四川省眉山市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试卷+Word版含答案

眉山市高中2019届第四学期期末教学质量检测数学试题卷 （文史类） 2018.07数学试题卷（文科）共4页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 4．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，实数y x ,满足()i y i i x -=+2，则=-yi xA ．1B ．2C ．3D ．52．高二（3）班共有学生56人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、31号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是 A.15 B.16 C.17 D.183．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有有理根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是A ．假设a 、b 、c 都是偶数B ．假设a 、b 、c 都不是偶数C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数D ．假设a 、b 、c 至多有两个偶数4．设n n f N n 131211)(,*+⋯+++=∈，计算得,2)4(,23)2(>=f f ,25)8(>f3)16(>f ，观察上述结果，可推测一般结论为 A.)(22log )(*2N n n n f ∈+≥B.)(22)2(*N n n n f ∈+≥ C.)(22log )2(*2N n n f n ∈+≥ D.)(22)2(*N n n f n∈+≥ 5．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数)1)(2(i i a z +-=在复平面内对应的点为M ，则 “1=a ”是“点M 第四象限”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子（它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6），设甲、乙所抛掷骰子朝上一面的点数分别为x 、y ，则满足复数i x y +的实部大于虚部的概率是A ．16 B ．512C ．712 D ．137．已知函数2()||f x x ln x =-，则函数)(x f y =的大致图象是8．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形,邻边长分别等于线段AC 、CB 的长,则该矩形面积小于32cm 2的概率为61.A 31.B 32.C 54.D9．AQI 是表示空气质量的指数,AQI 指数值越小,表明空气质量越好,当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI 指数值的统计数据,图中点A 表示4月1日的AQI 指数值为201,则下列叙述不正确的是A ．这12天中有6天空气质量为“优良”B ．这12天中空气质量最好的是4月9日C ．这12天的AQI 指数值的中位数是90D ．从4日到9日,空气质量越来越好10．函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图象如图所示，则2221x x +等于A.23B.43C.83D.16311．设函数)(x f 的导函数为)(x f '，对任意)()(,x f x f R x '>∈成立，则A ．)3(ln 2)2(ln 3f f >B ．)3(ln 2)2(ln 3f f =C ．)3(ln 2)2(ln 3f f <D ．)2(ln 3f 与)3(ln 2f 的大小不确定12．设函数))((ln )(R a ax x x x f ∈-=在区间)2,0(上有两个极值点，则a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+412ln ,0.B ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21.C ⎪⎭⎫⎝⎛+21,412ln .D 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．i 为虚数单位，设复数z 满足346ii z+=，则z 的虚部是 . 14．如图,函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是5+-=x y ，则='+)3()3(f f .15．一个样本7,5,3,a 的平均数是b ,且b a ,是方程0452=+-x x 的两根,则这个样本的方差是 .16．已知函数x a e x f x ln )(+=的定义域是D ，关于函数)(x f 给出下列命题：①对于任意),0(+∞∈a ，函数)(x f 是D 上的减函数； ②对于任意)0,(-∞∈a ，函数)(x f 存在最小值；③存在),0(+∞∈a ，使得对于任意的D x ∈，都有0)(>x f 成立； ④存在)0,(-∞∈a ，使得函数)(x f 有两个零点．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）已知函数a x x x x f +++-=93)(23（1）求)(x f 的单调递减区间；（2）若)(x f 在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 18.（本小题满分12分）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A ，B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如图．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”． （1）在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的 成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率；（2）由以上统计数据作出列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．参考公式：2()()()()()n ad bc K a c b d a b c d -=++++ )(d c b a n +++=19. （本小题满分12分）某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据： （1）请根据表中提供的数据，用相关系数r 说明y 与x 的线性相关程度；（结果保留小数点后两位，参考数据: 414.12≈）（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程a x b yˆˆ+=； （3）试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．参考公式：211)())((ˆx xy y x xbni ii ni i---=∑∑==，x by a ˆˆ-=；相关系数21211)()())((y yx xy y x xr ni ini ii ni i----=∑∑∑===；20．（本小题满分12分）为了弘扬民族文化，某中学举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示．（1）若该所中学共有2000名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数； （2）①试估计这次参加考试的学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； ②若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取3人赠送一套国学经典学籍，试求恰好抽中2名优秀生的概率． 21. （本小题满分12分）已知函数()()()ln ,2,x m xf x ng x e m n R x=+=-∈，且曲线()y f x =在点())1(,1f 处的切线方程为1-=x y .（1）求实数n m ,的值及函数()f x 的最大值；（2）证明：对任意的()()x g x xf x <>,0.22. （本小题满分12分）设函数1()ln ()f x x a x a R x=--∈．（1）讨论)(x f 的单调性；（2）若)(x f 有两个极值点1x 和2x ，记过点))(,(11x f x A ，))(,(22x f x B 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得a k -=2？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．眉山市高中2019届第四学期期末教学质量检测数学（文科）参考答案一、选择题：DCBDA BACCC AD 二、填空题：13.21-14. 1 15.5 16.②④三、解答题：17.解：（1）()'2369.f x x x =-++()'0,f x <令13,x x <->解得或 --------------2分 所以函数()x f 的单调减区间为()().,3,1,+∞-∞-------------------------4分（2）因为()()()()22,222,22->∴+=+=-f f a f a f ----------------------5分 ()()()()递增，在上，在x f x f 2,1-,03,1-'> ---------------------6分又()()()()()1,2,1-2--f f x f x f 最小为最大为上递减，在 ---------------------8分 由()()71,2,2022-=-∴-==+f x f a a 最小为， -----------------------10分18.[解] (1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从不低于86分的成绩中随机抽取两个包含的基本事件是：(86,93), (86,96), (86,97), (86,99), (86,99), (93,96)，(93,97), (93,99), (93,99), (96,97), (96,99), (96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有15种结果，--------- -------3分符合条件的事件数(93,96)，(93,97)，(93,99)，(93,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有10种结果， -----------------5分根据等可能事件的概率得到P ＝1015＝23． --------------------6分(2)由已知数据得分根据列联表中的数据，计算得随机变量K 2的观测值k ＝()3462020195151402⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈3.137， ----------------------------11分由于3．137>2．706，所以在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关． ----------------------------12分 19.（1）=∑=ii i yx 416×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158， ----------------------------1分x ＝6＋8＋10＋124＝9，y ＝2＋3＋5＋64＝4， ----------------------------2分=∑=412i ix62＋82＋102＋122＝344．74412=∑=i i y ---------------------------4分75.099.0,99.0102014>≈⨯=∴r ，线性相关性非常强. ---------------------------6分(2)=∑=ii i yx 41158，x =9，y ＝4，=∑=412i i x 344．b ^＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7，a ^＝y －b ^x ＝4－0．7×9＝－2.3， 故线性回归方程为y ^＝0.7x －2.3． ----------------------------10分 (3)由(2)中线性回归方程知，当x ＝9时，y ^＝0．7×9－2．3＝4，故预测记忆力为9的同学的判断力约为4． ----------------------------12分20.（1）由直方图可知，样本中数据落在[]100,80的频率为3.01.02.0=+，则估计全校这次考试中优秀生人数为6003.02000=⨯． ----------------------2分 （2）①设样本数据的平均数为x ，则45005550156502750385029501725x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.......， 则估计所有参加考试的学生的平均成绩为72.5． ----------------------------5分 ②成绩在[)[)[)100,90,90,80,80,70间分别抽取了3人，2人，1人．---------------7分 记成绩在[)80,70的3人为c b a ,,，成绩在[)90,80的2人为e d ,，成绩在[)100,90的1人为f ，记恰好抽中2名优秀生为A 事件，则从这6人中抽取3人的所有可能结果有()a b c ，，，()a b d ，，，()a b e ，，，()a b f ，，，()a c d ，，，()a c e ，，，()a c f ，，，()a d e ，，，()a d f ，，，()a e f ，，，()b c d ，，，()b c e ，，，()b c f ，，，()b d e ，，，()b d f ，，，()b e f ，，，()c d e ，，，()c d f ，，，()c e f ，，，()d e f ，，，共20种 -------------------------------------------------------------------------------------------9分 其中恰好抽中2名优秀生的结果有()()()()()f d b f d a e d c e d b e d a ,,,,,,,,,,,,,,，()()()()f e c f e b f e a f d c ,,,,,,,,,,,共9种，----11分则()209=A P ． --------------------------------------------------------------------------------12分21解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()21ln 'm x f x x-=，因()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1yx =-，所以()()'11{10f f ==解得1{ 0m n ==，所以()ln x f x x =，故()1ln 'x f x x-=．令()'0f x =，得xe =，当0x e <<时，()'0f x >，()f x 单调递增； 当x e >时，()'0f x <，()f x 单调递减． 所以当x e =时，()f x 取得最大值()1f e e=． --------------------6分 （Ⅱ）证明：原不等式可变为(),2ln ,02ln --=>--x e x h x e xx令则 ()1x h x e x'=-，可知函数()()∞+，在0'x h 单调递增， 而，()011,0331'31'>-=<-=⎪⎭⎫⎝⎛e h e h所以方程()0'=x h 在（0，+∞）上存在唯一实根x 0，即010x ex =． 当x ∈（0，x 0）时，()0'<x h ，函数h （x ）单调递减；当x ∈（x 0，+∞）时，()0'>x h ，函数h （x ）单调递增；所以0min 0000111()()121220o o x x x h x h x e n n x x e x ==--=--=+->. 即02ln >--x e x 在（0，+∞）上恒成立，所以对任意x ＞0，()()x g x xf <成立． ---------------------12分 法二：证()()1,10->-≤>x x g x x xf x 时，，亦可.22.解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋1x 2－a x ＝x 2－ax ＋1x 2. ----------1分令g(x)＝x 2－ax ＋1，则方程x 2－ax ＋1＝0的判别式Δ＝a 2－4.①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ---------2分 ②当a<－2时，Δ>0，g(x)＝0的两根都小于0，在(0，＋∞)上恒有f′(x)>0， 故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ----------3分 ③当a>2时，Δ>0，g(x)＝0的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－42，当0<x<x 1时，f′(x)>0；当x 1<x<x 2时，f′(x)<0；当x>x 2时，f′(x)>0，故f(x)在(0，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减． -------------5分 (2)由(1)知，a>2.因为f(x 1)－f(x 2)＝(x 1－x 2)＋x 1－x 2x 1x 2－a(ln x 1－ln x 2)， 所以k ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝1＋1x 1x 2－a·ln x 1－ln x 2x 1－x 2.又由(1)知，x 1x 2＝1.于是k ＝2－a·ln x 1－ln x 2x 1－x 2. ---------------------------------7分若存在a ，使得k ＝2－a.则ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝1. ---------------------------------8分即ln x 1－ln x 2＝x 1－x 2.亦即x 2－1x 2－2ln x 2＝0(x 2>1)． (*) -----------------------9分再由(1)知，函数h(t)＝t －1t－2ln t 在(0，＋∞)上单调递增，而x 2>1，所以x 2－1x 2－2ln x 2>1－11－2ln 1＝0.这与(*)式矛盾． -------------------11分故不存在a ，使得k ＝2－a. ------------------12分。