高三数学理科综合立体几何试题个大题
立体几何复习试题
1.如图甲所示,BO 是梯形ABCD 的高,∠BAD=45°,
OB=BC=1,OD=3OA ,现将梯形ABCD 沿OB 折起如图乙所
示的四棱锥P ﹣OBCD ,使得PC=
,点E 是线段PB 上
一动点.
(1)证明:DE 和PC 不可能垂直;
(2)当PE=2BE 时,求PD 与平面CDE 所成角的正弦值.
2.如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,面PAD ⊥底面ABCD ,且PAD ?是边长为2的等边三角形,13,PC M =在PC 上,且PA P 面MBD .
(1)求证:M 是PC 的中点;
(2)在PA 上是否存在点F ,使二面角F BD M --为直角?若存在,求出AF
AP 的值;若不存在,说明理由.
3.如图,在四棱锥P -ABCD 中,BA ∥平面PCD ,平面PAD ⊥平面ABCD ,
CD ⊥AD ,△APD 为等腰直角三角形,
222PA PD CD ==
=(1)证明:平面PAB ⊥平面PCD ; (2)若三棱锥B -PAD 的体积为1
3,求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的余
弦值.
4.如图,在圆柱OO 1中,矩形ABB 1A 1是过OO 1的截面CC 1是圆柱OO 1的母线,
AB=2,AA 1=3,∠CAB=. (1)证明:AC 1∥平面COB 1;
(2)在圆O 所在的平面上,点C 关于直线AB 的对称点为D ,
求二面角D ﹣B 1C ﹣B 的余弦值.
P
D C A B
立体几何复习试题试卷答案
1.【解答】(1)证明:如图甲所示,因为BO 是梯形ABCD 的高,∠BAD=45°,所以AO=OB…(1分) 因为BC=1,OD=3OA ,可得OD=3,OC=
…(2分) 如图乙所示,OP=OA=1,OC=,PC=,所以有OP 2+OC 2=PC 2,所以OP ⊥OC…(3分)
而OB ⊥OP ,OB ∩OC=O ,所以OP ⊥平面OPD…(4分)
又OB ⊥OD ,所以OB 、OD 、OP 两两垂直.故以O 为原点,建立空间直角坐标系(如图),则P (0,0,1),C (1,1,0),D (0,3,0)
设E (x ,0,1﹣x ),其中0≤x ≤1,所以
=(x ,﹣3,1﹣x ),=(1,1,﹣1), 假设DE 和SC 垂直,则=0,有x ﹣3+(1﹣x )(﹣1)=0,解得x=2,
这与0≤x ≤1矛盾,假设不成立,所以DE 和SC 不可能垂直…(6分)
(2)解:因为PE=2BE ,所以E (,0,)…(7分)
设平面CDE 的一个法向量是=(x ,y ,z ), 因为=(﹣1,2,0),=(,﹣3,),所以 取=(2,1,5)…(10分) 而=(0,3,﹣1),所以|cos <,>=,
所以PD 与平面CDE 所成角的正弦值为.…(12分)
2.解答:(1)证明:连AC 交BD 于E ,连.ME ABCD Q 是矩形,
E ∴是AC 中点.又PA P 面MBD ,且ME 是面PAC 与面MDB 的交线,
,PA ME M ∴∴P 是PC 的中点.
(2)取AD 中点O ,由(1)知,,OA OE OP 两两垂直.以O 为原点,
,,OA OE OP 所在直线分别为x 轴,
y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(如图),则各点坐标为
()()()()()1331,0,0,1,3,0,1,0,0,1,3,0,0,0,3,,,222A B D C P M ??--- ? ???.
设存在F 满足要求,且AF AP λ=,则由AF AP λ=u u u r u u u r 得:()
1,0,3F λλ-,面MBD 的一个法向量为231,,33n ??=- ? ???r ,面FBD 的一个法向量为221,,33m λλ-??=- ???r ,由·0n m =r r ,得421093λλ-++=,解得38λ=
,故存在F ,使二面角F BD M --为直角,此时38AF AP =.
3.解:(1)依题:CD AD PAD ABCD ⊥??⊥?面面CD ?⊥面PAD CD AP ?⊥,又AP PD ⊥,
AP ∴⊥平面PCD ,又AP ?平面PAB ,∴平面PAB ⊥平面PCD
(2)ABCD PCD CD BA PCD ?=???
平面平面∥平面BA CD ?∥,由(1)知AB ⊥面PAD 1132B PAD V AB PA PD -∴=??113AB =?=,
取AD 中点O ,PO AD ⊥,平面PAD 平面ABCD ,PO ∴平面ABCD ,以过点O 且平行于AB 的直线为x 轴,如图建系,各点坐标如图.由(1)易知平面PAD 的一法向量为
()1,0,0m =u r ,设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r .()1,1,1PB =-uu r ,()2,1,1PC =--uu u r .
00n PB n PC ??=???=??r uu r r uu u r 020x y z x y z +-=???--=?,取2x =,()2,1,3n =r .
cos ,m n =u r r 147m n m n ?=u r r u r r ,故所求二面角的余弦值为14
.
4.【解答】证明:(1)连结B 1C 1、BC 1,设BC 1∩B 1C=M ,
∵BB 1CC 1,∴四边形BB 1C 1C 为平行四边形,∴M 为BC 1的中点,
在△ABC 1中,O 为AB 的中点,∴MO ∥AC 1,又AC 1?平面B 1CD ,MO?平面B 1CD ,∴AC 1∥平面COB 1. 解:(2)如图,∵AB 是圆O 的直径,∴AC ⊥BC ,∵C 1C ⊥平面ABC ,∴C 1C ⊥AC ,C 1C ⊥BC , 又∠BAC=60°,AB=2,∴AC=1,BC=,AA 1=3,
以点C 为坐标原点,分别以CA ,CB ,OC 1为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,
则C (0,0,0),A (1,0,0),B (0,,0),C 1(0,0,3),O (,0),B 1(0,),
在圆O上,C,D关于直线AB对称,△AOC为正三角形,且OA=1,
∴CD=,∠ACD=30°,过点D作DP⊥x轴,DQ⊥y轴,垂足分别为P,Q,则CP=CD?cos=,
CQ=CD?sin,∴D(,0),
∴=(,0),
设平面CDB1的一个法向量=(x,y,z),
则,取y=﹣,得=(1,﹣,1),
平面B1BC的一个法向量=(1,0,0),
设二面角D﹣B1C﹣B的二面角为θ,
则cosθ==.
故二面角D﹣B1C﹣B的余弦值为.
2017年高考立体几何大题(理科)
2017年高考立体几何大题(理科)1、(2017新课标Ⅰ理数)(12分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且90 ∠=∠=. BAP CDP (1)证明:平面PAB⊥平面PAD; (2)若PA=PD=AB=DC,90 ∠=,求二面角A-PB-C的余弦值. APD
2、(2017新课标Ⅱ理)(12分) 如图,四棱锥P -ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂 直于底面ABCD ,o 1 ,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点. (1)证明:直线CE ∥平面PAB ; (2)点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所成 角为o 45,求二面角M AB D --的余弦值.
3、(2017新课标Ⅲ理数)(12分) 如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD. (1)证明:平面ACD⊥平面ABC; (2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D–AE–C的余弦值.
4、(2017理)(本小题14分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD//平面MAC,PA=PD,AB=4.
(I)求证:M为PB的中点; (II)求二面角B-PD-A的大小; (III)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
5、(2017理)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD (及其部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120?得到的,G 是DF 的中点. (Ⅰ)设P 是CE 上的一点,且AP BE ⊥,求CBP ∠的大小; (Ⅱ)当3AB =,2AD =,求二面角E AG C --的大小.
高三数学知识点总结:立体几何
2019年高三数学知识点总结:立体几何 由查字典数学网高中频道提供,2019年高三数学知识点总结:立体几何,因此老师及家长请认真阅读,关注孩子的成长。 立体几何初步 (1)棱柱: 定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台:
定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱: 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥: 定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台: 定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
2015届高三数学立体几何专题训练及详细答案
2015届高三数学立体几何专题训练 1.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .16+8π B .8+8π C .16+16π D .8+16π 解析:选A. 原几何体为组合体:上面是长方体,下面是圆柱的一半(如图所示),其体积为V =4×2×2+1 2 π×22×4=16+8π. 2.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ,如果不计容器厚度,则球的体积为( ) A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析:选A. 如图,作出球的一个截面,则MC =8-6=2(cm), BM =12AB =1 2 ×8=4(cm). 设球的半径为R cm ,则R 2=OM 2+MB 2=(R -2)2+42,∴R =5, ∴V 球=43π×53=500π 3 (cm 3). 3.(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,l ?α,l ?β,则( ) A .α∥β且l ∥α B .α⊥β且l ⊥β
C .α与β相交,且交线垂直于l D .α与β相交,且交线平行于l 解析:选D. 根据所给的已知条件作图,如图所示. 由图可知α与β相交,且交线平行于l ,故选D. 4.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 C.23 D.13 解析:选A.法一: 如图,连接AC ,交B D 于点O ,由正四棱柱的性质,有AC ⊥B D.因为CC 1⊥平面ABC D ,所以CC 1⊥B D.又CC 1∩AC =C ,所以B D ⊥平面CC 1O .在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ,垂足为H ,则B D ⊥CH .又B D ∩C 1O =O ,所以CH ⊥平面B D C 1,连接D H ,则D H 为C D 在平面B D C 1上的射影,所以∠C D H 为C D 与平面B D C 1所成的角.设AA 1=2AB =2.在Rt △COC 1中,由 等面积变换易求得CH =23.在Rt △C D H 中,s in ∠C D H =CH CD =2 3 . 法二: 以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA 1=2AB =2,则D(0,0,0),C (0,1,0), B (1,1,0), C 1(0,1,2),则DC →=(0,1,0),DB →=(1,1,0),DC 1→ =(0,1,2). 设平面B D C 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则 n ⊥DB →,n ⊥DC 1→ ,所以有????? x +y =0,y +2z =0, 令y =-2,得平面B D C 1的一个法向量为n =(2, -2,1). 设C D 与平面B D C 1所成的角为θ,则s in θ=|co s n ,DC → =???? ??n ·DC →|n ||DC →|=23. 5.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33
2018年高考立体几何大题练习
1.(14分)如图,在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中,PA ⊥面ABCD ,BD 交AC 于点,E F 是PC 中点,G 为AC 上一点。 (Ⅰ)求证:BD ⊥FG ; (Ⅱ)确定点G 在线段AC 上的位置,使FG //平面PBD ,并说明理由; (Ⅲ)当二面角B PC D --的大小为23 π时,求PC 与底面ABCD 所成 角的正切值。 2.(本小题满分14分) 如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA C C ⊥底面ABC ,112,AA AC AC AB BC ====, 且AB BC ⊥,O 为AC 中点. (Ⅰ)证明:1A O ⊥平面ABC ; (Ⅱ)求直线1A C 与平面1A AB 所成角的正弦值; (Ⅲ)在1BC 上是否存在一点E ,使得//OE 平面1A AB ,若不存在,说明理由;若存在, 确定点E 的位置. 1 A B C O A 1 B 1
3.如图1,在直角梯形ABCD 中,AD //BC ,D 2 π ∠BA = ,C 1AB =B =,D 2A =,E 是D A 的中点, O 是C A 与BE 的交点.将?ABE 沿BE 折起到1?A BE 的位置,如图2. (I )证明:CD ⊥平面1C A O ; (II )若平面1A BE ⊥平面CD B E ,求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值. 4.(2016·兰州诊断)如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是等腰梯形,AB ∥ CD ,=21AB BC CD ==,,顶点1D 在底面ABCD 内的射影恰为点C (1)求证:1AD ⊥BC ; (2)若直线1DD 与直线AB 所成的角为3 π ,求平面11ABC D 与平面ABCD 所成角(锐角)的余弦值.
高中数学立体几何专题
高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等,侧面是平行四边形; ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ⑷直棱柱的侧棱长与高相等,侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和:AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体
的角分别是α、β、γ,那么: cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ,则: cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图:正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长,h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线 为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆; ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径,h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥:有一个面是多边形,其余各面是 有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。
立体几何练习题
数学立体几何练习题 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,棱长为a ,M 、N 分别为A 1B 和AC 上 的点,A 1M =AN = 2a 3 ,则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A .相交 B .平行 C .垂直 D .不能确定 2.将正方形ABCD 沿对角线BD 折起,使平面ABD ⊥平面CBD ,E 是CD 中点,则AED ∠的大小为( ) A.45 B.30 C.60 D.90 3.PA ,PB ,PC 是从P 引出的三条射线,每两条的夹角都是60o,则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为( ) A . 12 B C D 4.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点,则直线ED 与D 1F 所成角的余弦值是 A . 15 B 。13 C 。 12 D 5. 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中,O 是底面ABCD 的中心,E 、F 分别是1CC 、 AD 的中点,那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于( ) A .510 B .3 2 C .55 D .515 6.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,若AB=2,A A 1=1,则点A 到平面A 1BC 的距离为( ) A . 4 3 B . 2 3 C . 4 3 3 D .3 7.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,若AB=2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 ( ) A.60o B. 90o C.105o D. 75o 8.设E ,F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点,在正方体的12条面对角线中,与截面 A 1ECF 成60°角的对角线的数目是( ) A .0 B .2 C .4 D .6 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点,则 sin 〈CM ,1D N 〉的值为_________. 10.如图,正方体的棱长为1,C 、D 分别是两条棱的中点, A 、B 、M 是顶点, 那么点M 到截面ABCD 的距离是 . A B M D C