求解0-1背包问题的混沌遗传算法
遗传算法在0-1一维背包问题上的应用研究
（） ２ 耗散遗传算法 遗传算法可用耗散结构理论分析 ： 系统初始条 件为随机选取的基 因 ， 通过选 择、 交叉算子 向适应 度高的方向发展 ， 变异算子提供随机扰动。因而形 成一种耗散结构。但 由于进化 的不断进行 系统 中 不同的基 因逐渐处于相 同， 使得这种耗散消逝。但 又会陷入局部最优解。交叉和变异算子对 于算法 的收敛性 起决 定作 用 ， 而通 过变异 操作 可增 加种 群
的多样性 ， 可跳 出上 述局 限。但 由于 一般交 叉 概率
遗传算法最好 ， 耗散遗传算法次之 ， 基本遗传算法 最差 。结 果如 下 面三 张表所 示 ：
表 １ 基本遗传算 法的运行结果
由于背包问题有约束条件 ， 故在一般处理时采 用 罚 函数改造 目标 函数 得 到适 应 度 函数 。但 为方 便起见在我的程序 中将 目 函数直接表示为 ： 标
ｆ ，ｊｊ ∑ ：ａ ｊ ∑ ：ＣＸ ，ｊ ｘ
【 ０ ∑ｎｌｉ ｉ ． ａＸ ＞ｂ ＝
收到本文时 间：０ ６年 １ ２ ２０ ２月 ２ １ ３
（） １ 混合遗传算法 将启发式搜索算法“ 贪婪算法 ” 引入染色体解
码 过程 中 ， 对于那 些 不满 足约束 的染 色体 编码 对应
的个体 ， 优先装入价值密度较大且编码值为 １ 的物 品， 直至背包容量 限制装不下为止， 并将未装入 的
＋
作者简介 ： 陆鹏 ， ， 男 硕士研究生 ， 研究方 向： 数据仓库 与数 据挖 掘 ， 遗传算法 。高茂庭 ， ， 士研 究生 ， 男 博 副教授 ， 研究 方 向： 数据挖 掘 ， 数据库 ， 管理信息系统 。李迎新 ， ， 男 硕士研究生 ， 研究 方向 ： 模糊识别 。
遗传算法解决01背包问题
遗传算法解决01背包问题2015 ～2016 学年第二学期学生姓名专业学号2016年 6 月目录一：问题描述 (3)二：遗传算法原理及特点 (3)三：背包问题的遗传算法求解 (3)1.文字描述 (3)2.遗传算法中的抽象概念在背包问题的具体化 (3)3.算法求解的基本步骤 (4)四：算法实现 (4)1.数据结构 (4)2.部分代码 (5)五：结论 (8)六：参考文献 (8)一、问题描述0-1背包问题属于组合优化问题的一个例子，求解0-1背包问题的过程可以被视作在很多可行解当中求解一个最优解。
01背包问题的一般描述如下：给定n个物品和一个背包，物品i的重量为Wi，其价值为Vi，背包的容量为C。
问应如何选择合适的物品装入背包，使得背包中装入的物品的总价值最大。
注意的一点是，背包内的物品的重量之和不能大于背包的容量C。
在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两种选择：即装入背包或者不装入背包，不能讲物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品，称此类问题为0/1背包问题。
二、遗传算法原理及特点遗传算法（Genetic Algorithm）是模拟达尔文生物进化论的自然选择和遗传学机理的生物进化过程的计算模型，是一种通过模拟自然进化过程搜索最优解的方法。
遗传算法有着鲜明的优点：(1)遗传算法的操作对象是一组可行解,而非单个可行解;搜索轨道有多条,而非单条,因而具有良好的并行性.(2)遗传算法只需利用目标的取值信息,而无需递度等高价值信息,因而适用于任何规模,高度非线形的不连续多峰函数的优化以及无解析表达式的目标函数的优化,具有很强的通用性.(3)遗传算法择优机制是一种“软”选择,加上良好的并行性,使它具有良好的全局优化性和稳健性.(4)遗传算法操作的可行解集是经过编码化的(通常采用二进制编码),目标函数解释为编码化个体(可行解)的适应值,因而具有良好的可操作性与简单性.三、背包问题的遗传算法求解1、文字描述0-1背包问题传统的解决方法有动态规划法、分支界限法、回溯法等等。
遗传算法求解0-1背包问题(JAVA)
遗传算法求解0-1背包问题一、问题描述给定n种物品和容量为C的背包。
物品i的重量是wi，其价值为vi。
问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?二、知识表示1、状态表示（1）个体或染色体：问题的一个解，表示为n个比特的字符串，比特值为0表示不选该物品，比特值为1表示选择该物品。
（2）基因：染色体的每一个比特。
（3）种群：解的集合。
（4）适应度：衡量个体优劣的函数值。
2、控制参数（1）种群规模：解的个数。
（2）最大遗传的代数（3）交叉率：参加交叉运算的染色体个数占全体染色体的比例，取值范围一般为0.4～0.99。
（4）变异率：发生变异的基因位数所占全体染色体的基因总位数的比例，取值范围一般为0.0001～0.1。
3、算法描述（1）在搜索空间U上定义一个适应度函数f(x)，给定种群规模N，交叉率Pc和变异率Pm，代数T；（2）随机产生U中的N个个体s1, s2, …, sN，组成初始种群S={s1, s2, …, sN}，置代数计数器t=1；（3）计算S中每个个体的适应度f() ；（4）若终止条件满足，则取S中适应度最大的个体作为所求结果，算法结束。
（5）按选择概率P(xi)所决定的选中机会，每次从S中随机选定1个个体并将其染色体复制，共做N次，然后将复制所得的N个染色体组成群体S1；（6）按交叉率Pc所决定的参加交叉的染色体数c，从S1中随机确定c个染色体，配对进行交叉操作，并用产生的新染色体代替原染色体，得群体S2；（7）按变异率P m所决定的变异次数m，从S2中随机确定m个染色体，分别进行变异操作，并用产生的新染色体代替原染色体，得群体S3；（8）将群体S3作为新一代种群，即用S3代替S，t = t+1，转步3。
三、算法实现1、主要的数据结构染色体：用一维数组表示，数组中下标为i的元素表示第（i+1）个物品的选中状态，元素值为1，表示物品被选中，元素值为0表示物品不被选中。
种群：用二维数组表示，每一行表示一个染色体。
遗传算法求解背包问题
遗传算法的过程：初始化：将计划装入背包的每个物品看成一个二进制串的一位，为1表示放入该物品，为0表示不放入该物品。
初始种群的产生：初始化前对放入背包物品数的一个预测（背包容积/物品最大体积），接下来只要在种群每条染色体中保证有（背包容积/物品最大体积）个为1的位初始化就完成了。
选择：选择进行杂交的父代染色体，被选中的父代染色体总是若干个染色体中最优（适应度最高）的，来保证向优化的方向发展。
详细的选择方法：随机产生2个数：Chrom_Cross_From, Chrom_Cross_To,当然得采用一定的手段来保证前者比后者小。
从Chrom_Cross_From到Chrom_Cross_To这Chrom_Cross_To-Chrom_Cross_From+1条染色体中选择最优（适应度最大）的染色体作为父代之一。
需要进行两次选择得到杂交的两条父代染色体。
这样做可以保证算法不会过早收敛。
函数实现：Individual Select(int ChromSize,Individual Pop[]){int Num_Selected,i,j,Chrom_Selected_From,Chrom_Selected_To,temp;Individual *Chrom_Selected;do{Chrom_Selected_From=rand()%PopSize;Chrom_Selected_To=rand()%PopSize;if(Chrom_Selected_From>Chrom_Selected_To){temp=Chrom_Selected_From;Chrom_Selected_From=Chrom_Selected_To;Chrom_Selected_To=temp;}Num_Selected=Chrom_Selected_To-Chrom_Selected_From+1;}while(Num_Selected<=0);Chrom_Selected=new Individual[Num_Selected];for(i=0;i<Num_Selected;i++)Chrom_Selected[i].chrom=new int[ChromSize];for(i=0,j=Chrom_Selected_From;i<Num_Selected,j<Chrom_Selected_To+1;i++,j++){Chrom_Selected[i]=Pop[j];}Order_Best_First(ChromSize,Num_Selected,Chrom_Selected);Chrom_Selected[0].fitness=Fitness(Chrom_Selected[0].chrom,ChromSize);return Chrom_Selected[0];}杂交：将两次选择得到的父代染色体进行杂交得到一条新的染色体，作为较新种群（并非新的种群）的一条染色体，杂交直到较新种群的染色体数等于原种群的染色体数。
格雷码混合遗传算法求解0-1背包问题
格雷码混合遗传算法求解0-1背包问题王则林;吴志健【期刊名称】《计算机应用研究》【年(卷),期】2012(029)008【摘要】This paper gave an athematic mode of 0-1 knapsack problem,and modified the binary coding to establish a gray coded hybrid genetic algorithm used greedy algorithm to handle with the constraint conditions, And this paper proposed a value density operator to the individual, which could improve the search effciency, used the elitism mechanism to accelerate the convergence process, The numerical experiment proves the affectivity of the algorithm.%给出0-1背包问题的数学模型,修改传统二进制编码为格雷码混合遗传算法,使用贪心算法来解决约束问题,对每个个体使用价值密度来衡量,提高了算法搜索效率,同时使用精英保留机制来加速算法收敛的速度.最后通过数值实验证明了算法的有效性.【总页数】3页(P2906-2908)【作者】王则林;吴志健【作者单位】南通大学计算机科学与技术学院,江苏南通226000;武汉大学软件工程国家重点实验室,武汉4300072【正文语种】中文【中图分类】TP18【相关文献】1.求解多限制0-1背包问题的混合遗传算法 [J], 宋海生;宋海洲;傅仁毅;徐瑞松2.求解0-1背包问题的改进混合遗传算法 [J], 刘寒冰;张亚娟3.对求解0-1背包问题的混合遗传算法的改进 [J], 刘茜;马杰良4.求解0-1背包问题的混合遗传算法 [J], 宋海洲;魏旭真5.求解0-1背包问题的混合贪婪遗传算法 [J], 陈桢;钟一文;林娟因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
求解0-1背包问题算法研究
现代经济信息求解０－１背包问题算法研究田秀芹 百色学院数学与统计学院摘要：本文主要概述了求解0-1背包问题的两大类算法：精确算法和近似算法，并分析了这些算法的优缺点，并提出了求解该问题的算法发展趋势。
关键词：0-1背包问题；精确算法；近似算法中图分类号：TP312 文献识别码：A 文章编号：1001-828X(2017)010-0386-03The Study of the 0-1 Knapsack Problem AlgorithmAbstract: This paper mainly summarizes the solving 0-1 knapsack problem algorithm of two categories: accurate and approximate algorithms, and analyzes the advantages and disadvantages of these algorithms, and put forward the development trend of algorithms to solve the problem.Keywords: 0-1 knapsack problem, precise algorithm, approximate algorithmDantzig[1]在20世纪50年代首次提出了背包问题(Knapsack problem，简称KP)，在文献[2]中，阐述了该问题是一个NP-难问题，在背包问题中，我们很难设计出多项式时间算法，除非P=NP。
0-1背包问题就是，给定一个容量为的背包和件具有价值的物品，在不超过背包容量的前提下，选择若干物品放入背包，使得装入背包的物品总价值最大。
同时给出一种放置物品的方案。
背包问题就有普遍的应用背景，在日常的许多实践中如：材料切割、资源有效分配问题、资金估算的问题、运输过程的货仓装载等起着很大的作用，许多的组合优化问题都可以简化为背包问题，背包问题的各种解法也可用来解决组合优化问题，因此对0-1背包问题的解法进行深入的研究具有重大的意义。
格雷码混合遗传算法求解0-1背包问题
４００２ ３０７ ）
．
（． １ 南通大 学 计算机科 学与技 术学院，江 苏 南通 ２６ ０ ；２ 武汉 大学 软件工程 国家重点 实验 室， 汉 ２００ ． 武
摘
要 ：给 出 ０１背 包问题 的数 学模 型 ， 改传 统二 进 制编码 为格 雷码 混 合遗 传 算法 ， 用 贪心 算 法来 解 决约 － 修 使
近些年 ， 背包 问题 吸引了很多理论和实际工作者对此问题 进行深入 的研究 。主要是 由于在工业上很多的实际应 用 ， 如资
品的重量和价值分别记为 Ｗ 、 ｉ １ … ， ） 背包能 承受 的最 ｐ（ ＝ ， ｎ ，
大重量是 Ｃ 当物品 ｉ ， 被选择进入 背包时 ， ＝１否则 ， ：０ 背 ， ；
ｍ ａ ｉ ｉｅ ｘｍ ｚ
般仅能获得 问题 的近似最优解 。近年来 ， 不少学者将稳健 的
ｓ ３ ａ ｔ ｌ ≤ｃ ｕｊ ｔｏ∑ ｘ ］ ｃ ｉ
中图分类 号 ：Ｔ １ Ｐ８ 文献标 志码 ：Ａ 文章 编号 ：１０ －６ ５ ２ １ ） ８ ２ ０ － ３ ０ １３ ９ （ ０ ２ ０ －９ ６ ０
ｄ ｉ１ ． ９ ９ ｊｉ ｎ １０ －６ ５ ２ １ ． ８ ０ ７ ｏ ：０ ３ ６ ／ ．ｓ ． ０ １３９ ． ０ ２ ０ ．２ ｓ
ｖ ｒｅ ｅ ｒｃ ｓ． ｅｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｐ ｏ ｅ ｓ Ｔｈ ｕｍｅ ｃ ｌｅ ｐ ｒｍ ｅ ｏ ｅ ｈ ｆｅ ｔ ｉｙ ｏ ｈ ｌｏ ｔ ｍ ． ｉ ｒ ａ ｘ ｅ ｉ ｎｔｐｒｖ ｓ ｔｅ ａ ｃｉ ｔ ｆｔ ｅ ａｇ ｒ ｈ ｖ ｉ
Ｋ ｙｗ ｒ ｓ ｅｅｉ ａ ｏ ｔｍ（ Ａ） ｎｐａｋｐｏｌｍ；Ｇ ｒ ｃｄ ；ｇｅｄ ｇｒｈ ｅ ｏｄ ：ｇｎｔ ｌ ｒｈ Ｇ ；ｋａ ｓｃ ｒｂｅ ｃ ｇｉ ａ ｏｅ ｒｅｙａ ｏ ｔｍ；ｅｉｓ ｃ ａｉ ｙ ｌ ｉ ｌｉ ｍｅｈｎｓ ｔｍ ｍ
对求解0-1背包问题的混合遗传算法的改进
８ ・ ４
维普资讯
５ 茜 ． 杰 良： ＇ 马 １ 对求 解 ０ １背 包问题 的混合 遗传 算法 的 改进 －
品编码值修改为 Ｏ 由此重构个体的染色体编码［ ， ２ Ｊ 。
１３ 适应 度 函数 ．
将 物 品 ｉ 入背包 并 置 ｘ １ 放 ｉ； ＝
性 能较基 本遗传算法和贪心算法都有很大的改善 。在这种混合遗传算法的基础上作进一步的改进 ， 使算法性能获得
进一步的提高。 关 键 词 ： 传 算 法 ； 包 问题 ； 合 优 化 ； 合 遗 传 算 法 遗 背 组 混
中圈分类号 ： Ｐ ０ ． Ｔ３１ ６
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ：１７ — ９ ０２ ０ ）４ ０ ８ — ６ ３ １８ （０ ６ －０ ４ ０ ０ ４
１２ 贪 心算 法的应 用 ．
ｉ ０１ ， ｉ １ ， ，１ ＝ ， …ｎ Ｅ｛ ２
式 中 麓为 Ｏ ｌ决 策 变量 。ｉ１表示 将 物 品 装 — ｘ＝
人 背包 中 。ｉＯ表示 物 品 ｉ ｘ ＝ 不装 人 背包 中。
另外 ，一 背包问题一般总假定 ： ０ｌ （） 、 （ １ ， １ ｐ ， … ） Ｃ均为正 整数 ； ２ 和
下（ 假定 物 品按价值 密度 ｐｗ 降序排 列 ） ／ ：
Ｆ Ｘ） Ｐ （ ＝ ｉ ｉ
＝ ｌ
① ｆ （ ｌ＜ ＋ ； ＋ ｏｉ ；ｎｌ＋） ｒ＝ ｉ ｉ ｉ 产ｌ 且物 品 ｉ 以放入 背包） 可
将 物品 ｉ 入背 包； 放
∑
ｉ＝ ｌ
０－ 背包 问题 的遗传 编码一 般采用 二进制 编码 ： － １
≤ｃ
ｓｔ ≤ ． ．
制字符串， 个 作为一 个个体 的遗传基 因表示１ ２ ］ 。例如 “ ｌ ０ ０ ｌ０ ｌ ｌ１ｏ １０ ｏ ｌ” １
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Ｅｎ ａ ｃ ｄ ｔｅ ｅｇ ｄ ｃｔ ｈ ｎ ｅ ｒ ｏ ｉｉ ｈ ｙ
ｏ ｈ ｏｉ ｅ ｒ ｈ ｂ ｓｎ ｏ ｅ ｎ ｔ ｎ ｃ ｒ ｅ ｃ ｎ ｌ ｇ ｉ ｒｖ ｄ ｇ ｎ ｔ ｌｏ ｔ ｍ ｒ ｍａｕ ｅ ｐ ｏ ｌｍ ｙ ｅ ｅ ｉｇ ｃ ａ ｓ ｆｃ ａ ｔ ｓ ａｃ ｙ ｕ ｉ ｇｐ ｗ ｒ ｕ ｃ ｉ ａｒ ｒｔ ｈ ｏｏ ｙ， ｍｐ ｏ ｅ ｅ ｅ ｉ ａｇ ｒ ｈ ｐ ｅ ｔ ｒ ｒ ｂｅ ｂ ｍｂ ｄ ｎ ｈ ｏ ｃ ｆ ｏ ｉ ｅ ｃ ｉ ｏ ｔ ｌ ｏ ｕ ｉｎ ｏ ｔｉ ｅ ｎ ｏ ｂ ｓ ｐ ｉ ｌ ｔ ｂ ａｎ ｄ ｉ ｔ ａ ｉ ＧＡ，ａ ｄ ｉ ｒｖ ｄ ｔ ｅ ｃ ｐ ｃｔ ｆａｇ ｒｔｍ ｏ ａ ｏ ｄ ｔ ｅｌｃ ｌｅ ｔ ｍｅ ａ ｄ ｔ ｏ ｖ ｒ ｅｔ ｍａ ｓ ｏ ｃ ｎ ｍｐ ｏ ｅ ｈ ａ ａ ｉ ｏ ｏ ｈ ｔ ｖ ｉ ｏ ａ ｘ ｒ ｎ ｏ ｃ ｎ ｅ ｇ ｏ ｙ ｌ ｉ ｈ ｅ ｈ ｌｂ ｌｏ ｔ ｔ ｅｇ ｏ ａ ｐｉ ｌ ｏ ｕｉ ｎ ｑ ｉ ｋｙ ｍａ ｌ ｔ ｕ ｃ ｌ ．Ｒ ｓ ｌ ｆｔ ｅｎ ｍｅｉ ａ ｘ ｅｉ ｎ ｈ ｗ ｔ ａ ｅｐ ｏ ｏ ｅ ｌｏ ｔｍ ｓｅ ｅ ｔ ｅａ ｄ Ｕ — ｓ ６ ｅ ｕｔ ｏ ｕ ｒ ｌ ｅ ｐ ｒ ｓ ｈ ｃ ｍｅ ｔｓ ｏ ｔ ｈ ｒｐ ｓ ｄ ａｇ ｒ ｈ ｉ ｆ ｃｉ ｎ ｓ ｈ ｔ ｉ ｖ ｅ
田建立 ， 晁学鹏
（ 河科 技 学院 计算机 科学 系， 州 ４００ ） 黄 郑 ５０ ６
摘 要 ：提 出一种 改进 的混沌遗传 算法来求解 ０ １背 包问题 。通过利 用幂函数 载波技 术增强混沌搜 索的遍历性 ， －
把混沌搜 索得 到的最优解直接作 为新群体嵌入遗传 算法来改善遗传算 法的早 熟问题 ， 从而使算 法有 能力避免 陷入 局部极值而快速 收敛于全局 最优 解。仿 真 实验结果表 明 了 算法求解 ０ １ 包问 的有效性和适 用性 。 该 —背 题
设 ｃ＝（１ｃ， ，ｄ ｒ ＝（ １ ， ， ｄ 一ｃ， ‘ ， ｃ，２ … ｃ ， Ｗ ， … 埘 ） ，‘１ ∈Ｚ ２ ０ ，
体积和收益 ， 在限定的总容积内 ， 选择合适 的物 品装 人背包 ， 从 而使得物品的总收益最高。问题 的名称来源于如何选择最合适 的物品放置于给定背包中。研究背包 问题具有较高的理论与实 用价值 ， 在金融与工业领域中的投资决策 、 预算控制 、 目选择 、 项 资源分配和货物装 载等方 面， 以及在 组合数学 、 计算复杂 性理
ｆｌｉ ｏｖ ｎ ｋ ａ ａ ｋ ｐ ｏ ｌ ｍ． ｕ ｎ ｓ ｌｉ ｇ０－１ ｎ ｐｓ ｃ ｒ ｂ ｅ
Ｋｅ ｏｄ ：ｃ ａｓ ｅｅｉ ａ ｏｉ ｍ； ｏ ｅ ｎｔｎｃｒ ｅ ｔ ｈ ｏ ｇ ； ｎ ｐａｋｐｏｌｍ （ Ｐ ； ｐｉｉ ｔ ｎａ ｏ ｔ ｙｗ ｒｓ ｈｏ ｎｔ ｇｒｈ ｐｗ ｒｕ ｃ ｏ ａ ｉ ｃ ｎｌ ｙ ｋ ａｓｃ ｒｂｅ ｓＫ ） ｏ ｔ ｚ ｉ ｇｒ ｍ ｇ ｃｌ ｔ ｆ ｉ ｒｒｅ ｏ ｍ ａｏ ｌ ｉ ｈ
第 ２ 第 ８期 ８卷 ２１ ０ １牟 ８月
计 算 机 应 用 研 究
Ａｐ ｌ ａ ｉｎ Ｒｅ ｅ ｒ ｈ ｏ ｏ ｕ ｅ ｓ ｐ ｉ ｔ ｓ ａ ｃ ｆＣ ｍｐ ｔｒ ｃ ｏ
Ｖｏ ８ Ｎｏ ８ Ｌ２ ．
Ａｕ ２ １ 昏 ０ １
求解 Ｏ １背包 问题 的混沌 遗传 算 法 ・
Ａｂｓｒ ｃ ｔ ａ ｔ： Ｔｈ ｓｐ ｐ ｒｐｒｐｏ ｅ ｖ ］ｃ ａ ｓｇ ｎｅｉ ｌ ｏ ｔｍ ｏ ｏｖｎｇ ｔｅ０— ｎａ ｓ ｃ ｒｂｌｍ ｉ ａ ｅ ｏ ｓ ｄ ａｈｏ ｅ ｈ ｏ ｅ ｔ ａｇ ｒ ｈ ｆｒｓ ｌｉ ｈ １ｋ ｐ ａ ｋ ｐ ｏ ｅ ｃ ｉ
．
关 键词 ：混沌遗传 算 法 ； 函数载 波技 术 ；背 包问题 ；优化 算法 幂 中图分 类号 ：Ｔ １ Ｐ８ 文献标志 码 ：Ａ 文 章编号 ：１０ ， ６ ５ ２ １ ） ８ ２ ３ ． ２ ０ １ ３９ （０ １ ０ ． ８８ ０
ｄ ｉ１ ．９ ９ ｊｉ ｎ １０ —６ ５ ２ １ ． ８ ００ ｏ：０ ３ ６ ／．ｓ ． ０ １ ３ ９ ．０ １０ ． １ ｓ
Ｎｏ ｅ ｈ ｏ ｅ ｅｉ ｌｏ ｉ ｍ ｏ ｏｖｎ １ ｋ ａ ｃ ｒ ｂ ｅ ｖ ｌｃ ａ ｓｇ ｎ ｔｃ ａｇ ｒｔ ｆｒｓ ｌｉｇ０— ｎ ｐ ａ ｋ ｐ ｏ ｌｍ ｈ ｓ
Ｔ Ａ Ｊａ ｈ，Ｃ Ｉ Ｎ ｉｎ— ＨＡＯ Ｘｕ —ｅ ｇ ｅｐ ｎቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ （ ｅｔ ｆＣ ｍ ｕｅ ｃ ｎｅ Ｈ ａｇ ｅＳｉ ｃ Ｄ ｐ．ｏ ｏ ｐ ｔ Ｓｉ ｃ ， ｕ ｎｈ ｃ ｎｅ＆ Ｔｃｎｌ ｙｃ ｚ ， ｈｎｚｏ ５０ ６ ｈｎ ） ｒ ｅ ｅ ｅｈｏｏ ｏ ｇ Ｚ ｅｇｈｕ４０ ０ ，Ｃ ｉａ
论、 密码学和应用数 学都有着非 常重要的应用 。对 于背包问题 ，
背包问题 （ｎｐａｋｐ ｂｅ Ｋ ） ｋａ ｓ ｒ ｌｍ， Ｐ 是一 种组 合优化的 Ｎ ｃ ｏ Ｐ完 全 问题。问题可以描述为 ： 给定一组物品， 每种物品都有 自己的
物品和一个可容 纳 个单元体 积 的背包 ， 每种 物品的体积 为
Ｗ， 假定物品 被装入背包产生的受益为 Ｃ， 采用怎样的装包方 法才会在总体积不能超过 肘 的前提下使装 入背包的物品总效 益最大？如果 只能取 ０或 ｉ也就是说一件物品要 么装人全 ， 部， 要么不装入 ， 该背包 问题就转换为 ０ １背包 问题。 ・ ０１ — 背包 问题的数学描述如下 ： ．