2013江苏省高考数学真题(含答案)

2013 年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计70 分。

请把答案填写在答题卡相印位置上。

1．函数 y 3sin( 2x ) 的最小正周期为．4 开始2．设2z (2i)（i 为虚数单位），则复数z 的模为．n 1，a22 y2x3．双曲线 116 9的两条渐近线的方程为．n n 1Ya 20a 3a 2 4．集合 { 1, 0,1} 共有个子集．N输出 n 5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是．结束（第 5 题） 6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲87 91 90 89 93乙89 90 91 88 92则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．2 2 2 2 2(89 90) (90 90) (91 90) (88 90) (92 90)2方差为： 2S ．57．现在某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n （m7，n9）可以任意选取，则m，n 都取到奇数的概率为．8 ．如图，在三棱柱A1B1C1 ABC 中，D，E，F 分别是C1B1AB，AC，AA 的中点，设三棱锥 F ADE 的体积为V1 ，三棱柱1 A1A1B1C1 ABC 的体积为V2 ，则 V1 :V2 ．FCE BA D9．抛物线2y x 在x1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含三角形内部和边界) ．若点P( x, y) 是区域D 内的任意一点，则x 2y 的取值范围是．1 10．设D，E 分别是ABC的边AB，BC 上的点，AD AB22，BE BC3，若 DE AB AC1 （1，2 为实数），则 1 2 的值为．22 11．已知 f (x) 是定义在R 上的奇函数。

当x 0时，f (x) x 4x ，则不等式 f (x) x 的解集用区间表示为．2 2x y12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为1(a 0,b 0)2 2a b ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为 B ，设原点到直线BF 的距离为d1 ，F 到l 的距离为d2 ，若 d2 6d1，则椭圆C 的离心率为．13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A(a, a) ， P 是函数y1x（ x 0）图象上一动点，若点P，A 之间的最短距离为 2 2 ，则满足条件的实数 a 的所有值为．14．在正项等比数列{a n} 中，最大正整数n 的值为．1a ，a6 a7 3 ，则满足a1 a2 a n a1a2 a n 的52二、解答题：本大题共 6 小题，共计90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14 分）已知a＝(cos , sin )，b (cos , sin ) ，0 ．（1）若| a b | 2 ，求证：a b ；（2）设c ( 0,1) ，若a b c，求, 的值．16．（本小题满分14 分）如图，在三棱锥S ABC 中，平面SAB 平面SBC ，AB BC ，A S AB ，过A 作AF SB，垂足为F ，点E，G 分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG // 平面A BC ；S（2）B C SA．GEFCAB17．（本小题满分14 分）y 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 A (0,3) ，直线 l : y 2x 4．lA 设圆C的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心 C 也在直线y x 1上，过点A作圆 C 的切线，O x 求切线的方程；（2）若圆C上存在点M ，使M A 2MO ，求圆心C 的横坐标 a 的取值范围．18．（本小题满分16 分）如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至C 处有两种路径。

一种是从A沿直线步行到C ，另一种是先从A沿索道乘缆车到 B ，然后从 B 沿直线步行到 C ．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m / min ．在甲出发2 min 后，乙从A乘缆车到 B ，在 B 处停留 1min 后，再从匀速步行到 C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130m / min ，山路AC 长为1260m，经测量，12cos A ，133cosC ．5（1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？AMBNDC 19．（本小题满分16 分）设{a } 是首项为 a ，公差为 d 的等差数列(d 0) ，S n 是其前 n 项和．记nnSnb n2 ，n c*n N ，其中 c 为实数．（1）若c0，且2b1，b ，b 成等比数列，证明：S nk n S k2 4（*k,n N ）；（2）若{b } 是等差数列，证明： c 0．n20．（本小题满分16 分）x 设函数 f (x) ln x ax ，g xe ax( ) ，其中 a 为实数．（1）若 f (x)在(1, ) 上是单调减函数，且g( x) 在(1, ) 上有最小值，求 a 的取值范围；（2）若 g(x) 在( 1,) 上是单调增函数，试求 f (x) 的零点个数，并证明你的结论．2013 年答案一、填空题1、【答案】π【解析】 T＝| 2π|＝|ω2π2 | ＝π．2、【答案】 52【解析】 z＝3－4i，i ＝－1，| z | ＝＝5．33、【答案】y x42 y 2x【解析】令：16 929x 3y x16 4．4、【答案】8【解析】 23＝8．5、【答案】 3【解析】 n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．6、【答案】 289 90 91 88 92【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：90x57、【答案】2063【解析】 m 取到奇数的有1，3，5，7 共 4 种情况； n 取到奇数的有1，3，5，7，9 共5 种情况，则m，n 都取到奇数的概率为47 592063．8、【答案】1：24【解析】三棱锥 F ADE 与三棱锥A1 ABC 的相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥A1 ABC 与三棱柱A1B1C1 ABC 的体积之比为1：3．所以，三棱锥 F ADE 与三棱柱A B C ABC1 的体积之比为1：24．1 11 9、【答案】[—2，2]【解析】抛物线2y x 在x1处的切线易得为y＝2x—1，令 z＝x 2y，y＝—1 z2x＋．22x＋．1画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，z min＝—2，过点 ( ，0)时，z max ＝2 12 ．yy＝2x— 1 Oxy＝—12x10、【答案】121 2 1 2【解析】( ) DE DB BE AB BC AB BA AC2 3 2 31 6 2AB AC 1 AB 23AC所以，11 ，622 ， 12312．11、【答案】 (﹣5，0)∪(5，﹢∞ )【解析】做出 f (x) x2 4x ( x 0)的图像，如下图所示。

由于 f (x) 是定义在R上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0 的图像。

不等式 f ( x) x ，表示函数y＝ f (x) 的图像在y＝x 的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0)∪(5，﹢∞ )。

yP(5,5)y＝x2—4 xy＝xxQ(﹣5, ﹣5)12、【答案】3 3Byl【解析】如图， l ：x ＝ 2 a c d ＝， 2 2 a c －c ＝ 2 b c，由等面 b a cOF x积得： d 1＝bc a。

若 d 2 6d 1 ，则 2 b c＝ 6 bca ，整理 2abb 2得： 66 0 a，两边同除以：2b b2a ，得： 66aa，解之得：b a＝6 3，所以，离心率为：e 1b a2 3 3 ．13、【答案】 1 或 10 【解析】14、【答案】 12【解析】设正项等比数列 {a } 首项为 a 1，公比为 q ，则：na q 1 4 a q 1 5(1 1 2q) 3 ，得： a 1＝1 ，q 32 6－n．记＝2，a n ＝2n (n 1) n2 1T n a aa，n a 1a a 2 2 ． T nn，则12 2n5 2 n n 2 152 2(n 1) 2 n，化简得： n 2 1 1 2 n 22 11 2 n 5 1 2 11 13 121，当 5n n n 时，n 12 ．当2 22n ＝12 时， T 1212，当 n ＝13 时， T 13 13，故 n max ＝12．二、 解答题15、解：（1）a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，| a －b|2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2(cos α· cos β＋sin α· sin β)＝2，所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，所以，a b．（2）cossin cossin1①②，①2＋②2 得：cos(α－β)＝－12．所以，α－β＝23，α＝23＋β，带入②得：sin( 23＋β)＋sinβ＝321cos β＋sinβ＝sin(23＋β)＝1，所以，＋β＝．3 25所以，α＝，β＝．6 616、证：（1）因为SA＝AB 且AF⊥SB，所以 F 为 SB的中点．又E，G 分别为SA，SC的中点，所以，EF∥AB，EG∥AC．又AB∩AC＝A，AB 面 SBC，AC 面 ABC，所以，平面EFG // 平面A BC ．（2）因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，AF 平面 ASB，AF⊥SB．所以，AF⊥平面SBC．又BC 平面 SBC，所以，AF⊥BC．又AB⊥BC，AF∩AB＝A，所以，BC⊥平面SAB．又SA 平面 SAB，所以，BC SA．17、解：（1）联立： yyx2x14，得圆心为：C(3，2)．设切线为：y kx 3，| 3k 3 2|d＝r 121 k ，得：3k 0 ork ．43故所求切线为： 3y 0 or y x ．4（2）设点 M (x，y)，由M A 2MO ，知： 2 ( y 3) 2 x y2 2 2x，2 y 2 化简得：( 1) 4x ，即：点M 的轨迹为以(0， 1)为圆心， 2 为半径的圆，可记为圆D．又因为点M 在圆C 上，故圆C圆 D 的关系为相交或相切．故： 1≤| CD| ≤3，其中2 (2a 3)2 CD a ．解之得：0≤a≤12 5．18、解：（1）如图作B D⊥CA 于点D，设 BD＝20k，则DC＝25 k，AD＝48k，AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，知： AB＝52 k＝1040m ．（2）设乙出发x 分钟后到达点M，此时甲到达N 点，如图所示．则： AM＝130 x，AN＝50(x＋2)，由余弦定理得：MN 2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝ 7400 x2－14000 x＋10000，其中0≤x≤8，当x＝3537(min)时， MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．（3）由（ 1）知：BC＝500m，甲到C用时：126050＝1265(min)．若甲等乙 3 分钟，则乙到C用时：1265＋3＝1415 (min)，在BC上用时：865(min) ．此时乙的速度最小，且为：500÷86 1250＝m/min ．5 43若乙等甲 3 分钟，则乙到C用时：1265－3＝1115(min)，在BC上用时：565(min)．此时乙的速度最大，且为：500÷56 625＝14m/min ．5125043 故乙步行的速度应控制在[，62514]范围内．19、证：（1）若c 0，则a n a (n 1)d ，n[( n 1)d 2a]S n ，2(n 1)d 2ab n ．2当2b1，b ，b 成等比数列，b2 b1b4，2 4即：2d 3d2a ，得：d 2ada a2 2，又 d 0 ，故 d2a ．2由此：S n an2 2 2 2 22，S nk (nk ) a n k a ， n S k n k a．故：2S nk n S（*k,n N ）．k（2）(n 1)d22 nnS nb n 22n c n c 2a ，2n (n 1)d 2a 2 c (n 1)d 2a (2cn 1)d 22a2 nc(n 1)d 22ac(n n 1) d22c 2a ． (※) 若 {b n } 是等差数列，则b n AnBn 型．观察(※ )式后一项，分子幂低于分母幂，(n 1)d 2ac故有： 2 02 c n故c 0．(n 1)d 2a ，即 0 c ，而2(n 1)d 2a 2≠0，经检验，当c 0时 { }b 是等差数列． n120、解：（1） f (x) a ≤ 0 在 (1,) 上恒成立，则a ≥x故： a ≥ 1．1 x ， x(1，) ．g x ( x) ea ，若 1≤ a ≤ e ，则g ( x) exa ≥ 0 在 (1, ) 上恒成立，此时， g( x) exax 在 (1, ) 上是单调增函数，无最小值，不合；x 若 a ＞ e ，则g xeax( ) 在 (1，ln a) 上是单调减函数，在 (ln a ， ) 上是单调增函数， min (x)g(lna)g ，满足． 故 a 的取值范围为：a ＞e ．xx， （2） g xa( ) e ≥0 在 ( 1, ) 上恒成立，则a≤ e故： a ≤1e．1 1 axf (x) a (x 0)．x x(ⅰ )若0＜a ≤1 1 ，令 f (x) ＞0 得增区间为(0，ea)；1令 f (x) ＜0 得减区间为(，﹢∞)．a当 x→0 时， f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹣∞；当 x ＝1 1 1时， f(a)＝﹣ ln a－1≥0，当且仅当 a ＝时取等号．a e1 1故：当 a ＝时， f (x)有 1 个零点；当0＜ a ＜e e时， f(x)有 2 个零点．(ⅱ )若a＝0，则f (x)＝﹣ ln x，易得f(x)有 1 个零点．1(ⅲ )若a＜0，则f(x) a 0在 (0，) 上恒成立，x即： f (x) ln x ax 在 (0，) 上是单调增函数，当 x→0 时， f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹢∞．此时， f (x)有 1 个零点．综上所述：当 a ＝1e或 a＜0 时， f(x)有 1 个零点；当0＜ a ＜1e时， f( x)有 2 个零点．。