2015北京市八一中学高一(上)期中数学

2015北京市八一中学高一（上）期中数学一、选择题：1．已知全集U=R，集合M={x|x2﹣2x＜0}，集合N={x|x＞1}，则集合M∩（∁U N）=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|0＜x＜2} D．{x|x≤1}2．下列函数中，与函数y=x（x≥0）有相同图象的一个是（）A．y=B．y=（）2C．y=D．y=3．已知a=31.2，b=3°，，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b4．下列函数中，在其定义域上为奇函数的是（）A．B．f（x）=C．f（x）=（x﹣1）3D．f（x）=2x5．直线y=ax+b的图象如图所示，则函数h（x）=（ab）x在R上（）A．为增函数 B．为减函数 C．为常数函数D．单调性不确定6．函数f（x）=1﹣2|x|的图象大致是（）A．B．C．D．7．定义在实数集R上的偶函数y=f（x）满足f（x+1）=f（1﹣x），且在区间[﹣1，0]上单调递增，设a=f（1），，c=f（2），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．a＞c＞b8．要得到函数f（x）=21﹣x的图象．可以将（）A．函数y=2x的图象向左平移1个单位长度B．函数y=2x的图象向右平移1个单位长度C．函数y=2﹣x的图象向左平移1个单位长度D．函数y=2﹣x的图象向右平移1个单位长度9．已知点B（2，0），P是函数y=2x图象上不同于A（0，1）的一点，有如下结论：①存在点P使得△ABP是等腰三角形；②存在点P使得△ABP是锐角三角形；③存在点P使得△ABP是直角三角形．其中，正确结论的序号为（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③10．已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）A． B． C．（0，3] D．[3，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．若，则f（x）的定义域是．12．已知f（x+1）=2x，且f（a）=4，则a= ．13．已知则f（x）的零点为．14．如果集合A={x|ax2+2x+1=0}只有一个元素，则实数a的值为．15．已知函数的图象与函数y=2x+b的图象恰有两个交点，则实数b的取值范围是．16．给定集合A n={1，2，3，…，n}，n∈N*．若f是A n→A n的映射且满足：①任取i，j∈A n，若i≠j，则f（i）≠f（j）；②任取m∈A n，若m≥2，则有m∈{f（1），f（2），…，f（m）}．则称映射f为A n→A n的一个“优映射”．例如：用表1表示的映射f：A3→A3是一个“优映射”．表一i 1 2 3F（i） 2 3 1表2i 1 2 3 4F（i） 3（1）若f：A4→A4是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；（2）若f：A2015→A2015是“优映射”，且f+f设MP=x米，PN=y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；（Ⅱ）求矩形BNPM面积的最大值．19．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，．（Ⅰ）求f（﹣1）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的值域A；（Ⅲ）设函数的定义域为集合B，若A⊆B，求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”．（1）若f（x）=ax2+ax是“一阶比增函数”，求实数a的取值范围；（2）若f（x）是“一阶比增函数”，求证：对任意x1，x2∈（0，+∞），总有f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；（3）若f（x）是“一阶比增函数”，且f（x）有零点，求证：关于x的不等式f（x）＞2015有解．数学试题答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，根据全集U=R求出N的补集，找出M与N补集的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即M={x|0＜x＜2}，∵全集U=R，N={x|x＞1}，∴∁U N={x|x≤1}，则M∩（∁U N）={x|0＜x≤1}，故选：B．2．【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】由题意知，这两个函数应是同一个函数．考查各个选项中的两个函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系，否则，不是同一个函数．【解答】解：一个函数与函数y=x （x≥0）有相同图象时，这两个函数应是同一个函数．A中的函数和函数y=x （x≥0）的值域不同，故不是同一个函数．B中的函数和函数y=x （x≥0）具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一个函数．C中的函数和函数y=x （x≥0）的值域不同，故不是同一个函数．D中的函数和函数y=x （x≥0）的定义域不同，故不是同一个函数．综上，只有B中的函数和函数y=x （x≥0）是同一个函数，具有相同的图象，故选 B．3．【考点】指数函数的图象与性质．【分析】根据指数函数的图象与性质，即可比较大小．【解答】解：∵a=31.2＞3，b=3°=1，=30.9＜3，30.9＞1，∴b=1＜c＜3＜a，∴a，b，c的大小关系是b＜c＜a．故选：C．4．【考点】函数奇偶性的判断．【分析】判断函数的奇偶性，先求定义域，判断定义域是否关于原点对称，然后再根据奇偶性的定义进行判断．【解答】解：对于A，定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x），则函数为奇函数对于B，定义域为{x|x≠1}不对称，从而是非奇非偶函数对于C，f（﹣x）=﹣（x+1）3≠﹣f（x）=﹣（x﹣1）3，故不是奇函数对于D，f（﹣x）=2﹣x≠﹣f（x）=﹣2x，故不是奇函数故选A．5．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据图象的横截距和纵截距，判断出a和b的取值范围，得到底数ab的范围，由指数函数的性质得到函数为减函数．【解答】解：由图可知x=﹣1时，y=b﹣a=0．∴a=b，当x=0时，y=b，0＜b＜1，∴0＜a，b＜1，根据指数函数的性质，∴h（x）=（ab）x，为减函数．故选B．6．【考点】函数的图象．【分析】根据指数函数的图象和性质，求出函数f（x）的值域，问题得以解决【解答】解：因为|x|≥0，所以2|x|≥1，所以f（x）=1﹣2|x|≤0恒成立，故选：A7．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系，判断函数在[0，+∞）是减函数，根据函数单调性进行判断即可．【解答】解：∵偶函数y=f（x）满足f（x+1）=f（1﹣x），∴f（x）关于x=1对称，∵f（x）在区间[﹣1，0]上单调递增，∴在区间[0，1]上单调递递减，在区间[1，2]上单调递增，则f（2）＞f（）＞f（1），即c＞b＞a，故选：B8．【考点】指数函数的图象变换．【分析】依据函数图象变换理论，f（x+1）的图象是由f（x）的图象向左平移一个单位得到的，f（x﹣1）的图象是由f（x）的图象向右平移一个单位得到的，对照选项即可作选【解答】解：将函数y=2﹣x的图象向右平移1个单位长度，得函数y=2﹣（x﹣1）=21﹣x的图象故选 D9．【考点】指数函数的图象与性质；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数法，可判断出线段AB与函数y=2x图象在（0，1）点的切线垂直，进而可判断出三个结论的正误，得到答案．【解答】解：∵函数y=2x的导函数为y′=（ln2）2x∴y′|x=0=ln2，即线段AB的斜率为，ln2＜2∴存在点P使得三角形ABP为锐角和直角三角形．以B（2，0）为圆心，AB为半价作圆，和y=2x有交点，所以能够构成等腰三角形所以，选项都对，选D10．【考点】函数的值域．【分析】根据二次函数的图象求出f（x）在[﹣1，2]时的值域为[﹣1，3]，再根据一次g（x）=ax+2（a＞0）为增函数，求出g（x2）∈[2﹣a，2a+2]，由题意得f（x）值域是g（x）值域的子集，从而得到实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称∴x1∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=﹣1，最大值为f（﹣1）=3，可得f（x1）值域为[﹣1，3]又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣1，2]，∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣1），g（2）]即g（x2）∈[2﹣a，2a+2]∵∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），∴⇒a≥3故选D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，且分式的分母不等于0联立不等式组得答案．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：x≥0且x≠1，∴f（x）的定义域是[0，1）∪（1，+∞）．故答案为：[0，1）∪（1，+∞）．12．【考点】函数的值．【分析】根据函数的解析式，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：由f（x+1）=2x得f（x+1）=2（x+1）﹣2，则f（x）=2x﹣2，由f（a）=4得f（a）=2a﹣2=4，即2a=6，得a=3，故答案为：3．13．【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数的零点即函数图象与x轴的交点的值，令f（x）=0求解即可．【解答】解：，当x≥0时，f（x）=3x﹣3=0，解得：x=1，当x＜0时，f（x）==0，解得：x=﹣2，∴函数f（x）的零点为：﹣2和1．故答案为：﹣2和1．14．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】讨论a，当a=0时，方程是一次方程，当a≠0时，二次方程只有一个解时，判别式等于零，可求出所求．【解答】解：若集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个解当a=0时，方程可化为2x+1=0，满足条件；当a≠0时，二次方程ax2+2x+1=0有且只有一个解则△=4﹣4a=0，解得a=1故满足条件的a的值为0或1故答案为：0或115．【考点】函数的图象．【分析】先化简函数的解析式，在同一个坐标系下画出函数的图象与函数y=2x+b图象，结合图象，可得实数b的取值范围．【解答】解：当x＞1或x＜﹣1时，y=x+1，当﹣1≤x＜1时，y=﹣x+1，当直线y=2x+b经过点A（1，﹣2）时，此时﹣2=2+b，解得b=﹣4时只有一个交点，当直线y=2x+b经过点B（，2）时，此时2=2+b，解得b=0，此时只有一个交点，由图象可知，函数的图象与函数y=2x+b的图象恰有两个交点，则实数b的取值范围是（﹣4，0）故答案为：（﹣4，0）．16．【解答】解：（1）．（2）根据优影射的定义，f：A2010→A2010是“优映射”，且f+f=1004，f+f解关于x的不等式ax2﹣ax+x＞0，其中a ∈R．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】分a=0、a＞0、a＜0讨论不等式解集情况，结合不等式对应的方程求出不等式的解集．【解答】解：（I）当a=0时，原不等式变为：x＞0，（II）当a≠0时，原不等式可写为，①当a＞0时，若即a=1此时不等式变为x2＞0得x≠0，若即0＜a＜1可得或x＞0，若即a＞1时可得x＜0或，②当a＜0时，可得，综上所述：当a=0时，不等式的解集为{x|x＞0}；当a=1时，不等式的解集为{x|x≠0}；当a＜0时，不等式的解集为当a＞1时，不等式的解集为当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜1﹣或x＞0}18．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（I）利用三角形的相似，可得函数的解析式及定义域；（Ⅱ）表示出面积，利用配方法，可得矩形BNPM面积的最大值．【解答】解：（I）作PQ⊥AF于Q，所以PQ=8﹣y，EQ=x﹣4…在△EDF中，，所以…所以，定义域为{x|4≤x≤8}…（II）设矩形BNPM的面积为S，则…所以S（x）是关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x=10所以当x∈[4，8]，S（x）单调递增…所以当x=8米时，矩形BNPM面积取得最大值48平方米…19．【考点】偶函数；集合的包含关系判断及应用；函数的值域；函数的值．【分析】（I）根据函数是偶函数，把﹣1转化到给出解析式的范围上，代入解析式可求．（II）因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以x≥0时函数值的取值集合就是函数f（x）的值域A，求出（x ≥0）的取值集合即可．（III）先写出x所要满足的一元二次不等式，因为A=（0，1]⊆B，法一：把不等式分解因式，很容易看出两根，一根为﹣1又B中含有正数，所以另一根一定大于﹣1得定义域B=[﹣1，a]，得实数a的取值范围；法二：设为函数，利用函数图象，（0，1]在图象与x轴的两交点之间，图象开中向上，x=0，x=1时对应的函数小于等于0，得不等式组，可求实数a的取值范围．【解答】解：（I）∵函数f（x）是定义在R上的偶函数∴f（﹣1）=f（1）又x≥0时，∴，即f（﹣1）=．（II）由函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得函数f（x）的值域A即为x≥0时，f（x）的取值范围，当x≥0时，故函数f（x）的值域A=（0，1]．11 / 12 （III ）∵定义域B={x|﹣x 2+（a ﹣1）x+a ≥0}={x|x 2﹣（a ﹣1）x ﹣a ≤0}方法一：由x 2﹣（a ﹣1）x ﹣a ≤0得（x ﹣a ）（x+1）≤0∵A ⊆B ∴B=[﹣1，a]，且a ≥1∴实数a 的取值范围是{a|a ≥1}方法二：设h （x ）=x 2﹣（a ﹣1）x ﹣aA ⊆B 当且仅当即 ∴实数a 的取值范围是{a|a ≥1}20．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】（1）根据“一阶比增函数”的定义便可得出函数在（0，+∞）上为增函数，从而由一次函数的单调性便可得出实数a 的取值范围；（2）对任意x 1，x 2∈（0，+∞），有x 1＜x 1+x 2，x 2＜x 1+x 2，而函数在（0，+∞）上为增函数，从而可以得出，，这样即可得出f （x 1）+f （x 2）＜f （x 1+x 2）；（3）根据条件可知，存在x 0＞0，使得f （x 0）=0，从而便可得出x ＞x 0时，f （x ）＞0，从而可取t ∈（0，+∞），并满足f （t ）＞0，可设f （t ）=m ，根据（2）便可得出f （2t ）＞2m ，f （4t ）＞4m ，f （8t ）＞8m ，从而便有f （2nt ）＞2n m ，n ∈N *，显然存在n ∈N *，使得2n m ＞2015，这样即得出关于x 的不等式f （x ）＞2015有解．【解答】解：（1）依题意可知：函数在区间（0，+∞）上为增函数； 由一次函数性质可知一次项系数a ＞0；∴实数a 的取值范围为（0，+∞）；（2）证明：因为f （x ）为“一阶比增函数”，即在（0，+∞）上为增函数； 又对任意x 1，x 2∈（0，+∞），有x 1＜x 1+x 2，x 2＜x 1+x 2；故，； ∴，；不等式左右两边分别相加得：；因此，对于任意x1，x2∈（0，+∞），总有f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；（3）证明：设f（x0）=0，其中x0＞0；因为f（x）是一阶比增函数，所以当x＞x0时，，即f（x）＞0；取t∈（0，+∞），满足f（t）＞0，记f（t）=m；由（2）知f（2t）＞2f（t）=2m；同理可得：f（4t）＞2f（2t）=4m，f（8t）＞2f（4t）＞8m；∴一定存在n∈N*，使得f（2n t）＞2n m＞2015；故不等式f（x）＞2015有解．12 / 12。