2013江苏省高考数学真题(含答案)

2013 年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）

一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计70 分。请把答案填写在答题卡相印位置上。1．函数 y 3sin( 2x ) 的最小正周期为．

4 开始

2．设

2

z (2i)（i 为虚数单位），则复数z 的模为．n 1，a

2

2 y2

x

3．双曲线 1

16 9

的两条渐近线的方程为．n n 1

Y

a 20

a 3a 2 4．集合 { 1, 0,1} 共有个子集．

N

输出 n 5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是．

结束

（第 5 题） 6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩（单位：环），结

果如下：

运动员第一次第二次第三次第四次第五次

甲87 91 90 89 93

乙89 90 91 88 92

则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．

2 2 2 2 2

(89 90) (90 90) (91 90) (88 90) (92 90)

2

方差为： 2

S ．

5

7．现在某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n （m7，n9）可以任意选取，则m，n 都取到奇数的概率为．

8 ．如图，在三棱柱A1B1C1 ABC 中，D，E，F 分别是C

1

B

1

AB，AC，AA 的中点，设三棱锥 F ADE 的体积为V1 ，三棱柱

1 A

1

A1B1C1 ABC 的体积为V2 ，则 V1 :V2 ．F

C

E B

A D

9．抛物线

2

y x 在x1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含三角形内部和边界) ．若

点P( x, y) 是区域D 内的任意一点，则x 2y 的取值范围是．

1 10．设D，E 分别是ABC的边AB，BC 上的点，AD AB

2

2

，BE BC

3

，

若 DE AB AC

1 （1，

2 为实数），则 1 2 的值为．

2

2 11．已知 f (x) 是定义在R 上的奇函数。当x 0时，f (x) x 4x ，则不等式 f (x) x 的解

集用区间表示为．

2 2

x y

12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为1(a 0,b 0)

2 2

a b ，右焦点为

F ，右准线为l ，短轴的一个端点为 B ，设原点到直线BF 的距离为d1 ，F 到l 的距离为d2 ，若 d2 6d1，则椭圆C 的离心率为．

13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A(a, a) ， P 是函数y

1

x

（ x 0）图象上一动

点，

若点P，A 之间的最短距离为 2 2 ，则满足条件的实数 a 的所有值为．

14．在正项等比数列{a n} 中，

最大正整数n 的值为．

1

a ，a6 a7 3 ，则满足a1 a2 a n a1a2 a n 的5

2

二、解答题：本大题共 6 小题，共计90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说

明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14 分）

已知a＝(cos , sin )，b (cos , sin ) ，0 ．

（1）若| a b | 2 ，求证：a b ；

（2）设c ( 0,1) ，若a b c，求, 的值．

16．（本小题满分14 分）

如图，在三棱锥S ABC 中，平面SAB 平面SBC ，AB BC ，A S AB ，过A 作

AF SB，垂足为F ，点E，G 分别是棱SA，SC的中点．求证：

（1）平面EFG // 平面A BC ；S

（2）B C SA．

G

E

F

C

A

B

17．（本小题满分14 分）

y 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 A (0,3) ，直线 l : y 2x 4．

l

A 设圆C的半径为1，圆心在l 上．

（1）若圆心 C 也在直线y x 1上，过点A作圆 C 的切线，

O x 求切线的方程；

（2）若圆C上存在点M ，使M A 2MO ，求圆心C 的横坐

标 a 的取值范围．

18．（本小题满分16 分）

如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至C 处有两种路径。一种是从A沿直线步行

到C ，另一种是先从A沿索道乘缆车到 B ，然后从 B 沿直线步行到 C ．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m / min ．在甲出发2 min 后，乙从

A乘缆车到 B ，在 B 处停留 1min 后，再从匀速步行到 C ．假设缆车匀速直线运动的

速度为130m / min ，山路AC 长为1260m，经测量，

12

cos A ，

13

3

cosC ．

5

（1）求索道AB 的长；

（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（3）为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过3分钟，

乙步行的速度应控制在什么范围内？

A

M

B

N

D

C 19．（本小题满分16 分）

设{a } 是首项为 a ，公差为 d 的等差数列(d 0) ，S n 是其前 n 项和．记

n

nS

n

b n

2 ，

n c

*

n N ，其中 c 为实数．

（1）若c0，且

2

b1，b ，b 成等比数列，证明：S nk n S k

2 4

（

*

k,n N ）；

（2）若{b } 是等差数列，证明： c 0．

n

20．（本小题满分16 分）

x 设函数 f (x) ln x ax ，g x

e ax

( ) ，其中 a 为实数．

（1）若 f (x)在(1, ) 上是单调减函数，且g( x) 在(1, ) 上有最小值，求 a 的取值范围；

（2）若 g(x) 在( 1,) 上是单调增函数，试求 f (x) 的零点个数，并证明你的结论．

2013 年答案

一、填空题

1、【答案】π

【解析】 T＝| 2π

|

＝|

ω

2π

2 | ＝

π．

2、【答案】 5

2

【解析】 z＝3－4i，i ＝－1，| z | ＝＝5．

3

3、【答案】y x

4

2 y 2

x

【解析】令：

16 9

2

9x 3

y x

16 4

．

4、【答案】8

【解析】 2

3＝8．

5、【答案】 3

【解析】 n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．

6、【答案】 2

89 90 91 88 92

【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：90

x

5

7、【答案】

20

63

【解析】 m 取到奇数的有1，3，5，7 共 4 种情况； n 取到奇数的有1，3，5，7，9 共5 种情况，

则m，n 都取到奇数的概率为

4

7 5

9

20

63

．

8、【答案】1：24

【解析】三棱锥 F ADE 与三棱锥A1 ABC 的相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥A1 ABC 与三棱柱A1B1C1 ABC 的体积之比为1：3．所以，三棱锥 F ADE 与

三棱柱A B C ABC

1 的体积之比为1：24．

1 1

1 9、【答案】[—2，2]

【解析】抛物线

2

y x 在x1处的切线易得为y＝2x—1，令 z＝x 2y，y＝—

1 z

2x＋．

22x

＋．

1

画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，z min＝—2，过点 ( ，0)时，z max ＝

2 1

2 ．

y

y＝2x— 1 O

x

y＝—1

2

x

10、【答案】1

2

1 2 1 2

【解析】( ) DE DB BE AB BC AB BA AC

2 3 2 3

1 6 2

AB AC 1 AB 2

3

AC

所以，

1

1 ，

6

2

2 ， 1

2

3

1

2

．

11、【答案】 (﹣5，0)∪(5，﹢∞ )

【解析】做出 f (x) x2 4x ( x 0)的图像，如下图所示。由于 f (x) 是定义在R上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0 的图像。不等式 f ( x) x ，表示函数y＝ f (x) 的图像在y＝x 的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0)∪(5，﹢∞ )。

y

P(5,5)

y＝x

2—4 x

y＝x

x

Q(﹣5, ﹣5)

12、【答案】

3 3

B

y

l

【解析】如图， l ：x ＝ 2 a c d ＝

， 2 2 a c －c ＝ 2 b c

，由等面 b a c

O

F x

积得： d 1

＝

bc a

。若 d 2 6d 1 ，则 2 b c

＝ 6 bc

a ，整理 2

ab

b 2

得： 6

6 0 a

，两边同除以：

2

b b

2

a ，得： 6

6

a

a

，解之得：

b a

＝

6 3

，所以，离心率为：

e 1

b a

2 3 3 ．

13、【答案】 1 或 10 【解析】

14、【答案】 12

【解析】设正项等比数列 {a } 首项为 a 1，公比为 q ，则：

n

a q 1 4 a q 1 5

(1 1 2

q) 3 ，得： a 1＝

1 ，q 3

2 6－n

．记

＝2，a n ＝2

n (n 1) n

2 1

T n a a

a

，

n a 1a a 2 2 ． T n

n

，

则

1

2 2

n

5 2 n n 2 1

5

2 2

(n 1) 2 n

，化简

得： n 2 1 1 2 n 2

2 11 2 n 5 1 2 11 1

3 121

，当 5

n n n 时，n 12 ．当

2 2

2

n ＝12 时， T 12

12

，当 n ＝13 时， T 13 13

，故 n max ＝12．

二、 解答题

15、解：（1）a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，

| a －b|

2

＝(cos α－

cos β)2

＋(sin α－sin β)2

＝2－2(cos α· cos β＋sin α· sin β)＝2，

所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，所以，a b．

（2）

cos

sin cos

sin

1

①

②

，①2＋②2 得：cos(α－β)＝

－

1

2

．

所以，α－β＝2

3

，α＝

2

3

＋β，

带入②得：sin( 2

3

＋β)＋sinβ

＝

3

2

1

cos β＋sinβ＝

sin(

2

3

＋β)＝

1，

所以，＋β＝．

3 2

5

所以，α＝，β＝．

6 6

16、证：（1）因为SA＝AB 且AF⊥SB，

所以 F 为 SB的中点．

又E，G 分别为SA，SC的中点，

所以，EF∥AB，EG∥AC．

又AB∩AC＝A，AB 面 SBC，AC 面 ABC，

所以，平面EFG // 平面A BC ．

（2）因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，AF 平面 ASB，AF⊥SB．

所以，AF⊥平面SBC．

又BC 平面 SBC，

所以，AF⊥BC．

又AB⊥BC，AF∩AB＝A，

所以，BC⊥平面SAB．

又SA 平面 SAB，

所以，BC SA．

17、解：（1）联立： y

y

x

2x

1

4

，得圆心为：C(3，

2)．

设切线为：y kx 3，

| 3k 3 2|

d＝r 1

2

1 k ，得：

3

k 0 or

k ．

4

3

故所求切线为： 3

y 0 or y x ．

4

（2）设点 M (x，y)，由M A 2MO ，知： 2 ( y 3) 2 x y

2 2 2

x

，2 y 2 化简得：

( 1) 4

x ，

即：点M 的轨迹为以(0， 1)为圆心， 2 为半径的圆，可

记为圆D．又因为点M 在圆C 上，故圆C圆 D 的关系为相交或相切．

故： 1≤| CD| ≤3，其中

2 (2a 3)2 CD a ．

解之得：0≤a≤12 5

．

18、解：（1）如图作

B D⊥CA 于点D，

设 BD＝20k，则DC＝25 k，AD＝48k，

AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，

知： AB＝52 k＝1040m ．

（2）设乙出发x 分钟后到达点M，

此时甲到达N 点，如图所示．

则： AM＝130 x，AN＝50(x＋2)，

由余弦定理得：MN 2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝ 7400 x2－14000 x＋10000，

其中0≤x≤8，当x＝35

37(min)时， MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短

．

（3）由（ 1）知：BC＝500m，甲到C用时：1260

50

＝

126

5

(min)

．

若甲等乙 3 分钟，则乙到C用时：126

5

＋3＝

141

5 (min)，在BC上用

时：

86

5

(min) ．

此时乙的速度最小，且为：500÷86 1250

＝

m/min ．5 43

若乙等甲 3 分钟，则乙到C用时：126

5

－3＝

111

5

(min)，在BC上用

时：

56

5

(min)

．

此时乙的速度最大，且为：500÷56 625

＝

14

m/min ．5

1250

43 故乙步行的速度应控制在[

，625

14

]范围

内．

19、证：（1）若c 0，则a n a (n 1)d ，

n[( n 1)d 2a]

S n ，

2

(n 1)d 2a

b n ．

2

当

2

b1，b ，b 成等比数列，b2 b1b4，

2 4

即：

2

d 3d

2

a ，得：d 2ad

a a

2 2

，又 d 0 ，故 d

2a ．

2

由此：S n a

n

2 2 2 2 2

2

，S nk (nk ) a n k a ， n S k n k a

．

故：

2

S nk n S

（

*

k,n N ）．

k

（2）

(n 1)d

2

2 n

nS n

b n 2

2

n c n c 2a ，

2

n (n 1)d 2a 2 c (n 1)d 2a (

2

c

n 1)d 2

2a

2 n

c

(n 1)d 2

2a

c

(n n 1) d

2

2

c 2a ． (

※) 若 {b n } 是等差数列，则b n An

Bn 型．

观察(※ )式后一项，分子幂低于分母幂，

(n 1)d 2a

c

故有： 2 0

2 c n

故

c 0．

(n 1)d 2a ，即 0 c ，

而

2

(n 1)d 2a 2

≠0，

经检验，当c 0时 { }

b 是等差数列． n

1

20、解：（1） f (x) a ≤ 0 在 (1,

) 上恒成立，则a ≥

x

故： a ≥ 1．

1 x ， x

(1，

) ．

g x ( x) e

a ，

若 1≤ a ≤ e ，则g ( x) e

x

a ≥ 0 在 (1, ) 上恒成立，

此时， g( x) e

x

ax 在 (1, ) 上是单调增函数，无最小值，不合；

x 若 a ＞ e ，则g x

e

ax

( ) 在 (1，ln a) 上是单调减函数，在 (ln a ， ) 上是单调增函

数， min (x)

g(lna)

g ，满足． 故 a 的取值范围为：

a ＞e ．

x

x

， （2） g x

a

( ) e ≥0 在 ( 1, ) 上恒成立，则

a≤ e

故： a ≤1

e

．

1 1 ax

f (x) a (x 0)．

x x

(ⅰ )若0＜a ≤1 1 ，令 f (x) ＞0 得增区间

为(0，

e

a)；

1

令 f (x) ＜0 得减区间为(

，﹢∞)．

a

当 x→0 时， f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹣∞；

当 x ＝1 1 1

时， f(

a)＝﹣ ln a－1≥0，当且仅当 a ＝时

取等号．

a e

1 1

故：当 a ＝时， f (x)有 1 个零点；当0＜ a ＜

e e

时， f(x)有 2 个零点．

(ⅱ )若a＝0，则f (x)＝﹣ ln x，易得f(x)有 1 个零点．

1

(ⅲ )若a＜0，则f(x) a 0在 (0，) 上恒成立，

x

即： f (x) ln x ax 在 (0，) 上是单调增函数

，当 x→0 时， f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹢∞．

此时， f (x)有 1 个零点．

综上所述：当 a ＝1

e

或 a＜0 时， f(x)有 1 个零点；当0

＜ a ＜

1

e

时， f( x)有 2 个零

点．