正弦定理公式
正弦定理的19种证明

正弦定理的19种证明一、正弦定理正弦定理是一个数学定理,说明每一个三角形的内角与临边之间的关系,为了方便研究,其通常使用三大正弦的另外三个隐函数的缩写形式的等式形式表示,即:sin A/a = sin B/b = sin C/c二、正弦定理的19种证明1、积分技巧。
积分是比较常见的证明正弦定理的方法,它涉及解决三角形的三角函数内角A和B之间关系的非线性微分方程,以及三元正弦定理的性质,例如通过解决变量θ的积分,以获得正弦定理的证明。
2、几何图形对比。
通过对比几何形状来证明正弦定理,即A与C有同样的形状,C与B也有相同的形状。
显然,相应两个角度之间的正弦值不变,因此就有了正弦定理。
3、证明三角形三条边的关系。
正弦定理证明三角形三条边有特定的关系,具体来说,通过三条边之间的一个三角几何关系,基于一对对比几何象限将三条边映射到三个内角,然后进一步推出正弦定理。
4、斜率技巧。
斜率技巧也是证明正弦定理的常用手段。
可以把三个内角中的两个角的Wrangel公式(斜率相等为例)结合起来,然后将此结果用三角函数表示出来,并用它们三个内角之间的正弦值对比实现等式证明。
5、角平分线公式。
角平分线公式也是常用的证明正弦定理的方法,即证明一个给定的三角形的外角等于两个内角的和,并用此结论建立正弦和余弦的三角函数,由此将正弦定理证明出来。
6、椭圆公式。
椭圆公式也是证明正弦定理的手段之一。
它依赖于椭圆的对称性,将椭圆抽象为三角形的形式,从而推进正弦定理的证明。
7、按照等式技术。
这种证明方法最常见,首先用角平分线技术证明一个给定的三角形的外角等于两个内角的和,然后将结论进行三角函数表示,建立正弦和余弦的三角函数,最后用斜率技术将等式推进,从而证明正弦定理的真实性。
8、解三角形的相交技巧。
使用相交技巧作为证明正弦定理的方法,首先从三角形的基本定义出发,将三角形中所有的点都定义一次,三角形中角A、B、C所在直线两边各定义一次,最后证明三角形中角A、B、C所在直线相交,并用此结论来证明正弦定理。
正弦定理含义

正弦定理含义
摘要:
1.正弦定理的定义和公式
2.正弦定理的应用场景
3.如何使用正弦定理解决问题
4.实际案例分析
正文:
正弦定理是三角形中一个重要的定理,它可以帮助我们解决三角形的相关问题。
正弦定理的含义是:在一个三角形中,任意两角的正弦值之比等于它们所对的边长之比。
用数学公式表示就是:
sinA/sinB = a/b
其中,A、B是三角形的两个角,a和b是与这两个角对应的边长。
正弦定理的应用场景非常广泛,例如在解决三角形的角度、边长问题时,可以使用正弦定理来求解。
此外,正弦定理还可以应用于物理、工程等领域,帮助我们解决实际问题。
要使用正弦定理解决问题,我们需要按照以下步骤进行:
1.确定三角形的两个角和对应的边长。
2.根据正弦定理公式,计算第三个角或边长。
3.利用计算结果,解决问题。
下面我们通过一个实际案例来分析如何使用正弦定理解决问题:
假设一个三角形的两个角分别为30度和45度,其中一个角对应的边长为
3。
我们可以使用正弦定理来求解另一个角对应的边长。
首先,根据正弦定理公式,我们有:
sinA/sinB = a/b
已知sin30°/sin45° = a/3
接下来,我们可以求解sin45°:
sin45° = √2/2
将已知条件代入公式,得到:
sin30°/√2/2 = a/3
解方程,得到:
a = 3√2/2
所以,另一个角对应的边长为3√2/2。
通过这个案例,我们可以看到,正弦定理可以帮助我们轻松地解决三角形相关问题。
三角函数正余弦定理公式大全

三角函数正余弦定理公式大全三角函数是数学中的一项重要内容,其常用到的公式有正弦定理和余弦定理。
这两个定理在解决三角形问题时起着非常关键的作用,可以帮助我们求解三角形的各个边长和角度。
下面将详细介绍三角函数的正弦定理和余弦定理的公式及其应用。
1.正弦定理:在任意三角形ABC中,边长分别为a,b,c,对应的角度为A,B,C,则有以下公式成立:sinA / a = sinB / b = sinC / c其中,a,b,c为三角形ABC的边长,A,B,C为对应的角度。
正弦定理可以用来求解三角形的边长或角度,只要已知任意两个角或边长即可。
应用1:已知三角形两边和夹角的情况下,可以利用正弦定理求解第三边的长度。
例如:已知三角形ABC中,边AB = 5 cm,边AC = 7 cm,∠BAC = 60°,求边BC的长度。
解:根据正弦定理可得:sin∠BAC / 5 = sin∠ABC / BC将∠BAC=60°代入,可得:sin60° / 5 = sin∠ABC / BC√3 / 2 / 5 = sin∠ABC / BC√3 / 10 = sin∠ABC / BC再将sin∠ABC的值代入,求得BC的值。
2.余弦定理:在任意三角形ABC中,边长分别为a,b,c,对应的角度为A,B,C,则有以下公式成立:c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC其中,a,b,c为三角形ABC的边长,A,B,C为对应的角度。
余弦定理可以用来求解三角形的边长或角度,只要已知任意一个角的两边长度即可。
应用2:已知三角形两边和夹角的情况下,可以利用余弦定理求解第三边的长度。
例如:已知三角形ABC中,边AB = 5 cm,边AC = 7 cm,∠BAC = 60°,求边BC的长度。
解:根据余弦定理可得:BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos∠BAC将已知数值代入,可得:BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 * 5 * 7 * cos60°BC^2=25+49-70*0.5BC^2=25+49-35BC^2=39BC=√39求得边BC的长度。
解三角形正弦定理余弦定理三角形面积公式

解三角形正弦定理余弦定理三角形面积公式三角形是平面几何中的一个基本图形,研究三角形的性质与定理在数学中具有重要地位。
本文将介绍三角形中的三个重要定理,正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式。
一、正弦定理:正弦定理是研究三角形中角度和边长之间关系的重要定理。
给定一个三角形,设其三个内角分别为A、B、C,对应的边长为a、b、c。
那么,正弦定理可以表述为:sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c其中,sin(A)表示A角的正弦值,a表示边a的长度。
正弦定理可以从三角形的面积公式推导得出。
二、余弦定理:余弦定理是研究三角形中角度和边长之间关系的另一个重要定理。
给定一个三角形,设其三个内角分别为A、B、C,对应的边长为a、b、c。
那么,余弦定理可以表述为:c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中,cos(C)表示C角的余弦值,c表示边c的长度。
余弦定理可以用来求解三角形的边长或角度,进而计算三角形的面积。
三、三角形的面积公式:给定一个三角形,设其底边长度为b,对应的高为h。
那么,三角形的面积可以通过以下公式来计算:S=1/2*b*h其中,S表示三角形的面积。
在计算三角形的面积时,还可以使用海伦公式。
海伦公式可以通过三角形的三边长来计算三角形的面积,其公式如下:S=√(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))其中,p表示三角形的半周长,计算公式为:p=(a+b+c)/2在使用海伦公式计算三角形面积时,需确保三条边长满足三角不等式,即任意两边之和大于第三边的长度。
总结:通过正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式,可以解决三角形相关的问题。
正弦定理和余弦定理给出了通过角度和边长计算三角形的方法,而三角形的面积公式提供了计算三角形面积的途径。
这些定理在三角形等应用中具有重要的价值,对于解题和扩展应用都非常有帮助。
正弦定理

发展简史
历史上,正弦定理的几何推导方法丰富多彩。根据其思路特征,主要可以分为两种。
第一种方法可以称为 “同径法 ”,最早为13世纪阿拉伯数学家、天文学家纳绥尔丁和15世纪德国数学家雷 格蒙塔努斯所采用。“同径法 ”是将三角形两个内角的正弦看作半径相同的圆中的正弦线(16世纪以前,三角 函数被视为线段而非比值),利用相似三角形性质得出两者之比等于角的对边之比。纳绥尔丁同时延长两个内角 的对边,构造半径同时大于两边的圆。雷格蒙塔努斯将纳绥尔丁的方法进行简化,只延长两边中的较短边,构造 半径等于较长边的圆。17~18世纪,中国数学家、天文学家梅文鼎和英国数学家辛普森各自独立地简化了“同径 法”。
正弦定理
三角学中的基本定理
01 发展简史
03 验证推导 05 定理推广
目录
02 定理定义 04 定理意义
正弦定理(The Law of Sines)是三角学中的一个基本定理,它指出“在任意一个平面三角形中,各边和它 所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”,即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D(r为外接圆半径,D为 直径)。
在解三角形中,有以下的应用领域:
物理学中,有的物理量可以构成矢量三角形。因此,在求解矢量三角形边角关系的物理问题时,应用正弦定理, 常可使一些本来复杂的运算,获得简捷的解答。
定理推广
推论 △ABC中,若角A,B,C所对的边为a,b,c,三角形外接圆半径为R,直径为D,正弦定理进行变形有 1. 2.,, 3. 4. (等比,不变) 5. (三角形面积公式) 三面角正弦定理 若三面角的三个面角分别为α、β、γ,它们所对的二面角分别为A、B、C,则 多边形的正弦关系
18世纪初,“同径法”又演化为“直角三角形法”,这种方法不需要选择并作出圆的半径,只需要作出三角 形的高线,利用直角三角形的边角关系,即可得出正弦定理。19世纪,英国数学家伍德豪斯开始统一取R=1,相 当于用比值来表示三角函数,得到今天普遍采用的 “作高法”。
正弦定理的公式是什么

正弦定理的公式是什么正弦定理的公式是什么sin^2(α/2)=(1-cosα)/2。
在直角三角形中,∠A(非直角)的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,故记作sinA,即sinA=∠A的对边/∠A的斜边古代说法,正弦是股与弦的比例。
古代说的“勾三股,四弦五”中的“弦”,就是直角三角形中的斜边。
股就是人的大腿,长长的,古人称直角三角形中长的那个直角边为“股”;正方的直角三角形,应是大腿站直。
正弦是∠α(非直角)的对边与斜边的比值,余弦是∠A(非直角)的邻边与斜边的比值。
勾股弦放到圆里。
弦是圆周上两点连线。
最大的弦是直径。
把直角三角形的弦放在直径上,股就是长的弦,即正弦,而勾就是短的弦,即余弦。
按现代说法,正弦是直角三角形某个角(非直角)的对边与斜边之比,即:对边/斜边。
余弦定理是什么余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理,是勾股定理在一般三角形情形下的推广,勾股定理是余弦定理的特例。
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题,若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识,则使用起来更为方便、灵活。
高中数学正弦定理公式数学正弦定理公式:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R;余弦定理公式:cosA=(b?+c?-a?)/2bc。
正余弦定理指正弦定理和余弦定理,是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决三角形的问题,若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识,则使用起来更为方便、灵活。
一、正弦定理推论公式1、a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC。
2、a:b=sinA:sinB;a:c=sinA:sinC;b:c=sinB:sinC;a:b:c=sinA:sinB:sinC。
二、余弦定理推论公式1、cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc;2、cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac;3、cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。
正弦定理

正弦定理正弦定理(The Law of Sines)是三角学中的一个基本定理,它指出“在任意一个平面三角形中,各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”,即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D(r为外接圆半径,D为直径)。
定理定义在任意△ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,三角形外接圆的半径为R,直径为D。
则有:一个三角形中,各边和所对角的正弦之比相等,且该比值等于该三角形外接圆的直径(半径的2倍)长度。
[3]验证推导证明一做一个边长为a,b,c的三角形,对应角分别是A,B,C。
从角C向c边做垂线,得到一个长度为h的垂线和两个直角三角形。
很明显:和因此:和同理:证明二:外接圆①锐角三角形中如图,作△ABC的外接圆,O为圆心。
连结BO并延长交圆于D,设BD=2R。
根据直径所对圆周角是直角及同弧所对圆周角相等,可得:∠DAB=90°,∠C=∠D。
∴,∴。
同理可证, 。
∴。
②直角三角形中因为BC =a= 2R,可以得到所以可以证明③钝角三角形中线段BD是圆的直径根据圆内接四边形对角互补的性质所以因为BD为外接圆的直径BD = 2R。
根据正弦定义变形可得根据以上的证明方法可以证明得到得到三角形的一条边与其对角的正弦值的比等于外接圆的直径,即证明三:向量若△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j⊥,则j与的夹角为90°-∠A,j与的夹角为90°-∠C.由向量的加法原则可得为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到∴|j| ||Cos90°+|j| || Cos(90°-C)=|j| ||Cos(90°-A).∴asinC=csinA即同理,过点C作与垂直的单位向量j, 则j与的夹角为90°+∠C, j与的夹角为90°+∠B,可得若△ABC为钝角三角形,不妨设A>90°,过点A作与AB垂直的单位向量j, 则j与AC的夹角为∠A-90°,j与CB的夹角为90°+∠B. 同理a·Cos(90°-B)=b·Cos(A-90°),∴asinB=bsinA 即过点C作与垂直的单位向量j, 则j与的夹角为90°+∠C,j 与的夹角为90°+∠B,可得综上,。
数学公式:正弦定理公式

数学公式:正弦定理公式
正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注:其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角B是边a和边c 的夹角
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4Fgt;0
抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积S=c’*h
正棱锥侧面积S=1/2c*h’ 正棱台侧面积
S=1/2(c+c’)h’
圆台侧面积S=1/2(c+c’)l=pi(R+r)l 球的表面积
S=4pi*r2
圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积
S=1/2*c*l=pi*r*l
弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r gt;0 扇形面积公式 s=1/2*l*r
锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式
V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积V=S’L 注:其中,S’是直截面面积, L 是侧棱长
柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h
小编为大家整理的数学公式:正弦定理公式就先到这里,希望大家学习的时候每天都有进步。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
【正弦定理公式】;
【余弦定理公式】;;
如果将公式、正弦定理、余弦定理看成是几个“方程”的话,那么解三角形的实质就是把题目中所给的已知条件按方程的思想进行处理,解题时根据已知量与所求量,合理选择一个比较容易解的方程(公式、正弦定理、余弦定理),从而使同学们入手容易,解题简洁。
一、直接运用公式、正弦定理、余弦定理
(1)三角公式
①在中,已知两角的三角函数值,求第三个角;存在。
证明:有解有解
即,要判断是否有解,只需。
(2)正弦定理
①在中,已知两角和任意一边,解三角形;
②在中,已知两边和其中一边对角,解三角形;
(3)余弦定理
①在中,已知三边,解三角形;
②在中,已知两边和他们的夹角,解三角形。
直接运用正弦定理、余弦定理的上述情况,是我们常见、常讲、常练的,因此,在这里就不加赘述,同学们可以自己从教材中找一些题目看一看!
二、间接运用公式、正弦定理、余弦定理
(1)齐次式条件(边或角的正弦)
若题目条件中出现关于角的齐次式或关于边的齐次式,可以根据角的异同选用公式弦切互化或正弦定理边角互化;有些题中没有明显的齐次式,但经过变形得到齐次式的依然适用。
1.相同角齐次式条件的弦切互化
【例】在中,若,,求。
【解析】无论是条件中的,还是
都是关于一个角的齐次式。
是
关于的一次齐次式;是关于的二次齐次式。
因此,我们将弦化切,再利用三角公式求解。
由;
由
或;
在中,,且。
代值可得:
①当,时,;
②当,时,(舍去)。
2.不同角(正弦)齐次式条件的边角互化
【例】在中,若,且,
求的面积。
【解析】条件是关于
不同角正弦的二次齐次式。
因此,我们利用正弦定理将角化为边,然后根据边的关系利用余弦定理求解。
由;
显然这个形式符合余弦定理的公式,因此,可得。
又因为,所以。
3.不同边齐次式条件的边角互化
【例】的内角的对边分别为。
已知,
,求。
【解析】条件是关于不同边的一次齐次式。
因此,我们利用正弦定理将边化为角,然后由将
不同角转化为同角,利用化一公式求解。
由,又,,可得:
,运用化一公式得。
4.边角混合齐次式条件的边角互化
①边角混合——边为齐次式
【例】的内角的对边分别为,且
,求。
【解析】条件是边角混合——关于不同边的一次齐次式,由于所求为切的值,所以将边化为角,然后将弦化为切求解。
由,又
,则。
②边角混合——角(正弦)为齐次式
【例】的内角的对边分别为,且,
,求。
【解析】条件
是边角混合——角(正弦)
为不同角的一次齐次式。
因此,我们将角的正弦化为边,然后根据等式形式利用余弦定理求解。
由,由于
,我们可
以得到:
,显然这个形式符合余弦
定理公式,因此,可得。
从而得出。
③边角混合——边、角(正弦)都为齐次式 【例】
的内角
的对边分别为
,且
,求。
【解析】条件
是边角混合——边、角
(正弦)各为一次齐次式。
因此,我们可以随意边角互化,但是一般将角转化为边求解。
由,
显然这个形式符合余弦定理公式,因此,可得。
从而得出。
5.非三角形内角正弦但可化为角(正弦)齐次式
【例】的内角的对边分别为,且
,求证:的三边成等比数列。
【解析】条件显然不是齐次式,并且角也不全是三角形的内角。
因此,首先得把这些角转变为三角形的内角,然后再往齐次式化利用正弦定理求解。
由
,只要将变换为,题中的条件就变成了关于不同内角正弦的二次齐次式:。
(2)不同边的平方关系(余弦定理)
若题目条件中出现关于边的平方关系或求边的平方关系,可以选用余弦定理边角互化,在上面的一些情况中,有利用正弦定理转化出不同边的平方关系,可以作为参考例题。
【例】的内角的对边分别为,且
,求。
【解析】条件含有不同边的平方关系,形式显然符合余弦定理公式。
由。
(3)存在消不掉的正弦、余弦值(两定理同时使用,边角互化)
若题目条件中的条件不是上述情况,且始终含有消不去的内角正弦、余弦,可以同时使用正弦、余弦定理边角互化,要么都化为角(正弦、余弦),要么都化为边。
【例】在中,已知,且,求。
【解析】由题目中条件可得
,
接下来再利用余弦定理可得
,又,
,所以或。
因为。
解三角形运用的原理简单,但是题目灵活多变,往往使学生感觉不易下手,以上结合例题谈了一下通过题中条件的特征,利用三角形内角和、边、角之间的关系快速入手的策略,但这仅仅是初探,更多的策略还需要同学们在解题中不断地归纳总结。
仅供个人用于学习、研究;不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.
Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.
Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.
толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.
以下无正文
仅供个人用于学习、研究;不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.
Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.
Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.
толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.
以下无正文。