Radon变换
Radon变换知识讲解
• 对f(x,y)的Radon变换R f ( p, ) 定义为沿由 p 和
定义的直线l的线积分 。其用于Radon变换的坐 标系如下：
Y
（x,y)
t| zq
p t
l X
• 上述线的积分可以表示为：
Rf(p, ) f(x,y )dl
Rf ap,at
f (x, y) (ap ax cos ay sin )dxdy
• 常熟因子a可以从Delta函数中提取出来，得到：
•
Rf af , at a 1 Rf p,t （放缩性）
• 若a=-1，则表明Radon变换是阶为-1的偶函数
R f p , t R f p , t
二、Radon变换的基本性质
• 1、线性
Raf bg aRf bRg
• 2、相似性
• 若 Raf，bg Rf ( p, cos , sin ) ，则
R f ax,by
1 ab
R
f
(
p,
cos
a
, sin )
b
• 3、对称性
• 若考虑下面的等式（其中 t cos,sin ）为与l垂
直方向上的单位矢量。
• Delta函数（狄克拉函数）是一个广义函数，并 没有具体的定义，该函数在非零点取值均为0， 而在整个定义域的积分为1，下面为一个最简单 的Delta函数：
(x )
0,x 1,x
0 0
• 结合直线方程，则Delta函数可以表示为：
(p
x
cos
y
sin )
0,p 1,p
x cos x cos
fx ,y 0 dF 1 q R fq ,t
Radon变换资料讲解
二、Radon变换的基本性质
• 1、线性
Raf bg aRf bRg
• 2、相似性
• 若 Raf，bg Rf ( p, cos , sin ) ，则
R f ax,by
1 ab
R
f
(
p,
cos
a
, sin )
b
• 3、对称性
• 若考虑下面的等式（其中 t cos,sin ）为与l垂
直方向上的单位矢量。
y sin y sin
0 0
• 即在线l上的点（x，y）满足 (x ) 1 ，其他 非l上点 (x) 0 的Radon变换可以写为：
R f ( p, ) f (x, y) ( p x cos y sin)dxdy --
由于直线l的方程 p x cos y sin 给出，
Radon变换及其应用
• 主要介绍内容：
• Radon变换的定义 • Radon变换的基本性质 • Radon反变换 • Radon变换的应用
一、Radon变换的定义
• 图像变换：为了有效和快速地对图像进行处理， 常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转 换到另外一些空间，并利用在这些空间特有性质 方便地进行一些加工，最后再转换回图像空间以 得到所需要的效果。
• 其方法为：
• 首先，通过Radon变换将二维图像投影到一维 Radon域，并在 Radon域应用高阶统计量对PSF进 行辨识，不同于以往在二维图像域直接应用高阶 统计量，所以提高了算法的运算速度。将PSF作 为MA过程，使用高阶统 计量方法对模型参数进 行辨识，增加了算法对噪声的鲁棒性并可以不考 虑噪声是否有色。然后，利用估计出来的PSF， 通过Richardson- Lucy(RL)迭代解卷积算法在 Radon域估计出原图像的投影。最后反投影到图 像域来求得原图像。
Radon变换综述
Radon变换综述研究背景Radon变换是一种投影方法,其基本思想是对某个被积函数在给定的路径上进行积分运算[1]。
当被积函数的积分路径是直线时,则称,,p为线性Radon变换,又称为变换或倾斜叠加,,当被积函数的积分路径不是直线时,则称为非线性Radon变换,或广义Radon变换。
,,q常见的非线性Radon变换有,抛物线Radon变换,又称为变换,,双曲Radon 变换(又称为速度叠加),多项式Radon变换。
这两种类型的Radon 变换实质上是统一的,它们可以用一个统一的公式表述。
Radon变换自建立起相应的理论之日起就为图像重构问题提供了一个统一的数学基础,Fourier投影定理证明Radon 变换和Fourier 变换有明确的对等关系,即凡能用Fourier 变换解决的问题都能用Radon变换解决,这又为Radon变换的快速求解提供了手段。
但是Radon变换本身的特点决定了Radon变换域中场的物理特征更为直观明确,有利于对比分析,易于为人们所接受和使用,所以Radon换在包含更多场的物理特征的地震勘探领域,如波场模拟、速度分析、偏移成像、平面波分解、噪声衰减、数据插值补道拓道、多次波衰减等方面得到广泛的应用。
由于Radon变换算子是非正交的,这也就导致了直接进行Radon正反变换能量的不对等性,于是提出了基于最小范数反演的Radon变换,这在一定程度上减少了拖尾现象,但是最小范数约束将会产生平滑效应,不能保证能量足够集中,所以不能在Radon域获得期望的分辨率。
因此要想获得高分辨率的Radon变换结果,消除平滑效应,必须采用新的方法改进反演约束的方式。
首次提出高分辨率Radon变换方法是在频率空间域,是一种稀疏约束反演算法,得到频率域的稀疏解。
对应于Radon变换在频率域的Toeplitz结构[2],求解方法有,Levinson递推算法、Cholesky分解法、共轭梯度法、预条件共轭梯度法等。
Radon变换
f x, y
0
d q F qt exp j 2qp dp
• 上式中方括号内是 q F qt 的1-D傅里叶反变换。 利用傅里叶变换的卷积定理可得：
F q F qt F q F F qt
R f ( p, ) f ( x, y) ( p x cos y sin )dxdy
- -
由于直线l的方程 p x cos y sin 给出， 所以借助Delta函数的性质，可知上式就为l的线积 分。 Rf (p , ) 并不是定义在极坐标系统中的， 注意： 而是定义在一个半圆柱的表面。Radon空间示例如 下：
• 3、Radon变换的盲图像恢复 • 所谓盲图像恢复，就 是仅从降质图像中将扩展 函数（PSF）和原始图像都恢复出来。 • 在获取图像的过程中有许多因素会导致图像质量 的下降即降质，如光学系统的像差、大气扰动、 运动、散焦和系统噪音，它们造成图像的模糊和 变形。图像恢复的目的就是对退化图像进行处理， 使其恢复成没有退化前的理想图像。图像质量的 优劣对视觉判读以及各种计算机视觉系统都十分 重要，因此图像恢复一直是图像处理领域中的研 究热点之一。
• 经典的图像恢复方法主要是针对已知或对图像 有特殊的限制和规定的情况下对图像进行恢复， 但是点扩展函数 (PSF)的信息在实际中很难获取 或者说测量代价高，因此这些对PSF要求有先验 知识的方法在实际中并不可取。实际中，PS... 展开 在获取图像的过程中有许多因素会 导致图 像质量的下降即降质，如光学系统的像差、大气 扰动、运动、散焦和系统噪音，它们造成图像的 模糊和变形。
R f ap, at
拉冬变换
图七 f-ρ域映射到F-X域的频谱图
图八 F-X域Radon变换后返回到t-x域
的信号图
模型测试与分析
为了更加明确的看到Radon变换前后信号是否相近，我们取Radon变换 前后t-x域中的第5道数据进行比较，如图九所示。
图九 F-X域Radon前后t-x域信号比较
模型测试与分析
从图九我们可以看到F-X域Radon变换前后两信号重叠， 同样，图四与图八、图五与图七也表明了F-X域Radon变 换前后信号的一致性，因此，返回到t-x域，保持了波 的形态，说明该算法是稳定的。
H 1
Radon变换原理
拉当变换有明显的物理意义，它是将时间、空间域t-x的 一条直线t=τ +ρ x映射到τ -ρ 域上的一个点，如图1所示。
（a）t-x域一条直线
（b）由t-x域映射到τ -ρ 域中的一个点
图1 t-x域一条直线与τ -ρ 域中一个点的关系
Radon变换原理
在二维连续空间-时间域的Radon正反变换对：
（，） d ( x, t x ) x （， =t- x） d '( x, t )
2.4
Radon变换原理
2.2 F_X域拉当变换的数学原理
由于在t-x域中直接运算时间是非常大的，为了降低运算 时间，可以将t-x域中求逆转换到F-X域中。 在F-X域拉当变换对为：
在图六中我们可以看到图中存在一个脉冲，由于在x-t域共炮点道集 是有限的，做Radon变换会引起畸变端点效应，即能够看到端点发 散效应，变换到f-ρ域是一个能量团，这与理论是一致的。
模型测试与分析
我们把f-ρ 域的信号返回到F-X域，信号谱图如图七所示，经过反傅立 叶变换我们将Radon变换后的F-X信号变换到t-x域，信号图如图八所示。
拉冬变换数学基础
模型测试与分析
5．4 F-X域拉当变换在去噪处理中的可行性测试
给上一节地震数据加入信噪比为4分贝（这里：信噪比=20log2S/N） 的白噪声，则我们可以得到信噪比为4分贝白噪声的t-x域信号如图十 所示，它的频谱如图十一所示。
图十 信噪比为4分贝的地震 信号
图十一 被白噪声污染的地震 信号的频谱
图十四 去噪后F-X域信号频谱
图十五 去噪后t-x域的信号
模型测试与分析
为了更加明确的看到通过F-X域Radon变换去噪的质量，我们取加 噪前第5道数据与F-X域Radon变换后t-x域中的第5道数据进行比 较，结果如图十七所示。
图十七 去噪前后信号的比较
模型测试与分析
从图十五与图十一的比较中，可以看到将高频段的噪声频率去除的 很干净，从图十五中可以看到去噪后的t-x域信号与没有加噪时的几 乎一样。这里我们再分析一下没有加噪的t-x域信号与加噪后通过 Radon变换滤波后t-x域信号幅度的相对误差，如图十八所示。
(,t x)d
2.3
Radon变换原理
在计算机实现中，由于在时间域和空间域的离散采样， 不能应用连续函数方程，因此用离散的累加来代替连续域 的积分运算；为了消除离散采样的有限孔径的影响，利用 最小平方法计算离τ -ρ 变换。二维离散时间、空间域的 拉当正反变换对：
（，） d (x,t x)
Radon变换原理
2.1 拉当变换的数学原理
自1917年Radon先生提出这个变换以后,拉当变换在医学、 物理学、天文学等许多领域都已得到了广泛的应用。 设函数y=g(x)连续可导,而且其反函数是单值的，d(x,t) 满足可积,则定义：
U( , ) R[d(x,t)] d[x, g(x)]dx (2.1)
radon变换在地震数据中的应用
radon变换在地震数据中的应用应用radon变换在地震数据中地震是指地球内部的能量释放，导致地震波的传播和地壳的震动。
地震数据的采集和分析对于了解地壳结构、预测地震活动以及保护人们的生命财产安全具有重要意义。
而radon变换作为一种有效的信号处理方法，在地震数据的分析中得到了广泛的应用。
radon变换是指将二维信号转换为一种新的坐标系下的表示方法，它可以将信号在频率域上进行分解，从而提取出信号的特征信息。
在地震数据中，radon变换可以用于提取地震波的运动信息，对地壳结构进行进一步的分析。
radon变换可以用于地震数据的去噪。
地震数据中常常伴随着各种干扰信号，如噪声、多路径传播等。
这些干扰信号会影响地震波的传播和观测结果，使得地震数据的解释变得困难。
利用radon变换可以将地震数据转换到新的坐标系下，通过滤波等方法去除噪声和干扰信号，从而提高地震数据的质量和可靠性。
radon变换可以用于地震数据的成像。
地震数据的成像是指根据地震波的传播和反射特性，重建地下地层的分布情况。
传统的成像方法需要进行大量的计算和模型假设，而利用radon变换可以将地震数据转换到新的坐标系下，通过简化计算和数据处理的方式实现快速成像。
这样可以提高成像的效率和准确性，为地震勘探和地质研究提供更可靠的依据。
radon变换还可以用于地震数据的波速分析。
地震波在地下的传播速度与地下介质的物理性质密切相关，通过对地震数据进行radon 变换，可以提取出地震波的传播速度信息。
这样可以帮助地震学家和地质学家研究地下结构和地震活动的机制，为地震预测和防灾减灾提供科学依据。
radon变换还可以用于地震数据的异常检测和异常分析。
地震活动往往伴随着地下构造和地质异常的变化，通过对地震数据进行radon变换，可以将地震波在频率域上进行分解，并提取出异常信号。
这样可以帮助地震学家和地质学家发现地下构造和地质异常，进一步研究地震活动的机制和演化规律。
2_3---radon变换
关于radon变换Radon变换，先是图像在某个方向上的投影后，将重叠在一起的像素的大小加在一起得到的一组数据。
比如如下的一个正方形：a=ones(100,100);%用上述的语句画一个正方形。
b=radon(a,0);%这句话表示在0度这个方向，也就是水平轴方向的投影后对重合的像素点进行求和，图像如下：45度的radon变换如下图所示：可以验证radon变换就是将图像投影到一个方向后，再对这个方向上的投影点重合在一起的所有像素点加在一起。
求所有角度的radon变换：Theta=0:179;c=radon(a,theta);imshow(c);colormap(jet);colorbar;上图中，x 轴上第一个点代表的东西是一个角度数，Y 轴上的一串点对应的就是上面在这个度数下的radon 变换数据，只不过用plot 画的时候，是在一维空间画的，现在画的是二维的空间。
从图中我们可以看出来，随着投影角度的越来越大，投影的长度也越来越大，中心值有大小 也越来越大，这些都可以验证radon 变换。
判定图像中的直线pic=imread('e:\test11.jpg'); figure(1); imshow(pic); title('彩色图像');figure(2); pic=rgb2gray(pic); imshow(pic); title('灰度图像');pic=edge(pic); figure(4);imshow(pic);title('边缘图像');figure(5);pic=double(pic); theta=0:179;r=radon(pic,theta);imshow(r,[]);colormap(hot);colorbar;从radon 变换图中，根据极值点，就可以判断出来原图中的直线了。
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Radon变换:
又称为Hough Transform (数字图像处理课程里学过——数字图像处理课件3-P37) 考虑b=ax+y，将原来的XY平面内的点映射到AB平面上。
则原来在XY平面上的一条直线的所有的点，在AB平面上都位于同一个点。
通过记录下AB平面上的点的积累厚度，可反知XY面上的一条线的存在。
在新平面下得到相应的点积累的峰值，可得出原平面的显著的线集。
例如：XY平面上的一个直线 y=2x-3;
变换 -3=-2x+y; 其中：a=-2,b=-3
假设有两个点在XY平面:〔0，-3〕，〔2，1〕，此两点都过直线，则可知有AB平面上，此两点在(-2,-3)AB平面上。
一种更好的表示方法是用ρ和θ来代替ab。
即：xcosθ+ysinθ=ρ
基础补充：
直角坐标系：xcosa+ycosa=0 〔a为一个常角，特如45度，则明显是y= -x的直线〕
下面通过极坐标转换来更进一步说明其普遍性：
因为直角坐标与极坐标变换公式为x=ρcosθ，y=ρsinθ，其中ρ是极半径，θ是极角。
代入所给的直线方程得ρcosθcosa+ρsinθsina=0，即
ρcos(θ-a)=0，而ρ≠0，所以有cos(θ-a)=0，θ-a=π/2，即此直线方程为
θ=a+π/2。
极坐标的参量：是角度和极半径〔也等于弦长吗〕
设原点O到直线L的距离为p并且L的垂线OD的倾斜角为a，则L的方程为xcosa+ysina=p〔a、p 为常数，a为与X轴夹角，P为直线与原点距离〕
D点的坐标：xd=pcos a
yd=psin a
直线L上任一点A的坐标设为：〔x，y〕，
根据两点式直线方程，可得出：〔x-xd〕/(yd-y)=tan a,
即：(x-pcos a)/(psin a-y) = sin a / cos a,
最后导出： xcos a+ysin a =p
以图像的中心为极坐标原点，直线X`即为新的投影坐标， 为角度。
我们所要求的原坐标上的一条直线，是一条垂直于上图X`的一条直线，而非X`本身。
如下例：
function radontest
I=zeros(200,200);
%I(100:170,100:170)=1;
A=eye(100,100);
I(101:200,1:100)=A;
figure, imshow(I);title('orginal image');
orginal image
theta=0:180;
[R,xp]=radon(I,theta); % R是点的数量多少
% xp是R对应的坐标位置,即为X`，另一解释为直线跟原点间距离
% 0-180代表0到180度
% 此变换是以图像的中心点为原点的变换
figure,imagesc(theta,xp,R); title('R_theta X');
xlabel('theta(degree)');
ylabel('X\prime');
colormap(hot);
colorbar;
即所求 =45度，X`=-75左右。
意思是在原XY坐标下的45度的直线X`上，距离原点75的位置有条与X`垂直的直线。
此直线真正的45+90=135度，右移-75/sin45=100的距离。
(6)
由(6)式可见，f(x) 的Radon变换是f(x) 沿不同θ方向的投影；而 f(x) 的脊波变换看作是先对 f(x) 进行Radon变换，然后沿着每个积分方向做一维小波变换的结果，即：
(7)
正因为脊波变换在Radon域上对各个方向进行一维小波变换，将图像的线奇异性转换为点奇异性，充分利用小波变换对点奇异性的良好表示特性来得到具有线奇异性图像的稀疏表示。
脊波逆变换可以通过沿每一方向做一维小波逆变换，然后进行Radon逆变换得到。
然而Randon变换的离散化是一个比较复杂的问题，在众多的离散化算法中，有些存在大量的冗余，有些虽然克服了大的冗余度，但是得到其所对应的逆变换又比较困难。
其中有限Radon变换FRAT〔Finite Radon Transform〕[6][7]是其中比较好的离散化算法之一。
有限Radon变换是有限大小的二维离散图像实现Radon 变换的离散化方法。
一个N×N〔N要求是一个素数〕大小的图像 f(i,j)，其中｛0,1,2…,N －1｝。
它的有限Radon变换FRAT定义为：
(8)
其中，是满足斜率 k和截距 l 的直线上的所有象素点的集合，定义如下：
, 当k∈｛0,1,2…,N－1｝
, 当
(9)
由式〔8〕(9)可知，有限Radon变换是满足要求的直线上的图像象素点灰度值的累加和。
一个N×N大小的图像经有限Radon变换后，将得到(N＋1)×N 大小的矩阵，它有N＋1个斜率方向，每个方向上有N个系数。
有限Radon变换的逆变换可以通过有限逆投影变换FBP〔Finite Back Projection〕来得到：
(10)
指的是所有通过点(i,j)的直线的斜率k 和截距 l 的集合，即：其中P
ij
…
(11)
为了获得更好的能量集中性，由式(8)和(10)所定义的有限Radon变换〔FRAT〕和反变换FBP要求变换的图像均值为零[8]，对于均值不为零的图像可以在变换前先减去均值，以保证变换前的图像均值为零；反变换回来后再加上图像均值即可恢复原图像。