第六讲 喇叭天线(09)

第六讲：喇叭天线喇叭天线：H面扇形、E面扇形、角锥喇叭喇叭天线可视为张开的波导口。

喇叭的功能是在比波导口更大的口径上产生均匀的相位波前，从而获得较高的定向性。

喇叭天线不算新天线，早在1897年就有人构造过。

为了使导行波的反射最小化，其转换区域，即介于波导的咽喉部位与自由空间的口径之间的喇叭段可制成指数率逐渐锥销。

但实用的喇叭一般都制成直线律张开。

一、H面扇形喇叭天线（一）、几何结构及坐标2D b=一段尺寸为a b ⨯的矩形波导口径沿H 面渐变，张开形成口经为1D b ⨯的喇叭—H 面扇形喇叭。

矩形波导的宽边为a ，窄边为b ，传输10TE 模，假定波导开口面上的场分布和波导内横截面上的场分布相同。

两个渐变壁的交线为Y 轴，口径法向为Z 轴，Y 与 Z 轴交O 点，口径中心为O ’点，1OO R H '=-称为面扇形喇叭的长度H H α-面扇形喇叭的半张角(二)、内场1、内场表达式假设喇叭无限长，采用圆柱坐标系(ρα，，y )，喇叭内为空气介质。

设波导传输横电模（TE 模），则内场为：(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)y E y yE y H y H y H y αρραραρααραρρα⎧=⎪⎨=+⎪⎩由于H 面沿Y 向无变化，故场与Y 坐标无关，或说Y 向均匀分布。

(,,)(,)(,,)(,)y y E y E H y H ααρρραραραρα=⎧⎪⎨=⎪⎩ 在圆柱坐标系中，由Maxwell 方程可得关于内场的微分方程222222211()()0zk ρϕρρρρρϕ∂A ∂A ∂A ∂∇A =++∂∂∂∂∇+A =2柱坐标系中z 波动方程 222211()1y yy o y o E E k E E yj H E j H ραρρρρραωμραωμρ∂∂∂=--∂∂∂∂-=∂∂-=∂其中，2200,k k ωεμ=为波数可见，只需求解出y E 即可，,H H ρα由y E 求得。

用分离变量法，有：(,)()()y E R ραρα=Φ代入方程，得：222222222222222211()()()11()()()()()11()()()()()()y dR d k E R d d d R dR d k R R d d d d R dR d k R R d d d αραρρρρρααρααρρρρρρααρααρρρρρα⎡⎤∂Φ=-⋅Φ-⎢⎥∂⎣⎦⎡⎤ΦΦ=-Φ+-⎢⎥⎣⎦ΦΦ∂=-Φ-Φ-22222222222221()1()1()()()()()()1()()()()R d R dR d k R d R d d d R dR d k R d R d d ραρραρρρρρρααρρρρραρρρρρααΦΦ=---ΦΦ=---Φ2两边同除以（）（），得：两边同乘以，有：22222222222222222()()1()()()()()()0()()1()()dR d R d k mR d R d d d R dR k m R d R d d md ρρρραρρρρρααρρρρρρρρραααΦ+-=-=Φ++-=Φ-=Φ即：得：和22222222()1()()()0()()0d R dR mk R d d d m d ρρρρρρρααα++-=Φ+Φ=即：和设波为向喇叭口面外传输型，即离开y 轴方向，则上两个方程的解为：()R k ρραα⎧⎨Φ⎩(2)m （）=cH （）=cos(m ) 其中：C 为与尺寸、波长、激励等有关系的常数，M 由边界条件确定。

在H αα=±处，电场切向分量为零，即21cos()0,(21),2221()cos()2H H HHn m m n m n πααπααπαα-±=⇒±=±-=+Φ=电场为[](2)21(,)()cos(),,,,2y mH H Hn E cHK m m n ραρααααπα-=∈-=-整数通常波导传输10TE 模，取1n=，得2Hm πα=(2)(,)()cos()y m E cH k m ραρα=磁场为(2)0(2)0(2)(2)1(,)()()sin()()sin()1cos()()cos()()()m m m o m oH c H k m m j m cH k m j dH c m H k j d kc dm H k j d k ραραραωμρραωμραρωμραρωμρ=-⋅⋅⋅-=⎡⎤=⋅⋅⎣⎦⎡⎤=⋅⎣⎦2、内场分析 从(,),(,)(,)y E H H ραραραρα和的表达式可见：1) 在喇叭内场结构为柱面波(2)()mH k ρ形式，柱面波为y 轴喇叭顶点处的线源发出，波阵面为圆柱面，称柱面波，与波导内波阵面为平面不同；2) 波导和喇叭内相速都大于光速（蕴含在(2)()m H k ρ的相位中），波导内相速为常数，喇叭内相速取决于于电场矢量平行的一对壁面间的距离，它随着ρ的增大而逐渐接近光速；3) 随着ρ的增大，当ρ远离原点时，(,)(,)H H ραραρα ，电磁场退化为横电磁柱面波。

4) 在喇叭内没有截止波长，总可以找到波传输截面；(三)、口径场设口径场上的一点M(x)远离源，k ρ较大时，则Hankel 函数可用大宗量展开()(2)42()m j jtmHt eππ+-=⋅()42())m j jk ys E x c m eeππρα+-=⋅⋅其中：c 为常数，m 和α 由边界条件确定： 在H αα=±处，有0y E =（切向场消失）得：11sin()0,0,1,2,H H m m n n ααααπ±+=⇒±+==通常波导传输10TE 波，取2()44()cos()2Hj jk ys HE x c eeππαρπαα+-=⋅⋅设口径中心（10,R αρ==）的电场为E 0。

则有211)()440(0(0)cos()2Hj jkR ys jk R ys HE E x c eE E ππαρπαα+---===⋅⋅=通常喇叭长度112D R口径面尺寸，故可在幅度中近似认为1R ρ=≈1()()00cos()cos()22H jk R j x ys HHE E eE eρππαααα---ψ==111122211121122111)11()1()(1)2121()___2HR R Rxx x RR RxRRx xx kR Rρρρπλ=-=-=-⎡⎤+≈+⎢⎥⎣⎦∴-≈ψ≈=相位近似：平方律相位偏差设在边缘12DX=±处的最大相位偏差为H Mψ，即221111()/24H MD DRRππψλλ==那么有：21()4()H H MxxDψψ=⋅另一方面121111111sin()11111221sin2222sin()DH H HRHDRD Dx Rx xR Rx xRRαπππααααππ--=-=⋅⋅=⋅≈≈得到口径场：121()cos()1()()()1201j xRysxs ysDxE x E eH x H x E xπλαπηπβη-⎧=⎪⎪⎨⎪==-==⎪⎩口径存在二次相位偏差取(四)、远区场2111211122sin (cos sin )02212sin cos 0221cos()sin sin sin()2cos()sin sin 2xjxD b R jk x y y D b jxD R jkx D I xN E e edxdyD kb xE D e edx kb D πλθϕϕπλθϕπθϕπθϕ-+----=⋅=⋅⋅⎰⎰⎰1、E 平面()2πϕ=211122111111111211111221121111111112212222()212()()22222cos()1()2jxD R x D jxjxjx jxD D D R D R D D I R jx D D D D R R R jx x jD R D D R D D D D xI edxD e e dx e e dx I edxee dxe πλππππλλλπππλλπλπλλπ---------⋅-⎡⎤--+⋅⎢⎥⎣⎦--==⋅+⋅==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰21121111211211111()224()2242R R jjx R D D R R jjx D R D D D edxee dxπλππλπλππλ-----⋅=⎰⎰[][]}5656()()()()x I eC C j S S νννν=---其中516111D v D D v D =+=+()C x 和()S x 为 菲涅尔积分22202()()()co s()2()sin ()2x jtx xed t C x jS x C x t d tS x t d tπππ±=±==⎰⎰⎰于是有：[][]{}12140025656sin(sin )2()()()()sin 2R jD E b kE B E D C v C v j S v S v b k πλθθθ=⋅---⋅曲线见P219图8-8中的虚线。

2、H 面(0ϕ=)类似推导有[]{[]}[]{[]}002121234341234()(()()()()()()()()218875,,,H E r B E D M C v C v j S v S v NC vC v j S v S v P v v v v ϕ=---+----其中见公式（）曲线见P219图8-8的实线(042H Mππππψ=3（以，，，为参数）4从H 面方向图可见随着H M ψ的增大BW FSL FN ull ↑↑↑，， 3、增益和波束宽度在0θ=方向上，由口径场求D00222,4(,)(,)a ysa ys D D D A A Ex y dxdyA E x y dxdyηπλη==→=⎰⎰⎰⎰几何面积[][]{}{}12112124256562222122122222202222212222222102222(0)()()()()4cos ()24(4)30422()4R jD ME o D D D D M MMH MH k E E E D C vC v j S v S v rE E xP dxdy D D D r E E r E G P r P P R kEE D rR G rE D rπλθππηηππηηλππλλπ∑--∑∑∑===⋅⋅---======⋅⋅⋅=⋅⋅⎰⎰而[][]{}[][]{}2225656120221256561()()()()(30)24()()()()E C v C v S v S v D D E R D C v C v S v S v D ηπλ-+-=-+-以2HG D λ⋅为纵轴1D λ为横轴1k 为参数作图，如Ｐ２２０图８-９所示从图可见对于给定的参数1R 、HG 2D λ存在最大值，这是因为小口径的H G 小，当1D λ增大时H G 增大，当1D λ增大到一定程度后平方律相位差出现反相场，又使H G 减小，最优的H面喇叭尺寸近似为：1D ≈此时12110.513440.64278()H M D a H D R D ππληλθψ===≈为获得尽可能均匀的口径分布，要求用非常长的小张角喇叭，但为了使用方便又应使喇叭尽可能短。