物体冷却过程的数学模型
微分方程
#
例 例 求解微分方程 解 分离变量 dy dy 2 xy , 2 xdx , dx y
dy 两端积分 2 xdx , y
ln y x 2 C ,
#
例
例： 1 y 2 3 x 2 y dy 求通解 dx 解： y dy dx 分离变量 2 1 y2 3 x y dy dx 1 1 2 C 两端积分 2 2 1 y 2 2 3x 3x 1 y 得通解 注意
特别的，若n 0，即对任意的t R使得f ( tx,ty ) f ( x, y )， 则称f ( x, y )为变量x, y的0次齐次函数。
xy - y 2 例如，对于函数f ( x, y ) 2 ,因为f ( tx,ty ) f ( x, y )， x 2 xy xy - y 2 所以f ( x, y ) 2 为0次齐次函数。 x 2 xy
2
, C2
2
,
于是 C1 1.
§9.2最简单的微分方程 一阶微分方程的一般形式为 F(x,y,y)=0
若可解出y,则可写成显式方程 可分离变量方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程
y=f(x,y)
#
可分离变量方程
( g ( y )和 f ( x ) 连续）
分离变量方程： g( y )dy f ( x )dx
2
练习
2 : 在下列各题中，确定函 数关系式中所含的参数 ， 使函数满足所给的初始 条件：
(1) y (C1 C2 x)e 2 x , y x0 0, y x0 1;
( 2) y C1 sin( x C 2 ), y
解
x
1, y
常微分方程应用举例
常微分方程应用举例摘要根据几何学和其他学科的实际问题及相关知识建立微分方程。
讨论该方程的性质，并由所得解或解的性质反过来解释该实际过程，关键词：常微分方程，导数，解题，方法。
1，引言：微分方程是数学学科联系实际的主要桥梁之一，是数学专业的一门重要基础课，也是理，工科高等数学的重要组成部分。
在自然科学和技术科学的其他领域中，例如化学，生物，物理学，自动控制，电子技术等等，都提出了大量的微分方程问题。
同样在社会科学的一些领域里也存在着微分方程的问题，因此社会的生产实践是常微分方程理论的取之不尽的基本源泉。
此外，常微分方程与数学的其他分支的关系也是非常密切的，它们往往互相联系，互相促进。
例如几何学就是常微分方程理论的丰富的源泉之一和有力工具。
考虑到常微分方程是一门与实际联系比较密切的数学课程，我们自然应该注意它的实际背景与应用。
2：在其他学科应用的方面有些完全无关的，本质上不同的物理现象有时可以由同类型的微分方程来描述。
例如，反映物体冷却过程的方程。
dy=﹣k(u-ｕa)dx和反映R-L电路中电流变化规律的方程。
dI dt＋ＲI L =E L都可以写成dydt＋K ²y=B 这里K,B 是常数，而R-L-C 电路的方程22d I dt+R L dI dt +I LC =1()de t L dt和数学摆的强迫微小振动的方22d dtϕ+m μd dt ϕ+g l ϕ=1ml F(t)都具有同一形式：22d Idt +bdydt+cy=f(t) 这里b,c 是常数，又L-C 电路方程22d dtϕ+ILC =0和阻力系数u=0的数学摆的自由微小振动方程22d dtϕ+gl ϕ=0属于同样的数学模型22d ydt+2k y=0这里k 是常数。
不同的物理现象可以具有相同的数学模型这一事实，正是现代许多应用数学工作者和工程人员应用模拟方法解决物理或工程问题的理论根据。
应用常微分方程解决实际问题，一般有三个步骤： （1）建立微分方程。
线材冷却过程模拟计算的数学模型
摘 要 建 立 了线材 斯 太 尔摩 冷却 过程 有 内热 源 的一 维非稳 态数 学模 型 ； Ｃ Ｔ 曲线 为依 据计 算 以 Ｃ
线 材 冷 却 过 程 的 相 变 潜 热 ， 用 能 量 平 衡 法 对 数 学模 型 进 行 离散 求 解 ， 出线 材 在 冷 却 过 程 中搭 接 利 得 点 与 非 搭 接 点 处 的 温 降 规 律 ， 通 过 现 场 测 试 验 证 了模 拟 计 算 结 果 的 准 确 性 。 并
关键 词 线材 ；ห้องสมุดไป่ตู้冷却 ； 变 ； 拟 计算 ； 学模 型 相 模 数
中图分 类号 ： ＴＱｏ ８ 文 献 标 识 码 ： 文 章 编 号 ：６ １３ ２ （ ｏ ２ ０ —０ １０ １ Ａ １ ７ － ５ ４ ２ １ ） ２０ ０ — ３ 线材 的性 能 是 和最 终 的组 织 形 态 密 切 相 关 的 ， 匀 ， 吐 丝 温 度 ， 初 始 条 件 如 下 ： 为 则
第２ 卷 第 ２ ４ 期 ２ １ 年６ ０２ 月
武汉工程职业技术学院学报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｕ ａ ｎ ｉｅ ｒｎ ｓｉ ｔ ｏ ｒ ａ Ｗ ｈ ｎ ｇｎ ｅ ｉｇＩ ｔｔ ｅ ｏ Ｅ ｎ ｕ
线 材 冷 却 过 程 模 拟 计 算 的数 学 模 型
陈 超 丁 翠 娇 欧 阳德 刚 宋 中华 陈 胜 杨 超
式 中： ａ为 传 热 系 数 ， ／ ｍ。 ・Ｋ） ｗ （ ；
度， 。 ℃
求 ， 而 影 响 了产 品 成材 率 ， 进 因此对 线 材冷 却过 程 的 温降 规律 进行 数值 模 拟意 义 十分 重大 。
在 中心 线处 ， 温度 场 呈轴对 称 ， 因而有 ；
傅里叶热传导方程和牛顿冷却定律在流体热学研究中的数学模型应用
傅里叶热传导方程和牛顿冷却定律在流体热学研究中的数学模型应用一、本文概述本文旨在探讨傅里叶热传导方程和牛顿冷却定律在流体热学研究中的数学模型应用。
通过深入研究这两种经典定律在流体热传导和热交换过程中的具体应用，我们可以更准确地理解和预测流体在特定热环境下的行为特性。
这不仅对于提升我们对热现象的科学认识具有重要意义，同时也为工程实践中的热设计、热管理以及热控制提供了有力的理论支持。
傅里叶热传导方程作为描述热传导过程的基本方程，它揭示了热量在介质内部传递的规律。
在流体热学中，这一方程的应用使我们能够理解和模拟流体在受到温度梯度作用时，热量如何在流体内部进行传递和分布。
这对于研究流体在热环境下的行为特性，如热对流、热扩散等，具有重要的指导意义。
牛顿冷却定律则描述了物体表面与周围环境之间的热交换过程。
在流体热学中，这一定律的应用使我们能够理解和模拟流体在与周围环境进行热交换时，其温度如何随时间变化。
这对于研究流体在冷却、加热等过程中的热动态行为，具有重要的应用价值。
本文将详细介绍傅里叶热传导方程和牛顿冷却定律在流体热学中的数学模型，并通过具体的案例分析和数值模拟，展示这两种定律在解决实际问题中的应用。
通过本文的研究，我们期望能够为流体热学的研究和应用提供新的视角和方法，推动该领域的进一步发展。
二、傅里叶热传导方程的基本原理与应用傅里叶热传导方程是热传导理论中的核心方程，由法国数学家约瑟夫·傅里叶在19世纪初提出。
这个方程描述了热量在物质内部传递的规律，即热量从高温区域流向低温区域的速度与温度梯度成正比，与物质的热传导系数也成正比。
其基本形式为：其中，q 表示热流量密度，k 是热传导系数，grad(T) 是温度梯度。
负号表示热量总是从高温流向低温。
傅里叶热传导方程在流体热学研究中具有广泛的应用。
在流体的热传导过程中，方程可以帮助我们理解热量如何在流体内部传递，以及流体温度如何随时间和空间变化。
这对于许多工程和科学问题，如热交换器的设计、热流的模拟以及流体动力学的热效应分析等，都是至关重要的。
数学建模简介
数学建模与数学建模竞赛一. 什么是数学模型二. 为什么要学数学建模三. 如何建立数学模型_建立数学模型的步骤和方法四. 全国大学生数学建模竞赛简介1. 竞赛的由来及现状2. 数学建模竞赛的特点。
3. 如何写作数学建模竞赛论文一. 什么是数学模型？⑴厡型与模型厡型与模型是一对对偶体，厡型是指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。
而模型是指为了某个特定目的将厡型的某一部分信息简缩、提炼而构造的替代物。
模型不是厡型，它既简单于厡型，又高于厡型.例如飞机模型，虽然比飞机厡型简单，而且也不一定会飞，但是很逼真，足以让人想像飞机在飞行过程中机翼的位置与形状的影响和作用。
一个城市的交通图是城市的一种模型，看模型比看厡型清楚，此时城市的人口、道路、车辆、建筑物的形状都不重要。
但是，城市的街道、交通钱路和各单位的位置等信息都一目了然，这比看厡型清楚得多。
模型可以分为形象模型和抽象模型，抽象模型最主要的就是数学模型。
⑵数学模型数学模型并不是新事物，自从有了数学，也就有了数学模型。
即要用数学去解决实际问题，就一定要使用数学的语言、方法去近似地刻画这个实际问题，这就是数学模型。
事实上，人所共知的欧几里得几何、微积分、万有引力定律、能量转化定律、夹义相对论、广义相对论等都是很好的数学模型。
那么，什么是数学模型呢？目前没有确切的定义，但可以这样讲：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构式。
也就是说，数学模型是通过抽象、简化的过程，使用数学语言对实际现像的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究对像。
应用数学知识解决实际问题的第一步就是通过实际问题本身，从形式上杂乱无章的现象中抽象出恰当的数学关系式，也就是构建这个实际问题的数学模型，其过程就是数学建模的过程。
⑶数学模型无处不在目前，数学的应用已经渗透到了各个领域，或者说各行各业日益依赖于数学，在人们日常生活的各种活动中，数学无处不在。
lammps 指数衰减冷却-解释说明
lammps 指数衰减冷却-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以如下编写：概述指数衰减冷却是一种常见的热力学冷却方法，可以在分子动力学模拟中模拟物质的冷却过程。
本文旨在介绍指数衰减冷却模型以及其在LAMMPS软件中的应用。
指数衰减冷却是基于热力学原理，通过在模拟系统中引入衰减函数来模拟分子的冷却过程。
该冷却模型逐渐降低系统内分子的能量和温度，使其逐步接近所设定的目标温度。
其优势在于能够精确控制冷却速率和目标温度，同时可以模拟多种不同的冷却过程。
指数衰减冷却已经在多个领域的研究中得到广泛应用，例如材料科学、物理学以及生物化学领域等。
本文将首先介绍热力学基础，包括热力学平衡和非平衡状态下的能量和温度变化规律。
随后，将详细介绍指数衰减冷却模型的原理和数学表达式。
在此基础上，将详细介绍LAMMPS软件，即大尺度原子/分子质点模拟工具的特点与功能。
最后，将探讨指数衰减冷却在LAMMPS软件中的应用，包括其在材料研究、纳米领域以及生物分子模拟中的应用实例。
通过本文的研究，我们期望能够更好地理解指数衰减冷却模型的原理和应用，并为科学研究和工程实践提供参考和指导。
另外，我们也将探讨该模型存在的局限性以及未来改进方向，以期进一步完善和扩展这一热力学冷却方法的应用领域。
综上所述，本文将全面介绍指数衰减冷却模型及其在LAMMPS软件中的应用。
通过对指数衰减冷却的深入研究，我们有望为相关领域的研究人员提供理论支持和技术指导，促进科学知识的不断进步和应用的不断拓展。
1.2文章结构文章结构部分的内容如下：文章结构部分旨在介绍本篇长文的整体结构和主要内容安排，以帮助读者更好地理解文章的组织方式和逻辑流程。
本篇文章共分为引言、正文和结论三个主要部分。
在引言部分中，将首先对文章的主题和研究领域进行概述，说明本文所涉及的问题或现象，并简要介绍指数衰减冷却的背景和相关研究动态。
接着，将介绍本篇文章的结构和内容安排，以指引读者对全文有一个整体的了解。
线性微分方程
du dt
k (u
ua
),
其中 k 0 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数
学模型.
注意:此式子并不是直接给出 u 和 t 之间的函数关系,而只是
给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式
子求得 u 与 t 之间的关系式, 以后再介绍.
§1.2 基本概念
一、常微分方程与偏微分方程 二、微分方程的阶 三、线性与非线性微分方程 四、微分方程的解
现在，我们通过实例介绍DE模 型的建立方法，并讲述一些最基本的 概念。
例1 求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线方程.
解: 设所求的曲线方程为 y f (x). 由导数的几何意义, 应有
f '(x) 2x,
即
f (x) 2xdx t C x2 C.
又由条件: 曲线过(1,3), 即
f (1) 3,
于是得 C 2. 故所求的曲线方程为:
y x2 2.
例2 物理冷却过程的数学模型
将某物体放置于空气中, 在时刻 t 0 时, 测得它的温度为 u0 150 C, 10分钟后测量得温度为u1 100 C. 试决定此物
体的温度 u 和时间 t 的关系,并计算20分钟后物体的温度. 这
就是偏微分方程. 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称为微分方
程或方程.
二、微分方程的基本概念
阶数：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为 微分方程的阶数.
在上面例1中，
(1) dy 2x 是一阶微分方程； dx
(2) xdy ydx 0 是一阶微分方程；
(3)
层流冷却的策略和控制模型论文
层流冷却的策略和控制模型引言层流冷却是一种常见的工业过程，其通过控制气流的流动来改善设备的冷却效果。
本论文详细研究了层流冷却的策略和控制模型，并提出了一种新的控制算法，旨在提高冷却效率和节省能源。
1. 层流冷却原理层流冷却原理是基于物体表面传热的热传导方式，通过在物体表面形成一层冷却空气来降低其温度。
在层流冷却中，气流按照一定的导流方式在物体表面流动，并带走物体表面的热量，从而达到冷却的目的。
层流冷却可以分为水平层流和垂直层流两种方式，根据不同的应用场景选择适合的冷却方式。
2. 层流冷却的策略层流冷却的策略主要包括导流策略、气流控制策略和冷却介质选择策略。
2.1 导流策略导流策略是层流冷却中最关键的策略之一。
它通过设计物体表面的导流板或导流槽，将气流引导到物体表面，并形成层流区域。
导流板的形状、角度和布置方式都会对冷却效果产生重要影响。
为了提高冷却效果，导流板可以采用垂直、斜向或水平等不同方向的安装方式。
2.2 气流控制策略气流控制策略是为了保持层流的稳定和均匀性。
在层流冷却过程中，气流的速度、压力和体积流量需要进行恰当的调控。
通过采用不同的控制手段，如引入调速阀、调节导流板角度或使用多重导流板等方法，可以有效控制气流的流速和流向，从而保持层流的冷却效果。
2.3 冷却介质选择策略冷却介质的选择直接影响层流冷却的效果和成本。
一般来说，传统的冷却介质如水或冷却剂比较常见，但随着环保意识的增强，新型的冷却介质如气体或液体二氧化碳等也逐渐得到应用。
选择合适的冷却介质需要综合考虑物体表面特性、冷却要求和成本因素。
3. 控制模型基于以上层流冷却策略，我们提出了一种新的控制模型，以提高冷却效率和节省能源。
3.1 模型建立我们基于传热学原理和导流板导流效果的分析，建立了层流冷却的数学模型。
该模型考虑了导流板形状、角度、物体表面温度等因素，并通过控制导流板的调角和冷却介质流量来实现冷却效果的优化。
3.2 模型仿真我们利用数值仿真方法对提出的控制模型进行了验证。
常微分方程第三版1
所以每天共有 Ns(t)个健康者被感染.
于是病人增长率为
N di Nsi,
dt
又因s(t) i(t) 1,再由初始条件得
di i(1 i)
dt
i(0) i0
思索与练习
1.曲线上任一点旳切线与两坐标轴所围成旳三角形
旳面积都等于常数 a2 ,求该曲线所满足旳微分方程.
解: 过点(x, y)的切线的横截距与纵截距分别为:
第一章 绪论
常微分方程是当代数学旳一种主要分支,是人们处理多 种实际问题旳有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自 动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛旳应用,本 章将经过几种详细例子,粗略地简介常微分方程旳应用,并 讲述某些最基本概念.
§1.1 微分方程模型
微分方程:
联络着自变量,未知函数及其导数旳关系式.
假设在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变, 时间以天为计量单位, 假设条件为 :
(1)在时刻t人群中易感染者(健康)和已感染者 (病人)在总人数中所占比例分别为s(t)和i(t).
(2)每个病人每天有效接触的平均人数是, 称日接触率.
解: 根据题设,每个病人每天可使
s(t)个健康者变为病人.
因为病人总人数为 Ni(t),
物体旳温度与其所在旳介质旳温度之差成正比.
解: 设物体在时刻 t 旳温度为 u(t). 根据导数旳物理意义, 则
温度旳变化速度为 du . 由Newton冷却定律, 得到 dt
du dt
k (u
ua ),
其中 k 0 为百分比系数. 此数学关系式就是物体冷却过程旳
数学模型.
u 注意:此式子并不是直接给出 和 t 之间旳函数关系,而只是
解: 设t时该时镭元素的量为R(t),
常微分方程
x
c2 x
y
(n)
y
( n 1)
在区间(-∞，+∞)上的解，其中 c1 , c2 ,cn 是任意的常数. 从上面的例子中，可以看到一个重要事实，那就是 微分方程的解中可以包含任意常数，其中任意常数 的个数可以多到与方程的阶数相等（也可以不含任 意常数）.
c3 x cn dy 0, ( y ' ) dx
y ( n ) F ( x , y , y ', y ( n 1) ) ( n 1) ( n 1) y ( x ) y , y ' ( x ) y ' , , y ( x ) y . 0 0 0 0 0 0
例: 求方程
y y 0
y ( / 4 ) 1, y ' ( / 4 ) 1 的解
y 2cosx
§1.2 微分方程及其解的几何解释
为了便于研究方程解的性质，我们常常考虑解的图象. 一阶方程的一个特解的图象是平面上的一条曲线，称为 方程的积分曲线，而通解的图象是平面上的一族曲线， 称为积分曲线族.
特解 积分曲线， 通解 积分曲线族。
线素，线素场，方向场，等斜线
§ 2 可分离变量的微分方程
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下:
定义
设函数 y ( x) 在区间 I上连续，且有直到n阶的 导数. 如果把y ( x) 代入方程(6)，得到在区间 I 上关于 x 的恒等式, 即
F ( x, ( x), ( x)',, ( x)( n) ) 0
则称 y ( x ) 为方程(6)在区间 I 上的一个解.
中，如果 f(x, y)可以化为
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衡阳师范学院数学与计算科学系
学生实验报告
实验课程名称：数学建模
实验内容物体冷却过程的数学模型
系别：数学年级： 12级专业班：应用数学2班
学生姓名邬婧刘斯丽郭丹
学号 ******** ******** ******** 开课时间： 2014 年上学期
0()du k u u dt
=--物体冷却过程的数学问题
1.将物体放置于空气中，在时刻0=t 时，测量得它的温度为1500=u C ，10分钟后测量得温度为C u 1001=。
我们要求此物体的温度u 和时间t 的关系，并计算20分钟后物体的温度。
这里我们假
定空气温度保持为C u a 24=。
解：已知热力学的一些基本规律：
⑴热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；
⑵牛顿冷却定律：在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例。
设物体在时刻t 的温度为)(t u u =，则温度的变化速度以dt
du 来表示．注意到热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的，因而a u u >0，所以温差a
u u -恒正；又因物体将随时间而逐渐冷却，因此由牛顿冷却定律得到： 这里0>k 是比例常数，温度变化速度dt du 恒负．将方程改写成 kdt u u u u d a
a -=--)(的形式，这样变量u 和t 可以分离开来．两边同时积分，得到：c
kt u u a ~)ln(+-=- 这里的c
~是任意常数，对两边取对数，得到： c kt a e u u ~
+-=- 令c e c ~
=，得到：kt a ce u u -+=
将0=t 时，0u u =代入可以得到：a u u c -=0 再根据条件1,10u u t ==，可以得到：051.0ln 10110≈--=a
a u u u u k 所以：
t e u 051.012624-+= 将t=20带入得 U=69.43C。