大学物理第三章 习题解答

第三章 习题解答（仅供参考）

3．2 一根直杆在S 系中观察，其静止长度为l ，与x 轴的夹角为θ，S`系沿S 系的x 轴正向以速度v 运动，问S`系中观察到杆子与x `轴的夹角若何？

[解答]直杆在S 系中的长度是本征长度，两个方向上的长度分别为

l x = l cos θ和l y = l sin θ．

在S`系中观察直杆在y 方向上的长度不变，即l`y = l y ；在x 方向上的长度是运动长度，根据尺缩效应得

`x l l =

因此

``tan `y

x l l θ==，

可得夹角为 21/2`a r c t a n {[1(/)]t a n }

v c θθ-=-

3．3 在惯性系S 中同一地点发生的两事件A 和B ，B 晚于A 4s ；在另一惯性系S`中观察，B 晚于A 5s 发生，求S`系中A 和B 两事件的空间距离？

[解答]在S 系中的两事件A 和B 在同一地点发生，时间差Δt = 4s 是本征时，而S`系中观察A 和B 两事件肯定不在同一地点，Δt ` = 5s 是运动时，根据时间膨胀公式

`t ∆=， 即

5=， 可以求两系统的相对速度为 v = 3c /5．

在S`系中A 和B 两事件的空间距离为 Δl = v Δt ` = 3c = 9×108(m)．

3．5 S 系中观察到两事件同时发生在x 轴上，其间距为1m ，S`系中观察到这两个事件间距离是2m ，求在S`系中这两个事件的时间间隔．

[解答]根据洛仑兹变换，得两个事件的空间和时间间隔公式

`x ∆=

2`t ∆= （1） 由题意得：Δt = 0，Δx = 1m ，Δx` = 2m ．因此

`x ∆=，

2`t ∆=．（2）

由（2）之上式得它们的相对速度为

v = （3）

将（2）之下式除以（2）之上式得 2``t v x c

∆=-∆， 所以

`t ∆=

=10-8(s)．

[注意]在S `系中观察到两事件不是同时发生的，所以间隔Δx` = 2m 可以大于间隔Δx = 1m ．如果在S `系中观察到两事件也是同时发生的，那么Δx`就表示运动长度，就不可能大于

本征长度Δx ，这时可以用长度收缩公式`x ∆=∆

3．6 一短跑运动员，在地球上以10s 的时间跑完了100m 的距离，在对地飞行速度为0.8c 的飞船上观察，结果如何？

[解答]以地球为S 系，则Δt = 10s ，Δx = 100m ．根据洛仑兹坐标和时间变换公式

`x =2`t =，

飞船上观察运动员的运动距离为

`x ∆=10

=-4×109(m)． 运动员运动的时间为 2

`t ∆=100.8100/0.6c -⨯=≈16.67(s)． 在飞船上看，地球以0.8c 的速度后退，后退时间约为16.67s ；运动员的速度远小于地球后退的速度，所以运动员跑步的距离约为地球后退的距离，即4×109m ．

3．8 已知S`系以0.8c 的速度沿S 系x 轴正向运动，在S 系中测得两事件的时空坐标为x 1 = 20m ，x 2 = 40m ，t 1 = 4s ，t 2 = 8s ．求S`系中测得的这两件事的时间和空间间隔．

[解答]根据洛仑兹变换可得S`系的时间间隔为

2`

`

21t t -=

840.8(4020)/0.6

c ---=≈6.67(s)． 空间间隔为

``

21x x -=40200.8(84)0.6

c --⨯-=≈-1.6×109(m)．

3．11 一粒子动能等于其非相对论动能二倍时，其速度为多少？其动量是按非相对论算得的二倍时，其速度是多少？

[解答]（1）粒子的非相对论动能为 E k = m 0v 2/2，相对论动能为 E`k = mc 2 – m 0c 2， 其中m 为运动质量

m =

．

根据题意得

2

2200m c m v =， 设x = (v/c )2，方程可简化为

1x =+， 或

1(1x =+ 平方得 1 = (1 – x 2)(1 - x )，

化简得 x (x 2 – x -1) = 0．

由于x 不等于0，所以 x 2 – x -1 = 0．

解得

x =， 取正根得速率为

v == 0.786c ． （2）粒子的非相对论动量为 p = m 0v ， 相对论动量为

`p mv ==

根据题意得方程

02m v =．

很容易解得速率为

2

v c == 0.866c ．

3．12．某快速运动的粒子，其动能为4.8×10-16J ，该粒子静止时的总能量为1.6×10-17J ，若该粒子的固有寿命为2.6×10-6s ，求其能通过的距离．

[解答]在相对论能量关系中

E = E 0 + E k ，

静止能量E 0已知，且E 0 = m 0c 2，总能量为

2

2E mc ===，

所以

00

k E E E +=， 由此得粒子的运动时为

0`k E E t t E +∆=

=∆． 还可得

00k

E E E =+， 解得速率为

v =

∆=∆=∆

粒子能够通过的距离为l v t c t

8

=⨯⨯⨯．

310 2.610-

3．14静止质子和中子的质量分别为m p = 1.67285×10-27kg，m n = 1.67495×10-27kg，质子和中子结合变成氘核，其静止质量为m0 = 3.34365×10-27kg，求结合过程中所释放出的能量．[解答]在结合过程中，质量亏损为

Δm = m p + m n - m0 = 3.94988×10-30(kg)，

取c = 3×108(m·s-1)，可得释放出的能量为

ΔE = Δmc2 =3.554893×10-13(J)．

如果取c = 2.997925×108(m·s-1)，可得释放出的能量为

ΔE = 3.549977×10-13(J)．