第五章水文统计的基本知识及方法

第五章水文统计的基本知识及方法研究内容：主要有频率计算与相关分析。

频率计算，包括随机变量及其概率分布、水文频率曲线、适线法等；相关分析，包括简相关与复相关。

研究目的：研究河川径流的统计规律，预估径流的变化趋势，以满足水利水电工程规划、设计、施工和运行管理的需要。

第一节概述概率论与数理统计是一门研究客观事物偶然性（随机性）规律的学科。

由于水文现象一般都具有偶然性的特点，所以，可以用数理统计的原理和方法分析研究它的变化规律。

这种方法称为水文统计法。

工程水文计算中运用水文统计法，不仅合理，而且是必要的。

例如，流域开发，首先要搞清未来河流水量的多少；设计拦河坝、堤防工程需要知道未来时期当地洪水的大小。

这些都要求对未来长期的径流形势做出估计。

如果所建工程计划使用100年，那么就要对未来100年的径流形势做出估计。

但是，由于影响径流的因素众多，难以基于必然现象的规律，应用成因分析法对径流做出这样长期的时序定量预报，而只能基于统计规律，运用数理统计方法对径流做出概率预估，以满足工程设计的需要。

第二节概率的基本概念一、试验和事件在概率论中, 对随机现象的测验叫做随机试验,随机试验的特点是限定条件，重复做。

随机试验的结果称为事件。

根据事件发生的可能性，事件可以分为三类：1、必然事件：在一定试验条件下，试验结果中必然会发生的事件；2、不可能事件：在一定试验条件下，试验结果中决不会发生的事件；3、随机事件：在一定试验条件下，试验结果中可能发生也可能不发生的事件。

二、概率随机事件出现的可能性或机率叫概率。

随机事件A发生的概率用P(A)表示，以百分数计。

显然，必然事件概率为1；不可能事件的概率为0；随机事件的概率介于0和1之间。

如果某试验可能发生的结果总数是有限的，并且所有结果出现的可能性是相等的，称之为古典概型事件。

在古典概型事件中，如果可能发生的结果总数为n，而事件A有其中的m个结果，则随机事件A发生的概率P(A)为：P(A)=m/n 5-1水文事件一般不能归为古典概型事件。

它们的概率一般只能通过多次观测试验来推求，这种概率称为经验概率，也称频率。

三、频率设事件A在n次重复试验中出现了m次，则比值：W（A）=m/n 5-2称为事件A在n次试验中出现的频率。

频率在一定程度上反映了事件出现的可能性大小。

事件A发生的概率是理论值，而频率是经验值，在试验中事件发生的频率通常不等于概率。

但随着试验次数的增加，频率有趋近概率的规律。

这一点不仅可以从理论上证明，如大数定理，而且可以通过随机试验验证，如掷硬币试验。

因此，水文上常用事件发生的频率作为概率的近似值。

四、概率加法定理和乘法定理1、概率加法定理事件（A+B）表示事件A与B的和事件，包括事件A发生或事件B发生以及两事件同时发生。

加法定理公式：P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB） 5-3 式中: P（A+B）－事件A与事件B的和事件发生的概率；P（A）－事件A发生的概率；P（B）－事件B发生的概率；P（AB）－事件A与B同时发生的概率。

若事件A与B不可能同时发生，则称为互斥事件。

互斥事件加法定理公式：P（A+B）=P（A）+P（B） 5-42、概率乘法定理两事件积的概率，表示两事件共同出现的概率，它等于其中一事件的概率乘以另一事件在前一事件发生的条件下发生的条件概率，即：P（AB）=P（A）×P（B︱A） 5-6 或P（AB）=P（B）×P（A︱B） 5-7若事件A的发生对事件B发生的概率没有影响，即：P（B︱A）＝P（B）或P（A︱B）＝P（A），则称这两个事件是相互独立的；它们共同出现的概率等于事件A的概率乘以事件B的概率，即工程水文学- 3 - 第五章水文统计的基本知识及方法P（AB）＝P（A）×P（B） 5-5第三节随机变量及其概率分布一、随机变量表示随机试验结果的量称为随机变量，常用大写英文字母来表示，并用相应的小写字母来表示随机变量的具体取值。

随机变量可分为两类：即离散型随机变量和连续型随机变量。

1、离散型随机变量：若随机变量仅能取得某区间内的一些间断的数值，则称为离散型随机变量；2、连续性随机变量：若随机变量可以取得某区间内的任何数值，则称为连续性随机变量。

随机变量取值的全体称为总体，总体中的一部分称为样本。

二、随机变量的概率分布随机变量可以取得总体中的任何值，但是取某一值都有一定的概率，随机变量的取值与取该值的概率之间有一定的对应关系。

这种对应关系称为概率分布。

1、离散型随机变量概率分布的表示离散型随机变量的概率分布一般以分布列表示，如表5-3-1。

表5-3-1离散型随机变量及其概率分布2、连续型随机变量概率分布的表示对于连续型随机变量，其取值是无限多的，恰好取某个值的概率都非常小，趋近于零，因此，讨论这样的问题没有意义，一般研究区间概率问题。

水文学关心随机变量取值大于等于某一定值的概率，即P（X≥x），而该概率是x的函数，由此，定义了分布函数和密度函数。

①、分布函数设事件X≥x 的概率用P（X≥x）来表示，它是随随机变量取值x而变化的，所以p（X≥x）是x的函数，称为随机变量x的分布函数，记为F（x），即:F(x)=P(X≥x)它代表随机变量X取值大于等于某一定值x的概率。

其几何图形如图5-4（b）所示，图中纵坐标表示变量x，横坐标表示概率分布函数值F（x），在数学上称此曲线为概率分布曲线，水文统计中称为频率曲线。

②密度函数为了应用方便，人们又定义了密度函数。

分布函数一阶导数的负值称为密度函数，记为f（x），即:密度曲线的图形习惯以纵坐标表示变量x ,横坐标表示概率密度函数值f(x) ，如5-4（a）所示。

显然，分布函数与密度函数有以下关系：F(x)=P(X≥x)=（5-10）其对应关系可在图5-4中看出来。

工程水文学- 5 - 第五章水文统计的基本知识及方法图5-4（a）概率密度函数（b）概率分布函数三、随机变量的统计参数表示随机变量统计特征的数字，称为随机变量的统计参数。

统计参数有总体统计参数与样本统计参数之分。

水文计算中常用的统计参数有均值、离差系数和偏差系数。

1、均值（平均数）均值表示随机变量的平均水平，反映其位置特征。

对于离散型随机变量其均值为:（5-11）式中x i－随机变量的某一具体取值；P－随机变量取第i个值的概率。

i如果取值为等概率，其均值即为算术平均数：对于连续型随机变量，其均值用期望值E(x)表示：E(x)=（5-12）式中a是总体的最小值，b是是总体中的最大值2、离差系数随机变量的离散特征一般用均方差表示：（5-13）均方差越大表示离散程度越大。

但是，当随机变量量纲不同时，均方差则难以反映离散程度的大小。

因此，水文学定义离差系数表示离散程度。

水文计算中用均方差与均值之比作为衡量系列相对离散程度的一个参数，称为离差系数，用Cv表示，其计算式为:（5-14）式中Ki＝xi/,称为模比系数。

3、偏差系数偏差系数作为衡量随机变量取值对称特征的参数，用CS表示，其计算式为:（5-15）当随机变量取值对于对称时，CS＝0；当随机变量取值对于不对称时，称为有偏。

这时，CS ≠0；若CS＞0，称为正偏；若CS＜0，称为负偏。

三、几种常用的概率分布曲线工程水文学- 7 - 第五章水文统计的基本知识及方法水文上把常用的随机变量概率分布曲线称为水文频率曲线，我国统计中广泛应用的频率曲线有两种类型，即正态分布和皮尔逊Ⅲ型分布。

我国水文计算中常用的频率分布线型为皮尔逊Ⅲ型（P-Ⅲ型）。

（一）正态分布正态分布具有如下形式的概率密度函数：其中：（－∞﹤x﹤＋∞）（5-16）式中：—均值；σ –均方差；e - 自然对数的底。

正态分布的密度曲线有以下几个特点：①单峰；②对于平均数对称，CS ＝0；CS＞0，正偏；CS＜0，负偏；③曲线两端趋于±∞，即以x轴为渐近线。

正态分布密度函数中只包含两个参数：均值和均方差σ。

可以证明：①②上式说明±σ区间的面积占全面积的68.3％（见图5-10），±3σ区间的面积占全面积的99.7％。

换言之，服从正态分布的随机变量，取值在±σ区间的概率为68.3％，取值在±3σ区间的概率为99.7％。

正态分布的上述性质经常用于误差分析。

图5-10 正态分布密度曲线(二)皮尔逊Ⅲ（P－Ⅲ）型曲线1、皮尔逊Ⅲ型曲线的概率密度函数皮尔逊Ⅲ型曲线是一条一端有限一端无限的不对称单峰、正偏曲线（见图5-11），其概率密度函数为:（4-4-2）式中：Γ（α）―α的伽玛函数；α、β、a―分别为皮尔逊Ⅲ型分布的三个参数。

工程水文学- 9 - 第五章水文统计的基本知识及方法图5-11 皮尔逊Ⅲ型概率密度曲线显然，三个参数确定以后，该密度函数随之确定。

可以推证，这三个参数与常用的三个参数、Cv、CS具有如下关系：因此，皮尔逊Ⅲ型频率曲线的密度函数可表示为以、Cv、CS为参数的函数。

2、皮尔逊Ⅲ型频率曲线及其绘制水文计算中，一般需要求出指定频率P所对应的随机变量取值xp，这就需要对密度函数进行积分，确定其下限xp，即:（5 -18）令，可变换成下面的积分形式:（5-19）式（5-19）中被积函数只含有一个待定参数C，其它两个参数、Cv都包含S在中，是标准化变换。

因此，只需要给定一个Cs值，便可从式（4-4-7）通过积分求出P 与之间的关系值。

对于若干个给定的Cs值，P 与的对应值可制成表，该表已先后由美国福斯特和前苏联雷布京制作出来，见附表2皮尔逊Ⅲ型频率曲线的离均系数值表，求出相应频率的值，进而可计算出该频率对应的x值：查表可由CS附表2 皮尔逊Ⅲ型频率曲线的离均系数值表（摘录）P（%）Cs 0.1152050 8095 99 99.90.0 3.09 2.33 1.640.840.00 -0.84-1.64-2.33-3.090.1 3.23 1.67 2.0 0.84 -0.02 -0.85 -1.62 -2.25-2.950.2 3.38 2.47 1.700.83-0.03 -0.85-1.59 -2.18-2.810.3 3.52 2.54 1.730.82-0.05 -0.85-1.55 -2.10-2.670.4 3.67 2.62 1.75 0.82-0.07 -0.85-1.52-2.03 -2.540.5 3.81 2.68 1.770.81-0.08-0.85 -1.40-1.96 -2.400.6 3.96 2.75 1.800.80-0.10 -0.85-1.45-1.88 -2.270.7 4.10 2.82 1.820.79 -0.12-0.85-1.42-1.81 -2.140.8 4.24 2.89 1.840.78-0.13-0.85 -1.38 -1.74-2.020.9 4.39 2.96 1.860.77-0.15 -0.85-1.35-1.66-1.901.0 4.53 3.02 1.880.76-0.16-0.85 -1.32-1.59-1.79例题：工程水文学- 11 - 第五章水文统计的基本知识及方法（1）已知某地区多年平均年降雨量＝1000mm，Cv＝0.5，Cs＝1.0，设年降雨量的概率分布符合皮尔逊Ⅲ型，试求概率P为1％的年雨量值。