2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学综合训练试卷(三) (含答案解析)
黑龙江省大庆市2020届高三第三次高考模拟考试数学(理)试卷答案
数学理科参考答案一、选择题 ABACC BDDCA CD13.2 14.1 15. 16,1103217.解（Ⅰ）因为12n n S a +=-，①当2n ≥时，12n n S a -=-，② ...............................2分由①-②得1n n na a a +=-，即12n na a +=， ............................................4分当1n =时，2124a a =+=，21422a a ==，所以数列{}n a 为等比数列，其首项为12a =，公比为，所以112n n n a a q -==； ..................................................................6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，22log 121n n b a n =+=+，所以()2n T n n =+， ........................................................8分所以()11111222k T k k k k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 11111111111...2324112nk k T n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑........10分31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭因为02111>+++n n 所以4311<∑=nk kT ............................12分 18.解（1）证明：连接AC,BD 交点为O ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AC BD ⊥ ∵PB PD =，OB OD =,∴BD OP ⊥,...........................................................2分又∵OP AC O ⋂=,∴BD PAC ⊥面 又BD PAC ⊂面,∴PAC ABCD ⊥面面 (4)分（2）方法1：∵PAC ABCD ⊥面面，过点P 做PE AC ⊥,垂足为E ∴ABCD PE ⊥面∵PA 与底面ABCD 所成的角为030，∴030PAC ∠=, (6)分又PA PC ⊥，设2PC =,则3,3,3,4,2AP PE AE AC AD =====过F 做FE 垂直于AB,垂足为F,则AF=223 如图所示，以A 为坐标原点，,AB AD u u u v u u u v为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -()()()()32320,0,0,22,0,0,22,22,0,0,22,0,322A B C D P ⎛ ⎝..........8分设面PBC 法向量为()1,,n x y z =u v ，()220,22,0,322BC CP ⎛==-- ⎝u u u v u u u v1100n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v uuu v u v uu u v ,∴0022x y ⎧=+=⎪⎩，1,0,z y x ===令则)1n =u v......................................................................9分同理PCD 面的法向量()2n =u u v， ....................................................................10分1212121cos ,7n n n n n n ⋅==u v u u vu v u u v u v u u v ....................................................................11分 ∴二面角B PC D --的正弦值734 ....................................................................12分（2）方法2∵PAC ABCD ⊥面面，过点P 做PE AC ⊥,垂足为E ∴ABCD PE ⊥面∵PA 与底面ABCD 所成的角为030，∴030PAC ∠=,.........................9分设AB=a,则，AB=BC=CD=DA=a,AC=a 2,由PA PC ⊥，030PAC ∠=得AP=a 26， PE=a 46，AE=a 423，过E 做EF 垂直AB ，垂足为F,则AF=a 43，如图所示，以A 为坐标原点，,AB AD u u u v u u u v为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -所以可得：A(0,0,0),B(a,0,0)C(a,a,0),D(0,a.0), P(a 43,a 43,a 46)，....................................................................8分)46,4,4(aa a CP --=，=(0,a.0)，=(a,0,0)设面PBC 法向量为()1,,n x y z =u v ,1100n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v uuu v u v uu u v ,⎪⎩⎪⎨⎧=+--=046440z a y a x a ay ,令z=1.则⎪⎩⎪⎨⎧===106z y x ，即)1,0,6(1=n ，....................................................................9分设PCD 面的法向量),,(2222z y x n =，则⎩⎨⎧=•=•0022CP n DC n ,⎪⎩⎪⎨⎧=+--=0464402222z a y a x a ax ，令z=1.则⎪⎩⎪⎨⎧===160222z y x ，)1,6,0(2=n ， ....................................................................10分 (直接书写：同理可得)1,6,0(2=n ，本次考试不扣此步骤分）所以71==， ..................................................................11分 则二面角B PC D --的正弦值为734 .....................................................................12分19.解（1）设零件经，，C 三道工序加工合格的事件分别记为，，C ，则()PA p =，()23PB =，()34PC =，()1P A p =-，()13P B =，()14P C =. 设事件为“生产一个零件为二级品”，由已知，，C 是相互独立事件，则()()P D P ABC ABC ABC =++()()()P ABC P ABC P ABC=++()2313211343434p p p =-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯6111224p -==，.............................................2分 所以12p =. .............................................4分（2）X 的可能取值为200，100，50-，...........................................5分()12312002344P X ==⨯⨯=， ()1110024P X ==，()111714204542P X ===---，....................................................8分 则X 的分布列为. .........................10分 所以1117325()20010050424244E X =⨯+⨯-⨯=. .. .....................12分20.解：（1）当0m =时，()xf x xe =-，()(1)x x x f x e xe x e '=--=-+------------------------2分 所以(1)2k f e '==-，因为(1)f e =-所以切线方程为2(1)y e e x +=--， 整理得：20ex y e +-= -----------------------4分（2）()4x m x e x -<+，因为0x e >，所以4xx m x e +<+（0x >）恒成立 设4()x x h x x e+=+，则2(4)33()11x x x x x xe x e x e x h x e e e -+----'=+=+=---------6分 设()3,x s x e x =--则()1x s x e '=-0>（0x >）.所以()s x 在(0,)+∞上单调递增，又05.44817.429)23(23<-≈-=e s , 03352945.5335)35(35>--≈--=e s ,所以存在)35,23(0∈x 使得0()0s x =， 当0(0,)x x ∈时，()0s x <,即0)(<'x h ；当0(,)x x ∈+∞时，()0s x >即0)(>'x h .所以()h x 在0(0,)x 上单调递减，0(,)x +∞上单调递增.所以00min 004()()x x h x h x x e +==+. ----------8分因为0000()0,30, 3.x xs x e x e x =--=∴=+所以000min 000000441()()133x x x h x h x x x x x x e ++==+=+=++++,)35,23(0∈x ------------10分 设311)(+++=x x x g ，当)35,23(∈x 时，0)3(11)(2>+-='x x g ，所以)(x g 在)35,23(上单调递增.则)35()()23(g x g g <<，即342121)(18492<<<<x g .所以3)(20<<x h 因为m Z ∈，所以2m ≤，所以的最大值为2. ----------------------------------12分21.方法一 解（1）由题有2a =，12c e a ==. ∴1c =，.....................................................2分∴2223b a c =-=. ∴椭圆方程为22143x y +=...........................................................................4分（2）设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，得()2231412my y ++=. 即()2234690my my ++-=...........................................................................................6分 设()12,Mx y ，()22,N x y ，则122634m yy m +=-+，122934y y m =-+2212(1)34m MN m +==+............................................8分 将直线FT ：()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -∴TF =....................................9分 ∴2||11||44TF MN ⎛⎫== ⎝......................................................10分设t =.显然1t ≥. 构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭.()211304f t t ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭在[)1,t ∈+∞上恒成立,所以()y f t =在[)1,+∞上单调递增.所以||1131||4FT t MN t ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1t =，即0m =时取“=”所以||||TF MN 的取值范围是[1,)+∞............................11分当||||TF MN 取得最小值1时，0m =, 此时直线l 的方程为1x =......................................12分（注：1.如果按函数1y x x=+的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.） 21.方法二解（1）由题有2a =，12c e a ==. ∴1c =，...................................................2分∴2223b a c =-=. ∴椭圆方程为22143x y +=...........................................................................4分（2）方法1：设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，得()2231412my y ++=. 即()2234690my my ++-=...........................................................................................6分 设()12,Mx y ，()22,N x y ，则122634m yy m +=-+，122934y y m =-+2212(1)34m MN m +==+............................................8分 将直线FT ：()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -∴TF =....................................9分 ∴2||11||44TF MN ⎛⎫== ⎝......................................................10分设t =.显然1t ≥. 构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭.()211304f t t ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭在[)1,t ∈+∞上恒成立,所以()y f t =在[)1,+∞上单调递增.所以||1131||4FT t MN t ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1t =，即0m =时取“=”所以||||TF MN 的取值范围是[1,)+∞.当||||TF MN 取得最小值1时，0m =, 此时直线l 的方程为1x =......................................12分（注：1.如果按函数1y x x=+的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）（2）方法2：当l 的斜率不存在时，易得1,322=∴==MNTF a b MN .......................6分当l 斜率存在时，可设)1(:-=x k y l 设()12,Mx y ，()22,N x y由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y得01248)43(2222=-+-+k x k x k ， ...........................8分2221222143124,438kk x x k k x x +-=+=+22212212221222122143)1(12)4))((1())(1()()(k k x x x x k x x k y y x x MN ++=-++=-+=-+-= ...........................9分依题意可知0≠k ，则有直线TF ：)1(1--=x ky ，又x=4，则)3,4(k T -所以kk TF 213+=， ...........................10分 则得1)1(96411641)43(41144322422222>+++=++=++=k k k k k k k k MN TF ......................11分综上可知，||||TF MN 最小值为1，此时直线l 的方程为1x =......................................12分（2）方法3：当l 的斜率不存在时，易得1,322=∴==MNTF a b MN ...........................6分当l 斜率存在时，可设)1(:-=x k y l 设()12,M x y ，()22,N x y由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k ， (8)分2221222143124,438k k x x k k x x +-=+=+22212212221222122143)1(12)4))((1())(1()()(k k x x x x k x x k y y x x MN ++=-++=-+=-+-=...........................9分依题意可知0≠k ，则有直线TF ：)1(1--=x ky ，又x=4，则)3,4(k T -kk TF 213+=，...........................10分则得22242222211)43(41)43(411443k k k k k k k k MN TF ++=++=++= 设1,112>=+t t k ，则有61941++=t t MN TF ， 设0)(,1,19)(,619)(2>'∴>-='++=t f t tt f t t t f Θ 当t=1时，f(t)=16,则t>1时，f(t)>16,则161941>++=tt MN TF ...........................11分 综上可知，||||TF MN 最小值为1，此时直线l 的方程为 1x =......................................12分22.解（1）曲线C 的普通方程为622=+y x ...............................................2分 因为2)3cos(=+πθρ ,所以04sin 3cos =--θρθρ所以直线l 的直角坐标方程为043=--y x ...................................4分（2）点P 的坐标为（4,0）设直线m 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin cos 4t y t x （t 为参数，θ为倾斜角）..........6分 联立直线m 与曲线C 的方程得：010cos 82=++θt t设A 、B 对应的参数分别为2,1t t ，则⎪⎩⎪⎨⎧>-=∆=-=+040cos 6410cos 822121θθt t t t 所以34cos 82121==+=+=+θt t t t PB PA ...................................................8分6560,23cos ππθ或的倾斜角为故直线且满足得m >∆±=.................................................................................10分23.解：（1）当1a =-时，()2,1,112,11,2, 1.x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪≥⎩ (2)分由1)(-≥x f ，得21-≥x .故不等式1)(-≥x f 的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.......................4分 （2）因为“x R ∀∈，()21f x a <+”为假命题， 所以“x R ∃∈，12)(+≥a x f ”为真命题，..........................................................6分 因为1)()1(1)(-=+-+≤+-+=a a x x a x x x f 所以1)(max -=a x f ，..................................................................................................8分 则121+≥-a a ，所以22)12()1(+≥-a a ， 即220a a +≤，解得02≤≤-a ，即的取值范围为[]2,0-......................................10分。
2020年黑龙江省大庆一中高考数学三模试卷(理科) (解析版)
2020年黑龙江省大庆一中高考数学三模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|−1<x <2}，B ={x|x <−2或x >1}，则A ∪B =( )A. {x|x <−2或x >1}B. {x|x <−2或x >−1}C. {x|−2<x <2}D. {x|1<x <2} 2. 设a 是实数，且2a 1+i +1+i 是实数，则a =( ) A. 12 B. 1 C. 32 D. −1 3. 双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点是抛物线y 2=4x 的焦点，l 是C 的一条渐近线且与圆(x −1)2+y 2=a 2相交于A ，B 两点，若|AB|=b ，则双曲线C 的离心率是( )A. 2√55 B. 3√55 C. √2 D. 2√1054. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且在区间(−∞,0]上单调递增，若实数a 满足f(2 log 3a )>−f(−√2)，则a 的取值范围是( )A. (√3,+∞)B. (1,√3)C. (0,√3)D. (−∞,√3)5. 根据下列图案中圆圈的排列规律，第2008个图案组成的情形是：( )A. 其中包括了1004×2008个☆B. 其中包括了1003×2008+1个☆C. 其中包括了1003×2008+1个☆D. 其中包括了1003×2008个☆6. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3=6，a 1=4，则公差d 等于( )A. −2B. 1C. 53D. 37. 在△ABC 中，点P 是BC 上的点BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. λ=2，μ=1 B. λ=1，μ=2 C. λ=13,μ=23 D. λ=23,μ=138.执行如图所示的程序框图，输出S的值为()A. 45B. 55C. 66D. 789.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AB=2BC，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A. 15B. √1010C. 35D. 3√101010.将函数y=sin(3x+π6)的图象向左平移π6个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，则所得图象的函数解析式为()A. y=sin(32x+2π3) B. y=sin(6x+π3)C. y=sin6xD. y=sin(6x+2π3)11.若(1+2x)2(1−x)5=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，则a2+a4+a6=()A. 32B. 16C. 15D. 012.已知函数f(x)={1−x 2,x≤1lnx,x>1，若方程f(x)=mx−12恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A. (12,√e) B. (2,e) C. (√e,2) D. (12,√e)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x，y满足{2x−y≤3,x+6≥3y,x+2y+6≥0,则yx−4的取值范围为________．14.已知函数f(x)=sin2x+sin2x−cos2x，则f(π12)=________________．15.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n−1，则a n=___________．16.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2−2ay−2=0相交于A，B两点，若|AB|=2√3，则圆C的面积为__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=7√3，CD=14，BD=7，∠BAD=120°．(1)求AD边的长；(2)求△ABC的面积．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=120°，△PAD为等边三角形，E为棱PC的中点．(1)证明：PB⊥平面ADE；(2)若平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角A −DE −B 的余弦值．19. 已知点P(1,m)是抛物线C ：y 2=2px 上的点，F 为抛物线的焦点，且|PF|=2，直线l ：y =k(x −1)与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ．(1)求抛物线C 的方程；(2)若|AB|=8，求k 的值．20. 某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是14.若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．21.设l为函数f(x)=lnx的图象在点(1,0)处的切线．x(Ⅰ)求l的方程；(Ⅱ)证明：x>0时，x(e x−2)>lnx．22.在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为{x=√6sinα(α为参数)，以坐标原点O为极点，y=√6cosα)=2.以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π3(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程;(2)直线l与x轴的交点为P，经过点P的直线m与曲线C交于A,B两点，若|PA|+|PB|=4√3，求直线m的倾斜角．23.已知函数f(x)=|2x+1|+|x−4|．(1)解不等式f(x)≤10；(2)若关于x的不等式f(x)+|x−4|<a2−8a的解集不是空集，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合A={x|−1<x<2}，B={x|x<−2或x>1}，则A∪B={x|x<−2或x>−1}，故选：B．由集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：B解析：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．直接由复数代数形式的乘除运算化简2a1+i+1+i，再结合已知条件计算得答案．解：∵2a1+i +1+i=2a(1−i)(1+i)(1−i)+1+i=a+1+(1−a)i是实数，∴1−a=0，解得a=1．故选：B．3.答案：B解析：本题考查抛物线以及双曲线的简单性质，圆的性质的应用，属于中档题．求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线a，b的关系，求出渐近线方程，利用渐近线且与圆(x−1)2+y2= a2相交于A，B两点，|AB|=b，求解双曲线的离心率即可．解：抛物线y2=4x的焦点(1,0)，可得a2+b2=1，∵两条渐近线和圆(x−1)2+y2=a2均关于x轴对称，∴由对称性，不妨设渐近线ay+bx=0与圆(x−1)2+y2=a2相交于A，B两点，|AB|=b，∴圆心到直线的距离为d=√a2+b2=bc=b，圆的半径为a，。
2020届黑龙江省大庆市高三第三次高考模拟考试数学(理)试题参考答案
2020大庆三模数学理科参考答案一、选择题 ABACC BDDCA CD 13.2 14.115. 16,1103217.解（Ⅰ）因为12n n S a +=-，①当2n ≥时，12n n S a -=-，② ...............................2分由①-②得1n n na a a +=-，即12n na a +=， ............................................4分当1n =时，2124a a =+=，21422a a ==，所以数列{}n a 为等比数列，其首项为12a =，公比为2，所以112n nn a a q -==； ..................................................................6分（Ⅰ）由（Ⅰ）得，22log 121n n b a n =+=+，所以()2n T n n =+， ........................................................8分所以()11111222k T k k k k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 11111111111...2324112nk k T n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑........10分31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭因为02111>+++n n 所以4311<∑=nk kT ............................12分18.解（1）证明：连接AC,BD 交点为O ，Ⅰ四边形ABCD 为正方形，ⅠAC BD ⊥ ⅠPB PD =，OB OD =,ⅠBD OP ⊥,...........................................................2分 又ⅠOP AC O ⋂=,ⅠBD PAC ⊥面又BD PAC ⊂面,ⅠPAC ABCD ⊥面面...........................................................4分（2）方法1：ⅠPAC ABCD ⊥面面，过点P 做PE AC ⊥,垂足为EⅠABCD PE ⊥面ⅠPA 与底面ABCD 所成的角为030，Ⅰ030PAC ∠=,...............................................................6分又PA PC ⊥，设2PC =,则3,3,3,4,2AP PE AE AC AD =====过F 做FE 垂直于AB,垂足为F,则AF=223 如图所示，以A 为坐标原点，,AB AD u u u v u u u v为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -()()()()32320,0,0,22,0,0,22,22,0,0,22,0,322A B C D P ⎛ ⎝..........8分 设面PBC 法向量为()1,,n x y z =u v ，()220,22,0,3BC CP ⎛== ⎝u u u v u u u v1100n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ,Ⅰ220223022x y z ⎧=+=⎩， 1,0,6z y x ===令则Ⅰ)16,0,1n =u v......................................................................9分同理PCD 面的法向量()26,1n =u u v， ....................................................................10分1212121cos ,7n n n n n n ⋅==u v u u vu v u u v u v u u v ....................................................................11分Ⅰ二面角B PC D --的正弦值734 ....................................................................12分 （2）方法2ⅠPAC ABCD ⊥面面，过点P 做PE AC ⊥,垂足为EⅠABCD PE ⊥面ⅠPA 与底面ABCD 所成的角为030，Ⅰ030PAC ∠=,.........................9分设AB=a,则，AB=BC=CD=DA=a,AC=a 2,由PA PC ⊥，030PAC ∠=得AP=a 26， PE=a 46，AE=a 423，过E 做EF 垂直AB ，垂足为F,则AF=a 43，如图所示，以A 为坐标原点，,AB AD u u u v u u u v为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz - 所以可得：A(0,0,0),B(a,0,0)C(a,a,0),D(0,a.0),P(a 43,a 43,a 46)，....................................................................8分)46,4,4(a a a --=，=BC (0,a.0)，DC =(a,0,0)设面PBC 法向量为()1,,n x y z =u v ,1100n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v uv u u u v ,⎪⎩⎪⎨⎧=+--=046440z a y a x a ay , 令z=1.则⎪⎩⎪⎨⎧===106z y x ，即)1,0,6(1=n ，....................................................................9分设PCD 面的法向量),,(2222z y x n =，则⎩⎨⎧=•=•0022n DC n ,⎪⎩⎪⎨⎧=+--=0464402222z a y a x a ax ，令z=1.则⎪⎩⎪⎨⎧===160222z y x ，)1,6,0(2=n ， ....................................................................10分(直接书写：同理可得)1,6,0(2=n ，本次考试不扣此步骤分）所以71==， ..................................................................11分 则二面角B PC D --的正弦值为734 .....................................................................12分 19.解（1）设零件经A ，B ，C 三道工序加工合格的事件分别记为A ，B ，C ， 则()P A p =，()23P B =，()34P C =，()1P A p =-，()13P B =，()14P C =.设事件D 为“生产一个零件为二级品”，由已知A ，B ，C 是相互独立事件，则()()P D P ABC ABC ABC =++()()()P ABC P ABC P ABC=++()2313211343434p p p =-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯6111224p -==，.............................................2分所以12p =. .............................................4分（2）X 的可能取值为200，100，50-，...........................................5分()12312002344P X ==⨯⨯=，()1110024P X ==，()111714204542P X ===---，....................................................8分则X 的分布列为. .........................10分 所以1117325()20010050424244E X =⨯+⨯-⨯=. .. .....................12分 20.解：（1）当0m =时，()x f x xe =-，()(1)x x x f x e xe x e '=--=-+ ------------------------2分所以(1)2k f e '==-，因为(1)f e =-所以切线方程为2(1)y e e x +=--， 整理得：20ex y e +-= -----------------------4分 （2）()4x m x e x -<+，因为0x e >，所以4xx m x e +<+（0x >）恒成立 设4()x x h x x e+=+，则2(4)33()11x x x x x x e x e x e x h x e e e -+----'=+=+=---------6分 设()3,x s x e x =--则()1x s x e '=-0>（0x >）.所以()s x 在(0,)+∞上单调递增，又05.44817.429)23(23<-≈-=e s ,03352945.5335)35(35>--≈--=e s ,所以存在)35,23(0∈x 使得0()0s x =， 当0(0,)x x ∈时，()0s x <,即0)(<'x h ；当0(,)x x ∈+∞时，()0s x >即0)(>'x h .所以()h x 在0(0,)x 上单调递减，0(,)x +∞上单调递增.所以00min 004()()x x h x h x x e +==+. ----------8分 因为00000()0,30, 3.x x s x e x e x =--=∴=+所以000min 000000441()()133x x x h x h x x x x x x e ++==+=+=++++,)35,23(0∈x ------------10分 设311)(+++=x x x g ，当)35,23(∈x 时，0)3(11)(2>+-='x x g ，所以)(x g 在)35,23(上单调递增.则)35()()23(g x g g <<，即342121)(18492<<<<x g .所以3)(20<<x h 因为m Z ∈，所以2m ≤，所以m 的最大值为2. ----------------------------------12分 21.方法一 解（1）由题有2a =，12c e a ==. Ⅰ1c =，.....................................................2分 Ⅰ2223b a c =-=.Ⅰ椭圆方程为22143x y += ...........................................................................4分（2）设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，得()2231412my y ++=.即()2234690m y my ++-=...........................................................................................6分 设()12,M x y ，()22,N x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+2212(1)34m MN m +==+............................................8分 将直线FT ：()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -ⅠTF ==分Ⅰ2||11||44TFMN⎛⎫==⎝......................................................10分设t=.显然1t≥. 构造()()||1131||4TFf t t tMN t⎛⎫==+≥⎪⎝⎭.()211304f tt⎛⎫'=->⎪⎝⎭在[)1,t∈+∞上恒成立,所以()y f t=在[)1,+∞上单调递增.所以||1131||4FTtMN t⎛⎫=+≥⎪⎝⎭，当且仅当1t=，即0m=时取“=”所以||||TFMN的取值范围是[1,)+∞............................11分当||||TFMN取得最小值1时，0m=, 此时直线l的方程为1x=......................................12分（注：1.如果按函数1y xx=+的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）21.方法二解（1）由题有2a=，12cea==. Ⅰ1c=，...................................................2分Ⅰ2223b a c=-=.Ⅰ椭圆方程为22143x y+=...........................................................................4分（2）方法1：设l：1x my=+，将其与曲线C的方程联立，得()2231412my y++=.即()2234690m y my++-=...........................................................................................6分设()12,M x y，()22,N x y，则122634my ym+=-+，122934y ym=-+2222226912(1)14343434m m MN mm m m --+⎛⎫=+-⨯= ⎪+++⎝⎭............................................8分 将直线FT ：()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -Ⅰ229931TF m m =+=+分Ⅰ2222||1131||4411TF m MN m m ⎛⎫==+ ++⎝......................................................10分 设21t m =+.显然1t ≥. 构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭. ()211304f t t ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭在[)1,t ∈+∞上恒成立,所以()y f t =在[)1,+∞上单调递增.所以||1131||4FT t MN t ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1t =，即0m =时取“=”所以||||TF MN 的取值范围是[1,)+∞. 当||||TF MN 取得最小值1时，0m =, 此时直线l 的方程为 1x =......................................12分（注：1.如果按函数1y x x=+的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）（2）方法2：当l 的斜率不存在时，易得1,322=∴==MNTF a b MN .......................6分当l 斜率存在时，可设)1(:-=x k y l 设()12,M x y ，()22,N x y由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k ， ...........................8分2221222143124,438k k x x k k x x +-=+=+22212212221222122143)1(12)4))((1())(1()()(k k x x x x k x x k y y x x MN ++=-++=-+=-+-= ...........................9分依题意可知0≠k ，则有直线TF ：)1(1--=x k y ，又x=4，则)3,4(kT - 所以k k TF 213+=， ...........................10分则得1)1(96411641)43(41144322422222>+++=++=++=k k k k k k k k MN TF ......................11分 综上可知，||||TF MN 最小值为1，此时直线l 的方程为 1x = ......................................12分 （2）方法3：当l 的斜率不存在时，易得1,322=∴==MNTF a b MN ...........................6分当l 斜率存在时，可设)1(:-=x k y l 设()12,M x y ，()22,N x y由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k ，...........................8分2221222143124,438k k x x k k x x +-=+=+22212212221222122143)1(12)4))((1())(1()()(k k x x x x k x x k y y x x MN ++=-++=-+=-+-=...........................9分依题意可知0≠k ，则有直线TF ：)1(1--=x k y ，又x=4，则)3,4(kT - kk TF 213+=，...........................10分则得22242222211)43(41)43(411443k k k k k k k k MN TF ++=++=++=设1,112>=+t t k，则有61941++=t t MN TF ， 设0)(,1,19)(,619)(2>'∴>-='++=t f t tt f t t t f Θ 当t=1时，f(t)=16,则t>1时，f(t)>16,则161941>++=tt MN TF ...........................11分 综上可知，||||TF MN 最小值为1，此时直线l 的方程为 1x =......................................12分 22.解（1）曲线C 的普通方程为622=+y x ...............................................2分因为2)3cos(=+πθρ ,所以04sin 3cos =--θρθρ所以直线l 的直角坐标方程为043=--y x ...................................4分 （2）点P 的坐标为（4,0）设直线m 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin cos 4t y t x （t 为参数，θ为倾斜角）..........6分联立直线m 与曲线C 的方程得：010cos 82=++θt t设A 、B 对应的参数分别为2,1t t ，则⎪⎩⎪⎨⎧>-=∆=-=+040cos 6410cos 822121θθt t t t 所以34cos 82121==+=+=+θt t t t PB PA ...................................................8分6560,23cos ππθ或的倾斜角为故直线且满足得m >∆±=.................................................................................10分 23.解：（1）当1a =-时，()2,1,112,11,2, 1.x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪≥⎩....................2分 由1)(-≥x f ，得21-≥x .故不等式1)(-≥x f 的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.......................4分 （2）因为“x R ∀∈，()21f x a <+”为假命题，所以“x R ∃∈，12)(+≥a x f ”为真命题，..........................................................6分 因为1)()1(1)(-=+-+≤+-+=a a x x a x x x f 所以1)(max -=a x f ，..................................................................................................8分 则121+≥-a a ，所以22)12()1(+≥-a a ，即220a a +≤，解得02≤≤-a ，即a 的取值范围为[]2,0-......................................10分。
2020年黑龙江省实验中学联盟校高考数学三模试卷(文科) (解析版)
2020年黑龙江省实验中学联盟校高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{0，1}，B＝{m|m＝y﹣x，x∈A且y∈A}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{0}D．{0，1}2．已知复数z＝，则z在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量，满足，，且，则向量与的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+3y的最大值是（）A．10B．9C．8D．75．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}的前8项和为（）A．﹣48B．﹣96C．36D．726．华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（）次检测．A．3B．4C．6D．77．已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x，a＝f（20.3），b＝f（0.30.2），c＝f（log0.32），则a，b，c 的大小关系为（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b8．已知四棱锥S﹣ABCD所有的棱都相等，过BD与SC平行的平面与SA交于点E，则BE与CD所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．已知函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）关于点对称C．f（x）在上单调递减D．f（x）的图象关于直线对称10．已知A，B，C在球O的球面上，，BC＝2，∠ACB＝30°，直线OA与截面ABC所成的角为60°，则球O的表面积为（）A．4πB．16πC．D．11．已知点M（﹣3，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P作PQ⊥l，点Q为垂足，过P作FQ的垂线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A．B．C．D．12．已知函数y＝1+2lnx（x∈[，e]）的图象上存在点M，函数y＝﹣x2+a的图象上存在点N，且点M，N关于原点对称，则实数a的取值范围是（）A．[0，1+]B．[0，e2﹣3]C．[1+，e2﹣3]D．[1+，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．若曲线y＝x2﹣2lnx的一条切线的斜率是3，则切点的横坐标为．14．2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有对垃圾分类或未投放到指定垃圾桶内都会被处罚．若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投收到楼下的“可回收物”、“有害垃圾、“湿垃圾”，“干垃圾”四个垃圾桶内，则该居民会被处罚的概率为．15．已知双曲线的两条渐近线分别为直线l1，l2，经过右焦点F 且垂直于l1的直线l分别交l1，l2于A，B两点，且，则该双曲线的离心率为．16．纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以A0、A1、A2、B1、B2、…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中A n（n∈N，n≤8）系列的幅面规格为：①A0、A1、A2、…、A8所有规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系都为x：y＝1：；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格．现有A0、A1、A2、…、A8纸各一张．若A4纸的宽度为2dm，则A1纸的长度为dm；A0、A1、A2、…、A8八张纸的面积之和等于dm2．三、解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题（60分）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，CD∥AB，AD＝CD＝BC＝2，AB ＝4．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PBD；（Ⅱ）若三棱锥C﹣PBD的体积为，求PB的长．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（sin A+sin B）（a﹣b）＝c（sin C ﹣sin B）．（1）求A；（2）若，求sin C．19．某生活超市有一专柜预代理销售甲乙两家公司的一种可相互替代的日常生活用品．经过一段时间分别单独试销甲乙两家公司的商品，从销售数据中随机各抽取50天，统计每日的销售数量，得到如下的频数分布条形图．甲乙两家公司给该超市的日利润方案为：甲公司给超市每天基本费用为90元，另外每销售一件提成1元；乙公司给超市每天的基本费用为130元，每日销售数量不超过83件没有提成，超过83件的部分每件提成10元．（Ⅰ）求乙公司给超市的日利润y（单位：元）与日销售数量n的函数关系；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：（1）求甲公司产品销售数量不超过87件的概率；（2）如果仅从日均利润的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为超市作出抉择，选择哪家公司的产品进行销售？并说明理由．20．已知椭圆C：的上顶点为M，左，右焦点分别为F1，F2，△MF1F2的面积为，直线F1M的斜率为．O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点A（2，0）的直线l与椭圆C交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点P，与y轴交于点Q.，且∠POA＝∠PAO，求直线l的方程．21．已知函数f（x）＝2lnx﹣．（Ⅰ）当m＝1时，试判断f（x）零点的个数；（Ⅱ）若x≥1时，f（x）≤0，求m的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数）．圆C2的方程为（x﹣1）2+y2＝1，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相等的长度单位建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ＝θ0（ρ≥0）．（1）求曲线C1和C2的极坐标方程；（2）当时，若射线l与曲线C1和圆C2分别交于异于点O的M、N两点，且|ON|＝2|OM|，求△MC2N的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣a|3x﹣1|．（1）当a＝1时，解不等式f（x）＞﹣3；（2）若f（x）≤a|3x+4|，求a的最小值．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A＝{0，1}，B＝{m|m＝y﹣x，x∈A且y∈A}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{0}D．{0，1}【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{0，1}，B＝{﹣1，0，1}，∴A∩B＝{0，1}．故选：D．2．已知复数z＝，则z在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解：∵z＝＝，∴z在复平面上对应的点的坐标为（），位于第三象限．故选：C．3．已知向量，满足，，且，则向量与的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】可求出，然后对两边平方即可得出，从而可求出与夹角的余弦值．解：，，，∴，∴，∴．故选：A．4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+3y的最大值是（）A．10B．9C．8D．7【分析】确定不等式组表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，即可求得最值．解：约束条件对应的可行域为直线x+2y﹣5＝0，x﹣y﹣2＝0，x＝0围成的三角形及其内部；三顶点为，当z＝2x+3y过点（3，1）时取得最大值9，故选：B．5．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}的前8项和为（）A．﹣48B．﹣96C．36D．72【分析】设公差为d（d≠0），运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得公差d，再由等差数列的求和公式计算可得所求和．解：等差数列{a n}的首项为1，公差d不为0．若a2，a3，a6成等比数列，可得a32＝a2a6，即（1+2d）2＝（1+d）（1+5d），解得d＝﹣2，可得{a n}的前8项和为8×1+×8×7×（﹣2）＝﹣48．故选：A．6．华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（）次检测．A．3B．4C．6D．7【分析】利用优选法依次进行检测，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测．解：第一次：16人分两组，每组8人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；第二次：留下的8人分两组，每组4人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；第三次：留下的4人分两组，每组2人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；第四次：留下的2人分两组，每组1人，如果第一人检测结果为阳性，则第2人没有感染．如果第一组检测结果为阴性，则第2人感染．综上，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测．故选：B．7．已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x，a＝f（20.3），b＝f（0.30.2），c＝f（log0.32），则a，b，c 的大小关系为（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】先判断已知函数的单调性，然后即可比较大小．解：因为f（x）＝e x﹣e﹣x在R上单调递增，又20.3＞1＞0.30.2＞0＞log0.32，a＝f（20.3）＞b＝f（0.30.2）＞c＝f（log0.32）．故选：A．8．已知四棱锥S﹣ABCD所有的棱都相等，过BD与SC平行的平面与SA交于点E，则BE与CD所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】设AC与BD交于点O，连接OE，易知O为AC的中点且AB∥CD，因此∠ABE 即为所求，由题可知，SC∥面BDE，利用线面平行的性质定理可证得SC∥OE，于是点E为AS的中点，由于△ABS为正三角形，可得∠ABE＝30°，故而得解．解：如图所示，设AC与BD交于点O，连接OE，因为四棱锥S﹣ABCD所有的棱都相等，所以底面ABCD为菱形，所以O为AC的中点，且AB∥CD，所以∠ABE即为异面直线BE与CD所成角．由题可知，SC∥面BDE，因为SC⊂面ASC，且面ASC∩面BDE＝OE，所以SC∥OE，所以点E为AS的中点，又因为△ABS为正三角形，所以∠ABE＝30°，所以异面直线BE与CD所成角的大小为30°，故选：A．9．已知函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）关于点对称C．f（x）在上单调递减D．f（x）的图象关于直线对称【分析】先结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质即可判断．解：f（x）＝，＝＝sin（2x﹣）+，故函数的最小正周期T＝π，A不正确；由函数的图象的平移可知，函数关于（，）对称，B不正确；当x＝时，函数取得的不是最值，故x＝不是对称轴，D错误．故选：C．10．已知A，B，C在球O的球面上，，BC＝2，∠ACB＝30°，直线OA与截面ABC所成的角为60°，则球O的表面积为（）A．4πB．16πC．D．【分析】根据A，B，C在球O的球面上，，BC＝2，∠ACB＝30°，分析BC 即为A，B，C所在平面截球形成圆的直径，根据直线AO与平面ABC成60°角，求出球半径后，代入球的表面积公式，即可得到答案．解：∵A，B，C在球O的球面上，，BC＝2，∠ACB＝30°，∴BC为△ABC外接圆的直径，又∵直线OA与平面ABC成60°．则球的半径R＝＝2，故球的表面积S＝4×π×22＝16π故选：B．11．已知点M（﹣3，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P作PQ⊥l，点Q为垂足，过P作FQ的垂线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】由抛物线的性质可得|PQ|＝|PF|，再由FQ的垂线l1，可得|FR|＝QR|，可得|QR|+|MR|＝|FR|+|MR|≥|FM|，当M，R，F三点共线时取等号，由题意求出|MF|，即是|QR|+|MR|的最小值．解：因为PQ⊥l，所以PF＝OQ，又FQ⊥l1，所以|QR|＝|QF|，所以|QR|+|MR|＝|FR|+|MR|≥|FM|，当M，R，F三点共线时取等号，由抛物线的方程可得F（0，1），M（﹣3，﹣2），所以|MF|＝＝3，故选：D．12．已知函数y＝1+2lnx（x∈[，e]）的图象上存在点M，函数y＝﹣x2+a的图象上存在点N，且点M，N关于原点对称，则实数a的取值范围是（）A．[0，1+]B．[0，e2﹣3]C．[1+，e2﹣3]D．[1+，+∞）【分析】求出函数y＝﹣x2+a关于原点对称的函数y＝x2﹣a，已知函数y＝1+2lnx（x∈[，e]）的图象上存在点M，函数y＝﹣x2+a的图象上存在点N，且点M，N关于原点对称，等价为y＝1+2lnx（x∈[，e]）与y＝x2+a，有交点，构造函数，求出函数的导数，研究函数的单调性和最值，利用数形结合进行求解即可．解：函数y＝﹣x2+a的图象与函数y＝x2﹣a关于原点对称，则原题等价于函数y＝1+2lnx（x∈[，e]）与函数y＝x2﹣a的图象有交点，即方程1+2lnx＝x2﹣a（x∈[，e]）有解，即a＝x2﹣1﹣2lnx（x∈[，e]）有解，令f（x）＝x2﹣1﹣2lnx（x∈[，e]）f′（x）＝2x﹣＝，当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．f（x）min＝f（1）＝0，f（）＝＝1+，f（e）＝e2﹣3，所以实数a的取值范围是[0，e2﹣3]，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．若曲线y＝x2﹣2lnx的一条切线的斜率是3，则切点的横坐标为2．【分析】求出原函数的导函数，设出切点坐标，再由函数在切点处的导数值为3求得切点横坐标．解：由y＝x2﹣2lnx，得y′＝2x﹣（x＞0），设切点坐标为（x0，y0），由，得．解得：x0＝2或（舍）．∴切点的横坐标为2．故答案为：2．14．2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有对垃圾分类或未投放到指定垃圾桶内都会被处罚．若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投收到楼下的“可回收物”、“有害垃圾、“湿垃圾”，“干垃圾”四个垃圾桶内，则该居民会被处罚的概率为．【分析】基本事件总数n＝4，该居民会被处罚包含的基本事件个数m＝3，由此能求出该居民会被处罚的概率．解：2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有对垃圾分类或未投放到指定垃圾桶内都会被处罚．某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投收到楼下的“可回收物”、“有害垃圾、“湿垃圾”，“干垃圾”四个垃圾桶内，基本事件总数n＝4，该居民会被处罚包含的基本事件个数m＝3，则该居民会被处罚的概率为p＝．故答案为：．15．已知双曲线的两条渐近线分别为直线l1，l2，经过右焦点F 且垂直于l1的直线l分别交l1，l2于A，B两点，且，则该双曲线的离心率为．【分析】由题意画出图形，求得l的方程，与两条渐近线联立，求得A，B的坐标，再由向量等式列式求解．解：如图，根据题意可设直线l的方程为y＝﹣（x﹣c），联立，解得A（，），联立，解得B（，﹣）由，得（﹣c，﹣）＝（，﹣），即（，﹣）＝（，﹣），∴＝，即3c2＝4a2，∴e2＝，即有e＝．故答案为：．16．纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以A0、A1、A2、B1、B2、…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中A n（n∈N，n≤8）系列的幅面规格为：①A0、A1、A2、…、A8所有规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系都为x：y＝1：；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格．现有A0、A1、A2、…、A8纸各一张．若A4纸的宽度为2dm，则A1纸的长度为8dm；A0、A1、A2、…、A8八张纸的面积之和等于dm2．【分析】根据题意可以推出A1的长度为8，再根据等比数列的求和公式即可求出．解：由A4纸的宽度为2dm，且纸张的幅宽和长度的比例关系都为x：y＝1：，则A4的长度为2dm，则A3纸的宽度为2dm，A3的长度为4，则A2纸的宽度为4dm，A2的长度为4，则A1纸的宽度为4dm，A1的长度为8，则A0纸的宽度为8dm，A0的长度为8，面积为64，由A0、A1、A2、…、A8，9张纸的面积构成一个以64为首项，为公比的等比数列，可得这9张纸的面积之和＝dm2．故答案为：8，dm2．三、解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题（60分）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，CD∥AB，AD＝CD＝BC＝2，AB ＝4．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PBD；（Ⅱ）若三棱锥C﹣PBD的体积为，求PB的长．【分析】（Ⅰ）先利用题中数据，在等腰梯形中计算，结合勾股定理，证明DB⊥AD，再利用线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理，即可得证；（Ⅱ）先利用V C﹣PED＝V P﹣ECD计算得PD，再根据勾股定理计算PB，即可得解．解：（Ⅰ）证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E．因为CD∥AB，AD＝CD＝BC＝2，AB＝4，所以四边形ABCD是等腰梯形，可得AE＝1，BE＝3，DE＝，BD＝2，所以AB2＝AD2+BD2，所以DB⊥AD．又因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以DB⊥PD．因为AD∩PD＝D，PD、AD⊂平面PAD，所以BD⊥平面PAD．因为BD⊂平面PBD，所以平面PAD⊥平面PDB．（Ⅱ）S△ECD＝＝．因为三棱锥C﹣PDB的体积为，所以V C﹣PED＝V P﹣ECD＝＝，解得PD＝3．在R△PDB中，BD＝2，PD＝3，所以PB＝＝．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（sin A+sin B）（a﹣b）＝c（sin C ﹣sin B）．（1）求A；（2）若，求sin C．【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求cos A，进而可求A；（2）由已知结合正弦定理及和差角公式，同角平方关系可求；由已知结合正弦定理及和差角公式化简后，结合辅助角公式进行化简可求．解：（1）∵（sin A+sin B）（a﹣b）＝c（sin C﹣sin B），∴由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）＝c（c﹣b），即：b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得，∵A∈（0，π），∴．（2）∵，由正弦定理得：，又sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，，∴，整理可得：，∵sin2C+cos2C＝1，∴，解得：或．∵，∴，故．（2）法二：∵，由正弦定理得：，又sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，，∴，整理可得：，即，∴，由，，∴，，．19．某生活超市有一专柜预代理销售甲乙两家公司的一种可相互替代的日常生活用品．经过一段时间分别单独试销甲乙两家公司的商品，从销售数据中随机各抽取50天，统计每日的销售数量，得到如下的频数分布条形图．甲乙两家公司给该超市的日利润方案为：甲公司给超市每天基本费用为90元，另外每销售一件提成1元；乙公司给超市每天的基本费用为130元，每日销售数量不超过83件没有提成，超过83件的部分每件提成10元．（Ⅰ）求乙公司给超市的日利润y（单位：元）与日销售数量n的函数关系；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：（1）求甲公司产品销售数量不超过87件的概率；（2）如果仅从日均利润的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为超市作出抉择，选择哪家公司的产品进行销售？并说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意：当0≤n≤83时，y＝130元；当n＞83时，y＝130+（n﹣83）×10＝10n﹣700．由此能求出乙公司给超市的日利润y（单位：元）与销售数量n的函数关系．（Ⅱ）（1）记事件A：“甲公司产品的销售数量不超过87件”，利用古典概型能求出甲公司产品销售数量不超过87件的概率；（2）求出甲公司给超市的日利润的平均数和乙公司给超市的日利润平均值，由此能求得超市应代理销售乙公司的产品较为合适．解：（Ⅰ）由题意：当0≤n≤83时，y＝130元；当n＞83时，y＝130+（n﹣83）×10＝10n﹣700．∴乙公司给超市的日利润y（单位：元）与销售数量n的函数关系为：．（Ⅱ）（1）记事件A：“甲公司产品的销售数量不超过87件”，则甲公司产品销售数量不超过87件的概率为；（2）甲公司的给超市的日利润为X（单位：元），则X的所有可能取值为171，174，177，180，183，（元），设乙公司给超市的日利润为Y元，则Y的所有可能取值为130，140，170，200，230，则（元），由于，所以超市应代理销售乙公司的产品较为合适．20．已知椭圆C：的上顶点为M，左，右焦点分别为F1，F2，△MF1F2的面积为，直线F1M的斜率为．O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点A（2，0）的直线l与椭圆C交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点P，与y轴交于点Q.，且∠POA＝∠PAO，求直线l的方程．【分析】（1）利用三角形的面积，结合直线的斜率，通过a2＝b2+c2，求解a，b，得到椭圆方程．（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣2）（k≠0），B（x B，y B），由，求出B的坐标，设Q（0，y Q），通过，求出Q坐标，然后利用∠POA＝∠PAO，求解直线方程．【解答】（1）因为△MF1F2的面积为，所以且，又a2＝b2+c2，所以a2＝4，b2＝3，故椭圆方程为．（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣2）（k≠0），B（x B，y B），由，可得（4k2+3）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0，解得x＝2或，所以，，设Q（0，y Q），有，，由BF2⊥QF2，得，所以，解得，由∠POA＝∠PAO，得P为OA的垂直平分线与l的交点，所以P（1，﹣k），由PQ⊥l，得，得，解得，所以，直线l的方程为．21．已知函数f（x）＝2lnx﹣．（Ⅰ）当m＝1时，试判断f（x）零点的个数；（Ⅱ）若x≥1时，f（x）≤0，求m的取值范围．【分析】（Ⅰ）写出m＝1时的函数解析式，利用导数判断出函数单调性即可得到零点个数；（Ⅱ）写出函数的导数，讨论m≤0以及m＞0时的情况，结合根的判别式即可进行求解．解：（Ⅰ）当m＝1时，，．所以f'（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，又f（1）＝0，∴f（x）有且只有一个零点．（Ⅱ）∵f（1）＝0，．（1）当m≤0时，在[1，+∞）上f'（x）≥0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（1）＝0，不符合题意．（2）当m＞0时，设g（x）＝﹣mx2+2x﹣1，当△＝4﹣4m≤0即m≥1时，g（x）＝﹣mx2+2x﹣1≤0恒成立，所以在[1，+∞）上f'（x）≤0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上单调递减，∴f（x）≤f（1）＝0，符合题意，∴m≥1．当△＝4﹣4m＞0即0＜m＜1时，g（x）＝0有两不等实根，设为x1，x2因为g（1）＝1﹣m＞0，可知x1＜1＜x2，所以x∈（1，x2）时f'（x）＞0，x∈（x2，+∞）时f'（x）＜0即f（x）在区间（1，x2）上单调递增，（x2，+∞）单调递减所以f（x2）＞f（1）＝0，不符合题意．综上，m的取值范围为[1，+∞）．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数）．圆C2的方程为（x﹣1）2+y2＝1，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相等的长度单位建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ＝θ0（ρ≥0）．（1）求曲线C1和C2的极坐标方程；（2）当时，若射线l与曲线C1和圆C2分别交于异于点O的M、N两点，且|ON|＝2|OM|，求△MC2N的面积．【分析】（1）化曲线C1的参数方程为普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C1的极坐标方程，把圆C2的方程变形，再结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C2的极坐标方程；（2）由|ON|＝2|OM|，得，进一步得到关于cosθ的方程，由θ0的范围求得cosθ与sinθ的值，写出△MC2N的面积，则答案可求．解：（1）由曲线C1的参数方程为（φ为参数），消去参数φ，可得曲线C1的普通方程为：，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入可得ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ＝1，∴曲线C1的极坐标方程：；由圆C2的方程为（x﹣1）2+y2＝1，得x2+y2﹣2x＝0，∴ρ2﹣2ρcosθ＝0，得曲线C2的极坐标方程：ρ＝2cosθ；（2）∵|ON|＝2|OM|，∴，即，整理得2cos4θ﹣3cos2θ+1＝0，且，解得：，，．点C2到l的距离．∴△MC2N的面积为：＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣a|3x﹣1|．（1）当a＝1时，解不等式f（x）＞﹣3；（2）若f（x）≤a|3x+4|，求a的最小值．【分析】（1）当a＝1时，取得绝对值符号，化简不等式，求解即可．（2）由f（x）≤a|3x+4|得：，通过|3x﹣1|+|3x+4|≥3|2x+1|，求出表达式的最大值，然后推出a的最小值即可．解：（1）当a＝1时，或或，即或或，不等式的解集为：{x|﹣1＜x＜5}．（2）由f（x）≤a|3x+4|得：，由|3x﹣1|+|3x+4|≥3|2x+1|，得：，得（当且仅当或时等号成立），故a的最小值为．。
2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期综合模拟考试数学(理)试卷及解析
2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期综合模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题：本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数,然后求z 的共轭复数,即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限．详解：由题意,()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅- 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.2.设全集U =R ,(2){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤,A B =（ ）A. {|1}x x ≥B. {|12}x x ≤<C. {}1D. {}0,1【答案】D【解析】由题分别算出集合,A B 包含的范围,再取交集即可.【详解】由{|ln(2)}A x N y x =∈=-得20,2x x -><,又x ∈N 所以0,1x =.又(2){|21}x x B x -=≤,其中(2)0212(2)0x x x x -≤=⇒-≤所以02x ≤≤,故{}{0,1},|02A B x x ==≤≤ ,所以{}0,1A B =. 故选D. 3.已知焦点在x 轴上的椭圆的长轴长是8,离心率是34,则此椭圆的标准方程是( ) A. 221167x y += B. 221716x y += C. 2251162x y += D. 2212516x y += 【答案】A【解析】由题意知,2a=8,∴a=4,又34e =,∴c=3,则b 2=a 2﹣c 2=7． 当椭圆的焦点在x 轴上时,椭圆方程为221167x y +=； 故答案为221167x y +=． 故答案为A ．4.如图所示的2个质地均匀的游戏盘中(图①是半径为2和4的两个同心圆组成的圆盘,O 为圆心,阴影部分所对的圆心角为90︒；图②是正六边形,点Р为其中心)各有一个玻璃小球,依次摇动2个游戏盘后（小球滚到各自盘中任意位置都是等可能的）待小球静止,就完成了一局游戏,则一局游戏后,这2个盘中的小球至少有一个停在阴影部分的概率是（ ）A. 116B. 1124C. 1324D. 516【答案】B【解析】根据几何概型面积型可分别计算出两个图中小球落在阴影部分的概率,由独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式可求得结果.。
黑龙江大庆2020高三数学(文)第三次高考模拟考试参考答案
2020年大庆市高三第三次质量检测文科数学参考答案一、选择题:ABAAC BCABD CD13.1 14.1 15.21 16.3520π17.解：(1)Q 四边形ABCD 是矩形，AD AB ⊥ ，又,AF AF AD α⊥∴⊥Q ， .............2分 AF AB A ⋂=，AD ABF 平面∴⊥，BF 在平面ABF 内，AD BF ∴⊥. .............4分(2) 连结,AC BD 交于点O ，连接OG , ...............6分则OG 是BDF ∆的中位线，//OG DF ，OG 在平面AGC 内，所以//DF AGC 平面. .............8分 （3）ABF DCE F ABCD E FCD F ABCD F ECD V V V V V -----=+=+ ...............10分 11134331414332=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=. ...............12分 18（1）因为12n n S a +=-，①当2n ≥时，12n n S a -=-，② .............................2分由①-②得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=， .......................................................4分当1n =时，2124a a =+=，21422a a ==，所以数列{}n a 为等比数列，其首项为12a =，公比为2，所以112n n n a a q -==； ....................6分（2）由（Ⅰ）得，22log 121n n b a n =+=+，所以()2n T n n =+， 所以()11111222k T k k k k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ............................................8分 所以11111111111...2324112n k kT n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑............10分 31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭ .....................12分 19.解:（1）由题意，根据分层抽样的方法，可得，解得， 所以男生人数为：100550551000⨯=人．，男生人数为：55人；....2分（2）2×2列联表为：选择”物理“ 选择”历史“ 总计 男生45 10 55 女生30 15 45 总计 75 25 100 ...................4分 .所以没有95%的把握认为选择科目与性别有关． ..................6分（3）选择物理与选择历史的女生人数的比为2：1，所以按分层抽样有4人选择物理，设为，2人选择历史，设为A ，B ， ..............8分 从中选取3人，共有20种选法，可表示为abc,abd, acd,bcd,abA,abB,acA,acB,adA,adB,bcA,bcB,bdA,bdB,cdA,cdB,aAB,bAB,cAB,dAB. ............10分 其中有2人选择历史的有aAB,bAB,cAB,dAB 4种，故这3人中有2人选择历史的概率为41.205p == ..........12分20 解：（I ）设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，则22==a c e ①， ∵抛物线y x 42=的焦点为（0， 1）， ................1分 ∴1102222=+ba ② 由①②解得1 ,222==b a . ∴椭圆的标准方程为1222=+y x . ..........................2分 (II)如图，由题意知l 的斜率存在且不为零，设l 方程为)0)(2(≠-=k x k y （#）， 将①代入1222=+y x ，整理，得)28(8)12(2222=-+⋅-+k x k x k ，.......4分 由0>∆得.2102<<k 则)22,0()0,22(⋃-∈k .....................6分 （3）方法1：设),(11y x E 、),(22y x F ，则,122812822212221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+k k x x k k x x 令OBF OBE S S ∆∆=λ， 则BF BE =λ， 由此可得 ⋅=λ，2221--=x x λ，.....)1(，且10<<λ .......8分 221214)2()2(kx x +-=-+-,...............)2( 22121212124)(2)2()2(k x x x x x x +=++-=-⋅-.....)3( 由)1(得：)2()2(21-=-x x λ，......................(*)(*)代入)2(得：22214)2)(1(k x +-=-+λ...........)4( (*)代入)3(得：222212)2(k x +=-λ ...........)5( 由2)4()5(整理得 812)1(22+=+k λλ, ....................10分 即.21)1(422-+=λλk ∵ 2102<<k ， ∴ 2121)1(402<-+<λλ，解得 .223223+<<-λ又∵10<<λ， ∴1223<<-λ，∴∆OBE 与∆OBF 面积之比的取值范围是（223-， 1）. ..........12分（3）方法2; 设),(11y x E 、),(22y x F ，则有212<<x x则OBF OBES S ∆∆=λ2221212121--=⨯⨯=x x y OB y OB ，.....(**)......................8分 由0)28(8)12(2222=-+⋅-+k x k x k 解的12)21(24,12)21(2422222221+--=+-+=k k k x k k k x 代入（**）得 24241242242222+-+-=-----=k k k λ ..............10分 设242k -=t ，因为.2102<<k 则20<<t ，所以241++-=t λ，易知此函数为减函数 则1223<<-λ.∴∆OBE 与∆OBF 面积之比的取值范围是（223-， 1）...........12分21.解：（1）当0m =时，()x f x xe =-，()(1)x x x f x e xe x e '=--=-+ ------------------------2分 所以(1)2k f e '==-，因为(1)f e =-所以切线方程为2(1)y e e x +=--， 整理得：20ex y e +-= -----------------4分（2）()4x m x e x -<+，因为0x e >，所以4xx m x e +<+（0x >）恒成立 设4()x x h x x e+=+，则2(4)33()11x x x x x x e x e x e x h x e e e -+----'=+=+= ---------6分 设()3,x s x e x =--则()1x s x e '=-0>（0x >）.所以()s x 在(0,)+∞上单调递增，又05.44817.429)23(23<-≈-=e s ,03352945.5335)35(35>--≈--=e s ,所以存在)35,23(0∈x 使得0()0s x =， 当0(0,)x x ∈时，()0s x <,即0)(<'x h ；当0(,)x x ∈+∞时，()0s x >即0)(>'x h .所以()h x 在0(0,)x 上单调递减，0(,)x +∞上单调递增.所以00min 004()()x x h x h x x e +==+.----8分 因为00000()0,30, 3.x x s x e x e x =--=∴=+ 所以000min 000000441()()133x x x h x h x x x x x x e ++==+=+=++++,)35,23(0∈x ------------10分 设311)(+++=x x x g ，当)35,23(∈x 时，0)3(11)(2>+-='x x g ，所以)(x g 在)35,23(上单调递增.则)35()()23(g x g g <<，即342121)(18492<<<<x g .所以3)(20<<x h 因为m Z ∈，所以2m ≤，所以m 的最大值为2. ----------------------12分22.解（1）曲线C 的普通方程为622=+y x ...............................................2分 因为2)3cos(=+πθρ ,所以04sin 3cos =--θρθρ 所以直线l 的直角坐标方程为043=--y x ...................................4分（2）点P 的坐标为（4,0）设直线m 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin cos 4t y t x （t 为参数，θ为倾斜角）..........6分联立直线m 与曲线C 的方程得：010cos 82=++θt t设A 、B 对应的参数分别为2,1t t ，则⎪⎩⎪⎨⎧>-=∆=-=+040cos 6410cos 822121θθt t t t 所以34cos 82121==+=+=+θt t t t PB PA ...................................................8分6560,23cos ππθ或的倾斜角为故直线且满足得m >∆±=..............................................................................10分 23.解：（1）当1a =-时，()2,1,112,11,2, 1.x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪≥⎩....................2分 由1)(-≥x f ，得21-≥x .故不等式1)(-≥x f 的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.......................4分 （2）因为“x R ∀∈，()21f x a <+”为假命题，所以“x R ∃∈，12)(+≥a x f ”为真命题，..........................................................6分 因为1)()1(1)(-=+-+≤+-+=a a x x a x x x f 所以1)(max -=a x f ，...............................................................................................8分 则121+≥-a a ，所以22)12()1(+≥-a a ，即220a a +≤，解得02≤≤-a ，即a 的取值范围为[]2,0-...............................10分。
黑龙江省大庆实验中学2020届高三数学仿真模拟试题理(含解析)
大庆实验中学实验一部2020届高三仿真模拟数学试卷（理工类）本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，共23题，共150分，共3页。
考试时间：120 分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题知，，则．故本题答案选．2. 已知复数．若在复平面内对应的点分别为，线段的中点对应的复数为，则（）A. B. 5 C. D.【答案】A【解析】，所以，选A.3. 命题，则的否定形式是（）A. ，则B. ，则C. ，则D. ，则【答案】D【解析】试题分析：在变命题的否定形式的时候，要注意把全称命题改成特称命题，本题中需要改动两处：一处是全称量词“任意”改成存在量词“存在”，另外一处把“大于等于” 改成相反方面“小于” . 所以本题应该选D.考点：命题的否定形式.4. 已知等差数列的公差为2，若、、成等比数列，则等于（）A. －2B. －4C. 2D. 0【答案】C 【解析】由题知，即，又，解得，则．故本题答案选．5. 二项式的展开式中项的系数为，则（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案】C【考点定位】二项式定理．6. 是表示空气质量的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当指数值不大于100 时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12 日指数值的统计数据，图中点表示4 月1 日的指数值为201 ．则下列叙述不正确的是（）A. 这12天中有6天空气质量为“优良”B. 这12天中空气质量最好的是4月9 日C. 这12天的指数值的中位数是90D. 从4日到9 日，空气质量越来越好【答案】C【解析】由图可知，不大于100天有6日到11日,共6天，所以A对，不选.最小的一天为10日,所以B对,不选•中位为是,C错.从图中可以4日到9日越来越小，D对.所以选C.7. 高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1．执行图2 所示的程序框图，若输入的分别为这15 名学生的考试成绩，则输出的结果为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】由框图功能可知，它的作用是统计出分数大于或等于110 分的人数n. 所以. 选D.8. 已知，是曲线与轴围成的封闭区域．若向区域内随机投入一点，则点落入区域的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如下图，我们可知概率为两个面积比. 选D.【点睛】解几何概型问题的关键是确定“测度” ，常见的测度有长度、面积、体积等，若题中只有一个变量，可考虑利用长度模型，若题中由两个变量，可考虑利用面积模型.9. 设点在不等式组所表示的平面区域内，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图所示，绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点处取得最大值2，在点处取得最大值5，目标函数的取值范围是.本题选择D选项•10. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得出这个几何体的内切球半径是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥，设内切球半径为，则由棱锥的体积公式有①，其中，分别为三棱锥四个面的面积，，代入①得到，解得•11. 如图所示点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】抛物线的的准线方程，焦点，由抛物线的定义可得，圆的圆心，半径，所以的周长，由抛物线及圆可得交点的横坐标为，所以，所以，故选B.12. 已知函数f (X)=，若存在X i、X2、…X n满足==••==,贝U X1+X2+…+X n的值为( )A. 4B. 6C. 8D. 10答案】C解析】由函数的解析式可得函数f(x) 的图象关于点(2,0) 对称，结合图象知：X I、X2、…X n满足•••函数f (x)与y= x-1的图象恰有5个交点，且这5个交点关于(2,0)对称, 除去点(2,0) ，故有X1+X2 +…+ X n=X l+X2+X3+X4=8.本题选择C选项.第n卷(共90分)二、填空题(每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上)13. 已知函数(为正实数)只有一个零点，则的最小值为【答案】【解析】函数只有一个零点，则，则，可知，又，则．故本题应填．点睛：本题主要考查基本不等式. 基本不等式可将积的形式转化为和的形式, 也可将和的形式转化为积的形式, 两种情况下的放缩功能, 可以用在一些不等式的证明中, 还可以用于求代数式, 函数等的取值范围或最值中. 与常用来和化积, 而和常用来积化和.14. 设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于、两点，为的实轴长的倍，则的离心率为________________ ．【答案】【解析】设双曲线的标准方程为，由题意，得，即，，所以双曲线的离心率为. 点睛：处理有关直线和圆锥曲线的位置关系问题时，记住一些结论可减少运算量、提高解题速度，如：过椭圆或双曲线的焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦长为，过抛物线的焦点且与对称轴垂直的弦长为.15. 把3 男生2女生共5名新学生分配到甲、乙两个班，每个班分的新生不少于2 名，且甲班至少分配1 名女生，则不同的分配方案种数为 _________________ ．(用数字作答)【答案】1616.已知函数，点O为坐标原点，点，向量=(0 , 1 ), 0 n是向量与的夹角，则使得恒成立的实数t 的取值范围为 ______________ ．【答案】【解析】根据题意得, 是直线OA n 的倾斜角，则：，据此可得：结合恒成立的结论可得实数t 的取值范围为.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：⑴ a> f(X)恒成立？a> f(X)max；⑵ a< f (x)恒成立？a< f (x) min.用裂项相消法求和时，注意裂项后的系数以及搞清未消去的项，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 在中，角所对的边分别为•(1)求角；(2)若的中线的长为，求的面积的最大值.【答案】( 1 )； (2)．【解析】试题分析：(1) 由题意结合余弦定理求得；(2) 利用余弦定理结合面积公式和均值不等式可得的面积的最大值为．试题解析：(1) ，即.(2) 由三角形中线长定理得：，由三角形余弦定理得：，消去得: (当且仅当时，等号成立) ，即.18. (本小题满分12 分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100 名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为"体育迷”.（1）根据已知条件完成上面的列联表，若按的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求分布列，期望和方差.附：【答案】（1）没有理由认为“体育迷”与性别有关；（2）分布列见解析，期望为，方差为.【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图，可得各组概率，进一步可填出列联表，利用公式求出的值，结合所给数据，用独立性检验可得结果；（2）利用分层抽样，可确定人中有男女，利用古典概型，可得结果.试题解析：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而列联表如下：将列联表中的数据代入公式计算，得因为，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.（2）由分层抽样可知人中男生占，女生占，选人没有一名女生的概率为，故所求被抽取的2名观众中至少有一名女生的概率为.19.如图，在四棱锥P—ABCDK 平面PADL底面ABCD其中底面ABC［为等腰梯形，AD// BCPA= AB= BC= CD= 2, PD= 2, PAL PD Q为PD的中点.(I)证明：CQ/平面PAB(n)求直线PD与平面AQC所成角的正弦值【答案】(I)见解析；(n).【解析】试题分析：⑴取PA的中点N,由题意证得BN// CQ则CQ/平面PAB⑵利用题意建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得直线PD与平面AQC所成角的正弦值为．试题解析：(I)证明如图所示，取PA的中点N,连接QNBN 在^ PAD中, PNh NA PQ= QD所以QN/ AD 且QNh AD在厶APD中 , PA^ 2 , PD= 2, PA± PD所以AD== 4,而BC= 2,所以BC= AD又BC// AD,所以QN/ BC 且QNh BC故四边形BCQ为平行四边形，所以BN// CQ又BN?平面PAB且CQ平面PAB 所以CQ/平面PAB(n)如图，取AD的中点M连接BM取BM的中点Q连接BO PO由(1)知PA= AM= PM= 2,所以△ APM为等边三角形，所以POL AM 同理BOL AM.因为平面PADL平面ABCD所以POh BO.如图，以O为坐标原点，分别以OB OD OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则O(0,0,0) D(0,3,0) A(0 －1,0) B( 0,0) P(0,0 ) C( 2,0)则=(,3,0).因为Q为DP的中点，故Q所以=.设平面AQC的法向量为m= (x , y , z),则可得令y =—，贝U x= 3, z = 5.故平面AQC勺一个法向量为m^ (3，—, 5).设直线PD与平面AQC所成角为0.贝U sin 0 = |cos 〈，n〉| ==.从而可知直线PD与平面AQC所成角正弦值为.20. 已知分别是椭圆勺左，右焦点，分别是椭圆勺上顶点和右顶点，且，离心率.(I)求椭圆的方程；(H)设经过的直线与椭圆相交于两点，求的最小值【答案】(I) ； (n).【解析】试题分析：(1) 由题意列方程可得，故所求椭圆方程为(2) 设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，结合题意可得，当且仅当时上式取等号. 的最小值为。
2020年黑龙江省大庆一中高考数学三模试卷(理科) (解析版)
2020年黑龙江省大庆一中高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x2﹣x+m＜0}，若A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}，则实数m＝（）A．﹣6B．6C．5D．22．已知（2+i）（a+i）＝5+5i，则实数a＝（）A．0B．1C．2D．33．已知双曲线与椭圆的焦点相同，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．34．设f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，则（）A．f（log23）＜f（log32）＜f（log2）B．f（log2）＜f（log23）＜f（log32）C．f（log2）＜f（log32）＜f（log23）D．f（log32）＜f（log2）＜f（log23）5．为庆祝中华人民共和国成立70周年，2019年10月1日晚，金水桥南，百里长街成为舞台，3290名联欢群众演员跟着音乐的旋律，用手中不时变幻色彩的光影屏，流动着拼组出五星红旗、祖国万岁、长城等各式图案和文字．光影潋滟间，以《红旗颂》《我们走在大路上》《在希望的田野上》《领航新时代》四个章节，展现出中华民族从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃．在每名演员的手中都有一块光影屏，每块屏有1024颗灯珠，若每个灯珠的开、关各表示一个信息，则每块屏可以表示出不同图案的个数为（）A．2048B．21024C．10242D．102410246．已知等差数列{a n}中，a2＝2，前5项的和S5满足15＜S5＜25，则公差d取值范围为（）A．B．（1，4）C．（1，3）D．7．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB＝3，E为AD上一点，BE⊥AC．若＝λ+μ，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．18．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．0B．C．D．9．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，C1D1，DD1的中点，AB＝AA1＝2AD，则异面直线EF与BG所成角的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°10．将函数的图象向左平移个单位长度，然后再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（）A．B．C．D．11．已知，则a4＝（）A．21B．42C．﹣35D．﹣21012．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝mx+m﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．已知实数x，y满足约束条件，则的取值范围为．14．已知函数f（x）＝2sin2x+a sin2x的最大值为3，则实数a的值为．15．记数列{a n}的前n项和为S n满足S n+1＝4S n+2．且a1＝2，b n＝log2a n，则数列{b n}的前n 项和T n＝．16．已知圆C：x2+y2+2（a﹣1）x﹣12y+2a2＝0．当C的面积最大时，实数a的值为；若此时圆C关于直线：l2：mx+ny﹣6＝0（m＞0，n＞0）对称，则的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在平面四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝3，AD＝2．（1）若CD＝1，求BC；（2）求四边形ABCD面积的最大值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD与△PBD都是边长为2的等边三角形，△BCD 为等腰直角三角形，∠BCD＝90°，．（1）证明：BD⊥PA；（2）若M为PA的中点，求平面BMD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．19．已知抛物线C：x2＝4y，过点D（0，2）的直线l交C于A，B两点，过点A，B分别作C的切线，两切线相交于点P．（1）记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，证明k1，k2为定值；（2）记△PAB的面积为S△PAB，求S△PAB的最小值．20．甲、乙、丙三人参加竞答游戏，一轮三个题目，每人回答一题为体现公平，制定如下规则：①第一轮回答顺序为甲、乙、丙；第二轮回答顺序为乙、丙、甲；第三轮回答顺序为丙，甲、乙；第四轮回答顺序为甲、乙、丙；…，后面按此规律依次向下进行；②当一人回答不正确时，竞答结束，最后一个回答正确的人胜出．已知，每次甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，丙回答正确的概率为，三个人回答每个问题相互独立．（1）求一轮中三人全回答正确的概率；（2）分别求甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率；（3）记P n为甲在第n轮胜出的概率，Q n为乙在第n轮胜出的概率，求P n与Q n，并比较P n与Q n的大小．21．已知函数f（x）＝ae x（a∈R）．（1）当a＝1时，求函数f（x）的图象在点x＝0处的切线方程；（2）若g（x）＝ln（x+b），当a≥1，b≤2时，证明：f（x）＞g（x）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθtanθ＝2．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2交于M，N两点，点P的极坐标为，求|PM|2+|PN|2的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+1|．（1）求不等式f（x）≤2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＞|a+2|的解集不是空集，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x2﹣x+m＜0}，若A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}，则实数m＝（）A．﹣6B．6C．5D．2【分析】推导出3是方程x2﹣x+m＝0的一个根，从而32﹣3+m＝0，由此能求出结果．解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x2﹣x+m＜8}，A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}，所以32﹣3+m＝0，解得m＝﹣6，故选：A．2．已知（2+i）（a+i）＝5+5i，则实数a＝（）A．0B．1C．2D．3【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边，再由复数相等的条件列式求得a 值．解：∵（2+i）（a+i）＝2a﹣1+（a+2）i＝5+4i，∴，解得a＝3，故选：D．3．已知双曲线与椭圆的焦点相同，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，然后求解a，即可求解双曲线的离心率．解：椭圆的焦点坐标为（2，4），（﹣2，0），所以4＝a+a﹣2，解得a＝5，离心率，故选：A．4．设f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，则（）A．f（log23）＜f（log32）＜f（log2）B．f（log2）＜f（log23）＜f（log32）C．f（log2）＜f（log32）＜f（log23）D．f（log32）＜f（log2）＜f（log23）【分析】先判断括号内的大小关系，再借助于单调性即可得到结论．解：由题意知，函数f（x）在定义域R上单调递增，由可得，故选：C．5．为庆祝中华人民共和国成立70周年，2019年10月1日晚，金水桥南，百里长街成为舞台，3290名联欢群众演员跟着音乐的旋律，用手中不时变幻色彩的光影屏，流动着拼组出五星红旗、祖国万岁、长城等各式图案和文字．光影潋滟间，以《红旗颂》《我们走在大路上》《在希望的田野上》《领航新时代》四个章节，展现出中华民族从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃．在每名演员的手中都有一块光影屏，每块屏有1024颗灯珠，若每个灯珠的开、关各表示一个信息，则每块屏可以表示出不同图案的个数为（）A．2048B．21024C．10242D．10241024【分析】根据乘法原理解题．解：每块屏有1024颗灯珠，若每个灯珠的开、关各表示一个信息，根据乘法原理可得表示出不同图案的个数为2×2×…×2＝21024，故选：B．6．已知等差数列{a n}中，a2＝2，前5项的和S5满足15＜S5＜25，则公差d取值范围为（）A．B．（1，4）C．（1，3）D．【分析】利用等差数列的求和公式、不等式的解法即可得出．解：∵S5＝5a2+d＝5a1+10d＝2（2﹣d）+10d＝10+5d，∴15＜5d+10＜25，解得1＜d＜3．故选：C．7．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB＝3，E为AD上一点，BE⊥AC．若＝λ+μ，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．1【分析】建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设，由可得，再由，利用坐标表示建立方程组求解即可．解：由题意建立如图所示直角坐标系，，设，所以，解得．所以解得故选：B．8．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．0B．C．D．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：由程序框图可知，n＝1，；n＝7；；n＝5，，n＝7，S＝0；n＝9，；所以周期为8，又2020＝8×252+4，故选：D．9．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，C1D1，DD1的中点，AB＝AA1＝2AD，则异面直线EF与BG所成角的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【分析】建立平面直角坐标系，根据题意写出各点坐标，得出的坐标，代入数量积公式运算，可得两个向量互相垂直，进一步确定异面直线EF与BG所成角的大小．解：如图，以D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系D﹣xyz，设AD＝1，则E（1，0，1），F（0，2，2），G（0，0，1），B（1，4，0），，所以，故选：C．10．将函数的图象向左平移个单位长度，然后再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，然后横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，故选：D．11．已知，则a4＝（）A．21B．42C．﹣35D．﹣210【分析】先把原式化简，再根据二项式的特点，求解即可．解：因为，a4即为（x﹣1）7展开式中x4的系数，故选：C．12．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝mx+m﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由题意，方程方程f（x）＝mx+m﹣恰有四个不相等的实数根，等价于y＝f （x）与y＝mx+m﹣恰有4个交点，求出直线y＝mx+m﹣与y＝lnx相切时m的值及过原点时m的值，即可求出m的取值范围．解：画出函数f（x）的图象如图中实线部分所示，方程恰有四个不相等的实数根，而是斜率为m，过定点的直线，设切点坐标为（a，ln（a+1）），＝，又点在切线上，代入可解得a＝﹣2，当直线过原点，即图中l2，所以当时，两函数的图象有4个不同的交点．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x，y满足约束条件，则的取值范围为．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．解：作出不等式组表示的可行域如图所示，表示可行域内的点与原点连线的斜率，，k OB＝3，点B不在可行域内，故的取值范围为．故答案为：．14．已知函数f（x）＝2sin2x+a sin2x的最大值为3，则实数a的值为±1．【分析】由已知利用二倍角的三角函数公式，两角和的正弦函数公式，正弦函数的性质即可求解．解：因为，其中，所以f（x）的最大值为，解得a＝±1．故答案为：±1．15．记数列{a n}的前n项和为S n满足S n+1＝4S n+2．且a1＝2，b n＝log2a n，则数列{b n}的前n 项和T n＝n2．【分析】由S n+1＝4S n+2，可得，当n≥2时，S n＝4S n﹣1+2，两式相减可得a n+1＝4a n（n ≥2）．利用等比数列的通项公式可得a n，进而得出b n，利用等差数列的求和公式即可得出T n．解：由S n+1＝4S n+2①可得，当n≥2时，S n＝4S n﹣1+2②，①﹣②得S n+1﹣S n＝4•（S n﹣S n﹣1），即a n+3＝4a n（n≥2）．又a1＝5，所以a2＝3S3+2＝3a1+2＝8，则a5＝4a1，所以，b n＝log3a n＝2n﹣1，故答案为：n2．16．已知圆C：x2+y2+2（a﹣1）x﹣12y+2a2＝0．当C的面积最大时，实数a的值为﹣1；若此时圆C关于直线：l2：mx+ny﹣6＝0（m＞0，n＞0）对称，则的最大值为．【分析】化圆的方程为标准方程，求得圆的半径，利用二次函数求最值可得圆的半径的最大值，即可得到圆面积最大时的a值；再由圆心在直线上可得关于m与n的等式，然后利用基本不等式求最值．解：圆C：x2+y2+2（a﹣1）x﹣12y+8a2＝0的方程可化为[x+（a﹣1）]2+（y﹣6）2＝﹣a8﹣2a+37，当a＝﹣1时，﹣a2﹣2a+37取得最大值38，此时圆C的半径最大，面积也最大；∵圆C关于直线l：mx+ny﹣6＝0（m＞0，n＞8）对称，又m＞0，n＞0，当且仅当时，即时取等号，即的最大值为．故答案为：﹣1；．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在平面四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝3，AD＝2．（1）若CD＝1，求BC；（2）求四边形ABCD面积的最大值．【分析】（1）在△ABD中，由余弦定理可求BD的值，再根据余弦定理即可求出BC，（2）设∠CBD＝θ，则∠CDB＝60°﹣θ．在△BCD中，由正弦定理可求BC，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△BCD＝sin（2θ+30°）﹣，结合范围0°＜θ＜60°，利用正弦函数的性质可求S△BCD的最大值，即可求出四边形ABCD 面积的最大值．解：（1）在△ABD中，因为AB＝3，AD＝2，∠BAD＝60°，则：BD8＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD＝9+7﹣2×3×2×＝2在△BCD中，因为BD＝，CD＝1，∠BCD＝120°，即7＝BC8+1+BC，（2）设∠CBD＝θ，则∠CDB＝60°﹣θ．所以S△BCD＝BD•BC•sin∠CBD＝sin（60°﹣θ）sinθ＝（cosθ﹣sinθ）sinθ＝（sin2θ+cos2θ﹣）＝sin（7θ+30°）﹣，∴S△BCD≤，∴四边形ABCD面积的最大值为+＝．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD与△PBD都是边长为2的等边三角形，△BCD 为等腰直角三角形，∠BCD＝90°，．（1）证明：BD⊥PA；（2）若M为PA的中点，求平面BMD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）取BD中点O，证明BD⊥平面POA，从而可得BD⊥PA；（2）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．【解答】（1）证明：设BD的中点为O，连接OP，OA．因为△ABD，△PBD为等边三角形，所以BD⊥AO，且BD⊥PO．所以BD⊥平面PAO，又PA⊂平面PAO，（2）解：因为△ABD，△PBD的边长为2，所以，又因为PO⊥BD，AO⊥BD，故OA，OB，OP两两垂直，则，，B（0，1，0），D（0，﹣1，8），C（﹣1，0，0），，设平面BMD的一个法向量为＝（x1，y1，z1），则，设平面BMD的一个法向量为＝（x2，y2，z2），则，∴cos＜＞＝＝＝，所以平面BMD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．19．已知抛物线C：x2＝4y，过点D（0，2）的直线l交C于A，B两点，过点A，B分别作C的切线，两切线相交于点P．（1）记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，证明k1，k2为定值；（2）记△PAB的面积为S△PAB，求S△PAB的最小值．【分析】（1）设A，B的坐标分别为，．利用抛物线方程求解函数的导数，设出直线方程与抛物线联立，利用韦达定理转化证明即可．（2）设P点坐标为（x，y），求出切线PA的方程，切线PB的方程，求出|AB|，点P 到直线AB的距表示三角形的面积，求解S△PAB的最小值．（1）证明：因为A，B两点在曲线x2＝4y上，故设A，B的坐标分别为，【解答】．因为，所以，则，．所以，所以k1k2为定值．由（1）知切线PA的方程为①①﹣②得；①×x2﹣﹣②×x1得．由（1）知x＝2k，y＝﹣2，所以P点坐标为（2k，﹣2），因为点P到直线AB的距离．因为k2+3≥2，所以当k＝0时，S△PAB的最小值为．20．甲、乙、丙三人参加竞答游戏，一轮三个题目，每人回答一题为体现公平，制定如下规则：①第一轮回答顺序为甲、乙、丙；第二轮回答顺序为乙、丙、甲；第三轮回答顺序为丙，甲、乙；第四轮回答顺序为甲、乙、丙；…，后面按此规律依次向下进行；②当一人回答不正确时，竞答结束，最后一个回答正确的人胜出．已知，每次甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，丙回答正确的概率为，三个人回答每个问题相互独立．（1）求一轮中三人全回答正确的概率；（2）分别求甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率；（3）记P n为甲在第n轮胜出的概率，Q n为乙在第n轮胜出的概率，求P n与Q n，并比较P n与Q n的大小．【分析】（1）由题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，计算求得结果．（2）由题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，计算求得结果．（3）先求出前7种情况，总结规律，得出结论．解：（1）设一轮中三人全回答正确为事件M，则．（2）甲在第一轮胜出的概率为；故甲在第二轮胜出的概率为×（××）×＝＝；（3）由（2）知；＝；P3＝×＝．…．当n＝3k+1（k∈N*）时，；同理可得，当n＝3k（k∈N*）时，；当n＝3k+2（k∈N*）时，．当n＝3k+2（k∈N*）时，P n＜Q n．21．已知函数f（x）＝ae x（a∈R）．（1）当a＝1时，求函数f（x）的图象在点x＝0处的切线方程；（2）若g（x）＝ln（x+b），当a≥1，b≤2时，证明：f（x）＞g（x）．【分析】（1）代入a的值，求出f（0），f′（0），求出切线方程即可；（2）结合a，b的范围，问题转化为可证e x＞ln（x+2）成立，设h（x）＝e x﹣ln（x+2），根据函数的单调性证明即可．【解答】（1）解：当a＝1时，f（x）＝e x．因为f'（x）＝e x，所以f'（0）＝1，f（2）＝1．即x﹣y+1＝0．当b≤2时，ln（x+b）≤ln（x+2），设h（x）＝e x﹣ln（x+2），则，又因为，，即．当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0．又因为，ln（x0+2）＝﹣x0，所以当x∈（﹣2，+∞）时h（x）＞0，即e x＞ln（x+7）．所以当a≥1，b≤2时，f（x）＞g（x）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθtanθ＝2．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2交于M，N两点，点P的极坐标为，求|PM|2+|PN|2的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．解：（1）由曲线C1的参数方程消去参数t可得，曲线C1的普通方程为4x﹣3y﹣8＝0．由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得，曲线C2的直角坐标方程为y2＝2x（x≠0）．所以点P在曲线C1上．将曲线C6的参数方程（t为参数）代入y2＝2x，设点M，N对应的参数分别为t1，t2，则，．所以．一、选择题23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+1|．（1）求不等式f（x）≤2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＞|a+2|的解集不是空集，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据f（x）≤2，利用零点分段法，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为f（x）max＞|a+2|，得到关于a的不等式，解出即可．解：（1）由题意得|x﹣1|﹣2|x+2|≤2．①当x≥1时，不等式|x﹣2|﹣2|x+1|≤2可化为x﹣1﹣2x﹣4≤2，解得x≥﹣5，所以x≥1．②当﹣1≤x＜1时，不等式|x﹣1|﹣5|x+1|≤2可化为1﹣x﹣2x﹣2≤7，解得x≥﹣1，所以﹣1≤x＜1．③当x＜﹣1时，不等式|x﹣1|﹣2|x+3|≤2可化为1﹣x+2x+2≤2，解得x≤﹣2，所以x＜﹣1．（2）由（1）知，对于任意x∈R，f（x）≤2，且当x＝﹣1时取等号，关于x的不等式f（x）＞|a+7|的解集不是空集，所以实数a的取值范围为（﹣4，0）．。
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2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学综合训练试卷（三）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|9x 2−3<1}，B ={y|y <2}，则(∁R A)∩B =( )A. [23,2) B. ⌀C.D. (−23,23)2.√3+i −1+√3i=( )A. −iB. −2iC. −√32−iD. −√32+12i3. 命题“∀x ≥0，sinx ≤1”的否定是( )A. ∀x <0，sinx >1B. ∀x ≥0，sinx >1C. ∃x <0，sinx >1D. ∃x ≥0，sinx >14. 已知(1−2x )n 展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(1−2x )n (1+x )展开式中含x 2项的系数为( )A. 71B. 70C. 21D. 495. 将不等式组{x −y +1≥0x +y −1≥0，表示的平面区域记为Ω，则属于Ω的点是( )A. (−3,1)B. (1,−3)C. (1,3)D. (3,1)6. 甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，则甲运动员的极差与乙运动员的众数分别是( )A. 20、80B. 20、81C. 17、80D. 17、817. 设a ，b 是两不同直线，α，β是两不同平面，则下列命题错误的是( )A. 若a ⊥α，b//α，则a ⊥bB. 若a ⊥α，b ⊥β，α//β，则a//bC. 若a//α，a//β则α//βD. 若a ⊥α，b//a ，b ⊂β，则α⊥β8.函数f(x)=(x−1)lnx2的图象大致为()A. B.C. D.9.某程序的程序框图如图所示，若输入的x=2，则输出的x=()A. −1B. 12C. 1D. 210.已知F1、F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，若双曲线C的右支上存在点A，满足2|AF1|−3|AF2|=a，则双曲线C的离心率的取值范围是()A. (1,4]B. (1,4)C. (1,2]D. (1,2)11.过抛物线C：x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则线段|AF|=()A. 1B. 2C. 3D. 412.已知正四棱锥S−ABCD的五个顶点在表面积为25π3的同一球面上，它的底面边长为2，则它的侧棱与底面所成角的正弦值为()A. √155B. √105C. 15D. √612二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(−2,1),b⃗ =(1,0)，则|2a⃗−3b⃗ |=______ ．14.设各项均为正数的等比数列{a n}中，若a4=2，a6=5，则数列{lga n}的前9项和等于______．15.一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为______．16.已知函数f(x)=e x−mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=12x垂直的切线，则实数m的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosAa +cosBb=1c．(1)证明：a，c，b成等比数列(2)若c=3，且√3sin2C=2cos2C+1，求△ABC的周长18.如图，己知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形．E为棱AB的中点，PE⊥CE，AB=4，AD=2，PD=PE=2√2．(Ⅰ)证明：平面PDE ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求二面角D −PC −E 的余弦值．19. 张锐参加“智力闯关”活动，活动的规则如下：参赛选手需回答4道题目，第1，2题每题1分，第3，4题每题3分，答错或不答得0分，比赛结束后统计分数(即前三题无论答对还是答错，比赛均继续).若张锐前2题每题答对的概率为35，后2题每题答对的概率为15，且每题是否答对相互独立．记X 为张锐的得分，要求：所有概率用分数表示．求： (1)张锐至少答对1道题目的概率； (2)X 的分布列和数学期望．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点A(2,0)，且离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线y =kx +√3与椭圆C 交于M ，N 两点，若直线x =3上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．21. 设函数f(x)=lnx −x +1．(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明当x ∈(1,+∞)时，lnx <x −1<xlnx ．22. 在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2，现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C 1的参数方程为{x =−1+2cosφy =−2+2sinφ(φ为参数)． (1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 1的普通方程；(2)若曲线C 2为曲线C 1关于直线l 的对称曲线，点A ，B 分别为曲线C 1、曲线C 2上的动点，点P 坐标为(2,2)，求|AP|+|BP|的最小值．23.设a，b，c均为正数，证明：a2b +b2c+c2a≥a+b+c．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题主要考查了的集合基本运算，根据题意求解出集合A、B，在计算出补集A与B的交集即可；【解答】解：由题意得，A={x|−23<x<23}，则∁R A={x|x≤−23或x≥23}，，故选C．2.答案：A解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，属基础题．利用复数代数形式的除法法则即可得到答案．【解答】解：√3+i−1+√3i =√3+i)(−1−√3i)(−1+√3i)(−1−√3i)=−4i4=−i．故选A．3.答案：D解析：解：∵“∀x≥0”的否定是“∃x≥0”，“都有sinx≤1”的否定是“使得sinx>1”，∴“∀x≥0，都有sinx≤1”的否定是“∃x≥0，使得sinx>1”．故选：D通过全称命题的否定的特称命题，先否定题设，再否定结论．本题考查命题的否定，解题时要注意审题，认真解答．注意全称命题与特称命题的否定关系．4.答案：B解析： 【分析】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．属于基础题． 【解答】解：因为奇数项的二项式系数之和为2n−1，所以2n−1=64⇒n =7，因此(1−2x )7(1+x )展开式中含x 2项为T 3 =C 72(1)5(−2x )2+C 71(1)6(−2x 2)， 故系数为C 72(−2)2+C 71(−2)=70，故选B ．5.答案：D解析： 【分析】本题主要考查不等式的平面区域． 把点代入验证，即可得． 【解答】解：因为点(3,1)同时满足x −y +1=3−1+1>0与x +y −1=3+1−1>0， 因为不等式组{x −y +1≥0x +y −1≥0，表示的平面区域记为Ω，所以点(3,1) 属于Ω． 故选D ．6.答案：C解析： 【分析】本题考查了茎叶图中的极差以及众数的计算，明确各定义是关键，属于基础题． 根据茎叶图计算甲的极差，找出乙成绩中出现最多的数据即可． 【解答】解：由茎叶图可知，甲成绩的极差为95−78=17，乙运动员的众数，80；故选C．7.答案：C解析：解：利用正方体模型：对于A：若a⊥α，b//α，则a⊥b，故此命题为真命题；对于B：若a⊥α，b⊥β，且α//β，则a//b，由面面垂直的性质可知，此命题为真命题；对于C：设正方体的下底面为α，左侧面为β，a为右侧面与上底面的交线，则a//α，a//β，但a⊥β，故此命题为假命题；对于D：若a⊥α，b//a，则b⊥α，b⊂β，面面垂直的判定定理知：α⊥β正确．故答案为C借助于正方体模型加以解决：A命题为真命题；由面面垂直的性质可知，B命题为真命题；对于C：设正方体的下底面为α，左侧面为β，a为右侧面与上底面的交线，则a//α，a//β，但a⊥β；面面垂直的判定定理知D命题为真命题．本题考查平面的基本性质及推论，解题的关键是有着较强的空间感知能力及对空间中线面，面面，线线位置关系的理解与掌握，此类题是训练空间想像能力的题，属于基本能力训练题．8.答案：B解析：【分析】【解答】解：由函数，得，定义域为{x|x≠0}，故排除A，当x=1时，f(x)=0，当x>1时，f(x)>0，当0<x<1时，f(x)>0，故排除C，D，故B正确。
故选B．9.答案：A解析：【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得：x=2，i=1，执行循环体，x=−1，i=2，，i=3；不满足条件i≥8，执行循环体，x=12不满足条件i≥8，执行循环体，x=2，i=4；不满足条件i≥8，执行循环体，x=−1，i=5；，i=6；不满足条件i≥8，执行循环体，x=12不满足条件i≥8，执行循环体，x=2，i=7；不满足条件i≥8，执行循环体，x=−1，i=8；满足条件i≥8，退出循环，输出x的值为−1．故选：A．10.答案：A解析：【分析】本题考查了双曲线的定义与性质，属于中档题．求出|AF1|，|AF2|，根据三点位置关系列出不等式得出e的范围．【解答】解：由双曲线的定义可知|AF1|−|AF2|=2a，又2|AF1|−3|AF2|=a，∴|AF1|=5a，|AF2|=3a，又|F1F2|=2c，∴8a≥2c，即e≤4，又e>1，∴1<e ≤4．故选：A ．11.答案：A解析：【分析】本题考查抛物线的简单性质，考查导数知识，正确运用抛物线的定义是关键．利用抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，求出B 的坐标，可得直线l 的方程，利用抛物线的定义，即可求出|AF|．【解答】解：∵x 2=2y ，∴y′=x ，∴抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，∴B(1,12)，∵x 2=2y 的焦点F(0,12)，准线方程为y =−12，∴直线l 的方程为y =12，∴|AF|=1．故选A ．12.答案：A解析：【分析】本题主要考查正四棱锥的结构特征和线面角，属于中档题．由正四棱锥外接球的表面积为25π3可得球的半径，由球的半径和底面对角线的长可得S 到底面的距离，故可得侧棱长，因此求得侧棱与底面所成角的正弦值．【解答】解：设球半径为R ，则解得R =5√36，∵正四棱锥底面边长为2，∴底面的对角线长为2√2，设S 在底面的投影为F ，则SF ⊥底面ABCD ，则球心O 在直线SF 上，连接OA ，AC ，则F 在AC 上，如图所示，则侧棱SA 与底面所成角为∠SAF ．|OF|=√|AO|2−|AF|2=√(5√36)2−(√2)2=√36， ∴|SF|=|OS|+|OF|=5√36+√36=√3，∴|AS|=√|AF|2+|SF|2=√2+3=√5，∴sin∠SAF =|SF ||SA |=√3√5=√155， 即侧棱与底面所成角的正弦值为√155， 故选A ．13.答案：√53解析：解：∵向量a ⃗ =(−2,1),b ⃗ =(1,0)，∴a ⃗ 2=5，b ⃗ 2=1，a⃗ ⋅b ⃗ =−2+0=−2， ∴|2a ⃗ −3b ⃗ |=√(2a ⃗ −3b ⃗ ) 2=√4a ⃗ 2−12a ⃗ ⋅b ⃗ +9b ⃗ 2=√53， 故答案为√53．求出a ⃗ 2，b ⃗ 2，a ⃗ ⋅b ⃗ 的值，由|2a ⃗ −3b ⃗ |=√(2a ⃗ −3b ⃗ ) 2=√4a ⃗ 2−12a ⃗ ⋅b⃗ +9b ⃗ 2 求得结果． 本题考查两个向量的数量积公式的应用，求向量的模的方法，求出a ⃗ 2，b ⃗ 2，a⃗ ⋅b ⃗ 的值，是解题的关键．14.答案：92解析：解：∵a4=2，a6=5，∴a5=√a4a6=√10．则数列{lga n}的前9项和=lg(a1a2⋅…⋅a9)=lg(a5)9=92．故答案为：92．a4=2，a6=5，可得a5=√a4a6.再利用等比数列的性质即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其性质、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.答案：16解析：解：由已知中三视图，画出几何体的直观图如下图所示：它的顶点均为棱长为1的正方体的顶点，故其底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为1，故几何体的体积V=13×12×1×1×1=16，故答案为：16．根据已知中三视图，画出几何体的直观图，分析几何体的形状为三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．16.答案：(2,+∞)解析：【分析】求导函数，利用曲线C存在与直线y=12x垂直的切线，可得m=e x+2有解，即可确定实数m的取值范围．本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，正确等价转化是关键．【解答】解：∵f(x)=e x−mx+1，∴f′(x)=e x−m，∵曲线C存在与直线y=12x垂直的切线，∴f′(x)=e x−m=−2有解，∴m=2+e x>2，故答案为：(2,+∞)．17.答案：(1)证明：由正弦定理及cosAa +cosBb=1c．得：cosAsinA +cosBsinB=1sinC，所以：sin(A+B)sinAsinB =1sinC，所以：sin2C=sinAsinB，由正弦定理得：c2=ab，故：a，c，b成等比数列．(2)由√3sin2C=2cos2C+1，所以：√3sin2C−cos2C=2，所以：sin(2C−π6)=1，解得：C=π3．由余弦定理得：c2=a2+b2−2abcosC，由于：c=3．故：ab=c2=9．于是得：9=(a+b)2−3ab=(a+b)2−27，解得：a+b=6．所以△ABC的周长为a+b+c=9．解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出结果．(2)利用三角函数关系式的变换和余弦定理求出结果．18.答案：证明：(Ⅰ)∵四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形．E 为棱AB 的中点，PE ⊥CE ，AB =4，AD =2，PD =PE =2√2．∴DE =CE =√22+22=2√2，∴DE 2+CE 2=CD 2，∴DE ⊥CE ，∵DE ∩PE =E ，DE 、PE ⊂平面PDE ，∴CE ⊥平面PDE ，∵CE ⊂平面ABCD ，∴平面PDE ⊥平面ABCD ．解：(Ⅱ)以E 为原点，EC 为x 轴，ED 为y 轴，过E 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，P(√2,0，√6)，D(2√2,0，0)，C(0,2√2,0)，E( 0,0，0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0，−√6)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,2√2,−√6)，EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,√6)，EC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,0)， 设平面PCD 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x −√6z =0n ⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =−√2x +2√2y −√6z =0，取x =√3，得n ⃗ =(√3,√3,1)， 设平面PCE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x +√6z =0m ⃗⃗⃗ ⋅EC⃗⃗⃗⃗⃗ =2√2y =0，取x =√3，得m ⃗⃗⃗ =(√3,0,−1)， 设二面角D −PC −E 的平面角为θ，则|cosθ|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√7⋅√4=√77． 由图可知二面角D −PC −E 为锐二面角，∴二面角D−PC−E的余弦值为√77．解析：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(Ⅰ)推导出PE⊥CE，DE⊥CE，从而CE⊥平面PDE，由此能证明平面PDE⊥平面ABCD．(Ⅱ)以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，过E作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D−PC−E的余弦值．19.答案：解：(1)记事件A为“张锐至少答对1道题目”，则A为“张锐答对0道题目”.因此P(A)=1−P(A)=1−25×25×45×45=561625.(2)由题设，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，7，8.所以P(X=0)=25×25×45×45=64625，P(X=1)=2×35×25×45×45=192625，P(X=2)=35×35×45×45=144625，P(X=3)=2×25×25×15×45=32625，P(X=4)=4×35×25×15×45=96625，P(X=5)=2×35×35×15×45=72625，P(X=6)=25×25×15×15=4625，P(X=7)=2×25×35×15×15=12625，P(X=8)=35×35×15×15=9625．所以X的分布列是X012345678P所以EX=0×64625+1×192625+2×144625+3×32625+4×96625+5×72625+6×4625+7×12625+8×9625=125．解析：(1)记事件A为“张锐至少答对1道题目”，则A为“张锐答对0道题目”.利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．(2)将x所有可能的概率求出，再列分布表即可．本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ)由题意得a=2，e=ca =√32，所以c=√3．因为a 2=b 2+c 2，所以b =1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)若四边形PAMN 是平行四边形，则 PA//MN ，且|PA|=|MN|．所以 直线PA 的方程为y =k(x −2)，所以 P(3,k)，|PA| =√k 2+1．设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2).由{y =kx +√3x 2+4y 2=4得 (4k 2+1)x 2+8√3kx +8=0，由Δ>0，得 k 2>12，且x 1+x 2=−8√3k 4k 2+1，x 1x 2=84k 2+1． 所以|MN|=√(k 2+1)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√(k 2+1)64k 2−32(4k 2+1)2．因为|PA|=|MN|，所以 √(k 2+1)64k 2−32(4k 2+1)2=√k 2+1．整理得 16k 4−56k 2+33=0，解得 k =±√32，或 k =±√112． 经检验均符合Δ>0，但k =− √32时不满足PAMN 是平行四边形，舍去． 所以 k =√32，或 k =±√112．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．(Ⅰ)利用已知条件求出a ，b ，即可得到椭圆的方程；(Ⅱ)直线PA 的方程为y =k(x −2)，得到 P(3,k)，求出|PA| =√k 2+1，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式转化求解即可．21.答案：解：(1)函数f(x)=lnx −x +1的导数为f′(x)=1x −1，由f′(x)>0，可得0<x <1；由f′(x)<0，可得x >1．即有f(x)的增区间为(0,1)；减区间为(1,+∞)；(2)证明：当x ∈(1,+∞)时，由(1)可得f(x)=lnx −x +1在(1,+∞)递减，可得f(x)<f(1)=0，即有lnx <x −1；设F(x)=xlnx −x +1，x >1，F′(x)=1+lnx −1=lnx ，当x >1时，F′(x)>0，可得F(x)递增，即有F(x)>F(1)=0，即有xlnx >x −1，则原不等式成立；解析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)由(1)求出lnx <x −1，设F(x)=xlnx −x +1，x >1，根据函数的单调性求出F(x)>0，证明结论即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题． 22.答案：解：(1)直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2，∴√22ρsinθ+√22ρcosθ=2√2，即ρcosθ+ρsinθ=4，∴直线l 的直角坐标方程为x +y −4=0；曲线C 1的参数方程为{x =−1+2cosφy =−2+2sinφ(φ为参数)． ∴曲线C 1的普通方程为(x +1)2+(y +2)2=4．(2)∵点P 在直线x +y =4上，根据对称性，|AP|的最小值与|BP|的最小值相等．曲线C 1是以(−1,−2)为圆心，半径r =2的圆．∴|AP|min =|PC 1|−r =√(2+1)2+(2+2)2−2=3．所以|AP|+|BP|的最小值为2×3=6．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和圆的位置关系的应用．(1)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用直线和曲线的位置关系的应用求出结果．23.答案：证明：∵a2b +b2c+c2a+a+b+c=(a2b+b)+(b2c+c)+(c2a+a)≥2a+2b+2c即得a2b +b2c+c2a≥a+b+c成立．解析：把不等式的左边加上a+b+c，再利用基本不等式证明它大于或等于2(a+b+c)，即可得到要证的不等式成立．本题考查基本不等式的应用，难点在于通过观察分析、构造不等式，属于中档题．。