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绵阳市高中2018级第一次诊断性考试
数学（理工类）时间：120分钟 总分：150分
一、选择题：本小题12小题，每小题5分，共60分． 1． 设集合{2,1,0,1,2},{|12},()S S T x R x S T =--=∈+≤=则ð
A ．∅
B ．{2}
C ．{1,2}
D ．{0,1,2}
2．已知i 是虚数单位,则2007
1(
)1i i
-+= A ．1 B ．1- C ．i D ．i -
3．下列函数中,反函数是其自身的函数为
A ．2()(0)f x x x =>
B ．()ln f x x = ()x R ∈
C ．()x
f x e = ()x R ∈ D ．1
()f x x
=
()x R ∈ 4．设p ：0m ≤， q :关于x 的方程2
0x x m +-=有实数根，则p ⌝是q 的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 5．右图是正态分布(0,1)N 的正态曲线，现有：①1
()2
m Φ-
，②()m Φ-，
③1[()()]2
m m Φ-Φ-，这三个式子能表示图中阴影部分面积的是
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ． ①②③ 6．用数学归纳法证明等式
：
42
2
*123()2
n n n n N ++++
+-∈，则从n k =到1
n k =+时左边应添加的项为
A ．2
1k + B ．2
(1)k +
C ． 42(1)(1)2
k k +++ D ． 222
2(1)(2)(3)(1)k k k k ++++++
++
7．等差数列{}n a 的前项和为n S ，若81126a a =+，则9S = A ．54 B ．45 C ．36 D ．27
8．若函数282()1012x x f x x ⎧-⎪-⎪⎪
=⎨⎪⎪-⎪⎩ (2)(2)(2)
x x x <=>，则2lim ()x f x →-
的值是
A ．不存在
B ．12
C ．10
D ．5
4
9．如果我们定义一种运算：g g h h ⎧⊗=⎨⎩
(),
(),
g h g h ≥<已知函数()21x f x =⊗，那么函数
(1)f x -的大致图象是
10．已知等比数列{}n a 的前项和2
1
5
5
n n S t -=⋅-，则实数t 的值为 A ．4 B ．5 C ．45
D ．1
5
11．把数列依次按第一个括号一个数，按第二个括号两个数，按第三个括号三个数，
按第四个括号一个数，……循环分为（1），（3，5），（7，9，11），（13），（15，17），（19，21，23），（25），…则第50个括号内各数之和为 A ．98 B ．197 C ．390 D ．392
12．已知函数32
()g x ax bx cx d =+++ (0)a ≠的导函数为()f x ，0a b c ++=，
且(0)(1)0f f >，设12,x x 是方程()0f x =的两根，则12||x x -的取值范围为 A
．23⎫⎪⎭
⎣ B ．14,39⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C
．13⎡⎢⎣⎭ D 11,93⎡⎫
⎪⎢⎣⎭ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上． 13．已知复数z 与2
(2)8z i --都是纯虚数，则z = ．
14．我市某电器公司，生产G 、E 、F 三种不同型号的电器产品，这三种电器产品数
量之比依次为5:2:3，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，若样本中型产品有24件，则n = ．
15．函数()|1||1|f x x x =+--的值域是 ．
16．已知二次函数2()(1)(21)1n f x n n x n x =+-++*()n N ∈，当n 取1，2，3，…，
n ，…时，()n f x 的图象是一系列的抛物线．设()i f x ，(1i =，2，…，n ，…）的图
象与轴的交点为i A 、i B ，||i i A B 为其在x 轴上截得线段的长度，则
112233lim(||||||||)n n A B A B A B A B ++++= ．
三、解答题：本大题6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知集合{|||}E x x x m =-≥，10
{|1}6
F x R x =∈>+． （1）若3m =，求E F ；
（2）若E F R =，求实数m 的取值范围．
18．（本小题满分12分）已知{}n a 是等差数列，公差0d ≠，1a 、3a 、13a 且成等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和． （1）求证：1S 、3S 、9S 成等比数列； （2）设n
n n
na b S =
，请问是否存在正整数m ，使得n m >当时， 1.99n b >恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分12分）某科技公司遇到一个技术难题，紧急成立甲、乙两个攻关小组，按要求各自单独进行为期一个月的技术攻关，同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给予奖励．已知此技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为2
3
，被乙小组攻克的概率为
34
． （1）设ξ为攻关期满时获奖的攻关小组数，求ξ的分布列及E ξ；
（2）设η为攻关期满时获奖的攻关小组数与没有获奖的攻关小组数之差的平方，记“函
数7()2
x
f x η=-在定义域内单调递减”为事件C ，求事件C 的概率．
20．（本小题满分12分）已知函数4
()12x f x a a
=-
+ (01)a a >≠且是定义在
(,)-∞+∞上的奇函数．
（1）求a 的值；
（2）求函数()f x 的值域；
（3）当(0,1]x ∈时，()22x tf x ≥-恒成立，求实数t 的取值范围．
21．（本小题满分12分）函数2
()ax f x axe =，其中0a R a ∈≠且，e 为自然对数的底数．
（1）判断函数()f x 的单调性；
（2）当0a <时，求[1,1]x ∈-时函数()f x 的最大值．
22．（本小题满分12分）函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且
(1)(1)f x f x -+=--，当[2,1]x ∈--时，2()(2)(2)()f x t x t x t R =+-+∈记函数()f x 的图象在处的切线为l ，1
()12
f =．
（1）求()f x 在[0,1]上的解析式；
（2）求切线l 的方程；
（3）点列11(,2)B b ，22(,3)B b ，…，(,1)n n B b n +在l 上，11(,0)A x ，22,(,0)A x ，…，(,0)n n A x 依次为x 轴上的点，如图，当*
n N ∈，点n A 、n B 、1n A +，构成以
1n n A A +为底边的等腰三角形，若1(01)x a a =<<，且
数列{}n x 是等差数列，求a 的值和数列{}n x 的通项公式．
2018届绵阳一诊理科参考答案
BCDAC DABBB DA
2i 80 [2,2]- 1
17．{|62}x x -<≤- 03m <≤ 18．（2）100m = 19．（1）151170*********E ξ=⨯
+⨯+⨯= （2）7
12
20．（1）2a = （2）()(1,1)f x ∈- （3）0t ≥ 21．（1）2
2()(12)ax f x ae ax '=+
当0a >时，()f x 在R 上是增函数；当0a <时，()f x 在(,-∞和
)+∞上是增函数；在(上是减函数
（2）综上所述：当12a <-
时，()f x 在[1,1]-上最大值为2e
；当102a -≤<时，()f x 在[1,1]-上最大值为a ae -
22．（1）3
()44f x x x =-+ ([0,1])x ∈
（2）:1l y x =+ （3）1
2
n x n =-。