最新2019-2020年高考数学大题综合训练1教学内容

2019-2020年高考数学大题综合训练1

1．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，其前n 项和为S n ，若a 2＋a 8＝22，且a 4，a 7，a 12成等比数列．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n ，证明：T n <3

4.

(1)解 ∵数列{a n }为等差数列，且a 2＋a 8＝22， ∴a 5＝1

2(a 2＋a 8)＝11.

∵a 4，a 7，a 12成等比数列， ∴a 27＝a 4·

a 12， 即(11＋2d )2＝(11－d )·(11＋7d )， 又d ≠0， ∴d ＝2，

∴a 1＝11－4×2＝3，

∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1(n ∈N *)． (2)证明 由(1)得，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (n ＋2)，

∴1S n ＝1n (n ＋2)＝12????1

n －1n ＋2， ∴T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n

＝12??

?

???1－13＋????12－14＋????

13－15＋…＋

?

?????1n －1－1n ＋1＋????1n －1n ＋2

＝1

2????1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12????1

n ＋1＋1n ＋2<34.

∴T n <34

.

2．如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝2AD ＝2，E 为CD 的中点，PB ⊥AE .

(1)证明：平面PBD ⊥平面ABCD ；

(2)若PB ＝PD ，PC 与平面ABCD 所成的角为π

4，求二面角B －PD －C 的余弦值．

(1)证明 由ABCD 是直角梯形，

AB ＝3，BC ＝2AD ＝2，可得DC ＝2，BD ＝2， 从而△BCD 是等边三角形， ∠BCD ＝π

3，BD 平分∠ADC ，

∵E 为CD 的中点，DE ＝AD ＝1， ∴BD ⊥AE .

又∵PB ⊥AE ，PB ∩BD ＝B ， 又PB ，BD ?平面PBD ， ∴AE ⊥平面PBD . ∵AE ?平面ABCD ， ∴平面PBD ⊥平面ABCD .

(2)解 方法一 作PO ⊥BD 于点O ，连接OC ，

∵平面PBD ⊥平面ABCD ， 平面PBD ∩平面ABCD ＝BD ， PO ?平面PBD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，

∴∠PCO 为PC 与平面ABCD 所成的角，∠PCO ＝π

4，

又∵PB ＝PD ，

∴O 为BD 的中点，OC ⊥BD ，OP ＝OC ＝3，

以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则B (1,0,0)，C (0，3，0)，D (－1,0,0)，P (0,0，3)， PC →＝(0，3，－3)，PD →

＝(－1,0，－3)． 设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由?????

n ·PC →＝0，n ·

PD →＝0，得???

3y －3z ＝0，－x －3z ＝0，

令z ＝1，则x ＝－3，y ＝1，得n ＝(－3，1,1)． 又平面PBD 的一个法向量为m ＝(0,1,0)， 设二面角B －PD －C 的平面角为θ，

则|cos θ|＝

|n ·m ||n ||m |＝15×1＝5

5

， 由图可知θ为锐角，

∴所求二面角B－PD－C的余弦值是

5

5.

方法二作PO⊥BD于点O，连接OC，

∵平面PBD⊥平面ABCD，

平面PBD∩平面ABCD＝BD，

PO?平面PBD，

∴PO⊥平面ABCD，

∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角，∠PCO＝

π

4，

又∵PB＝PD，

∴O为BD的中点，OC⊥BD，OP＝OC＝3，

作OH⊥PD于点H，连接CH，

则PD⊥平面CHO，

又HC?平面CHO，则PD⊥HC，

则∠CHO为所求二面角B－PD－C的平面角．

由OP＝3，得OH＝

3

2，

∴CH＝

15

2，

∴cos∠CHO＝

OH

CH＝

3

2

15

2

＝

5

5.

3．某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数

量，该超市记录了A水果最近50天的日需求量(单位：千克)，整理得下表：

以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．

(1)若该超市一天购进A水果150千克，记超市当天A水果获得的利润为X(单位：元)，求X 的分布列及期望；

(2)若该超市计划一天购进A水果150千克或160千克，请以当天A水果获得的利润的期望值为决策依据，在150千克与160千克之中任选其一，应选哪一个？若受市场影响，剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个？

解(1)若A水果日需求量为140千克，

则X＝140×(15－10)－(150－140)×(10－8)

＝680(元)，

且P(X＝680)＝5

50＝0.1.

若A水果日需求量不小于150千克，

则X＝150×(15－10)＝750(元)，

且P(X＝750)＝1－0.1＝0.9.

故X的分布列为

E(X)＝680×0.1＋750×0.9＝743. (2)设该超市一天购进A水果160千克，当天的利润为Y(单位：元)，

则Y的可能取值为

140×5－20×2,150×5－10×2,160×5，

即660,730,800，

则Y的分布列为

Y 660730800

P 0.10.20.7

E(Y)＝660×0.1＋730×0.2＋800×0.7＝772.

因为772>743，所以该超市应购进160千克A水果．

若剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，

同理可得X，Y的分布列分别为

X 670750

P 0.10.9

Y 640720800

P 0.10.20.7 因为670×0.1＋750×0.9<640

所以该超市还是应购进160千克A水果．

4.如图，在平面直角坐标系中，椭圆C：x2

a2＋y2

b2＝1(a>b>0)过点?

?

?

?

5

2，

3

2

，离心率为

25

5.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点K (2,0)作一直线与椭圆C 交于A ，B 两点，过A ，B 两点作直线l ：x ＝a 2

c 的垂线，垂足

分别为A 1，B 1，试问直线AB 1与A 1B 的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．

解 (1)由题意得???

a 2＝

b 2＋

c 2，

54a 2

＋34b

2

＝1，

c a ＝255

?????

?

a ＝5，

b ＝1，

c ＝2，

所以椭圆C 的标准方程为x 25

＋y 2

＝1.

(2)①当直线AB 的斜率不存在时，直线l ：x ＝5

2，

AB 1与A 1B 的交点是????

94，0.

②当直线AB 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 为y ＝k (x －2)，

由?

????

y ＝k (x －2)，x 2＋5y 2＝5， 得(1＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0， 所以x 1＋x 2＝20k 21＋5k 2，x 1x 2＝20k 2－51＋5k 2，

A 1????52，y 1，

B 1????5

2，y 2， 所以lAB 1：y ＝y 2－y 15

2－x 1????x －52＋y 2， lA 1B ：y ＝

y 2－y 1x 2－

52

????

x －52＋y 1，