) 求椭圆C 的方程．
(2) 点P 在椭圆C 的“类准线”上(但不在y 轴上)，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝3的切线l ，过点O 且垂直于OP 的直线与l 交于点A ，问点A 是否在椭圆C 上？证明你的结论．
69. 综合训练(9)
1. 3 解析：∵ 全集U ＝R ，集合A ＝{x ∈Z |－x 2＋5x ≤0}＝{x ∈Z |x ≥5或x ≤0}，B ＝{x|x －4＜0}＝{x|x ＜4}，∴ (∁U A)∩B ＝{1，2，3，4}∩{x|x ＜4}＝{1，2，3}．∴ (∁U A)∩B 中最大的元素是3.
2. (－∞，2) 解析：由x<2时e f ′(x)>1⇒f ′(x)>0，x ＞2时e f ′(x)
＜1⇒f ′(x)＜0，所以y ＝f(x)的增区间是(－∞，2)．
3. 2π 解析：根据题意，圆柱的底面半径r ＝1，母线长l ＝2r ＝2，∴ 圆柱的体积为V ＝Sl ＝πr 2l ＝π×12×2＝2π.
4. 12或11
2 解析：圆O ：x 2＋y 2＝10的圆心坐标为O(0，0)，半
径为10，∵ △AOB 的面积为5，∴ 1
2×10×10×sin ∠AOB ＝5，∴ sin ∠AOB ＝1，∴ ∠AOB ＝90°，∴ OA ⊥OB.设过点P(－3，－4)的直线l 的方程为y ＋4＝k(x ＋3)，即kx －y ＋3k －4＝0，圆心到直
线的距离d ＝|3k －4|k 2＋1
＝22·10，∴ k ＝12或11
2.
5. (0，22)∪(25，＋∞) 解析：作出不等式组错误!表示的平面区域，得到△MNP 及其内部(图略)，其中M(1，1)，N(2，2)，P(1，3)．∵ 圆C ：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝r 2(r ＞0)表示以C(－1，－1)为圆心，半径为r 的圆，∴ 当半径满足r ＜CM 或r ＞CP 时，圆C 不经过区域D 上的点．∵ CM ＝（1＋1）2＋（1＋1）2＝22，CP ＝（1＋1）2＋（3＋1）2＝25，∴ 当0＜r ＜22或r ＞25时，圆C 不经过区域D 上的点．
6. 57 解析：设数列前6项的公差为d ，d 为整数，由a 3＝－1，得a 5＝a 3＋2d ＝－1＋2d ，a 6＝a 3＋3d ＝－1＋3d.又a 5，a 6，a 7成等比
数列，且a 7＝4，所以(3d －1)2
＝4(2d －1)，解得d ＝59或d ＝1.
因为d 为整数，所以d ＝1.所以当n ≤6时，a n ＝a 3＋(n －3)×1＝－1＋(n －3)＝n －4，由此a 5＝1，a 6＝2.
又数列从第5项起依次成等比数列，则当n ≥5时，a n ＝2n －5，所以数列{a n }前10项的和是S 10＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＋(a 6＋a 7＋a 8＋a 9
＋a 10)＝（－3＋1）×52＋2×（1－25）
1－2
＝57.
7. ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
32，2 解析：建立如图所示平面直角坐标系xOy ，设B(0，0)，A(0，2)，C(2，0)，则利用MN ＝2，可设M(x 0，2－x 0)，N(x 0
－1，3－x 0)，其中x 0∈[1，2]，
那么BM →·BN →＝2(x 20－3x 0＋3)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2，则BM →·BN →∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32，2. 8. 11 解析：q ＝1不满足条件，舍去．∵ S 6
S 3
＝9，∴
a 1（1－q 6）
1－q a 1（1－q 3）1－q
＝1＋q 3＝9，解得q ＝2.∴ a n ＝a 1×2n －1，log 2a n ＝log 2a 1＋(n －1)．
∴ T n ＝nlog 2a 1＋n （n －1）2＝12n 2＋n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
log 2a 1－12. ∵ a 1∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1
2 016，11 949，∴ log 2a 1∈[－log 22 016，－log 21 949]， ∵ 1 024＝210＜1 949＜2 016＜2 048＝211， ∴ －11＜log 2a 1＜－10.
∵ 使T n 取得最小值，则错误!即错误! ∴ n ＝11.
9. 解：(1) 由sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A ，得32sin A ＋12cos A ＝2cos A ，
即sin A ＝3cos A.
因为A ∈(0，π)，且cos A ≠0，所以tan A ＝3，所以A ＝π
3.
(2) 因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以A －B ＝π3－B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3.
因为cos(A －B)＝45，所以sin(A －B)＝3
5，
所以sin B ＝sin[A －(A －B)]＝sin Acos(A －B)－cos Asin(A －B)＝43－310.
10. 解：(1) 由题意得错误!又a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝错误!，c ＝1.
所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3＝1. (2) 点A 在椭圆C 上．证明如下：
设切点为Q(x 0，y 0)，x 0≠0，则x 20＋y 2
0＝3，切线l 的方程为x 0x ＋y 0y －3＝0.
当y P ＝23时，x P ＝3－23y 0
x 0，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－23y 0x 0
，23， 则k OP ＝233－23y 0x 0
＝2x 0
3－2y 0，所以k OA ＝2y 0－32x 0
，
直线OA 的方程为y ＝2y 0－3
2x 0
x.
由错误!解得错误!
即A ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫6x 06－3y 0，3（2y 0－3）6－3y 0， 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 06－3y 024＋⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤3（2y 0－3）6－3y 023
＝9（3－y 20）＋3（4y 2
0－43y 0＋3）
3y 2
0－123y 0＋36 ＝3y 20－123y 0＋363y 20－123y 0＋36
＝1， 所以点A 的坐标满足椭圆C 的方程．
当y P ＝－23时，同理可得点A 的坐标满足椭圆C 的方程，所以点A 在椭圆C 上．。