泰森多边形(Voronoi图)生成算法
对于给定点集的泰森多边形的算法实现
对于给定点集的泰森多边形的算法实现百度百科泰森多边形又叫冯洛诺伊图（Voronoi diagram），得名于Georgy Voronoi，是由一组由连接两邻点线段的垂直平分线组成的连续多边形组成。
泰森多边形是对空间平面的一种剖分，其特点是多边形内的任何位置离该多边形的样点（如居民点）的距离最近，离相邻多边形内样点的距离远，且每个多边形内含且仅包含一个样点。
由于泰森多边形在空间剖分上的等分性特征，因此可用于解决最近点、最小封闭圆等问题，以及许多空间分析问题，如邻接、接近度和可达性分析等。
特征：1.每个泰森多边形内仅含有一个离散点数据；2.泰森多边形内的点到相应离散点的距离最近；3.位于泰森多边形边上的点到其两边的离散点的距离相等。
泰森多边形图例：详细介绍见百度百科泰森多边形算法实现算法一：算法二：算法二是基于算法一的优化。
本文将着重介绍算法二。
1）算法二同样采用特征点以均匀的速度向外扩张的方式进行。
既然我们速度一定，那我们不妨设置为1，那么诸多特征点同时同步地向外扩张，说明在相遇时，相遇的特征点是本着相同的速度，以相同的时间到达的相遇地点（在这里是相遇的单元格），那么根据大众熟知的速度路程公式s=v*t，我们知道这两个相遇的特征点距离该相遇点的路程是相等的，也就是距离一样，说明该相遇点是这两个特征点两线的中点。
这就符合了泰森多边形的定义（是由一组由连接两邻点线段的垂直平分线组成的连续多边形组成）2）扩张的速度我们假定为1，基准的核心点，我们设定为特征点所在像素单元的几何中心。
我们规定，在以该特征点为圆心的辐射区域内的其他像素单元格的几何中心距离该特征点所在的几何中心的直线距离（根据勾股定理计算即可）小于或者等于某时间点该特征点以速度为1外扩的半径长度（即路程）时（也就是该像素单元格的大部分面积都包含在该时间点特征点辐射半径所划的圆中的时候），将该像素单元格赋值为特征点外扩运动中此时的时间点信息。
计算中心点：（其中红色点为核心特征点，黑色点为其外扩过程中的一个示例点）模拟泰森多边形由核心特征点外扩：（单元格中数值代表外扩到该单元格所用的时间）3）以步骤2）中介绍的方式，我们对所有特征点进行相应外扩，假设每个特征点都辐射满整张矩形区域，共辐射出与特征点数量等量的矩形表数量。
Voronoi图泰森多边形法在角规测树中的应用
第3期
冯仲科等 :Voronoi 图 — 泰森多边形法在角规测树中的应用
45
1 Voronoi 图及泰森多边形概念 Voronoi 图又称为 Dirichlet 镶嵌 ( tessellation ) ,
广泛应用 。
2 Voronoi 图 — 泰森多边形在角规测树中的实现
其概念由 Dirichlet 于 1850 年首先提出 ; 1907 后俄 国数学家 Voronoi 对此作了进一步阐述 , 并提出高 次方程化简 ; 1911 年荷兰气候学家 A1 H1 Thiessen 为提高大面积气象预报的准确度 , 应用 Voronoi 图 对气象观测站进行了有效区域划分
[3]
。角规在所有的测树工具中属于较优秀
的一种 ,在现代森林调查中 ,特别是在森林资源二类 清查中 ,发挥了积极作用 。 以往角规测树时 , 往往在林分内设置若干个角 规点 ,以所有角规点每公倾蓄积量算术平均值代替 整个林分平均蓄积量 , 从而估算出整个林分蓄积总
。Voronoi 图 - 泰森
多边形法 ,考虑了林分蓄积的空间分布不均匀特点 , 以各角规点的控制面积为权重 , 比算术平均法更合 理 ,蓄积总量估测精度更高 。
[4]
方法 以往人们大多采用求积仪求取各角规点的控制 面积 ,但是在考虑的林分较大 ,角规点也很多的情况 下 ,所组成的多边形面积小 、 个数多 , 用求积仪求面 积操作起来不方便
[7]
。因此在二维
空间中 ,Voronoi 图也称为泰森 ( Thiessen) 多边形 。 简单地说 ,Voronoi 图是平面的一个划分 , 其控 制点集 P = {p1 ,p2 , …,p n}中任意两点都不共位 ,且 任意四点不共圆
角规测树原理与技术方法 , 自奥地利林学家比 特里希 ( W ・ Bitterich ) 1947 年发明以来得到了广泛 的应用
VORONOI(泰森多边形)功能制作BSC、TAC等边界图层方法
VORONOI（泰森多边形）功能制作BSC、TAC等边界图层方法
1、利用基站工参制作打点拓扑图，注意不要使用SEESTIE等插件生成的扇区图。
2、备份该图层，因为用excel直接做的拓扑图层，很多时候无法进行修改编辑，只是可读
模式，无法进行后面的操作。
3、打开复制的基站图层，使用MAPINFO/TABLEA/VORONOI功能（部分低版本和不完全版本
的MAPINFO无此功能）
无需特别选择，逐步执行下图
得到这种图层
4、利用mapinfo/table/combine objects using column选项，将多边形图层根据我们需要的内容进行合并，如TAC、TAL、BSC、MSC等，可以得到这些信息的分布图层。
逐步执行，注意到这一步，需要将method项都改为VALUE,否则默认SUM的话，生成的TAL 的图层的标识将会是TAL下所有小区的TAL值之和。
三维泰森多边形算法 -回复
三维泰森多边形算法-回复什么是三维泰森多边形算法？三维泰森多边形算法是一种用于计算三维空间中一组点集的最小外包凸壳的算法。
泰森多边形是一个多边形，它将一组点集分割成一组不相交的三角形，使得这些三角形的外接圆包围了所有点集。
三维泰森多边形算法通过计算这些外接圆的半径和中心点，确定最小外包凸壳的形状。
三维泰森多边形算法的基本原理是使用一个递归的分而治之方法。
它通过将点集分为两个较小的子集，并分别计算它们的最小外包凸壳，然后将子集合并为一个更大的外包凸壳。
通过不断重复这个过程，最终得到整个点集的最小外包凸壳。
该算法的步骤如下：1. 输入一组三维空间中的点集P。
2. 如果P中的点数小于等于3个，则返回这些点作为最小外包凸壳的顶点。
3. 找到点集P中的一个点pivot，它的选择可能影响算法的性能。
一种常用的选择方法是选择z值最小的点。
4. 根据pivot将点集P分成两个子集P1和P2。
将P1中所有点的z值小于等于pivot的点放入P1，将其他点放入P2。
5. 递归地计算子集P1和P2的最小外包凸壳。
6. 合并子集P1和P2的最小外包凸壳，得到整个点集P的最小外包凸壳。
7. 返回最小外包凸壳作为算法的输出。
为了计算子集的最小外包凸壳，可以使用相同的算法步骤。
递归实现的关键在于确定pivot点和将点集分割为两个子集。
三维泰森多边形算法的时间复杂度为O(n log n)，其中n是点集P的大小。
这是因为每次递归都将点集分割为两个子集，每个子集的大小约为原点集的一半。
因此，算法的递归深度为O(log n)。
在每一层递归中，需要计算子集的最小外包凸壳，这需要O(n)的时间。
因此，总的时间复杂度为O(n log n)。
三维泰森多边形算法在计算机图形学、地理信息系统和计算几何等领域中有广泛的应用。
它可以用于计算三维物体的几何结构，并支持一些常见的操作，如点位置检测、线段相交以及点对之间的最近距离计算。
总结起来，三维泰森多边形算法是一种用于计算三维空间中一组点集的最小外包凸壳的算法。
泰森多边形法公式
泰森多边形法公式
泰森多边形法（Thiessen Polygon Method），也称为Voronoi Diagram，是一种用于 将地理空间划分为不重叠的区域的方法。每个区域都由一个中心点和与该中心点最近的其他 点组成。
泰森多边形法的计算公式如下：
1. 给定一组点集P={p1, p2, ..., pn}，其中pi表示地理空间中的一个点。
2. 对于每个点pi，计算其与其他所有点pj之间的距离d(pi, pj)。
泰森多边形法公式
3. 对于每个点pi，找到与其距离最近的点pj，即min(d(pi, pj))。
4. 将地理空间划分为不重叠的区域，每个区域Байду номын сангаас由一个中心点pi和与该中心点最近的其他 点组成。这个区域就是泰森多边形。
5. 重复步骤3和4，直到所有点都被分配到一个泰森多边形中。
voronoi多边形的生成原理
voronoi多边形的生成原理
Voronoi多边形是由一组离散点生成的多边形。
它们的生成基于一个称为Voronoi图的基于点的分割方法。
这个方法的基本思想是将平面分割成一些相互不重叠的区域，每个区域都以一个离散点为中心，并且包含离该点最近的所有其他点。
生成Voronoi图的方法有很多种。
其中一种常用的方法是基于Fortune算法。
这个算法首先将点按照x坐标排序，然后将它们一一插入一个扫描线数据结构中。
在扫描线向右移动的过程中，每当遇到一个点时，就会在扫描线上创建一个新的边。
这个边会将扫描线上的点分成两个部分，并且将它们所属的区域分割开来。
当扫描线遇到两个点之间的空白区域时，它会在这里创建一个新的顶点。
这个顶点将作为边的交点，并且被添加到一个数据结构中。
这个数据结构，也就是Delaunay三角网，是由Voronoi图的双重图
组成的。
最后，Voronoi图可以通过将Delaunay三角网的三角形外接圆
相互连接形成。
这些连接形成了Voronoi多边形的顶点。
总之，Voronoi图是一种非常有用的工具，可以在各种应用中使用，包括地理信息系统、图形学、计算机视觉等。
了解其生成原理，可以帮助我们更好地理解其应用和工作原理。
- 1 -。
维诺图（VoronoiDiagram）分析与实现
维诺图（VoronoiDiagram）分析与实现一、问题描述1.Voronoi图的定义又叫泰森多边形或Dirichlet图，它是由一组由连接两邻点直线的垂直平分线组成的连续多边形组成。
2.Voronoi图的特点（1）每个V多边形内有一个生成元；（2）每个V多边形内点到该生成元距离短于到其它生成元距离；（3）多边形边界上的点到生成此边界的生成元距离相等；（4）邻接图形的Voronoi多边形界线以原邻接界线作为子集。
3.Voronoi的应用在计算几何学科中的重要地位，由于其根据点集划分的区域到点的距离最近的特点，其在地理学、气象学、结晶学、航天、核物理学、机器人等领域具有广泛的应用。
如在障碍物点集中，规避障碍寻找最佳路径。
二、算法分析与设计Voronoi图有着按距离划分邻近区域的普遍特性，应用范围广。
生成V图的方法很多，常见的有分治法、扫描线算法和Delaunay三角剖分算法。
1.建立Voronoi图方法和步骤本次实验采用的是Delaunay三角剖分算法。
主要是指生成Voronoi图时先生成其对偶元Delaunay三角网，再找出三角网每一三角形的外接圆圆心，最后连接相邻三角形的外接圆圆心，形成以每一三角形顶点为生成元的多边形网。
如下图所示。
建立Voronoi图算法的关键是对离散数据点合理地连成三角网，即构建Delaunay三角网。
建立Voronoi图的步骤为：（1）离散点自动构建三角网，即构建Delaunay三角网。
对离散点和形成的三角形编号，记录每个三角形是由哪三个离散点构成的。
（2）计算每个三角形的外接圆圆心，并记录之。
（3）遍历三角形链表，寻找与当前三角形pTri三边共边的相邻三角形TriA，TriB和TriC。
（4）如果找到，则把寻找到的三角形的外心与pTri的外心连接，存入维诺边链表中。
如果找不到，则求出最外边的中垂线射线存入维诺边链表中。
（5）遍历结束，所有维诺边被找到，根据边画出维诺图。
泰森多边形及其特性(精)
泰森多边形及其特性
GIS和地理分析中经常采用泰森多边形进行快速插值，和分析地理实体的影响区域，是解决邻接度问题的又一常用工具。
荷兰气候学家A·H·Thiessen提出了一种根据离散分布的气象站的降雨量来计算平均降雨量的方法，即将所有相邻气象站连成三角形，作这些三角形各边的
垂直平分线，于是每个气象站周围的若干垂直平分线便围成一个多边形。
用这个多
边形内所包含的一个唯一气象站的降雨强度来表示这个多边形区域内的降雨强度，
并称这个多边形为泰森多边形。
如图，其中虚线构成的多边形就是泰森多边形。
泰
森多边形每个顶点是每个三角形的外接圆圆心。
泰森多边形也称为Voronoi图，或
dirichlet图。
泰森多边形
泰森多边形的特性是：
1、每个泰森多边形内仅含有一个离散点数据；
2、泰森多边形内的点到相应离散点的距离最近；
3、位于泰森多边形边上的点到其两边的离散点的距离相等。
泰森多边形可用于定性分析、统计分析、邻近分析等。
例如，可以用离散点的性质来描述泰森多边形区域的性质；可用离散点的数据来计算泰森多边形区域的数据；判断一个离散点与其它哪些离散点相邻时，可根据泰森多边形直接得出，且若泰森多边形是n边形，则就与n个离散点相邻；当某一数据点落入某一泰森多边形中时，它与相应的离散点最邻近，无需计算距离。
在泰森多边形的构建中，首先要将离散点构成三角网。
这种三角网称为Delaunay 三角网。
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泰森多边形(Voronoi图)生成算法
一、文档目的
本文描述了在geomodel模块中，生成泰森多边形所使用的算法。
二、概述
GIS和地理分析中经常采用泰森多边形进行快速插值，和分析地理实体的影响区域，是解决邻接度问题的又一常用工具。
荷兰气候学家A·H·Thiessen提出了一种根据离散分布的气象站的降雨量来计算平均降雨量的方法，即将所有相邻气象站连成三角形，作这些三角形各边的垂直平分线，于是每个气象站周围的若干垂直平分线便围成一个多边形。
用这个多边形内所包含的一个唯一气象站的降雨强度来表示这个多边形区域内的降雨强度，并称这个多边形为泰森多边形。
如图1，其中虚线构成的多边形就是泰森多边形。
泰森多边形每个顶点是每个三角形的外接圆圆心。
泰森多边形也称为Voronoi图，或dirichlet图。
图1 泰森多边形
泰森多边形的特性是：
●每个泰森多边形内仅含有一个离散点数据
●泰森多边形内的点到相应离散点的距离最近
●位于泰森多边形边上的点到其两边的离散点的距离相等
泰森多边形可用于定性分析、统计分析、邻近分析等。
例如，可以用离散点的性质来描述泰森多边形区域的性质；可用离散点的数据来计算泰森多边形区域的数据；判断一个离散点与其它哪些离散点相邻时，可根据泰森多边形直接得出，且若泰森多边形是n边形，则就与n个离散点相邻；当某一数据点落入某一泰森多边形中时，它与相应的离散点最邻近，无需计算距离。
在泰森多边形的构建中，首先要将离散点构成三角网。
这种三角网称为Delaunay三角网。
三、Delaulay三角形的构建
Delaunay三角网的构建也称为不规则三角网的构建，就是由离散数据点构建三角网，如图2，即确定哪三个数据点构成一个三角形，也称为自动联接三角网。
即对于平面上n个离散点，其平面坐标为(x i，y i)，i＝1，2，…，n，将其中相近的三点构成最佳三角形，使每个离散点都成为三角形的顶点。
图2 Delaunay三角网
自动联接三角网的结果为所有三角形的三个顶点的标号，如:1,2,8；2,8,3；
3,8,7；……
为了获得最佳三角形，在构三角网时，应尽可能使三角形的三内角均成锐角，即符合Delaunay三角形产生的准则：
1、任何一个Delaunay三角形的外接圆内不能包含任何其它离散点。
2、相邻两个Delaunay三角形构成凸四边形，在交换凸四边形的对角线之后，六个内
角的最小者不再增大。
该性质即为最小角最大准则。
图3 凸包
下面介绍Tsai（1993）提出的在n维欧拉空间中构造Delaunay三角形的通用算法---凸包插值算法。
（一）、凸包生成
1、求出点集中满足min(x-y)、min(x+y)、max(x-y)、max(x+y)的四个点，并按逆时针方向组成一个点的链表。
这4个点是离散点中与包含离散点的外接矩形的4个角点最近的点。
这4个点构成的多边形作为初始凸包。
2、对于每个凸包上的点I，设它的后续点为J，计算矢量线段IJ右侧的所有点到IJ 的距离，求出距离最大的点K。
3、将K插入I、J之间，并将K赋给J。
4、重复2、3步，直到点集中没有在线段IJ右侧的点为止。
5、将J赋给I，J取其后续点，重复2、3、4步。
6、当凸包中任意相邻两点连线的右侧不存在离散点时，结束点集凸包求取过程。
完成这一步后，形成了包含所有离散点的多边形（凸包），如图3所示。
（二）、环切边界法凸包三角剖分
在凸包链表中每次寻找一个由相邻两条凸包边组成的三角形，在该三角形的内部和边界上都不包含凸包上的任何其它点。
将这个点去掉后得到新的凸包链表。
重复这个过程，直到凸包链表中只剩三个离散点为止。
将凸包链表中的最后三个离散点构成一个三角形，结束凸包三角剖分过程。
图4 环切边界法凸包三角剖分
完成这一步后，将凸包中的点构成了若干Delaunay三角形，如图4所示。
（三）、离散点内插
在对凸包进行三角剖分之后，不在凸包上的其余离散点，可采用逐点内插的方法进行剖分。
基本过程为：
1、选择一个尚未构成三角形的离散点
2、在已经生成的三角形中，找出该离散点的三角形(离散点在该三角形在内部或者在
该三角形的边上)
3、如果离散点在三角形的内部，则将该三角形以及三角形的边删除，然后将三个顶点以及离散点分别连接，形成三个新的三角形。
如果离散点在三角形的边上，记录点所在的边E，根据拓扑关系，找出该边的左右相邻三角形T1，T2，添加四条新边和四个新三角形NT，删除T1，T2以及边E。
对于新生成的三角形，需要挨个对其边进行空外接圆检测。
具体做法为：对于新生成的三角形的边E，找出该边相邻的两个三角形，判断该边一侧的对角的顶点是否位于另外一个三角形的外接圆的里面。
如果是，则将边E删除，再将两个对角连接起来，形成两个新的三角形。
对于新三角形的边，同样需要进行空外接圆检测，如此继续进行，直到所有新生成的三角形都通过空外接圆检测为止。
4、重复1、2、3，直到所有非凸壳离散点都插入完为止。
完成这一步后，就完成了Delaunay三角网的构建，如图5所示。
图5 离散点内插
四、泰森多边形的建立步骤
建立泰森多边形算法的关键是对离散数据点合理地连成三角网，即构建Delaunay三角网。
建立泰森多边形的步骤为：
1、离散点自动构建三角网，即构建Delaunay三角网。
对离散点和形成的三角形编号，记录每个三角形是由哪三个离散点构成的。
2、找出与每个离散点相邻的所有三角形的编号，并记录下来。
这只要在已构建的三角网中找出具有一个相同顶点的所有三角形即可。
图6 泰森多边形的建立
3、对与每个离散点相邻的三角形按顺时针或逆时针方向排序，以便下一步连接生成泰森多边形。
排序的方法可如图6所示。
设离散点为o。
找出以o为顶点的一个三角形，设为A；取三角形A除o以外的另一顶点，设为a，则另一个顶点也可找出，即为f；则下一个三角形必然是以of为边的，即为三角形F；三角形F的另一顶点为e，则下一三角形是以oe为边的；如此重复进行，直到回到oa边。
4、计算每个三角形的外接圆圆心，并记录之。
5、根据每个离散点的相邻三角形，连接这些相邻三角形的外接圆圆心，即得到泰森多边形。
对于三角网边缘的泰森多边形，可作垂直平分线与图廓相交，与图廓一起构成泰森多边形。