《正弦定理》示范公开课教学设计【高中数学必修5(北师大版)】
高中数学 1.1《正弦定理》教案 北师大版必修5
高中数学 1.1《正弦定理》教案北师大版必修5课标要求:本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。
通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。
本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。
在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。
”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修5 1.1正弦定理》9
《正弦定理》教学设计蒙城二中 王浩一、教材分析《解三角形》这一章内容，是初中解直角三角形内容的拓展，是高中三角函数与平面向量的延续。
在备课过程中，我认为通过本节课能更具体的承载对学生运算能力的培养，同时也能提高高二学生处理稍复杂运算环境的能力。
正弦定理作为一个常见的数学公式，形式整齐化一，形体优美，能很大程度激发学生对数学美感的体验和探索。
二、学情分析学生已经学习了三角形的边与角的基本关系，相似三角形等与三角形有关的基础知识，同时学生也学习了三角函数、向量等内容。
对于高二学生的具体情况，在授课时我注意引导、启发、研究和探讨，遵循学生的心理发展的特点，进一步提高其思维能力。
三、教学目标1、知识与技能：在创设的问题情境中，学生主动地去发现正弦定理和推证正弦定理。
2、过程与方法：通过对直角三角形边角数量关系的研究，发现正弦定理，体验用特殊到一般的思想方法发现数学规律的过程。
3、情感态度与价值观：通过参与、思考、交流、体验正弦定理的发现过程，逐步培养探索精神和创新意识。
三、教学重、难点教学重点：正弦定理 =2R sin sin sin a b c A B C==教学难点：正弦定理的证明，已知两边和其一边的对角解三角形时对解个数的判定。
四、教法与学法在新课引入上，我利用直角三角形的边角关系，通过“观察——猜想——证明——应用”的过程揭示了正弦定理及其应用，让学生充分体验了“特殊到一般”的思想方法，结合自主学习，为其终身学习打下良好的基础。
五、教学设计（1）情景引入错误!在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢科学家们是怎样测出来的呢？意图：兴趣是最好的老师，本节通过“嫦娥奔月”神话故事引入，激发学生的兴趣。
错误!设A,B两点在河的两岸, 只给你米尺和测角仪,不过河你可以测出它们之间的距离吗意图：从身边实际问题感受“数学源于生活，服务生活”的理念。
高中数学必修5公开课教案1.1.1 正弦定理
1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理沉着说课本章内容是处理三角形中的边角联络，与初中学习的三角形的边与角的根本联络有亲近的联络，与已知三角形的边和角持平断定三角形全等的常识也有着亲近的联络．教科书在引进正弦定理内容时，让学生从已有的几许常识动身，提出探求性问题“在恣意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角联络.咱们是否能得到这个边、角的联络准确量化的表明呢?”在引进余弦定理内容时，提出探求性问题“假如已知三角形的两条边及其所夹的角,依据三角形全等的断定办法，这个三角形是巨细、形状彻底确认的三角形.咱们依然从量化的视点来研讨这个问题，也便是研讨怎么从已知的两头和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联络的观念，重新的视点看曩昔的问题，使学生关于曩昔的常识有了新的知道，一同使新常识树立在已有常识的坚实根底上，构成杰出的常识结构．教育要点1.正弦定理的概念；2.正弦定理的证明及其根本使用．教育难点1.正弦定理的探求和证明；2.已知两头和其间一边的对角解三角形时判别解的个数．教具预备直角三角板一个三维方针一、常识与技术1.经过对恣意三角形边长和视点联络的探求，把握正弦定理的内容及其证明办法；2.会运用正弦定理与三角形内角和定了解斜三角形的两类根本问题．二、进程与办法1.让学生从已有的几许常识动身,一同探求在恣意三角形中，边与其对角的联络；2.引导学生经过调查、推导、比较，由特别到一般概括出正弦定理；3.进行定理根本使用的实践操作．三、情感情绪与价值观1.培育学生在方程思维辅导下处了解三角形问题的运算才能；2.培育学生探求数学规则的思维才能，经过三角函数、正弦定理、向量的数量积等常识间的联络来表现事物之间的遍及联络与辩证统一．教育进程导入新课师如右图，固定△ABC的边CB及∠B，使边AC绕着极点C滚动．师考虑：∠C的巨细与它的对边AB的长度之间有怎样的数量联络？生明显，边AB的长度跟着其对角∠C的巨细的增大而增大．师能否用一个等式把这种联络准确地表明出来？师在初中，咱们已学过怎么解直角三角形，下面就首先来评论直角三角形中，角与边的等式联络．如右图，在Rt△ABC中，设BC =A,AC =B,AB =C,依据锐角三角函数中正弦函数的界说，有=sin A， =sin B，又sin C=1=,则.然后在直角三角形ABC中，.推动新课[协作探求]师那么关于恣意的三角形，以上联络式是否依然树立？（由学生评论、剖析）生可分为锐角三角形和钝角三角形两种状况：如右图，当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，依据恣意角三角函数的界说，有CD=A sin B=B sin A,则，同理，可得.然后.（当△ABC是钝角三角形时，解法相似锐角三角形的状况，由学生自己完结）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比持平，即.师是否可以用其他办法证明这一等式？生可以作△ABC的外接圆，在△ABC中,令BC=A,AC=B,AB=C,依据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角持平，来证明这一联络．师很好！这位同学能充分使用咱们曾经学过的常识来处理此问题，咱们一同来看下面的证法.在△ABC中,已知BC=A,AC=B,AB=C,作△ABC的外接圆,O 为圆心,连接BO并延伸交圆于B′,设BB′=2R.则依据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角持平可以得到∠BAB′=90°，∠C=∠B′，∴sin C=sin B′=.∴.同理,可得.∴.这便是说,关于恣意的三角形,上述联络式均树立,因而,咱们得到等式.点评:上述证法采用了初中所学的平面几许常识,将恣意三角形经过外接圆性质转化为直角三角形从而求证,此证法在稳固平面几许常识的一同,易于被学生了解和承受,而且消除了学生所持的“向量办法证明正弦定理是仅有途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量办法证明正弦定理作了衬托.[常识拓宽]师接下来,咱们可以考虑用前面所学的向量常识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角联络,而在向量常识中,哪一常识点表现边角联络呢?生向量的数量积的界说式A·B=|A||B|C osθ,其间θ为两向量的夹角.师答复得很好,可是向量数量积触及的是余弦联络而非正弦联络,这两者之间能否转化呢?生可以经过三角函数的诱导公式sinθ=Co s(90°-θ)进行转化.师这一转化发生了新角90°-θ,这就为辅佐向量j的增加供给了头绪,为便利进一步的运算,辅佐向量选取了单位向量j,而j笔直于三角形一边,且与一边夹角呈现了90°-θ这一方式,这是作辅佐向量j笔直于三角形一边的原因.师在向量办法证明进程中,结构向量是根底,并由向量的加法准则可得而增加笔直于的单位向量j是要害,为了发生j与、、的数量积,而在上面向量等式的两头同取与向量j的数量积运算,也就在情理之中了.师下面,咱们再结合讲义进一步领会向量法证明正弦定理的进程,并留意总结在证明进程中所用到的向量常识点.点评: (1)在给予学生恰当自学时刻后,应着重学生留意两向量的夹角是以同起点为条件,以及两向量笔直的充要条件的运用.(2)要求学生在稳固向量常识的一同,进一步领会向量常识的东西性效果.向量法证明进程:1.△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j笔直于,则j与的夹角为90°-A,j与的夹角为90°-C.由向量的加法准则可得,为了与图中有关角的三角函数树立联络,咱们在上面向量等式的两头同取与向量j的数量积运算,得到由分配律可得.∴|j|Co s90°+|j|Co s(90°-C)=|j|Co s(90°-A).∴A sin C=C sin A.∴.别的,过点C作与笔直的单位向量j,则j与的夹角为90°+C,j与的夹角为90°+B,可得.(此处应着重学生留意两向量夹角是以同起点为条件,避免误解为j与的夹角为90°-C,j与的夹角为90°-B)∴.2.△ABC为钝角三角形,无妨设A＞90°,过点A作与笔直的单位向量j,则j与的夹角为A-90°,j与的夹角为90°-C.由,得j·+j·=j·,即A·Co s(90°-C)=C·Co s(A-90°),∴A sin C=C sin A.∴别的,过点C作与笔直的单位向量j,则j与的夹角为90°+C,j与夹角为90°+B.同理,可得.∴（方式1）.综上所述,正弦定理关于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均树立.师在证明了正弦定理之后,咱们来进一步学习正弦定理的使用.[教师精讲]（1）正弦定理阐明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且份额系数为同一正数，即存在正数k使A=ksin A，B=ksin B，C=ksin C；（2）等价于 (方式2).咱们经过调查正弦定理的方式2不难得到,使用正弦定理,可以处理以下两类有关三角形问题.①已知三角形的恣意两角及其间一边可以求其他边，如.这类问题因为两角已知,故第三角确认,三角形仅有,解仅有,相对简单,讲义P4的例1就归于此类问题.②已知三角形的恣意两头与其间一边的对角可以求其他角的正弦值，如．此类问题改变较多,咱们在解题时要辨明标题所给的条件．一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的进程叫作解三角形．师接下来,咱们经过例题剖析来进一步领会与总结.［例题剖析］【例1】在△ABC中，已知A=32.0°,B=81.8°,A=42.9 c m,解三角形.剖析:此题归于已知两角和其间一角所对边的问题,直接使用正弦定理可求出边B,若求边C,再使用正弦定理即可.解：依据三角形内角和定理，C=180°-(A+B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°;依据正弦定理，b=≈80.1(c m);c=≈74.1(c m).[办法引导]1.此类问题成果为仅有解,学生较易把握,假如已知两角和两角所夹的边,也是先使用内角和180°求出第三角,再使用正弦定理.2.关于解三角形中的杂乱运算可使用计算器.【例2】在△ABC中，已知A=20c m，B=28c m，A=40°，解三角形（视点准确到1°，边长准确到1 c m）．剖析:此例题归于B sin A＜a＜b的景象,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的查验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到意图很清晰,一同领会剖析问题的重要性.解：依据正弦定理，sin B=≈0.899 9.因为0°＜B＜180°，所以B≈64°或B≈116°.（1）当B≈64°时，C=180°-（A+B）=180°-（40°+64°）=76°，C=≈30(c m).（2）当B≈116°时，C=180°-（A+B）=180°-（40°+116°）=24°，C=≈13(c m).[办法引导]经过此例题可使学生清晰,使用正弦定理求角有两种或许,可是都不契合题意,可以经过剖析取得,这就要求学生了解已知两头和其间一边的对角时解三角形的各种景象.当然关于不契合题意的解的取舍,也可经过三角形的有关性质来判别,关于这一点,咱们经过下面的例题来领会.变式一：在△ABC中,已知A＝60,B＝50,A＝38°,求B(准确到1°)和C(保存两个有用数字).剖析:此题归于A≥B这一类景象,有一解,也可依据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来扫除B为钝角的景象.解：已知B<A,所以B<A,因而B也是锐角.∵sin B=≈0.513 1,∴B≈31°.∴C=180°-(A+B)=180°-(38°+31°)=111°.∴C=≈91.[办法引导]同样是已知两头和一边对角,但或许呈现不同成果,应着重学生留意解题的灵活性,关于本题,假如没有考虑角B 所受约束而求出角B的两个解,从而求出边C的两个解,也可使用三角形内两头之和大于第三边,两头之差小于第三边这一性质从而验证而到达扫除不契合题意的解.变式二：在△ABC中,已知A＝28,B＝20,A＝120°,求B(准确到1°)和C(保存两个有用数字).剖析:此题归于A为钝角且A>B的景象,有一解,可使用正弦定理求解角B后,使用三角形内角和为180°扫除角B为钝角的景象.解：∵sin B=≈0.618 6,∴B≈38°或B≈142°(舍去).∴C=180°-（A+B）=22°.∴ C=≈12.[办法引导](1)此题要求学生留意考虑问题的全面性,关于角B为钝角的扫除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.(2)归纳上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两头与其间一边的对角解三角形.3.关于已知两头夹角解三角形这一类型,将经过下一节所学习的余弦定理来解.师为稳固本节咱们所学内容,接下来进行讲堂操练：1.在△ABC中(成果保存两个有用数字)，1.已知C =,A=45°,B=60°，求B;2.已知B＝12,A＝30°,B＝120°,求A.解：(1)∵C=180°-(A+B)=180°-(45°+60°)=75°，，∴B=≈1.6.(2)∵，∴A=≈6.9.点评:此题为正弦定理的直接使用,意在使学生了解正弦定理的内容,可以让数学成果较弱的学生进行在黑板上回答,以增强其自信心.2.依据下列条件解三角形(视点准确到1°,边长准确到1):1.B=11,A=20,B=30°;(2)A=28,B=20,A=45°;(3)C =54,B=39,C=115°;(4)A=20,B=28,A=120°.解：(1) ∵.∴sin A=≈0.909 1.∴A1≈65°，A2≈115°.当A1≈65°时，C1=180°-(B+A1)=180°-(30°+65°)=85°，∴C1=≈22.当A2≈115°时，C2=180°-(B+A2)=180°-(30°+115°)=35°,∴C2=≈13.2.∵sin B=≈0.505 1,∴B1≈30°，B2≈150°.因为A+B2=45°+150°＞180°,故B2≈150°应舍去(或许由B＜A知B＜A,故B应为锐角).∴C=180°-(45°+30°)=105°.∴C=≈38.3.∵,∴sin B=≈0.654 6.∴B1≈41°,B2≈139°.因为B＜C,故B＜C,∴B2≈139°应舍去.∴当B=41°时，A=180°-(41°+115°)=24°,A=≈24.4.sin B= =1.212＞1.∴本题无解.点评:此操练意图是使学生进一步了解正弦定理,一同加强解三角形的才能,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种或许,又要结合标题的具体状况进行正确取舍.讲堂小结经过本节学习,咱们一同研讨了正弦定理的证明办法,一同了解了向量的东西性效果,而且清晰了使用正弦定理所能处理的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两头和其间一边的对角解三角形.安置作业（一）讲义第10页习题1.1第1、2题.（二）预习内容：讲义P5～P 8余弦定理[预习提纲]1.温习余弦定理证明中所触及的有关向量常识.2.余弦定理怎么与向量发生联络.3.使用余弦定理能处理哪些有关三角形问题.板书设计正弦定理1.正弦定理:2.证明办法:3.使用正弦定理,可以处理两类问题:1.平面几许法 (1)已知两角和一边(2)向量法 (2)已知两头和其间一边的对角。
北师大版高中必修51.1正弦定理教学设计
北师大版高中必修5-1.1 正弦定理教学设计一、教学目标通过本课的学习，学生应当能够：1.理解正弦定理的概念和特点；2.掌握正弦定理的应用方法，能够解决几何问题；3.培养学生的证明能力和实际应用能力。
二、教学内容本课的教学内容主要涵盖以下内容：1.正弦定理的概念和特点；2.正弦定理的证明；3.正弦定理的应用方法。
三、教学过程3.1 导入环节（5分钟）1.反思上节课的内容，了解学生对正弦函数的理解情况；2.引入正弦定理，简单介绍其概念和特点。
3.2 讲解与提高（35分钟）1.正弦定理的证明：（1）投影法证明方法；（2）向量法证明方法；（3）海伦公式证明方法。
2.正弦定理的应用方法：（1）已知三边求角；（2）已知两边和夹角求第三边。
3.3 活动（20分钟）1.小组活动：设计一些问题，让学生分组进行讨论，并记录问题的解决方法；2.回答一些问题，加深理解。
3.4 总结（10分钟）1.整合学生的思考和讨论报告，检查概念的掌握情况；2.引导学生进行思考和总结，加深对学习内容的认识和理解。
四、教学重点1.正弦定理的证明；2.正弦定理的应用方法。
五、教学难点1.正弦定理与三角形内角和一定的关系；2.正弦定理的应用方法。
六、板书设计导入环节：•正弦函数的概念和特点讲解与提高：•正弦定理–投影法证明方法–向量法证明方法–海伦公式证明方法•正弦定理的应用方法–已知三边求角–已知两边和夹角求第三边七、教学评估1.学生的问题解决方案；2.教师的日记；3.教学效果评估。
2.1.1正弦定理 教案(高中数学必修五北师大版)
第二章解三角形§1正弦定理与余弦定理1．1正弦定理●三维目标1．知识与技能通过对任意三角形边长和角度的关系探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的基本问题．2．过程与方法让学生从已有的几何知识出发，探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理．3．情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的能力．●重点难点重点：正弦定理的探索的证明及其应用．难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断个数．●教学建议已知两边和其中一边的对角解三角形时判断个数，此类问题有两个、一个、零个的情况，需要进行讨论，可做如下处理：在△ABC中，已知a，b和A时三角形解的情况：创设问题情境，提出了2个问题⇒通过引导学生回答所提问题，理解正弦定理及三角形面积公式⇒通过例1及互动探究，使学生掌握利用正弦定理解三角形问题⇒通过例2及变式训练，使学生掌握三角形面积公式的应用⇒通过例3及变式训练，使学生掌握判断三角形的形状问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第32页)在Rt △ABC 中，c 为斜边，试问a sin A ，b sin B ，csin C 的值相等吗？为什么？对于一般的三角形而言，a sin A ，b sin B ，csin C 的值是否相等？【提示】 在Rt △ABC 中，∵sin A ＝a c ，sin B ＝bc 且C ＝90°， ∴a sin A ＝b sinB ＝csin C .对一般的三角形而言，也相等．在Rt△ABC中，c为斜边，三角形的面积与12ab sin C，12bc sin A，12ac sin B的值相等吗？猜想一下在一般三角形中是否成立？【提示】∵C＝90°，∴S△ABC ＝12ab＝12ab sin C，设边c上的高为h，则sin B＝ha，sin A＝hb，∴S△ABC ＝12hc＝12ac sin B＝12bc sin A，∴在Rt△ABC中，c为斜边，三角形的面积与12ab sin C，12bc sin A，12ac sin B的值相等．猜想在一般三角形中也成立．三角形ABC的面积：S＝12ab sin__C＝12bc sin__A＝12ac sin__B．。
北师大版高中必修51.1正弦定理课程设计
北师大版高中必修5-1.1正弦定理课程设计一、课程目标本课程是为了帮助学生深入掌握正弦定理的概念和应用，以此来提高学生的数学分析和解决问题能力。
通过学习本课程，学生将达到以下目标：1.理解正弦定理的定义，掌握其常见形式；2.掌握正弦定理的应用方法和技巧；3.理解正弦定理在实际问题中的应用场景；4.提高学生的数学推理能力和解决问题能力。
二、教学内容课程主要包括以下内容：1.正弦定理的定义和公式2.正弦定理在实际生活中的应用3.正弦定理的应用例题和解析三、教学重点和难点3.1 教学重点1.掌握正弦定理的定义、公式和推导过程；2.理解正弦定理的应用场景；3.掌握正弦定理的计算方法和技巧。
3.2 教学难点1.正弦定理在实际问题中的应用，如何通过几何图形解决问题；2.正弦定理和余弦定理的区别和联系。
四、教学方法本课程采用多种教学方法，包括讲授、演示、实验和讨论等。
其中，讲授是主要的教学方法，通过讲解理论知识和例题，帮助学生掌握正弦定理的概念、应用、技巧和公式；演示和实验是帮助学生理解正弦定理在实际问题中的应用，并加深对概念的理解；讨论是帮助学生发展逻辑思考能力的重要方式，也可以提高学生的合作和沟通能力。
五、教学过程5.1 预习1.请学生提前阅读教材相关知识点，熟悉正弦定理的定义和公式；2.请学生思考正弦定理在实际生活中的应用。
5.2 上课1.讲解正弦定理的定义和公式；2.演示正弦定理在实际问题中的应用；3.带领学生完成例题，让学生掌握正弦定理的应用技巧；4.学生自主完成作业，巩固知识点并提高解决问题的能力；5.学生交流和讨论，加深理解和应用。
5.3 课后反思1.总结本节课所学的知识点；2.回答学生提出的问题；3.收集学生的反馈和建议，不断改进教学方法和课程设计。
六、教学资源1.教材：《高中数学》北师大版高一数学必修一2.工具：计算器、几何工具箱七、参考文献1.《高中数学》北师大版高一数学必修一；2.孙寿梅，《初中数学课程标准》。
2.1《正弦定理》(1)教案(高中数学必修五北师大版)
正弦定理【三维目标】：一、知识与技能1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程；2.能解决一些简单的三角形度量问题（会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题）；能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力．二、过程与方法让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
三、情感、态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
【教学重点与难点】：重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
【学法与教学用具】：1. 学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：sin sin sin a b c A B C==，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪、直尺、计算器【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.在直角三角形中的边角关系是怎样的？2.这种关系在任意三角形中也成立吗？3.介绍其它的证明方法二、研探新知1.正弦定理的推导（1）在直角三角形中：c a A =sin ,1sin ,sin ==C CB B ， 即 =c A a sin ，=c B b sin ，=cC c sin ∴A a sin =B b sin =C c sin 能否推广到斜三角形？（2）斜三角形中证明一：（等积法，利用三角形的面积转换）在任意斜△ABC 中，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则sin AD c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===，每项同除以12abc 即得：sin sin sin a b c A B C==． 证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D∴R CD D a A a 2sin sin === 同理B b sin R 2=，Cc sin R 2= 证明三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于−→−AC ，由−→−AC +=−→−CB −→−AB ，两边同乘以单位向量j 得j •(−→−AC +=−→−)CB j •−→−AB ，则j •−→−AC +j •=−→−CB j •−→−AB∴|j |•|−→−AC |cos90︒+|j |•|−→−CB |cos(90︒-C )=| j |•|−→−AB |cos(90︒-A )∴A c C a sin sin = ∴A a sin =Cc sin 同理，若过C 作j 垂直于−→−CB 得：C c sin =Bb sin ∴sin sin sin a bc A B C == 从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abA B =sin cC =（3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如BA b a sin sin =； 2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．如B b a A sin sin =。
高中数学 2.1.1正弦定理教案 北师大版必修5
a
sin A
，
b
sin B
，
c
sinC
b
sin B
a
sin A
b
sin B
c
sinC
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
sin A
b
sin B
c
sinC
[理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数， 即存在正数 k 使 a k sin A ， b k sin B ， c k sinC ； （2）
课题
§2．1．1 正弦定理
新授课 知识与技能 课时 备课时间
课型
通过对任意三角形边长和角度关系的探索， 掌握正弦定理 的内容及其证明方法； 会运用正弦定理与三角形内角和定 理解斜三角形的两类基本问题。 让学生从已有的几何知识出发 , 共同探究在任意三角形 中， 边与其对角的关系， 引导学生通过观察， 推导， 比较， 由特殊到一般归纳出正弦定理， 并进行定理基本应用的实 践操作 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能 力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力， 通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联 系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
a
sin A
b
sin B
c
sinC
等价于
a
sin A
b
sin B
，
c
sinC
b
sin B
，
a
sin A
c
sinC
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《正弦定理》教学设计
【知识与能力目标】
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
【过程与方法目标】
让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作
【情感态度价值观目标】
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积
等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
【教学重点】
正弦定理的探索和证明及其基本应用。
【教学难点】
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
问题提出
三角形的边与角之间有什么关系?
1、角的关系
2、边的关系
3、边角关系大角对大边
在直角三角形ABC中，已知BC=a,AC=b,AB=c，C=900 ,则有:
◆教学目标
◆教学重难点
◆教学过程
180
=
+
+C
B
A
c
b
a
c
b
a<
-
>
+,
那么对于非直角三角形，这一关系式是否成立呢？
分析理解：如图,以A 为原点,以射线AB 的方向为x 轴正方向建立直角坐标系,C 点在y 轴上的射影为C ’
正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等,
即：
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角。
例1：某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩,其一角已破损.现测得如下数据:BC=2.57cm,CE=3.57cm,BD=4.38cm, B=45O, C=120O.为了复原,请计算原玉佩两边的长(结果精确到0.01cm)?
C c B b A a sin sin sin ==
分析：如图,将BD,CE 分别延长相交于一点A.在△ABC 中已知BC 的长及角B 与C,可以通过正弦定理求AB,AC 的长.
解 将BD,CE 分别延长相交于一点A.在△ABC 中,
BC=2.57cm, B=45O, C=120O
A=180O-(B+C)=15O
利用计算器算得：
同理：
答 原玉佩两边的长分别约为7.02cm,3.15cm.
例２：台风中心位于某市正东方向300km 处,正以40km/h 的速度向西北方向移动,距离台风中心250km 范围内将会受其影响.如果台风风速不变,那么该市从何时起要遭受台风影响?这种影响持续多长时间(结果精确到0.1h)?
分析：如图,设该市在点A,台风中心从点B 向西北方向移动,AB=300km.在台风中心移动过程中,当该中心到点A 的距离不大于250km 时,该市受台风影响.
解 设台风中心从点B 向西北方向沿射线BD 移动,该市位于点B 正西方向300km 处的点A.
B C
D
E
A
A B
2N
假设经过t h,台风中心到达点C,则在△ABC 中AB=300km,AC=250km,BC=40t km,B=45O,由正弦定理.
知：
sin 300sin 45sin 0.8485250AB B C AC ︒===≈
解得：
1258.05,121.95C C ≈︒≈︒
当： 158.05,C ≈︒时
同理,当：
答：约2时后将要遭受台风影响,持续约6.6时.
已知两边一对角，三角形解的个数
正弦定理的推论：
证明：如图，圆⊙O 为△ABC 的外接圆，BD 为直径, 则 ∠A=∠D,
A B D
C .O b a
c
小结：
（１）正弦定理的内容．（２）正弦定理的证明（３）正弦定理的应用
◆教学反思
略。