完全平方公式变形讲解
完全平方公式12种变形公式
完全平方公式12种变形公式完全平方公式12种变形公式是一类经典的数学公式，也叫广义完全平方公式，它可以将表示为一元二次方程的某一种形式的不定方程都变形为一元二次方程，从而使求解方程变得更加容易。
它具有广泛的应用，如科学、工程等。
完全平方公式一共有12种，每一种都是由一元二次方程的左右两边变形得到的。
下面分别介绍它们的变形过程和形式：1. 令变形：即左边的方程可以变成 [x^2+2kx+k^2=(x+k)^2]，右边可以变形为 [ax^2+2kx+2x+k^2=ax^2+2kx+2x+k^2]。
2.方相加变形：即左边的方程可以变成[x^2+(2k+a)x+ka^2=(x+k)^2+a^2]，右边可以变形为[ax^2+(2k+a)x+ka^2=(x+k)^2+a^2]。
3.乘变形：即左边的方程可以变成 [x^2+2kxy+ky^2=(x+ky)^2]，右边可以变形为 [ax^2+2kxy+ky^2=(x+ky)^2]。
4.方相减变形：即左边的方程可以变成[x^2+(2k-a)x+ka^2=(x+k)^2-a^2]，右边可以变形为[ax^2+(2k-a)x+ka^2=(x+k)^2-a^2]。
5.项变形：即左边的方程可以变成[x^2+(2k+1)x+k^2-a=x^2+(2k+1)x-a+k^2]，右边可以变形为[ax^2+(2k+1)x+k^2-a=x^2+(2k+1)x-a+k^2]。
6.积变形：即左边的方程可以变成[(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab]，右边可以变形为[ax^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]。
7. 乘积变形：即左边的方程可以变成[x^2+2abx+b^2=a^2(x+b)^2]，右边可以变形为[ax^2+2abx+b^2=a^2(x+b)^2]。
8.积变形：即左边的方程可以变成 [x^2-2abx+b^2=a^2(x-b)^2]，右边可以变形为 [ax^2-2abx+b^2=a^2(x-b)^2]。
完全平方公式的变形及其应用
完全平方公式的变形及其应用完全平方公式的变形及其应用多项式乘法的完全平方公式的变形形式很多，且应用广泛。
下面结合例题，介绍完全平方公式的变形及其应用。
一、变式1：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$这是因为：由$(a+b)=a^2+b^2+2ab$，移项，得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$。
例1：已知$x+y=5$，$xy=2$，求下列各式的值：（1）$x^2+y^2$；（2）$x^4+y^4$。
解：由变式1，得（1）$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=5^2-2\times2=21$；（2）$x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2=21^2-2\times4=433$。
二、变式2：$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$这是因为：由$(a-b)=a^2-2ab+b^2$，移项，得$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$。
例2：已知$a-\sqrt{11}=5$，求$a^2+11$的值。
解：由变式2，得$a^2+11=\left(a-\sqrt{11}\right)^2+2\sqrt{11}=5^2+2\sqrt{11}=27$。
三、变式3：$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)$这是因为：由$(a+b)=a^2+b^2+2ab$，得$2ab=(a+b)-\left(a^2+b^2\right)$，两边同除以2，得$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)$。
例3：已知$a+b=7$，$a^2+b^2=29$，求$ab$的值。
解：由变式3，得$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{7^2-29}\right)=10$。
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解完全平方公式是一种求解二次方程的方法，通常用于解决含有未知数的平方项和一次项的方程。
这个公式的公式表达形式为：$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$完全平方公式在数学中具有广泛的应用，可以用来解决一元二次方程、分解因式、证明等问题。
首先，我们可以考虑一个特殊的二次多项式：$$(x+a)^2$$这里，a 是一个常数。
根据分配律，我们可以展开该二次多项式：$$(x+a)(x+a)=x^2+ax+ax+a^2$$合并相同项得到：$$x^2+2ax+a^2$$我们可以观察到，这个二次多项式中的平方项（$x^2$）和常数项（$a^2$）是完全平方的结构。
而一次项的系数项（$2ax$）是两个a的乘积的两倍。
这就是所谓的完全平方。
根据以上的推导，我们得出了完全平方的一般形式。
接下来，我们将利用完全平方公式来解决一元二次方程的问题。
对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0$$其中a、b、c是已知实数常数。
我们将该方程两边移项，并利用一种变形技巧，将方程转化为完全平方的形式。
具体步骤如下：1. 将方程两边移项，使等式右边等于0，得到$$ax^2+bx=-c$$2.对于方程的左边，我们将其利用完全平方公式进行变形。
如果我们能找到一个常数k，使得左边可以变为$(x+k)^2$的形式，那么我们就可以利用完全平方公式直接求解。
3. 考虑到$(x+k)^2=x^2+2kx+k^2$，我们可以发现，当$b=2k$时，方程的左边可以写成完全平方形式。
4. 所以，我们可以得到方程$$ax^2+2kx+k^2=-c$$5.然而，我们不能直接将方程的右边变为k的平方形式，因为我们无法确切地知道k的值。
所以，我们需要做一个额外的变形。
6. 我们可以再次考虑方程的两边，得到$$ax^2+2kx+k^2+c=0$$7.现在，我们成功地将方程转化为一个完全平方的形式。
进一步观察，我们可以发现，左边的二次项是$x^2$的系数与$a$的乘积，一次项是$x$的系数与$2k$的乘积，常数项则是$k^2+c$。
完全平方公式8种变形
完全平方公式8种变形完全平方公式是数学中一个重要的公式，它可以帮助我们求解一元二次方程的解，进而解决一些实际问题。
在学习完全平方公式时，我们不仅要熟记其基本形式，还需要了解其一些变形，以便更灵活地应用于解题过程中。
下面将介绍完全平方公式的8种变形，希望对大家的学习有所帮助。
1. 标准形式变形：完全平方公式的标准形式是：(a+b)²=a²+2ab+b²。
我们可以将其变形为：a²= (a+b)²-2ab-b²，这种变形可以帮助我们从平方项和常数项中提取出待求解的项。
2. 差平方变形：我们可以将完全平方公式改写为：(a-b)²=a²-2ab+b²。
这种变形用于需要处理差平方的情况，可以减少计算过程中的错误。
3. 完全平方差变形：如果我们遇到一个二次方程的形式是a²-b²=0，可以利用完全平方公式的变形来求解。
变形后的形式为(a+b)(a-b)=0，我们可以得到a+b=0或a-b=0，从而求得方程的解。
4. 半平方变形：在一些问题中，我们可能会遇到一个二次方程的形式是a√x+b=0。
我们可以将其改写为：(√x)²=-(b/a)，通过对等式两边开方并得到x的值，从而解决问题。
5. 配方法变形：配方法是解决一元二次方程的一种常用方法，我们可以将完全平方公式进行配方法的变形。
变形后的形式是(a+b)²-c²=(a+b+c)(a+b-c)，通过将多项式相加相减从而得到解。
6. 两边取平方根变形：当我们遇到一个二次方程的形式为a²=c²时，可以将完全平方公式应用于此。
变形后的形式是：a=±√c²，通过对两边同时取平方根，我们可以得到a的值。
7. 合并同类项变形：在解决一些复杂的方程时，我们可能会遇到一些多项式的平方和。
我们可以将其中的一些同类项合并，从而简化计算过程。
谈谈完全平方公式的几种变形式
数学篇学思导引完全平方公式，即(a ±b )2=a 2+b 2±2ab .它是恒等变形中的常用公式之一，也是破解数学问题的重要利器.完全平方公式经过变形或重组可以衍生出新的公式.灵活运用这些公式，可以让我们在解题时更快捷.运用完全平方公式及其变形式解题时需注意以下几点：1.a 和b 可以是数，可以是式子；2.要有整体观念，即把某个数或式子看成a 或b ，再运用公式解题；3.注意运用变形公式，可以分别将a +b ，a -b ，a 2+b 2，ab 看成四个整体，若已知其中两个整体，则可以灵活运用公式及公式变形式求得另外两个整体.变形式1：a 2+b 2=(a +b )2-2ab =(a -b )2+2ab 由(a +b )2=a 2+b 2+2ab ，(a -b )2=a 2+b 2-2ab ，可以得到：a 2+b 2=(a +b )2-2ab =(a -b )2+2ab .例1设x >y >0，且x 2+y 2-7xy =0，则x +yy -x的值为________.分析：要想求出x +yy -x的值，需要先求出x +y ，y -x 的值.而结合已知条件可知，它们的值借助完全平方变形公式x 2+y 2=(x -y )2+2xy =(x +y )2-2xy 即可求出.解：因为x 222又x 2+y 2-7xy =0，所以(x +y )2-2xy -7xy =0，即(x +y )2=9xy .因为x >y >0，所以x +y >0，所以x +y =3xy .因为x 2+y 2=(x -y )2+2xy ，又x 2+y 2-7xy =0，所以(x -y )2+2xy -7xy =0，即(x +y )2=5xy .因为x >y >0，所以y -x <0，所以y -x =-5xy .所以x +y y -x =.评注：本题利用完全平方公式的变形式a 2+b 2=(a +b )2-2ab =(a -b )2+2ab ，分别求出x +y ，y -x 的值，再将其代入所求目标式中.在这一过程中，要特别注意x +y >0，y -x <0这一隐含条件.变形式2：(a +b )2=(a -b )2+4ab 因为(a -b )2=a 2+b 2-2ab ,所以有(a -b )2+4ab =a 2+b 2-2ab +4ab =a 2+b 2+2ab =(a +b )2.例2已知x -y =2，xy =3，则(x +y )4的值为_______.分析：要想求出(x +y )4的值，需要先对江苏省盐城市新洋初级中学洪婷婷27数学篇学思导引(x+y)4进行变形,(x+y)4实际上可以看作是(x+y)2的平方，而(x+y)2=(x-y)2+4xy，这样问题也就迎刃而解了.解：(x+y)4=[(x+y)2]2=[(x-y)2+4xy2]2=(22+4×3)2=256.评注：本题先通过变形，把目标式转化为平方式，再利用完全平方公式的变形式(a+b)2=(a-b)2+4ab求出其值.变形式3：(a-b)2=(a+b)2-4ab因为(a+b)2=a2+b2+2ab，(a+b)2-4ab=a2+b2+2ab-4ab=a2+b2-2ab=a-b2，所以有a-b2=(a+b)2-4ab.例3若a，b，c满足a-b=6，ab=-9-c2，则a+b+c的值为_____.分析：本题涉及a-b，ab，a+b，若能联想完全平方公式的变形式(a-b)2=(a+b)2-4ab，则可以化难为易.解：因为(a-b)2=(a+b)2-4ab，又a-b=4，ab=-8-c2，所以62=(a+b)2-4(-9-c2)，即(a+b)2+4c2=0，根据非负数的性质可知a+b=0，c=0，所以a+b+c=0.评注：本题利用(a-b)2=(a+b)2-4ab，得出(a+b)2+4c2=0，再结合非负数的性质求出a+b+c的值，从而使问题获解.变形式4：(a+b)2-(a-b)2=4ab，由(a+b)2=(a-b)2+4ab，(a-b)2=(a+b)2-4ab，这两个变形公式，可以得到(a+b)2-(a-b)2=4ab，即ab=14[(a+b)2-(a-b)2].例4已知(a+b)2=32,(a-b)2=20,则ab的值为_______.分析：本题出现了(a+b)2和(a-b)2，若能联想完全平方公式的变形式(a+b)2-(a-b)2=4ab，即可快速求出ab的值.解：因为(a+b)2-(a-b)2=4ab，所以ab=14[(a+b)2-(a-b)2]=14×(32-20)=3.评注：本题若按照常规思路先求出a、b的值，再求ab，则较为繁琐，而利用完全平方变形公式则可以化繁为简.变形式5：(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)因为(a+b)2=a2+b2+2ab，(a-b)2=a2+b2-2ab，所以(a+b)2+(a-b)2=2(a-b)2=2(a2+b2)，即a2+b2=12[(a+b)2+(a-b)2].例5已知a+b=8，则a2+b2的最小值为_________.分析：由a+b，a2+b2可以联想完全平方公式的变形式(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2).解：因为(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，又a+b=8，所以a2+b2=12[(a+b)2+(a-b)2]=12[82+(a-b)2]=32+12(a-b)2.因为(a-b)2≥0，所以a2+b2≥32.即当a+b=8时，a2+b2的最小值为32.评注：本题利用(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)这一完全平方公式的变形式解题，使解题过程变得简捷明了.总之，在平时的学习中，同学们不仅要熟悉完全平方公式的结构特征，而且还要掌握它的变形和推广形式，并注意结合题目的结构特征，灵活运用完全平方变形公式.这将会给我们的解题带来意想不到的效果.28。
完全平方差公式的变式
完全平方公式的所有变形公式一. 完全平方公式常见的变形有a2+b2=（a+b）2-2ab，a2+b2=（a-b）2+2ab，（a+b）2-（a-b）2=4ab，a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc）二. 乘法公式变形的应用例1：已知：x2+y2+4x-6y+13=0，x、y均为有理数，求xy的值。
分析：逆用完全乘方公式，将x2+y2+4x-6y+13化为两个完全平方式的和，利用完全平方式的非负性求出x 与y的值即可。
解：∵x2+y2+4x-6y+13=0，（x2+4x+4）+（y2-6y+9）=0，即（x+2）2+（y-3）2=0。
∴x+2=0，y=3=0。
即x=-2，y=3。
∴xy=（-2）3=-8。
分析：本题巧妙地利用例3 已知：a+b=8，ab=16+c2，求（a-b+c）2002的值。
分析：由已知条件无法直接求得（a-b+c）2002的值，可利用（a-b）2=（a +b）2-4ab确定a-b与c的关系，再计算（a-b+c）2002的值。
解：（a-b）2=（a+b）2-4ab=82-4（16+c2）=-4c2。
即：（a-b）2+4c2=0。
∴a-b=0，c=0。
∴（a-b+c）2002=0。
例4 已知：a、b、c、d为正有理数，且满足a4+b4+C4+D4=4abcd。
求证：a=b=c=d。
分析：从a4+b4+C4+D4=4abcd的特点看出可以化成完全平方形式，再寻找证明思路。
证明：∵a4+b4+C4+D4=4abcd，∴a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2-4abcd+2c2d2=0，（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0。
a2-b2=0，c2-d2=0，ab-cd=0又∵a、b、c、d为正有理数，∴a=b，c=d。
代入ab-cd=0，得a2=c2，即a=c。
所以有a=b=c=d。
初中完全平方公式12种变形
初中完全平方公式12种变形在初中数学课中，完全平方公式一直是学习的重要内容。
它可以用来解决复杂的问题，它可以准确地表达一个问题，而且它有很多变形，其中有12种。
首先，完全平方公式的基本原理是，当一个多项式的项中存在平方项时，可以将其化简为完全平方公式的形式。
它的基本形式是x^2+2xy+y^2=a^2，其中a为一个实数。
其次，一元二次方程的12种变形分别是：（1）x^2+2xy+y^2=a^2；（2）x^2-2xy+y^2=a^2；（3）x^2+2xy-y^2=a^2；（4）x^2-2xy-y^2=a^2；（5）ax^2+2xy+y^2=b^2；（6）ax^2-2xy+y^2=b^2；（7）ax^2+2xy-y^2=b^2；（8）ax^2-2xy-y^2=b^2；（9）x^2+2axy+y^2=c^2；（10）x^2-2axy+y^2=c^2；（11）x^2+2axy-y^2=c^2；（12）x^2-2axy-y^2=c^2；然后，我们需要分析上述12种变形的特征和特点，以便于更好地理解其含义。
首先，这些变形有一个共性，即都是完全平方公式的形式，因此它们可以看作一类。
其次，它们的参数不同，例如，前四种的参数a、b、c都是实数，而后八种的参数a、b、c则是变量。
最后，这12种变形可以分为四类，即有系数a的变形，有常数b的变形，有变量c的变形，以及包含x和y的变形。
最后，要正确使用完全平方公式的12种变形，需要掌握其特征和使用方法。
首先，要明确它们的参数，例如有些是实数，而有些则是变量。
其次，要了解它们的共性和特点，例如上面提到的变形分为四类。
最后，要熟练掌握它们的解题方法，例如展开式的方法、变量的替换方法以及因式分解的方法。
这样，才能够更好地解决完全平方公式的12种变形，让自己更加深入地掌握这门学科知识。
总之，完全平方公式可以分为12种变形，它们有着自己的特征和特点，要正确使用它们，需要掌握其参数、共性和解题方法，这样才能更好地解决复杂的问题，为自己赢得一份好成绩。
完全平方公式变形公式及常见题型
完全平方公式变形公式及常见题型
完全平方公式变形及常见题型是数学学习中最基本的内容，在考试中也是经常出现的题型。
完全平方公式的变形和常见的题型可以大大提高学生在数学考试中的表现，也可以帮助学生更好地理解这些概念。
本文将对完全平方公式变形公式及常见题型进行讨论，包括它们的定义、变形公式以及常见题型。
完全平方公式是一类特殊的二次公式，其标准形式为：
ax2+bx+c=0
其中a、b和c分别为系数，可以为整数、分数或者其他数学表
示形式。
在完全平方公式中，b=0，a和c为正数或者负数，此时x2
的系数为a，而常数项的系数为c。
完全平方公式的一般形式为：
ax2+c=0
要将完全平方公式一般形式变形为标准形式，可以使用变形公式，其中b系数的变形公式为：
b=±√(ac)
通过使用变形公式，可以在给定的条件下变形完全平方公式，使其达到标准形式。
完全平方公式变形后常常会出现一些常见的题型，这些题型包括： 1.全平方公式求解题：此类题型一般要求学生使用完全平方公式求解某类问题，例如求解一元二次方程；
2.全平方公式变形题：此类题型要求学生运用变形公式将完全平方公式从一般形式变换到标准形式；
3.全平方公式的图像分析题：此类题型要求学生分析完全平方公式的图像特征，如顶点、极值、开口方向等；
4.全平方公式在实际问题中的应用题：此类题型要求学生将完全平方公式运用到实际问题中，如几何问题或投资问题，求解问题的最佳解。
以上就是完全平方公式变形公式及常见题型的基本内容，下面我们将对它们进行更深入的介绍。
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1.运用完全平方公式计算:
(1)(x+6)2;
(2) (y-5)2;
(3) (-2x+5)2;
(4) ( x - y)2.
A
1
A
2
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
首平方，尾平方， 首尾2倍放中央
A
3
公式变形的应用
（ 1） 已 知 a b 1, ab 2, 则 a2 b2 ________。
(4)请 把 4 x 4 1添 加 一 项 后 是 完 全 平 方 式 ， 可 以 添 加 ____________.
A
16
A
9
拓展思维
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
更上一层
（3）如果x2+kx+25是完全平方式，
则 k=_±__5__.
（4）如果9x2-mxy+16y 2可化为一个
整式的平方，则 m=±__2_4__.
A
10
完全平方式
A
11
完全平方式
A
12
完全平方式
则 x2 y2 ________。 （ 3） 已 知 (x y)2 25,(x y)2 16
则 xy ________。
A
5
知识回顾：
什么是完全平方式？
1.式子a2±2ab+b2叫完全平方式 。
A
6
完全平方式
A
7
完全平方式
பைடு நூலகம்
（ 1） 已 知 ， x2 ax 16是 完 全 平 方 式 ，
则a _______。
（2） 已 知 ，4 x 2 kxy 25 y 2是 完 全 平 方 式 ，
则k ___________。
(3)x2 12x m是 完 全 平 方 式,则 m ____
(4)请 把 4 x 4 1添 加 一 项 后 是 完 全 平 方 式
可 以 添 加 ________A____.
（ 2） 已 知 x y 9, xy 8, 则 x2 y2 ________。
（ 3） 已 知 (x y)2 25,(x y)2 16, 则 xy ________。
A
4
则 a 2 公 b式2 变 形_ _的_ _应_ _用_ _ 。 （ 2） 已 知 x y 9, xy 8,
证明：x, y不论是什么有理数, 多项式x2+y2 4x8y25的值 总是正数。并求出它的最小值。
A
13
完全平方式
计算
①(a+b+3)2
② (2x-y-1)2
三个数和的完全平方等于这三个数的平 方和，再加上每两数乘积的2倍。
A
14
练习
1.运用完全平方公式计算:
(1)(x+6)2;
(2) (y-5)2;
8
（2） 已 知 ，4 x 2完 k全xy 平25 y方2是式完 全 平 方 式 ， 则k ___________。 (3)x2 12x m是 完 全 平 方 式,则 m _____ .
(4)请 把 4 x 4 1添 加 一 项 后 是 完 全 平 方 式 ， 可 以 添 加 ____________.
(3) (-2x+5)2;
(4) ( x - y)2.
A
15
（ 1） 已 知 ， x ax 16是 完 全 平 方 式 ，
则 a ______完_ 。全平方式
（2） 已 知 ，4 x 2 kxy 25 y 2是 完 全 平 方 式 ， 则k ___________。
(3)x2 12x m是 完 全 平 方 式,则 m _____ .