衡水中学期中考试高一数学试卷(含答案)
河北省衡水市枣强中学高一数学下学期期中试卷 理(含解析)
2015-2016学年河北省衡水市枣强中学高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题1．函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣，）D．（﹣∞，﹣）2．不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A．10B．﹣10C．14D．﹣143．已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0＜log m（ab）＜1，则m的取值范围是（）A．m＞1B．1＜m＜8C．m＞8D．0＜m＜1或m＞84．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=（）A．16（1﹣4﹣n）B．16（1﹣2﹣n）C．（1﹣4﹣n）D．（1﹣2﹣n）5．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（）A．a1a8＞a4a5B．a1a8＜a4a5C．a1+a8＞a4+a5D．a1a8=a4a56．已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=a n+2n，那么a2003的值是（）A．20032B．2002×2001C．2003×2002D．2003×20047．已知等差数列{a n}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和取最大值的正整数n是（）A．4或5B．5或6C．6或7D．88．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a等于（）A． B．2C． D．9．在△ABC中，已知b=2，B=45°，如果用正弦定理解三角形有两解，则边长a的取值范围是（）A．2＜a＜2B．2＜a＜4C． a＜2D．＜a＜210．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B 的值为（）A． B． C．或D．或11．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A． B． C． D．12．已知D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A的点仰角分别为α、β（α＞β），则A点离地面的高AB等于（）A． B．C． D．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．在等比数列{a n}中，若a9•a11=4，则数列前19项之和为．14．不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．15．在钝角△ABC中，已知a=1，b=2，则最大边的取值范围是．16．已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n=n（n+1）（n+2），则它的前n项和S n= ．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．除17题10分，其它每题12分）17．解关于x的不等式x2﹣x﹣a（a﹣1）＞0．18．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．19．在锐角三角形中，边a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A、B满足：2sin（A+B）﹣=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积．20．已知数列{a n}为等差数列，公差d≠0，其中，，…，恰为等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+…+k n．21．一缉私艇发现在方位角45°方向，距离12海里的海面上有一走私船正以10海里/小时的速度沿方位角为105°方向逃窜，若缉私艇的速度为14海里/小时，缉私艇沿方位角45°+α的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追击所需时间和α角的正弦．（注：方位角是指正北方向按顺时针方向旋转形成的角，设缉私艇与走私船原来的位置分别为A、C，在B处两船相遇）．22．已知公比为负值的等比数列{a n}中，a1a5=4，a4=﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=++…+，求数列{a n+b n}的前n项和S n．2015-2016学年河北省衡水市枣强中学高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣，）D．（﹣∞，﹣）【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【分析】依题意可知要使函数有意义需要1﹣x＞0且3x+1＞0，进而可求得x的范围．【解答】解：要使函数有意义需，解得﹣＜x＜1．故选B．2．不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A．10B．﹣10C．14D．﹣14【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】不等式ax2+bx+2＞0的解集是，说明方程ax2+bx+2=0的解为，把解代入方程求出a、b即可．【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是即方程ax2+bx+2=0的解为故则a=﹣12，b=﹣2．3．已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0＜log m（ab）＜1，则m的取值范围是（）A．m＞1B．1＜m＜8C．m＞8D．0＜m＜1或m＞8【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】由已知可得b=2a，b2=a2b，联立可求a，b，代入已知不等式即可求解m的范围【解答】解：∵a，b，a+b成等差数列，∴2b=2a+b，即b=2a．①∵a，b，ab成等比数列，∴b2=a2b，即b=a2（a≠0，b≠0）．②由①②得a=2，b=4．∵0＜logm8＜1，∴m＞1．∵logm8＜1，即logm8＜logm m∴m＞8故选C4．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=（）A．16（1﹣4﹣n）B．16（1﹣2﹣n）C．（1﹣4﹣n）D．（1﹣2﹣n）【考点】等比数列的前n项和．【分析】首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{a n a n+1}每项的特点发现仍是等比数列，且首项是a1a2=8，公比为．进而根据等比数列求和公式可得出答案．【解答】解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故选：C．5．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（）A．a1a8＞a4a5B．a1a8＜a4a5C．a1+a8＞a4+a5D．a1a8=a4a5【考点】等差数列的性质．【分析】先根据等差中项的性质可排除C；然后可令a n=n一个具体的数列进而可验证D、A 不对，得到答案．【解答】解：∵1+8=4+5∴a1+a8=a4+a5∴排除C；若令a n=n，则a1a8=1•8＜20=4•5=a4a5∴排除D，A．故选B6．已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=a n+2n，那么a2003的值是（）A．20032B．2002×2001C．2003×2002D．2003×2004【考点】数列递推式．【分析】根据a n+1=a n+2n可知利用叠加法，a2003=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a2003﹣a2002），然后利用等差数列求和公式进行求解即可．【解答】解：∵a1=0，a n+1=a n+2n，∴a2﹣a1=2，a3﹣a2=4，…，a2003﹣a2002=4004，∴a2003=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a2003﹣a2002）=0+2+4+…+4004==2003×2002．故选C．7．已知等差数列{a n}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和取最大值的正整数n是（）A．4或5B．5或6C．6或7D．8【考点】等差数列的性质．【分析】由已知中等差数列{a n}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，构造方程我们易求出数列{a n}的首项为a1与公差为d的关系，进而得到数列{a n}中正项与负项的分界点，进而得到使前n项和取最大值的正整数n．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则∵|a3|=|a9|，∴|a1+2d|=|a1+8d|解得a1=﹣5d或d=0（舍去）则a1+5d=a6=0a5＞0故使前n项和取最大值的正整数n是5或6故选B8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a等于（）A． B．2C． D．【考点】正弦定理的应用．【分析】先根据正弦定理求出角C的正弦值，进而得到角C的值，再根据三角形三内角和为180°确定角A=角C，所以根据正弦定理可得a=c．【解答】解：由正弦定理，∴故选D．9．在△ABC中，已知b=2，B=45°，如果用正弦定理解三角形有两解，则边长a的取值范围是（）A．2＜a＜2B．2＜a＜4C． a＜2D．＜a＜2【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理和b和sinB求得a和sinA的关系，利用B求得A+C；要使三角形两个这两个值互补先看若A≤45°，则和A互补的角大于135°进而推断出A+B＞180°与三角形内角和矛盾；进而可推断出45°＜A＜135°若A=90，这样补角也是90°，一解不符合题意进而可推断出sinA的范围，利用sinA和a的关系求得a的范围．【解答】解：∵===2，∴a=2sinA，A+C=180°﹣45°=135°由A有两个值，得到这两个值互补，若A≤45°，则和A互补的角大于等于135°，这样A+B≥180°，不成立；∴45°＜A＜135°又若A=90，这样补角也是90°，一解；所以＜sinA＜1，又a=2sinA，所以2＜a＜2．故选A10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B 的值为（）A． B． C．或D．或【考点】余弦定理的应用．【分析】通过余弦定理及，求的sinB的值，又因在三角形内，进而求出B．【解答】解：由∴，即∴，又在△中所以B为或故选D11．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A． B． C． D．【考点】余弦定理的应用．【分析】先得到3边之间的关系，再由余弦定理可得答案．【解答】解：设顶角为C，因为l=5c，∴a=b=2c，由余弦定理得，故选D．12．已知D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A的点仰角分别为α、β（α＞β），则A点离地面的高AB等于（）A． B．C． D．【考点】解三角形的实际应用．【分析】先分别在直角三角形中表示出DB，BC，根据DC=DB﹣BC列等式求得AB．【解答】解：依题意知，BC=，BD=，∴DC=DB﹣BC=AB（﹣）=a，∴AB=，故选：A．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．在等比数列{a n}中，若a9•a11=4，则数列前19项之和为﹣19 ．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由条件a9•a11=4，利用等比数列的通项，可知a10=2，从而可求数列前19项之和．【解答】解：a9•a11=4⇒a10=±2（舍去负值，∵a n＞0）∴a10=2∴故答案为﹣1914．不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（2，+∞）．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】先化简，再由二次函数的性质，得到解答．【解答】解：不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，即（a+2）x2+4x+a﹣1＞0对一切x∈R恒成立若a+2=0，显然不成立若a+2≠0，则解得a＞2．综上，a＞215．在钝角△ABC中，已知a=1，b=2，则最大边的取值范围是＜x＜3 ．【考点】余弦定理．【分析】根据三角形三边关系求出c的范围，当∠C为直角时，利用勾股定理确定c的值，故当∠C为钝角时，确定出c的范围即可．【解答】解：根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得到c的范围为1＜c＜3，当∠C为直角时，c==，当∠C为钝角时，得到c＞，当∠C为锐角时，B为钝角，此时b为最大边，1＜b＜3，则最大边的范围为＜x＜3．故答案为：＜x＜316．已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n=n（n+1）（n+2），则它的前n项和S n= ．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】由a1+2a2+3a3+…+na n=n（n+1）（n+2），知a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1=（n﹣1）n （n+1），所以na n=3n（n+1），即a n=3n+3．由此能求出它的前n项和S n．【解答】解：∵a1+2a2+3a3+…+na n=n（n+1）（n+2），①∴a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1=（n﹣1）n（n+1），②①﹣②，得na n=3n（n+1），∴a n=3n+3．∴S n=a1+a2+a3+…+a n=（3×1+3）+（3×2+3）+（3×3+3）+…+（3n+3）=3（1+2+3+…+n）+3n==．故答案为：．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．除17题10分，其它每题12分）17．解关于x的不等式x2﹣x﹣a（a﹣1）＞0．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式坐标利用十字相乘法分解因式：（x﹣a）（x+a﹣1）＞0，然后对a值进行分类讨论：a与的大小关系三种情况，利用不等式取解集的方法分别求出各自的解集即可．【解答】解：原不等式可化为：（x﹣a）（x+a﹣1）＞0，对应方程的根为x1=a，x2=1﹣a…（1）当时，有a＜1﹣a，解可得x＜a或x＞1﹣a；…（2）当时，a=1﹣a得x∈R且；…（3）当时，a＞1﹣a，解可得x＜1﹣a或x＞a；…综合得：（1）当时，原不等式的解集为（﹣∞，a）∪（1﹣a，+∞）；（2）当时，原不等式的解集为；（3）当时，原不等式的解集为（﹣∞，1﹣a）∪（a，+∞）．…18．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{a n}、{b n}的通项公式．（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．（Ⅱ），，①S n=，②①﹣②得S n=1+2（++…+）﹣，则===．19．在锐角三角形中，边a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A、B满足：2sin（A+B）﹣=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积．【考点】解三角形；三角形中的几何计算．【分析】由2sin（A+B）﹣=0，得到sin（A+B）的值，根据锐角三角形即可求出A+B的度数，进而求出角C的度数，然后由韦达定理，根据已知的方程求出a+b及ab的值，利用余弦定理表示出c2，把cosC的值代入变形后，将a+b及ab的值代入，开方即可求出c的值，利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ab及sinC的值代入即可求出值．【解答】解：由2sin（A+B）﹣=0，得sin（A+B）=，∵△ABC为锐角三角形，∴A+B=120°，C=60°．又∵a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，∴a+b=2，a•b=2，∴c2=a2+b2﹣2a•bcosC=（a+b）2﹣3ab=12﹣6=6，∴c=，S△ABC=absinC=×2×=．20．已知数列{a n}为等差数列，公差d≠0，其中，，…，恰为等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+…+k n．【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列、等比数列的定义和性质，分别求得项的通项公式，可得，再利用拆项法进行求和，可得结论．【解答】解：设{a n}首项为a1，公差为d，∵a1，a5，a17成等比数列，∴a52=a1a17，∴（a1+4d）2=a1（a1+16d），∴a1=2d．设等比数列公比为q，则 q===3，对项来说，在等差数列中：，在等比数列中：．∴，∴=3n﹣n﹣1．21．一缉私艇发现在方位角45°方向，距离12海里的海面上有一走私船正以10海里/小时的速度沿方位角为105°方向逃窜，若缉私艇的速度为14海里/小时，缉私艇沿方位角45°+α的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追击所需时间和α角的正弦．（注：方位角是指正北方向按顺时针方向旋转形成的角，设缉私艇与走私船原来的位置分别为A、C，在B处两船相遇）．【考点】正弦定理；根据实际问题选择函数类型．【分析】缉私艇与走私船原来的位置分别为A、C，在B处两船相遇，由条件得到∠ACB=120°，AC=12海里，设缉私船t小时后追上该走私船，根据各自的速度表示出BC与AB，由∠ACB=120°，∠CAB=α，利用正弦定理列出关系式，求出sinα的值；由余弦定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．【解答】解：由条件知∠ACB=120°，AC=12海里，设缉私船t小时后追上该走私船，可得BC=10t，AB=14t，∴由正弦定理=得： =，∴sinα=，由余弦定理AB2=AC2+BC2﹣2ACBCcos∠ACB得：（14t）2=122+（10t）2﹣240tcos120°，解得：t=2或t=﹣（舍），∴t=2小时，sinα=．22．已知公比为负值的等比数列{a n}中，a1a5=4，a4=﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=++…+，求数列{a n+b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q＜0，由a1a5=4，a4=﹣1．可得， =﹣1，解得即可；（2）由b n=++…+=（n+1）+…+=n，可得a n+b n=+n，再利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q＜0，∵a1a5=4，a4=﹣1．∴， =﹣1，解得q=﹣，a1=8．∴=．（2）∵b n=++…+=（n+1）+…+=（n+1）×=n，∴a n+b n=+n，其前n项和S n=+=+．。
2022-2023学年河北省衡水市武强中学高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年河北省衡水市武强中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．复数z 1＝2+i ，z 2＝1﹣2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝z 1•z 2在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在△ABC 中，若|AB →|＝|AC →|＝|AB →−AC →|，则△ABC 的形状为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形3．已知向量e 1→与e 2→不共线，x ，y ∈R ，且有（3x ﹣4y ）e 1→+（2x ﹣3y ）e 2→=6e 1→+3e 2→，则x ﹣y 的值为（ ） A ．﹣3B ．3C ．0D ．24．将12根长度相同的小木棍通过粘合端点的方式（不可折断），不可能拼成（ ） A ．正三棱柱B ．正四棱锥C ．正四棱柱D ．正六棱锥5．已知向量a →=(x −1，2)，b →=(2，4)，则“a →与b →夹角为锐角”是“x ＞﹣3”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，若一个平行于底面的平面沿着该圆台母线的中点将此圆台分为上下两个圆台，设该平面上方的圆台侧面积为S 1，下方的圆台侧面积为S 2，则S 1：S 2＝（ ）A ．9：25B ．9：16C ．7：9D ．16：257．已知A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），且OA →=m OB →+2n OC →（m ＞0，n ＞0），则2m+1n的最小值是（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．48．规定|a bcd |=ad ﹣bc ，若在复平面上的三个点A ，B ，C 分别对应复数0，z ，zi ，其中z 满足|z 1−i1+i 1|=i ，则△ABC 的面积为（ ） A ．25B ．252C ．5D ．52二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．已知复数z =1+i1−i，则（ ） A ．z 2021是纯虚数B ．若|z 1﹣z |＝1，则|z 1|的最大值是2C ．z 的共轭复数为﹣iD ．复数z +z •i 在复平面内对应的点在第二象限10．已知向量a →=(2，1)，b →=(1，−1)，c →=(m −2，−n)，e →向量是与b →方向相同的单位向量，其中m ，n 均为正数，且(a →−b →)∥c →，下列说法正确的是（ ） A ．a →与b →的夹角为钝角 B ．向量a →在b →方向上的投影向量为√55e →C ．2m +n ＝4D ．mn 的最大值为211．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则能确定B 为钝角的是（ ） A ．sin 2A +sin 2C ＞sin 2B B ．AB →⋅BC →＜0 C ．cb ＜cosAD ．0＜tan A tan C ＜112．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图．其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中OA ＝1，则以下结论正确的是（ ）A ．AB →+BC →=12HD →B ．OA →+OC →=−OF →C ．AE →⋅CG →=0D ．|OA →−OC →|=√2三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．如图，平行四边形O ′P ′Q ′R ′是四边形OPQR 的直观图，若O ′P ′＝3，O ′R ′＝1，则原四边形OPQR 的周长为 ．14．把一个半径为R 的实心铁球铸成三个小球（不计损耗），三个小球的体积之比为1：3：4，则其中最小球的半径为 ．15．已知a →•b →=16，e →是与b →方向相同的单位向量，若a →在b →上的投影向量为4e →．则|b →|＝ ． 16．已知向量a →=(1，sinθ)，b →=(1，cosθ)，则|a →−b →|的最大值为 ． 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知AB →=（﹣1，3），BC →=（3，m ），CD →=（1，n ），且AD →∥BC →． （1）求实数n 的值；（2）若AC →⊥BD →，求实数m 的值．18．（12分）设复数z 1＝x +2i ，z 2＝1+2yi ，其中x ，y ∈R ，且复数z 1，z 2所对应的点都在复平面第一象限内． （1）若|z 1|＝|z 2|＝3，求实数x ，y 的值；（2）设z 1，z 2所对应的向量为OZ 1→，OZ 2→，若OZ 1→与OZ 2→共线，求2x +y 的最小值． 19．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对的边，且满足a 2+b 2﹣c 2＝ab ． （1）求角C 的大小；（2）设向量a →=（2sin A ，1），向量b →=(cosC ，12)，且向量a →，b →共线，判断△ABC 的形状．20．（12分）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径为8cm ，圆柱筒高为3cm ．（1）求这种“浮球”的体积；（2）要在这样的3000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶多少克？21．（12分）如图，在菱形ABCD 中，BE →=12BC →，CF →=2FD →．（1）若EF →=xAB →+yAD →，求3x +2y 的值； （2）若|AB →|＝6，∠BAD ＝60°，求AC →⋅EF →．22．（12分）已知A （2，0），B （0，2），C （cos θ，sin θ），O 为坐标原点． （1）AC →⋅BC →=−1，求sin2θ的值；（2）若|OA →−OC →|=√7，且θ∈（0，π），求OB →与OC →的夹角．2022-2023学年河北省衡水市武强中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．复数z 1＝2+i ，z 2＝1﹣2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝z 1•z 2在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：∵z 1＝2+i ，z 2＝1﹣2i ， ∴z 1•z 2＝（2+i ）（1﹣2i ）＝4﹣3i ，∴z ＝z 1•z 2在复平面内对应的点（4，﹣3）位于第四象限． 故选：D ．2．在△ABC 中，若|AB →|＝|AC →|＝|AB →−AC →|，则△ABC 的形状为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解：若|AB →|＝|AC →|＝|AB →−AC →|，则若|AB →|＝|AC →|＝|AB →−AC →|＝|BC →|，则△ABC 为等边三角形． 故选：A ．3．已知向量e 1→与e 2→不共线，x ，y ∈R ，且有（3x ﹣4y ）e 1→+（2x ﹣3y ）e 2→=6e 1→+3e 2→，则x ﹣y 的值为（ ） A ．﹣3B ．3C ．0D ．2解：∵向量e 1→与e 2→不共线，且有（3x ﹣4y ）e 1→+（2x ﹣3y ）e 2→=6e 1→+3e 2→， ∴{3x −4y =62x −3y =3，两式相减得：x ﹣y ＝3， 故选：B ．4．将12根长度相同的小木棍通过粘合端点的方式（不可折断），不可能拼成（ ）A ．正三棱柱B ．正四棱锥C ．正四棱柱D ．正六棱锥解：对于A ，正三棱柱中9条棱长度可以完全相同，故A 成立； 对于B ，正四棱锥中5条棱长度可以完全相同，故B 成立； 对于C ，正四三棱柱中12条棱长度可以完全相同，故C 成立；对于D ，因为正六边形的中心到六个顶点的距离都等于边长，所以正六棱锥的侧棱长总比底边长，故D 不成立； 故选：D ．5．已知向量a →=(x −1，2)，b →=(2，4)，则“a →与b →夹角为锐角”是“x ＞﹣3”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若a →与b →夹角为锐角，则a →⋅b →=2（x ﹣1）+8＞0，解得x ＞﹣3， 所以由“a →与b →夹角为锐角”可以推出“x ＞﹣3”，若x ＞﹣3，取x ＝2，则a →=（1，2），此时a →∥b →，a →与b →夹角为0°， 所以由x ＞﹣3”推不出“a →与b →夹角为锐角”，所以“a →与b →夹角为锐角”是“x ＞﹣3”的充分不必要条件． 故选：A ．6．如图，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，若一个平行于底面的平面沿着该圆台母线的中点将此圆台分为上下两个圆台，设该平面上方的圆台侧面积为S 1，下方的圆台侧面积为S 2，则S 1：S 2＝（ ）A ．9：25B ．9：16C ．7：9D ．16：25解：由题意可知，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，设圆台的母线长为2l ， 因为一个平行于底面的平面沿着该圆台母线的中点将此圆台分为上下两个圆台， 则平面上方的圆台的母线为l ，上底面半径为3，下底面半径为4， 平面下方的圆台的母线为l ，上底面半径为4，下底面半径为5， 由圆台的侧面积公式可得，S 1＝π×（3+4）•l ，S 2＝π•（4+5）•l ， 则S 1S 2=7πl 9πl=79=7：9．故选：C ．7．已知A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），且OA →=m OB →+2n OC →（m ＞0，n ＞0），则2m+1n的最小值是（ ） A ．10B ．9C ．8D ．4解：由“A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），且OA →=m OB →+2n OC →”可知m +2n ＝1（m ＞0，n ＞0），∴2m +1n =（m +2n ）(2m +1n )＝4+4n m +m n ≥4+2√4n m ⋅mn =8,当且仅当{m +2n =14n m =m n 即{m =12n =14时取“＝”． ∴2m+1n的最小值是8．故选：C ． 8．规定|a bcd|=ad ﹣bc ，若在复平面上的三个点A ，B ，C 分别对应复数0，z ，zi ，其中z 满足|z 1−i1+i 1|=i ，则△ABC 的面积为（ ） A ．25B ．252C ．5D ．52由题意得z ﹣（1+i ）（1﹣i ）＝i ，∴z ＝2+i ，∴z ＝2+i ，∴zi ＝（2+i ）i ＝﹣1+2i ， 则A （0，0），B （2，1），C （﹣1，2）， ∴|AB |=√5，|AC |=√5，|BC |=√10，可得|AB |2+|AC |2＝|BC |2，即△ABC 是等腰直角三角形， ∴△ABC 的面积S =12×√5×√5=52． 故选：D ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．已知复数z =1+i1−i，则（ ） A ．z 2021是纯虚数B ．若|z 1﹣z |＝1，则|z 1|的最大值是2C ．z 的共轭复数为﹣iD ．复数z +z •i 在复平面内对应的点在第二象限解：∵z =1+i 1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i12+(−1)2=i ，∴z 2021＝i 2021＝（i 4）505•i ＝i ，是纯虚数，故A 正确；若|z 1﹣z |＝1，即|z 1﹣i |＝1，则z 1所对应点的轨迹为以（0，1）为圆心，以1为半径的圆， 则|z 1|的最大值是2，故B 正确；z 的共轭复数为﹣i ，故C 正确；z +z •i ＝﹣i +i •i ＝﹣1﹣i ，在复平面内对应点的坐标为（﹣1，﹣1），在第三象限，故D 错误． 故选：ABC ．10．已知向量a →=(2，1)，b →=(1，−1)，c →=(m −2，−n)，e →向量是与b →方向相同的单位向量，其中m ，n 均为正数，且(a →−b →)∥c →，下列说法正确的是（ ） A ．a →与b →的夹角为钝角 B ．向量a →在b →方向上的投影向量为√55e →C ．2m +n ＝4D ．mn 的最大值为2解：对于A ，向量a →=（2，1），b →=（1，﹣1），则a →•b →=2﹣1＝1＞0，则a →、b →的夹角为锐角，A 错误；对于B ，向量a →=（2，1），b →=（1，﹣1），则向量a 在b 方向上的投影为a →⋅b →|b →|=√22， e →向量是与b →方向相同的单位向量，则向量a →在b →方向上的投影向量为√22e →，故B 错误； 对于C ，向量a →=（2，1），b →=（1，﹣1），则a →−b →=（1，2），若（a →−b →）∥c →，则（﹣n ）＝2（m ﹣2），变形可得2m +n ＝4，C 正确；对于D ，由C 的结论，2m +n ＝4，而m ，n 均为正数，则有mn =12（2m •n ）≤12（2m+n 2）2＝2，当且仅当{2m =n 2m +n =4，即{m =1n =2时，等号成立，即mn 的最大值为2，D 正确． 故选：CD ．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则能确定B 为钝角的是（ ） A ．sin 2A +sin 2C ＞sin 2B B ．AB →⋅BC →＜0 C ．cb＜cosAD ．0＜tan A tan C ＜1解：对于A ，由于sin 2A +sin 2C ＞sin 2B ，利用正弦定理可得a 2+c 2＞b 2，可得cos B =a 2+c 2−b22ac＞0，可得B 为锐角，故A 错误；对于B ，由于AB →⋅BC →＜0，即−BA →⋅BC →=−|BA →|•|BC →|cos B ＜0，可得cos B ＞0，又B 为三角形的内角，可得B 为锐角，则B 错误； 对于C ，因为cb＜cosA ，可得cb＜b 2+c 2−a 22bc，整理可得a 2+c 2＜b 2，可得cos B =a 2+c 2−b22ac＜0，由B ∈（0，π），可得B 为钝角，故C 正确；对于D ，因为0＜tan A tan C ＜1，所以tan B ＝﹣tan （A +C ）=tanA+tanCtanAtanC−1＜0，由B ∈（0，π），可得B 为钝角，故D 正确． 故选：CD ．12．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图．其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中OA ＝1，则以下结论正确的是（ ）A ．AB →+BC →=12HD →B ．OA →+OC →=−OF →C ．AE →⋅CG →=0D ．|OA →−OC →|=√2解：在正八边形ABCDEFGH 中，∠AOB ＝45°，则AE →⊥CG →，所以AE →⋅CG →=0，故C 正确； 在直角三角形AOC 中，∠AOC ＝90°，且OA ＝OC ＝1，AC =√2， 则|OA →−OC →|=|CA →|=√2，故D 正确；又AB →+BC →=AC →，因为|HD →|=2，|AC →|=√2，且AC →∥HD →，则AB →+BC →=√22HD →，故A 错误； 由平行四边形法则可得OA →+OC →=√2OB →=−√2OF →，故B 错误． 故选：CD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．如图，平行四边形O ′P ′Q ′R ′是四边形OPQR 的直观图，若O ′P ′＝3，O ′R ′＝1，则原四边形OPQR 的周长为 10 ．解：∵平行四边形O ′P ′Q ′R ′是四边形OPQR 的直观图，若O ′P ′＝3，O ′R ′＝1， ∴原四边形OPQR 是长为3，宽为2的矩形， ∴原四边形OPQR 的周长为10， 故答案为：10．14．把一个半径为R 的实心铁球铸成三个小球（不计损耗），三个小球的体积之比为1：3：4，则其中最小球的半径为12R ．解：原球的体积为：4π3R 3，把一个半径为R 的实心铁球铸成三个小球（不计损耗），三个小球的体积之比为1：3：4， 最小球的体积为：18×4π3R 3，设小球的半径为r ，可得4π3r 3=18×4π3R 3，所以r =12R ． 故答案为：12R ．15．已知a →•b →=16，e →是与b →方向相同的单位向量，若a →在b →上的投影向量为4e →．则|b →|＝ 4 ． 解：设a →与b →的夹角为θ，因为a →•b →=16，所以|a →||b →|cos θ＝16， 又因为a →在b →上的投影向量为4e →．所以|a →|cos θ＝4，所以|b →|＝4． 故答案为：4．16．已知向量a →=(1，sinθ)，b →=(1，cosθ)，则|a →−b →|的最大值为 √2 ． 解：∵a →=(1，sinθ)，b →=(1，cosθ) ∴|a →−b →|=|sin θ﹣cos θ|=√2|sin （θ−π4）| ∴√2sin(θ−π4)∈[−√2，√2] ∴|a →−b →|≤√2， 故答案为：√2．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知AB →=（﹣1，3），BC →=（3，m ），CD →=（1，n ），且AD →∥BC →． （1）求实数n 的值；（2）若AC →⊥BD →，求实数m 的值．解：因为AB →=（﹣1，3），BC →=（3，m ），CD →=（1，n ），所以AD →=AB →+BC →+CD →=（3，3+m +n ）， （1）因为AD →∥BC →．所以AD →=λBC →，即{3=3λ3+m +n =λm，解得n ＝﹣3；（2）因为AC →=AB →+BC →=（2，3+m ），BD →=BC →+CD →=（4，m ﹣3），又AC →⊥BD →， 所以AC →•BD →=0，即8+（3+m ）（m ﹣3）＝0，解得m ＝±1．18．（12分）设复数z 1＝x +2i ，z 2＝1+2yi ，其中x ，y ∈R ，且复数z 1，z 2所对应的点都在复平面第一象限内． （1）若|z 1|＝|z 2|＝3，求实数x ，y 的值；（2）设z 1，z 2所对应的向量为OZ 1→，OZ 2→，若OZ 1→与OZ 2→共线，求2x +y 的最小值． 解：（1）复数z 1＝x +2i ，z 2＝1+2yi 对应的点分别为（x ，2），（1，2y ），且x ＞0，y ＞0， ∵|z 1|＝|z 2|＝3，∴{x 2+4=91+4y 2=9，解得x =√5，y =√2． （2）z 1，z 2所对应的向量为OZ 1→，OZ 2→，则OZ 1→=(x ，2)，OZ 2→=(1，2y)， ∵OZ 1→与OZ 2→共线，∴2xy ＝2，即xy ＝1，∴2x +y ≥2√2xy =2√2，当且仅当x =√22，y =√2时，等号成立， 故2x +y 的最小值为2√2．19．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对的边，且满足a 2+b 2﹣c 2＝ab ． （1）求角C 的大小；（2）设向量a →=（2sin A ，1），向量b →=(cosC ，12)，且向量a →，b →共线，判断△ABC 的形状．解：（1）∵a 2+b 2﹣c 2＝ab ．∴cos C =a 2+b 2−c 22ab =12，C ∈（0，π）．∴C =π3． （2）∵向量a →，b →共线，∴12×2sin A ﹣cos C ＝0，可得sin A ＝cos C =12，A ∈(0，2π3)．解得A =π6，∴B ＝π﹣A ﹣C =π2． ∴△ABC 是直角三角形．20．（12分）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径为8cm ，圆柱筒高为3cm ．（1）求这种“浮球”的体积；（2）要在这样的3000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶多少克？解：（1）由题意得该几何体由两个半球和一个圆柱筒组成，所以体积为一个球体体积和一个圆柱体积之和，由球体的体积为：V 1=43πR 3=2563πcm 3， 圆柱体积为：V 2=πR 2⋅ℎ=48πcm 3，所以浮球的体积为：V =V 1+V 2=4003πcm 3． （2）上下半球的表面积：S 1=4πR 2=64πcm 2，圆柱侧面积：S 2=2πRℎ=24πcm 2，所以，1个浮球的表面积为S ＝64π+24π＝88πcm 2，3000个浮球的表面积为：3000×88π＝264000πcm 2，因此每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶264000π×0.1＝26400π克．21．（12分）如图，在菱形ABCD 中，BE →=12BC →，CF →=2FD →． （1）若EF →=xAB →+yAD →，求3x +2y 的值；（2）若|AB →|＝6，∠BAD ＝60°，求AC →⋅EF →．解：（1）因为在菱形ABCD 中，BE →=12BC →，CF →=2FD →． 故EF →=EC →+CF →=12AD →−23AB →， 故x =−23，y =12，所以3x +2y ＝﹣1．（2）显然AC →=AB →+AD →，所以AC →⋅EF →=(AB →+AD →)⋅(12AD →−23AB →)=−23AB →2+12AD →2−16AB →⋅AD →⋯⋯①， 因为菱形ABCD ，且|AB →|＝6，∠BAD ＝60°，故|AD →|=6，＜AB →，AD →＞=60°． 所以AB →⋅AD →=6×6×cos60°=18．故①式=−23×62+12×62−16×18=−9．故AC →⋅EF →=−9．22．（12分）已知A （2，0），B （0，2），C （cos θ，sin θ），O 为坐标原点．（1）AC →⋅BC →=−1，求sin2θ的值；（2）若|OA →−OC →|=√7，且θ∈（0，π），求OB →与OC →的夹角．解：（1）根据题意，A （2，0），B （0，2），C （cos θ，sin θ），则AC →=（cos θ﹣2，sin θ），BC →=（cos θ，sin θ﹣2），若AC →⋅BC →=−1，即cos θ（cos θ﹣2）+sin θ（sin θ﹣2）＝﹣1，变形可得：sin θ+cos θ＝1，则有1+2sin θcos θ＝1+sin2θ＝1，故sin2θ＝0，（2）根据题意，A （2，0），B （0，2），C （cos θ，sin θ），则OA →=（2，0），OB →=（0，2），OC →=（cos θ，sin θ）OA →−OC →=CA →=（2﹣cos θ，﹣sin θ），若|OA →−OC →|=√7，则有（2﹣cos θ）2+（﹣sin θ）2＝5﹣4cos θ＝7，变形可得cos θ=−12，又由θ∈（0，π），则sin θ=√32，则OC →=（−12，√32）； 则|OB →|＝2，|OC →|＝1，OB →•OC →=√3，cos ＜OB →，OC →＞=OB →⋅OC →|OB →||OC →|=√32，则有＜OB →，OC →＞=π6， 故OB →与OC →的夹角为π6．。
2020-2021衡水桃城中学高中必修一数学上期中试卷带答案
2020-2021衡水桃城中学高中必修一数学上期中试卷带答案一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( )A ．－1B ．0C ．1D ．23．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．4．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤5．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2436450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ） A ．315,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．[]28,C ．[)2,8D ．[]2,76．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.57．已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）8．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞9．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足，3()(2)32f x f x f ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，，数列{}n a 满足11a =-，且2n n S a n =+，(其中n S 为{}n a 的前n 项和).则()()56f a f a +=（） A ．3 B ．2-C ．3-D ．210．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．11．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）12．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a二、填空题13．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数0.5()log (43)g x x =-的定义域是__________．14．函数()12x f x -的定义域是__________．15．已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______．16．函数6()12log f x x =-的定义域为__________．17．已知函数(1)4f x x +=-，则()f x 的解析式为_________.18．计算：__________．19．己知函数()f x =x a b +的图象经过点(1,3),其反函数()1f x -的图象经过点(2.0),则()1f x -=___________.20．已知()2x a x af x ++-=，g(x)=ax+1 ，其中0a >，若()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是______________.三、解答题21．设2{|670},{|24},{|}A x x x B x x C x x a =--≤=-≤=≥ （1）求A B I（2）若A C C =U ，求实数a 的取值范围. 22．函数是奇函数．求的解析式；当时，恒成立，求m 的取值范围．23．已知集合{|3A x x =≤-或2}x ≥，{|15}B x x =<<，{|12}C x m x m =-≤≤ （1）求A B I ，()R C A B ⋃；（2）若B C C ⋂=，求实数m 的取值范围.24．已知函数()3131-=+x x f x ，若不式()()2210+-<f kx f x 对任意x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是________.25．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()f x =1()2x．①求函数()f x 的解析式；②画出函数的图象，根据图象写出函数()f x 的单调区间．26．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2．C解析：C 【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.3．D解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x x x x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．4．D解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，所以21,20,115,1a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.5．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先解一元二次不等式得315[]22x <<，再根据[]x 定义求结果. 详解：因为[][]2436450x x -+<，所以315[]22x << 因为[][]2436450x x -+<，所以28x ≤<, 选C.点睛：本题考查一元二次不等式解法以及取整定义的理解，考查基本求解能力.6．D解析：D 【解析】 【分析】利用换元法 将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论 【详解】 设t=f （x ）-e x ，则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1， 令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1， ∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．7．C解析：C 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.8．D解析：D 【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数； x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)， 故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数.当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.9．A解析：A 【解析】由奇函数满足()32f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可知该函数是周期为3T =的奇函数， 由递推关系可得：112,21n n n n S a n S a n +-=+=+-, 两式做差有：1221n n n a a a -=--，即()()1121n n a a --=-， 即数列{}1n a -构成首项为112a -=-，公比为2q =的等比数列， 故：()1122,21n n n n a a --=-⨯∴=-+，综上有：()()()()()552131223f a f f f f =-+=-==--=，()()()()66216300f a f f f =-+=-==，则：()()563f a f a +=. 本题选择A 选项.10．C解析：C 【解析】 由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．12．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.二、填空题13．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab 则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))解析：3,14⎛⎫⎪⎝⎭【解析】首先要使(2)f x 有意义，则2[0,2]x ∈， 其次0.5log 430x ->，∴0220431x x ≤≤⎧⎨<-<⎩，解得01314x x ≤≤⎧⎪⎨<<⎪⎩，综上3,14x ⎛⎫∈⎪⎝⎭． 点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为[a ，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．14．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为 解析：(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.15．【解析】【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值【详解】可化为令由得则在上递减当时取得最大值为所以故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质函数恒成立解析：3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值． 【详解】1240xxa ++⋅>可化为212224xx x x a --+>-=--，令2x t -=，由(],1x ∈-∞，得1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭， 则2a t t >--，2213()24t t t --=-++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递减，当12t =时2t t --取得最大值为34-，所以34a >-． 故答案为3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．属中档题.16．【解析】要使函数有意义则必须解得：故函数的定义域为：点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0(3)一次函数二次函数的定义域均为R(4解析：(【解析】要使函数()f x 有意义，则必须6012log 0x x >⎧⎨-≥⎩，解得：0x ≤<故函数()f x的定义域为：(． 点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y ＝ax(a>0且a≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)． (7)y ＝tan x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z . 17．【解析】【分析】利用换元法求解析式即可【详解】令则故故答案为【点睛】本题考查函数解析式的求法换元法是常见方法注意新元的范围是易错点 解析：2()23(1)f x x x x =--≥【解析】 【分析】利用换元法求解析式即可 【详解】 令11t x =+≥，则()21x t =-故()()214f t t =--=223(1)t t t --≥ 故答案为2()23(1)f x x x x =--≥ 【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是常见方法，注意新元的范围是易错点18．4【解析】原式=log3332+lg(25×4)+2-(23)3-13=32+2+2-32=4故填4 解析：【解析】原式=,故填.19．【解析】∵函数=的图象经过点(13)∴∵反函数的图象经过点(20)∴函数=的图象经过点(02)∴∴∴==∴= 解析：()2log 1,1x x ->【解析】∵函数()f x =x a b +的图象经过点(1,3), ∴3a b +=, ∵反函数()1fx -的图象经过点(2,0),∴函数()f x =x a b +的图象经过点(0,2), ∴12b +=. ∴2, 1.a b == ∴()f x =x a b +=2 1.x +∴()1f x -=()2log 1, 1.x x ->20．(01)【解析】结合与的图象可得点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化生动化能够变抽象思维为形象思维有助于把握数学问题的本质在运用数形结合思想分析和解决 解析：(0,1),【解析】(),,2x x a x a x af x a x a ≥++-⎧==⎨<⎩， 结合()f x 与()g x 的图象可得()0,1.a ∈点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围三、解答题21．（1）[1,6]-（2）1a ≤-【解析】【分析】（1）化简集合，根据集合的交集运算即可求解（2）由A C C =U 可知A C ⊆，结合数轴求解即可.【详解】（1）由2670x x --≤解得17x -≤≤，故[1,7]A =-，因为24x -≤，所以26x -≤≤，即[2,6]B =-,所以[1,7][2,6][1,6]A B =--=-I I .（2） 因为A C C =U ，所以A C ⊆，故1a ≤-.【点睛】本题主要考查了集合的交集，并集，子集，涉及一元二次不等式及绝对值不等式，属于中档题.22．（1）；（2）. 【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义求出a 的值，从而求出函数的解析式即可；问题转化为在恒成立，令，，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出m 的范围即可． 【详解】 函数是奇函数，， 故， 故； 当时，恒成立， 即在恒成立， 令，， 显然在的最小值是， 故，解得：． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数恒成立以及转化思想，指数函数，二次函数的性质，是一道常规题．对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数单调性求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.23．(1) {|25}A B x x =≤<I (){|35}R C A B x x ⋃=-<< (2) 5(,1)(2,)2-∞-U【解析】试题分析：（1）根据集合的交集的概念得到{|25}A B x x ⋂=≤<，{|32}R C A x x =-<<，进而得到结果；（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆，分情况列出表达式即可.解析：（1）{|25}A B x x ⋂=≤<{|32}R C A x x =-<< (){|35}R C A B x x ⋃=-<<（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆Ⅰ）当C =∅时，∴12m m ->即1m <-Ⅱ）当C ≠∅时，∴121125m m m m -≤⎧⎪->⎨⎪<⎩∴522m << 综上所述：m 的取值范围是()5,12,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭24．(),1-∞-【解析】【分析】根据函数的奇偶性及单调性，把函数不等式转化为自变量的不等式，这个问题就转化为2210kx x R +-<在上恒成立，从二次函数的观点来分析恒小于零问题。
河北省衡水中学2013-2014学年下学期高一年级期中考试数学试卷(理科)
河北省衡水中学2013-2014学年下学期高一年级期中考试数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.)210sin(-等于（ ） A.21 B.23 C.-21 D. -23 2．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ） A.41 B. 21 C. 81D. 无法确定 3. 已知点P （ααcos ,tan ）在第四象限，则角α在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 某公司现有普通职员人，中级管理人员人，高级管理人员人，要从公司抽取个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，其中高级管理人员仅抽到1人，那么的值为（ ） A ．1B ．3C ．16D ．205.一组数据中的每一个数据都乘以2，再减去80，得到一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( )A ．40.6,1.1B ．48.4,4.4C ．81.2,44.4D ．78.8,75.66. 某商品的销售量y （件）与销售价格x （元/件）存在线性相关关系，根据一组样本数据(,)(1,2,)i i x y i n =…,，用最小二乘法建立的回归方程为ˆ10200,y x =-+则下列结论正确的是（ ）A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若r 表示变量y 与x 之间的线性相关系数，则10r =-C ．当销售价格为10元时，销售量为100件D ．当销售价格为10元时，销售量为100件左右 7．读程序 1603010m m甲： i=1 乙： i=1000 S=0 S=0 WHILE i<=1000 DO S=S+i S=S+i i=i+l i=i-1 WEND Loop UNTIL i<1 PRINT S PRINT S END END对甲乙两程序和输出结果判断正确的是 ( )A ．程序不同，结果不同B ．程序不同，结果相同C ．程序相同，结果不同D ．程序相同，结果相同 8. 函数)254sin(4)(π-=x x f 是（ ） A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数9. 已知sin()cos()ααπ--π+=()32απ<<π，则sin()cos()22ααππ+++=( )A ．79-B ．43-C ．43D ． 43± 10. 已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点1,2P y ⎛⎫⎪⎝⎭,则=+)2sin(απ（ ）A ．B ．12-C ． 1D ．1211. 已知函数()sin cos f x x a x =+的图像关于直线53x π=对称，则实数a 的值为（ ）A.B. 3-D.212. 在ABC ∆中，060=∠ABC ，6,2==BC AB ，在BC 上任取一点D ，使ABD ∆为钝角三角形的概率为（ ） A ．32 B.31 C. 21 D.52第Ⅱ卷（非选择题 共90分）填空题（每题5分，共20分。
2022-2023学年河北省衡水中学高一(上)期中数学试卷(含解析)
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2022-2023学年河北省衡水中学高一（上）期中数学试卷第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A ={−1,0,1,2}，B ={x|−1<x <2}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {−1,1}C. {−1,0,1}D. {0,1,2}2. 下列各组函数中，两个函数相同的是( )A. y =(√x 3)3和y =xB. y =(√x)2和y =xC. y =√x 2和y =(√x)2D. y =√x 33和y =x2x3. 命题“∀a ∈R,√x −ax =0有实数解”的否定是( )A. ∀a ∈R,√x −ax =0无实数解B. ∃a ∈R,√x −ax ≠0有实数解C. ∀a ∈R,√x −ax ≠0有实数解D. ∃a ∈R,√x −ax =0无实数解4. 已知函数y =f(x)的对应关系如下表所示，函数y =g(x)的图像是如图所示的曲线ABC ，则f[g(2)+1]的值为( ) x 1 2 3 f(x) 2 3 0A. 3B. 2C. 1D. 05. 已知y =f(2x +1)定义域为(1,3]，则y =f(x +1)的定义域为( )A. (2,6]B. (0,1]C. (1,2]D. (1,3]6. 下列说法正确的是( )A. 不等式(2x −1)(1−x)<0的解集为{x|12<x <1} B. 若x ∈R ，则函数y =√x 2+4+1√x 2+4的最小值为2……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………C. 若实数a ，b ，c 满足ac 2>bc 2，则a >bD. 当x ∈R 时，不等式kx 2−kx +1>0恒成立，则k 的取值范围是(0,4) 7. 因为疫情原因，某校实行凭证入校，凡是不带出入证者一律不准进入校园，某学生早上上学，早上他骑自行车从家里出发离开家不久，发现出入证忘在家里了，于是回家取上出入证，然后改为乘坐出租车以更快的速度赶往学校，令x(单位：分钟)表示离开家的时间，y(单位：千米)表示离开家的距离，其中等待红绿灯及在家取出入证的时间忽略不计，下列图像上与上述事件吻合最好的是( )A. B.C. D.8. 已知函数f(x)=x|x|，若对任意x ∈[t,t +1]，不等式f(x 2+t)≤4f(x)恒成立，则实数t 的取值范围是( )A. [−1−√52,0]B. [0,−1+√52]C. [−1−√52,−1+√52]D. [−1+√52,1]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
河北省衡水市武邑中学2019_2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
河北武邑中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.3.选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效.第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上.1.设全集U =R ，集合{}2log 2A x x =≤，()(){}310B x x x =-+≥，则()U B A =I ð（ ） A. (],1-∞- B. (](),10,3-∞-UC. (]0,3D. ()0,3【答案】D 【解析】由题意得：{}0x 4x A =<≤,{}x 1,3x x B =≤-≥或， ∴ U C B =()1,3-， ∴( U C B ) A=()0,3故选：D点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.已知0a >32a=( )A. 12a B.32a C.23a D.13a【答案】D【解析】【分析】由指数幂运算即可求解23a=2113323aa aa-===.故选D.【点睛】本题考查指数幂运算，熟记运算性质是关键，注意运算的准确，是基础题3.在映射:f A B→中，(){},|,A B x y x y R==∈，且()():,,f x y x y x y→-+，则A中的元素()1,2-在集合B中的象为（）A. ()3,1- B. ()1,3-- C. ()1,3 D. ()3,1【答案】A【解析】试题分析：由题意，对应关系为()():,,f x y x y x y→-+，故A中的元素()1,2-在集合B 中的象为()3,1-考点：映射，象与原象4.今有一组实验数据如下表所示：则最佳体现这些数据关系的函数模型是（）A. 2logu t= B. 22tu=- C.212tu-= D.22u t=-【答案】C 【解析】21.992 1.9911.99,log 1.991,222, 1.5,2 1.992 1.98;2t -=≈-≈≈⨯-=232313.0.log 3 1.6,226,4,2324;2t -=≈-==⨯-=242414.log 42,2214,7.5,2426;2t -==-==⨯-=25.12(5.1)15.1.log 5.13,2230,12,2 5.128.2;2t -=-≈⨯-=故选C5.一个偶函数定义在区间[]7,7-上，它在[]0,7上的图象如图，下列说法正确的是（ ）A. 这个函数仅有一个单调增区间B. 这个函数在其定义域内有最大值是7C. 这个函数有两个单调减区间D. 这个函数在其定义域内有最小值是-7 【答案】B 【解析】 【分析】根据已有图像和偶函数性质画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】根据函数图像和偶函数性质得到函数图像：由图像可知：这个函数有三个单调增区间； 这个函数有三个单调减区间；这个函数在其定义域内有最大值是7 ； 这个函数在其定义域内最小值不是7-． 故选：B【点睛】本题考查了函数的图像，单调性，最值，意在考查学生对于函数图像的应用. 6.已知{}1,1,2,3α∈-，则使函数y x α=的值域为R ，且为奇函数的所有α的值为( )A. 1，3B. －1，1C. －1，3D. －1，1，3 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的性质，分别判断幂函数的值域和奇偶性是否满足条件即可． 【详解】当a=﹣1时，y=11xx-=，为奇函数，但值域为{x|x ≠0}，不满足条件． 当a=1时，y=x ，为奇函数，值域为R ，满足条件． 当a=2时，y=x 2为偶函数，值域为{x|x ≥0}，不满足条件． 当a=3时，y=x 3为奇函数，值域为R ，满足条件． 故选：A ．【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，比较基础．7.已知3a e =，33log 5log 2b =-，3c =a ，b ，c 的大小关系为（） A. a c b >> B. b c a >> C. c a b >>D. c b a >>【答案】C 【解析】 【分析】根据3log y x =的单调性判断,a b 的大小关系，由1a c <<判断出三者的大小关系. 【详解】由3log 1a e =<，335log log 2b a e =<=，ln31c =>，则c a b >>.故选C. 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查对数函数的单调性，考查对数式比较大小，属于基础题.8.已知函数()f x 在[3,)+∞上单调递减，且(3)f x +是偶函数，则 1.1(0.3)a f =，0.5(3)b f =，(0)c f =的大小关系是（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. c b a >>D.b ac >>【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件得到()f x 的图象关于直线3x =对称，且在(],3-∞上单调递增，然后通过比较1.10.50,0.3,3到对称轴距离的大小可得所求结果．【详解】由()3f x +是偶函数可得其图象的对称轴为0x =， 所以函数()f x 的图象关于直线3x =对称． 又函数()f x 在[)3,+∞上单调递减， 所以函数()f x 在(],3-∞上单调递增． 因为 1.10.500.333<<<， 所以()()()1.10.500.33f f f <<，即b a c >>．故选D ．【点睛】比较函数值大小的常用方法：（1）将自变量转化到同一单调区间上，然后根据函数的单调性进行比较；（2）对于图象有对称轴的函数来讲，可将函数值的大小问题转化为自变量到对称轴的距离的大小的问题求解．9.当x ∈R 时，函数()()01xf x a a a =>≠且满足()1f x ≤，则函数()log 1a y x =+的图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】试题分析：由函数||()x f x a =（0a >且1a ≠）满足()1f x ≤01a ⇒<<，故的图象应是C 图，故选C ． 考点：函数的图象．10.已知函数()f x =()log 01?a x a a >≠且满足()()12f a f a +>+则()220f x x ->的解集是 A. ()1,0,12∞⎛⎫-⋃⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C. 11,0,122⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】因为函数()()log 01?a f x x a a =>≠且满足()()12f a f a +>+,所以0a < 1<<,则函数()log (01)a f x x a =<<是减函数,所以()220f x x ->可化为2021x x <-<,求解可得102x -<<或 112x <<,故选C. 11.设x ，y 为实数，且满足()()3(1)2018153(1)201815x x y y -+-=-⎧⎪-+-=⎨⎪⎩，则x y +=（ ）A. 2B. 5C. 10D. 2018【答案】A【分析】由题意可设()32018f x x x =+，由导数判断单调性，由奇偶性的定义判断()f x 为奇函数，可得()()()111f y f x f x -=--=-，由单调性可得x ，y 的和． 【详解】由题意可设()32018f x x x =+，可得导数()2'320180f x x =+>，即()f x 为R 上的增函数；又()()32018f x x x f x -=--=-，即()f x 为奇函数，()()3(1)2018153(1)201815x x y y -+-=-⎧⎪-+-=⎨⎪⎩，可得 ()()(33(1)20181[1)20181y y x x ⎤-+-=--+-⎦，可得()()()111f y f x f x -=--=-， 由()f x 在R 上递增，可得11y x -=-， 即有2x y +=． 故选：A ．【点睛】本题考查函数方程的转化思想，构造函数判断奇偶性和单调性是解题的关键，属于中档题．12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，已知函数1()12x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是（ ） A. {0,1} B. {1}C. {1,0,1}-D. {1,0}-【答案】D()()()()()11,2121x xx xe ef x f x f x e e--=-==-++Q ，()f x ∴奇函数，Q 函数()1,12x xe f x e =-∴+化简得出：()11,1121xx f x e e =-+>+Q ，1011x e ∴<<+， 11112212x e -<-<+，∴当()1,02f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()1,0f x f x ⎡⎤⎡⎤=--=⎣⎦⎣⎦，当()10,2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,1f x f x ⎡⎤⎡⎤=-=-⎣⎦⎣⎦，当()0f x =时，()()0,0f x f x ⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦，∴函数()()y f x f x =+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的值域为{}1,0-，故选D. 【方法点睛】本题考查函数的值域、指数式的运算以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义高斯函数达到考查函数的值域、指数式的运算的目的.第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置. 13.已知()2xf e x =+，则()1f =______.【答案】2 【解析】 【分析】直接取0x =代入计算得到答案. 【详解】取0x =得到()12f = 故答案为：2【点睛】本题考查了函数值的计算，也可以先计算出函数解析式再求值.14.已知函数()3f x x =在区间[]2,4上的最大值为_____________．【答案】-4试题分析：由题意，得()63f x x x =--在上为减函数，则在[]2,4也为减函数；所以当时，.考点：函数的单调性与最值. 15.若函数()22f x mx mx =-+定义域为R ，则实数m 取值范围是______.【答案】[)0,8 【解析】 【分析】题目等价于220mx mx -+>恒成立，讨论0m =和0m ≠两种情况，计算得到答案. 【详解】函数()22f x mx mx =-+的定义域为R ，即220mx mx -+>恒成立.当0m =时，易知成立. 当0m ≠时，需满足：20880m m m m >⎧∴<<⎨∆=-<⎩综上所述：08m ≤< 故答案为：[)0,8【点睛】本题考查了函数的定义域，忽略掉0m =的情况是容易发生的错误.16.．如果对于函数()f x 定义域内任意的两个自变量的值12,x x ，当12x x <时,都有12()()f x f x ≤，且存在两个不相等的自变量值12,m m ,使得12()()f m f m =,就称()f x 为定义域上的不严格的增函数．已知函数()g x 的定义域、值域分别为A 、B ，{}1,2,3A =,B A ⊆, 且()g x 为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的()g x 共有____个． 【答案】9 【解析】 【分析】由题意结合新定义的知识分类讨论满足题意的函数的个数即可. 【详解】由不严格的增函数的定义可知函数的值域为一个数或两个数， 当值域为一个数时：()()()1231g g g ===，()()()1232g g g ===，()()()1233g g g ===共三种情况，当值域为两个数时：()()()121,32g g g ===，()()()121,33g g g ===，()()()122,33g g g ===， ()()()11,232g g g ===，()()()11,233g g g ===，()()()12,233g g g ===，综上可得，函数()g x 共有9个.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知集合{}44A x a x a =-<<+，{5B x x =>或}1x <-． （1）若1a =，求A B I ；（2）若A B =U R ，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(3,1)--；（2）13a <<. 【解析】 【分析】（1）把1a =等于带入集合中求交集即可。
2023-2024学年河北省衡水志华实验中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省衡水志华实验中学高一（上）期中数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1．已知集合A ＝{x ∈N |﹣3＜x ＜3}，B ＝{﹣5，﹣2，0，2，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，0，2}B ．{0，2}C ．{0}D ．{2}2．下列函数中，与函数y ＝x +2是同一个函数的是（ ） A ．y =(√x +2)2B ．y =√x 33+2C ．y =x 2x+2D ．y =√x 2+23．化简二次根式√−8a 3的结果为（ ） A ．−2a √−2aB ．2a √2aC ．2a √−2aD ．−2a √2a4．已知函数y ={x 2+1(x ≤0)2x(x ＞0)，若f （a ）＝10，则a 的值是（ ）A ．3或﹣3B ．﹣3或5C ．﹣3D ．3或﹣3或55．已知函数f （x ）＝x 2+（k ﹣2）x 是[1，+∞）上的增函数，则k 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，0]B ．[0，+∞）C ．（﹣∞，1]D ．[1，+∞）6．中国清朝数学家李善兰在859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做“函数”，沿用至今．为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数．”这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式．已知函数f （x ）由如下表给出，则f （f （﹣2）+1）的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知幂函数f （x ）＝x α（α∈R ）的图象经过点(12，4)，且f （a +1）＜f （3），则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）D ．（﹣4，2）8．若两个正实数x ，y 满足4x +y ＝2xy ，且不等式x +y4＜m 2+m 有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，2） B ．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C ．（﹣2，1）D ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）二、多选题（每小题5分，多选或错选得0分，少选得2分，共20分） 9．下列各命题中为假命题的是（ ） A ．∀x ∈R ，x ≥0B ．如果x ＜5，则x ＜2C ．∃x ∈R ，x 2≤﹣1D ．∀x ∈R ，x 2+1≠010．已知幂函数f(x)=(2a −1)x m2−3m+2，其中a ，m ∈R ，则下列说法正确的是（ ）A ．a ＝1B ．f （x ）恒过定点（1，1）C ．若m ＝3时，y ＝f （x ）关于y 轴对称D ．若12＜m ＜1时，f （2）＜f （1） 11．下列命题是真命题的是（ ）A ．已知函数f （2x +1）的定义域为[﹣1，1]，则函数f （x ）的定义域为[﹣1，3]B ．若y ＝f （x ）是一次函数，满足f （f （x ））＝16x +5，则f （x ）＝4x ﹣1C ．函数y ＝f （x ）的图象与y 轴最多有一个交点D ．函数y =1x+1在（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）上是单调递减函数 12．定义在R 上的函数f （x ），对任意的x 1，x 2∈（﹣∞，2]，都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0，且函数y ＝f （x +2）为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A ．y ＝f （x ﹣2）关于直线x ＝4对称 B ．y ＝f （x ）在x ∈（2，+∞）上单调递增 C ．f （1）＞f （π）D ．若f （0）＝0，则（x ﹣1）f （x ）＞0的解集为（﹣∞，0）∪（1，4） 三、填空题（每题5分，共20分）13．已知实数a ＞0，b ＞0，化简：a 32b 52√ab= ．14．已知函数f （x ）＝ax 2+bx +c ，x ∈[﹣2a ﹣5，1]是偶函数，则a +2b ＝ ．15．如果关于x 的不等式﹣x 2+6ax ﹣3a 2≥0的解集为[x 1，x 2]，其中常数a ＞0，则x 1+x 2+3ax 1x 2的最小值是 ．16．已知函数f （x ）={ax −x 2，x ≥0−2x ，x ＜0，①若对任意x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0，则实数a 的取值范围为 ；②若f （x ）在[﹣1，t ）上的值域为[0，4]，则实数t 的取值范围为 ． 四、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分） 17．（10分）已知关于x 的不等式2kx 2+kx ﹣1＜0． （1）若不等式的解集为(−32，1)，求实数k 的值；（2）若不等式的解集为R，求实数k的取值范围．18．（12分）已知集合P＝{x|3a﹣10≤x＜2a+1}，Q＝{x||2x﹣3|≤7}．（1）当a＝2时，求P∩（∁R Q）；（2）若“x∈P”是“x∈Q”必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝x+mx，且f（1）＝5．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）判断并证明f（x）的奇偶性；（Ⅲ）判断函数f（x）在（2，+∞），上是单调递增还是单调递减？并证明．20．（12分）经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t（天）的函数，且销售量近似地满足f（t）＝﹣2t+200（1≤t≤50，t∈N）．前30天价格为g(t)=12t+30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g（t）＝45（31≤t≤50，t∈N）．（1）写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；（2）求日销售额S的最大值．21．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示．（Ⅰ）请画出函数f（x）在y轴右侧的图象，并写出函数f（x）在R上的单调减区间；（Ⅱ）写出函数f（x），x∈R的解析式；（Ⅲ）若函数g（x）＝f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最大值h（a）的解析式．22．（12分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意x，y都有f（xy）＝f（x）•f（y）+f（x）+f（y），且f （﹣1）＝0．（1）求证：f（1）＝0；（2）判断f（x）奇偶性，并证明；（3）若f（2）＝3，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，解关于x的不等式f（x﹣1）＜15．2023-2024学年河北省衡水志华实验中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分，共40分）1．已知集合A ＝{x ∈N |﹣3＜x ＜3}，B ＝{﹣5，﹣2，0，2，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，0，2}B ．{0，2}C ．{0}D ．{2}解：因为A ＝{x ∈N |﹣3＜x ＜3}＝{0，1，2}，所以A ∩B ＝{0，2}． 故选：B ．2．下列函数中，与函数y ＝x +2是同一个函数的是（ ） A ．y =(√x +2)2B ．y =√x 33+2C ．y =x 2x +2D ．y =√x 2+2解：y ＝x +2的定义域为R ，值域为R ，对于A ，y ＝（√x +2）2定义域为[﹣2，+∞），与y ＝x +2定义域不同，不是同一函数，A 错误； 对于B ，y =√x 33+2＝x +2，与y ＝x +2定义域相同，解析式相同，是同一函数，B 正确； 对于C ，y =x 2x+2定义域为{x |x ≠0}，与y ＝x +2定义域不同，不是同一函数，C 错误； 对于D ，y =√x 2+2值域为[2，+∞），与y ＝x +2值域不同，不是同一函数，D 错误． 故选：B ．3．化简二次根式√−8a 3的结果为（ ） A ．−2a √−2aB ．2a √2aC ．2a √−2aD ．−2a √2a解：因为﹣8a 3≥0，所以a ≤0，所以√−8a 3=2|a|√−2a =−2a √−2a ． 故选：A ．4．已知函数y ={x 2+1(x ≤0)2x(x ＞0)，若f （a ）＝10，则a 的值是（ ）A ．3或﹣3B ．﹣3或5C ．﹣3D ．3或﹣3或5解：若a ≤0，则f （a ）＝a 2+1＝10，∴a ＝﹣3（a ＝3舍去） 若a ＞0，则f （a ）＝2a ＝10，∴a ＝5 综上可得，a ＝5或a ＝﹣3 故选：B ．5．已知函数f （x ）＝x 2+（k ﹣2）x 是[1，+∞）上的增函数，则k 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，0]B ．[0，+∞）C ．（﹣∞，1]D ．[1，+∞）解：根据题意，函数f （x ）＝x 2+（k ﹣2）x 为开口向上的二次函数，其对称轴为x =−k−22，若函数f（x）＝x2+（k﹣2）x是[1，+∞）上的增函数，则必有−k−22≤1⇒k≥0，即k的取值范围为[0，+∞）；故选：B．6．中国清朝数学家李善兰在859年翻译《代数学》中首次将“function”译做“函数”，沿用至今．为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数．”这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式．已知函数f（x）由如下表给出，则f（f（﹣2）+1）的值为（）A．1B．2C．3D．4解：根据题意，f（x）={1，x≤02，0＜x＜23，x≥2，则f（﹣2）＝1，f（f（﹣2）+1）＝f（2）＝3，故选：C．7．已知幂函数f（x）＝xα（α∈R）的图象经过点(12，4)，且f（a+1）＜f（3），则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）D．（﹣4，2）解：∵幂函数f（x）＝xα（α∈R）的图象经过点(12，4)，∴4=(12)α，∴α＝﹣2，∴f（x）＝x﹣2=1x2，∴函数f（x）是偶函数，在（0，+∞）上单调递减，在（﹣∞，0）上单调递增，∵f（a+1）＜f（3），∴|a+1|＞3，解得：a＜﹣4或a＞2，即a的取值范围为（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）．故选：C．8．若两个正实数x，y满足4x+y＝2xy，且不等式x+y4＜m2+m有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）解：若两个正实数x，y满足4x+y＝2xy，即4y +1x=2，所以x +y 4=（x +y 4）（1x +4y）×12=12（2+y 4x +4x y ）≥12（2+2√y 4x ⋅4xy ）＝2，当且仅当y ＝4x 且4y +1x=2，即x ＝1，y ＝4时取等号，故x +y4的最小值为2，因为不等式x +y4＜m 2+m 有解，所以2＜m 2+m ，解得m ＞1或m ＜﹣2． 故选：D ．二、多选题（每小题5分，多选或错选得0分，少选得2分，共20分） 9．下列各命题中为假命题的是（ ） A ．∀x ∈R ，x ≥0 B ．如果x ＜5，则x ＜2 C ．∃x ∈R ，x 2≤﹣1D ．∀x ∈R ，x 2+1≠0解：对于A 选项：当x ＝﹣2∈R 时，x ＜0，所以命题“∀x ∈R ，x ≥0”为假命题； 对于B 选项：当x ＝4时，则2＜x ＜5，所以命题“如果x ＜5，则x ＜2”为假命题； 对于C 选项：当x ∈R 时，x 2≥0，所以命题“∃x ∈R ，x 2≤﹣1”为假命题； 对于D 选项，∀x ∈R ，x 2≥0，则x 2+1≥1，所以命题“∀x ∈R ，x 2+1≠0”为真命题． 故选：ABC ．10．已知幂函数f(x)=(2a −1)x m2−3m+2，其中a ，m ∈R ，则下列说法正确的是（ ）A ．a ＝1B ．f （x ）恒过定点（1，1）C ．若m ＝3时，y ＝f （x ）关于y 轴对称D ．若12＜m ＜1时，f （2）＜f （1） 解：∵函数f(x)=(2a −1)x m 2−3m+2为幂函数，∴2a ﹣1＝1，解得a ＝1，故A 正确；∵f （x ）=x m2−3m+2，∴f （x ）恒过定点（1，1），故B 正确；又当m ＝3时，f （x ）＝x 2，为偶函数，故y ＝f （x ）关于y 轴对称，即C 正确； ∵m 2﹣3m +2＝（m ﹣2）（m ﹣1）， ∴当12＜m ＜1时，m 2﹣3m +2＞0，∴f （x ）=x m2−3m+2在（0，+∞）上单调递增，∴f （2）＞f （1），故D 错误； 故选：ABC ．11．下列命题是真命题的是（ ）A ．已知函数f （2x +1）的定义域为[﹣1，1]，则函数f （x ）的定义域为[﹣1，3]B ．若y ＝f （x ）是一次函数，满足f （f （x ））＝16x +5，则f （x ）＝4x ﹣1C ．函数y ＝f （x ）的图象与y 轴最多有一个交点D ．函数y =1x+1在（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）上是单调递减函数 解：对于A ，因为函数f （2x +1）的定义域为[﹣1，1]，则2x +1∈[﹣1，3]， 所以函数f （x ）的定义域为[﹣1，3]，故A 正确． 对于B ，设f （x ）＝kx +b （k ≠0），则f （f （x ））＝k （kx +b ）+b ＝k 2x +kb +b ＝16x +5，所以{k 2=16kb +b =5，解得{k =4b =1或{k =−4b =−53，所以f （x ）＝4x +1或f(x)=−4x −53，故B 错误．对于C ，根据函数的定义可得函数y ＝f （x ）的图象与y 轴最多有一个交点，故C 正确． 对于D ，函数y =1x+1在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上是单调递减函数，故D 错误． 故选：AC ．12．定义在R 上的函数f （x ），对任意的x 1，x 2∈（﹣∞，2]，都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0，且函数y ＝f （x +2）为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A ．y ＝f （x ﹣2）关于直线x ＝4对称 B ．y ＝f （x ）在x ∈（2，+∞）上单调递增 C ．f （1）＞f （π）D ．若f （0）＝0，则（x ﹣1）f （x ）＞0的解集为（﹣∞，0）∪（1，4） 解：因为对任意的x 1，x 2∈（﹣∞，2]，都有（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0， 所以函数f （x ）在（﹣∞，2]上单调递增，又因为函数y ＝f （x +2）为偶函数，所以函数f （x ）关于直线x ＝2对称，所以函数y ＝f （x ﹣2）关于直线x ＝4对称，A 正确； 根据函数f （x ）在（﹣∞，2]上单调递增，且关于直线x ＝2对称， 可得函数y ＝f （x ）在x ∈（2，+∞）上单调递减，B 错误； 因为函数y ＝f （x ）在x ∈（2，+∞）上单调递减，所以f （π）＜f （3），且f （3）＝f （1），所以f （1）＞f （π），C 正确； 由f （0）＝0可得，f （4）＝0，则结合函数的单调性和对称性可得，x ∈（﹣∞，0）时，f （x ）＜0，x ∈（0，4）时，f （x ）＞0，x ∈（4，+∞）时，f （x ）＜0， 所以由（x ﹣1）f （x ）＞0，可得{x −1＞0f(x)＞0或{x −1＜0f(x)＜0，解得1＜x ＜4或x ＜0，D 正确．故选：ACD ．三、填空题（每题5分，共20分）13．已知实数a ＞0，b ＞0，化简：a 32b 52√ab= ab 2 ．解：实数a ＞0，b ＞0，则a 32b 52√ab=a 32b 52a 12b 12=a 32−12b 52−12=ab 2．故答案为：ab 2．14．已知函数f （x ）＝ax 2+bx +c ，x ∈[﹣2a ﹣5，1]是偶函数，则a +2b ＝ ﹣2 ． 解：根据题意，函数f （x ）＝ax 2+bx +c ，x ∈[﹣2a ﹣5，1]是偶函数， 则有﹣2a ﹣5+1＝0，解可得a ＝﹣2，则函数f （x ）是开口向下的二次函数，必有b ＝0，故a +2b ＝﹣2． 故答案为：﹣2．15．如果关于x 的不等式﹣x 2+6ax ﹣3a 2≥0的解集为[x 1，x 2]，其中常数a ＞0，则x 1+x 2+3ax 1x 2的最小值是 2√6 ．解：不等式﹣x 2+6ax ﹣3a 2≥0的解集为[x 1，x 2]，其中常数a ＞0， 所以x 1，x 2是方程x 2﹣6ax +3a 2＝0的实数根， a ＞0时，Δ＝（﹣6a ）2﹣4×3a 2＝24a 2＞0， 所以{x 1+x 2=6a x 1x 2=3a 2，所以x 1+x 2+3a x 1x 2=6a +1a ≥2√6a ⋅1a =2√6，当且仅当6a =1a ，即a =√66时取等号， 故x 1+x 2+3ax 1x 2的最小值是2√6．故答案为：2√6．16．已知函数f （x ）={ax −x 2，x ≥0−2x ，x ＜0，①若对任意x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0，则实数a 的取值范围为 （﹣∞，0] ；②若f （x ）在[﹣1，t ）上的值域为[0，4]，则实数t 的取值范围为 （2，4] ． 解：①若对任意x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0，则f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则a 2≤0，即a ≤0．∴实数a 的取值范围为（﹣∞，0]； ②当a ＞0时，若f （x ）在[﹣1，t ）上的值域为[0，4]，可得f （a2）=a 22−a 24=4，解得a ＝4或a ＝﹣4（舍去），又f （﹣1）＝2，f （0）＝f （4）＝0，∴2＜t ≤4； 当a ≤0时，由①可知，f （x ）在[﹣1，t ）上单调递减， 则f （x ）在[﹣1，t ）上的最大值为f （﹣1）＝2，不合题意． ∴实数t 的取值范围为（2，4]． 故答案为：①（﹣∞，0]；②（2，4]．四、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分） 17．（10分）已知关于x 的不等式2kx 2+kx ﹣1＜0． （1）若不等式的解集为(−32，1)，求实数k 的值； （2）若不等式的解集为R ，求实数k 的取值范围．解：（1）关于x 的不等式2kx 2+kx ﹣1＜0的解集为(−32，1)， 所以−32和1是方程2kx 2+kx ﹣1＝0的两个实数根， 代入x ＝1得2k +k ﹣1＝0，解得k =13； （2）若不等式2kx 2+kx ﹣1＜0的解集为R ， 则k ＝0时，不等式为﹣1＜0，满足题意； k ≠0时，应满足{k ＜0△=k 2+8k ＜0，解得﹣8＜k ＜0；综上知，实数k 的取值范围是﹣8＜k ≤0．18．（12分）已知集合P ＝{x |3a ﹣10≤x ＜2a +1}，Q ＝{x ||2x ﹣3|≤7}． （1）当a ＝2时，求P ∩（∁R Q ）；（2）若“x ∈P ”是“x ∈Q ”必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：（1）根据题意，得Q ＝{x ||2x ﹣3|≤7}＝{x |﹣2≤x ≤5}，可得∁R Q ＝x |x ＜﹣2或x ＞5}， 因为a ＝2时，P ＝{x |﹣4≤x ＜5}，所以P ∩（∁R Q ）＝{x |﹣4≤x ＜﹣2}； （2）因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要不充分条件，所以Q ⫋P ，P 不是空集，故当3a ﹣10＜2a +1，解得a ＜11．根据包含关系，可得{3a −10≤−22a +1＞5，解得2＜a ≤83，所以实数a 的取值范围是(2，83]．19．（12分）已知函数f （x ）＝x +m x，且f （1）＝5． （Ⅰ）求m ；（Ⅱ）判断并证明f （x ）的奇偶性；（Ⅲ）判断函数f （x ）在（2，+∞），上是单调递增还是单调递减？并证明． 解：（1）根据题意，函数f （x ）＝x +m x ，且f （1）＝5， 则f （1）＝1+m ＝5，解得m ＝4；（2）由（1）可知f （x ）＝x +4x，其定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称， 又由f （﹣x ）＝﹣x −4x =−（x +4x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x ）是奇函数；（3）f （x ）在（2，+∞）上是单调递增函数． 证明如下：设2＜x 1＜x 2， f （x 1）﹣f （x 2）＝（x 1+4x 1）﹣（x 2+4x 2）＝（x 1﹣x 2）x 1x 2−4x 1x 2， 因为2＜x 1＜x 2，所以x 1x 2＞4，x 1﹣x 2＜0， 则f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， 所以f （x ）在（2，+∞）上是单调递增函数．20．（12分）经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t （天）的函数，且销售量近似地满足f （t ）＝﹣2t +200（1≤t ≤50，t ∈N ）．前30天价格为g(t)=12t +30(1≤t ≤30，t ∈N)，后20天价格为g （t ）＝45（31≤t ≤50，t ∈N ）． （1）写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； （2）求日销售额S 的最大值．解：（1）当1≤t ≤30时，由题知f （t ）•g （t ）＝（﹣2t +200）•（12t +30）＝﹣t 2+40t +6000， 当31≤t ≤50时，由题知f （t ）•g （t ）＝45（﹣2t +200）＝﹣90t +9000， 所以日销售额S 与时间t 的函数关系为S ={−t 2+40t +6000，1≤t ≤30−90t +9000，31≤t ≤50；（2）当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝﹣（t ﹣20）2+6400，当t ＝20时，S max ＝6400元；当31≤t≤50，t∈N时，S＝﹣90t+9000是减函数，当t＝31时，S max＝6210元．∵6210＜6400，则S的最大值为6400元．21．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示．（Ⅰ）请画出函数f（x）在y轴右侧的图象，并写出函数f（x）在R上的单调减区间；（Ⅱ）写出函数f（x），x∈R的解析式；（Ⅲ）若函数g（x）＝f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最大值h（a）的解析式．解：（Ⅰ）图象如图所示：单调减区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．（Ⅱ）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），当x≤0时，f（x）＝x2+2x，∴当x＞0时，﹣x＜0，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2×（﹣x）]＝﹣x2+2x，∴f（x）={x2+2x，x≤0−x2+2x，x＞0．（Ⅲ）∵函数g（x）＝f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，∴g（x）＝﹣x2+（2﹣2a）x+2，x∈[1，2]，①当1﹣a≤1时，即a≥0，h（a）＝[g（x）]max＝g（1）＝3﹣2a；②当1＜1﹣a≤2时，即﹣1≤a＜0，h（a）＝[g（x）]max＝g（1﹣a）＝a2﹣2a+3；③当1﹣a＞2时，即a≥0，h（a）＝[g（x）]max＝g（2）＝2﹣4a，∴h（a）={3−2a，a≥0a2−2a+3，−1≤a＜0 2−4a，a＜−1．22．（12分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意x，y都有f（xy）＝f（x）•f（y）+f（x）+f（y），且f （﹣1）＝0．（1）求证：f（1）＝0；（2）判断f（x）奇偶性，并证明；（3）若f（2）＝3，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，解关于x的不等式f（x﹣1）＜15．解：（1）证明：函数f（x）的定义域为R，对任意x，y都有f（xy）＝f（x）•f（y）+f（x）+f（y），令x＝y＝﹣1，则f（1）＝f（﹣1）•f（﹣1）+f（﹣1）+f（﹣1）＝0，得证；（2）f（x）为偶函数，证明：令y＝﹣1，则f（﹣x）＝f（x）•f（﹣1）+f（x）+f（﹣1）＝f（x），因为f（x）定义域为R，所以函数f（x）为偶函数；（3）由题设，令x＝y＝2得f（4）＝f（2×2）＝f（2）•f（2）+f（2）+f（2）＝3×3+3+3＝15，由（2）得：函数f（x）为偶函数，且f（x）在（0，+∞）上递增，则在（﹣∞，0）上递减，所以f（x﹣1）＜15＝f（4），则|x﹣1|＜4，解得﹣3＜x＜5，所以不等式的解集为{x|﹣3＜x＜5}．。
河北省衡水市武邑中学2021-2022高一数学上学期期中试题(含解析)
河北武邑中学2021-2022高一上学期期中考试数学试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.3.选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效.第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上.1.设全集U =R ，集合{}2log 2A x x =≤，()(){}310B x x x =-+≥，则()UB A =（ ） A. (],1-∞- B. (](),10,3-∞- C. (]0,3 D. ()0,3【答案】D 【解析】由题意得：{}0x 4x A =<≤,{}x 1,3x x B =≤-≥或， ∴ U C B =()1,3-， ∴( U C B ) A=()0,3故选：D点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.已知0a >32a=( )A. 12a B.32a C.23a D.13a【答案】D【解析】【分析】由指数幂运算即可求解23a=2113323aa aa-===.故选D.【点睛】本题考查指数幂运算，熟记运算性质是关键，注意运算的准确，是基础题3.在映射:f A B→中，(){},|,A B x y x y R==∈，且()():,,f x y x y x y→-+，则A中的元素()1,2-在集合B中的象为（）A. ()3,1- B. ()1,3-- C. ()1,3 D. ()3,1【答案】A【解析】试题分析：由题意，对应关系为()():,,f x y x y x y→-+，故A中的元素()1,2-在集合B 中的象为()3,1-考点：映射，象与原象4.今有一组实验数据如下表所示：则最佳体现这些数据关系的函数模型是（）A. 2logu t= B. 22tu=- C.212tu-= D.22u t=-【答案】C 【解析】21.992 1.9911.99,log 1.991,222, 1.5,2 1.992 1.98;2t -=≈-≈≈⨯-=232313.0.log 3 1.6,226,4,2324;2t -=≈-==⨯-=242414.log 42,2214,7.5,2426;2t -==-==⨯-=25.12(5.1)15.1.log 5.13,2230,12,2 5.128.2;2t -=-≈⨯-=故选C5.一个偶函数定义在区间[]7,7-上，它在[]0,7上的图象如图，下列说法正确的是（ ）A. 这个函数仅有一个单调增区间B. 这个函数在其定义域内有最大值是7C. 这个函数有两个单调减区间D. 这个函数在其定义域内有最小值是-7 【答案】B 【解析】 【分析】根据已有图像和偶函数性质画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】根据函数图像和偶函数性质得到函数图像：由图像可知：这个函数有三个单调增区间； 这个函数有三个单调减区间；这个函数在其定义域内有最大值是7 ； 这个函数在其定义域内最小值不是7-． 故选：B【点睛】本题考查了函数的图像，单调性，最值，意在考查学生对于函数图像的应用. 6.已知{}1,1,2,3α∈-，则使函数y x α=的值域为R ，且为奇函数的所有α的值为( )A. 1，3B. －1，1C. －1，3D. －1，1，3 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的性质，分别判断幂函数的值域和奇偶性是否满足条件即可． 【详解】当a=﹣1时，y=11xx-=，为奇函数，但值域为{x|x ≠0}，不满足条件． 当a=1时，y=x ，为奇函数，值域为R ，满足条件． 当a=2时，y=x 2为偶函数，值域为{x|x ≥0}，不满足条件． 当a=3时，y=x 3为奇函数，值域为R ，满足条件． 故选：A ．【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，比较基础．7.已知3a e =，33log 5log 2b =-，3c =a ，b ，c 的大小关系为（） A. a c b >> B. b c a >> C. c a b >>D. c b a >>【答案】C 【解析】 【分析】根据3log y x =的单调性判断,a b 的大小关系，由1a c <<判断出三者的大小关系. 【详解】由3log 1a e =<，335log log 2b a e =<=，ln31c =>，则c a b >>.故选C. 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查对数函数的单调性，考查对数式比较大小，属于基础题.8.已知函数()f x 在[3,)+∞上单调递减，且(3)f x +是偶函数，则 1.1(0.3)a f =，0.5(3)b f =，(0)c f =的大小关系是（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. c b a >>D.b ac >>【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件得到()f x 的图象关于直线3x =对称，且在(],3-∞上单调递增，然后通过比较1.10.50,0.3,3到对称轴距离的大小可得所求结果．【详解】由()3f x +是偶函数可得其图象的对称轴为0x =， 所以函数()f x 的图象关于直线3x =对称． 又函数()f x 在[)3,+∞上单调递减， 所以函数()f x 在(],3-∞上单调递增． 因为 1.10.500.333<<<， 所以()()()1.10.500.33f f f <<，即b a c >>．故选D ．【点睛】比较函数值大小的常用方法：（1）将自变量转化到同一单调区间上，然后根据函数的单调性进行比较；（2）对于图象有对称轴的函数来讲，可将函数值的大小问题转化为自变量到对称轴的距离的大小的问题求解．9.当x ∈R 时，函数()()01xf x a a a =>≠且满足()1f x ≤，则函数()log 1a y x =+的图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】试题分析：由函数||()x f x a =（0a >且1a ≠）满足()1f x ≤01a ⇒<<，故的图象应是C 图，故选C ． 考点：函数的图象．10.已知函数()f x =()log 01?a x a a >≠且满足()()12f a f a +>+则()220f x x ->的解集是 A. ()1,0,12∞⎛⎫-⋃⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C. 11,0,122⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】因为函数()()log 01?a f x x a a =>≠且满足()()12f a f a +>+,所以0a < 1<<,则函数()log (01)a f x x a =<<是减函数,所以()220f x x ->可化为2021x x <-<,求解可得102x -<<或 112x <<,故选C. 11.设x ，y 为实数，且满足()()3(1)2018153(1)201815x x y y -+-=-⎧⎪-+-=⎨⎪⎩，则x y +=（ ）A. 2B. 5C. 10D. 2021【答案】A【分析】由题意可设()32018f x x x =+，由导数判断单调性，由奇偶性的定义判断()f x 为奇函数，可得()()()111f y f x f x -=--=-，由单调性可得x ，y 的和． 【详解】由题意可设()32018f x x x =+，可得导数()2'320180f x x =+>，即()f x 为R 上的增函数；又()()32018f x x x f x -=--=-，即()f x 为奇函数，()()3(1)2018153(1)201815x x y y -+-=-⎧⎪-+-=⎨⎪⎩，可得 ()()(33(1)20181[1)20181y y x x ⎤-+-=--+-⎦，可得()()()111f y f x f x -=--=-， 由()f x 在R 上递增，可得11y x -=-， 即有2x y +=． 故选：A ．【点睛】本题考查函数方程的转化思想，构造函数判断奇偶性和单调性是解题的关键，属于中档题．12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，已知函数1()12x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是（ ） A. {0,1} B. {1}C. {1,0,1}-D. {1,0}-【答案】D()()()()()11,2121x xx xe ef x f x f x e e--=-==-++，()f x ∴奇函数，函数()1,12x xe f x e =-∴+化简得出：()11,1121xx f x e e =-+>+，1011x e ∴<<+， 11112212x e -<-<+，∴当()1,02f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()1,0f x f x ⎡⎤⎡⎤=--=⎣⎦⎣⎦，当()10,2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,1f x f x ⎡⎤⎡⎤=-=-⎣⎦⎣⎦，当()0f x =时，()()0,0f x f x ⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦，∴函数()()y f x f x =+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的值域为{}1,0-，故选D. 【方法点睛】本题考查函数的值域、指数式的运算以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义高斯函数达到考查函数的值域、指数式的运算的目的.第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置. 13.已知()2xf e x =+，则()1f =______.【答案】2 【解析】 【分析】直接取0x =代入计算得到答案. 【详解】取0x =得到()12f = 故答案为：2【点睛】本题考查了函数值的计算，也可以先计算出函数解析式再求值.14.已知函数()3f x x =在区间[]2,4上的最大值为_____________．【答案】-4试题分析：由题意，得()63f x x x =--在上为减函数，则在[]2,4也为减函数；所以当时，.考点：函数的单调性与最值. 15.若函数()22f x mx mx =-+定义域为R ，则实数m 取值范围是______.【答案】[)0,8 【解析】 【分析】题目等价于220mx mx -+>恒成立，讨论0m =和0m ≠两种情况，计算得到答案. 【详解】函数()22f x mx mx =-+的定义域为R ，即220mx mx -+>恒成立.当0m =时，易知成立. 当0m ≠时，需满足：20880m m m m >⎧∴<<⎨∆=-<⎩综上所述：08m ≤< 故答案为：[)0,8【点睛】本题考查了函数的定义域，忽略掉0m =的情况是容易发生的错误.16.．如果对于函数()f x 定义域内任意的两个自变量的值12,x x ，当12x x <时,都有12()()f x f x ≤，且存在两个不相等的自变量值12,m m ,使得12()()f m f m =,就称()f x 为定义域上的不严格的增函数．已知函数()g x 的定义域、值域分别为A 、B ，{}1,2,3A =,B A ⊆, 且()g x 为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的()g x 共有____个． 【答案】9 【解析】 【分析】由题意结合新定义的知识分类讨论满足题意的函数的个数即可. 【详解】由不严格的增函数的定义可知函数的值域为一个数或两个数， 当值域为一个数时：()()()1231g g g ===，()()()1232g g g ===，()()()1233g g g ===共三种情况，当值域为两个数时：()()()121,32g g g ===，()()()121,33g g g ===，()()()122,33g g g ===， ()()()11,232g g g ===，()()()11,233g g g ===，()()()12,233g g g ===，综上可得，函数()g x 共有9个.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知集合{}44A x a x a =-<<+，{5B x x =>或}1x <-． （1）若1a =，求AB ；（2）若A B =R ，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(3,1)--；（2）13a <<. 【解析】 【分析】（1）把1a =等于带入集合中求交集即可。