水文频率计算方法 依据实测系列计算三个统计参数
水质工程学2 水文统计基本原理与方法
3.1.3 总体与样本
3.1.3
总体与样本 (collectivity and sample) :
有 限 总 体 无限 样本
容量无限 容量一定
容 量
● ●
水文特征值系列的总体是无限的。 样本是总体的一部分，样本的特征在一定程度上反映 出总体的特征。
概率与频率
3.1.4 概率与频率(Probability and frequency)
频率 P=50% 时的 x 值，有 x50%.
示意图
均方差
2.离散程度特征参数
（1）均方差
▵ 描述概率分布离散趋势的特征参数。随机变量分布越分散， 均方差越大；分布越集中，均方差越小。 ▵ 限于比较均值相同的系列。 ☆ 总体的
☆ 样本的
总
x x 样
n 2 i 1 i
K
3 n
n
i
i 1
i
1
3 V
3
（3-16）
n C
i
Cs
(x
x)
3
3
(n 3)
(K
1)
3
3
（3-17）
(n 3)C v
Cs影响形状图
当Cs>0，密度曲线峰顶在均值的左边，叫做左偏或正偏。 当Cs<0，密度曲线峰顶在均值的右边，叫做右偏或负偏。 当Cs=0，密度曲线峰顶在均值处，叫做对称分布或正态分布。 ◇ 水文现象大多属于正偏，Cs>0。
n 1
引入模比系数 对于总体
k i 1
i 1 n 2 n
xi Ki x
对于样本
Cv
Cv
n
ki2 n
水文频率分析范文
水文频率分析范文水文频率分析是指对水文数据进行统计与分析，以获取水文过程的频率特征。
频率特征是水文研究和水资源管理的重要内容，对于水文过程的认识和预测具有重要意义。
下面将从频率分析的目的、方法和应用等方面进行详细阐述。
一、频率分析的目的1.揭示水文要素的概率分布：通过对水文观测数据进行频率分析，可以得到水文要素（如降雨量、径流量等）的概率分布特征，包括表达其中心位置、离散程度和形状等参数。
2.评估极端事件的可能性：频率分析可以用于评估极端水文事件（如洪水、旱情等）发生的概率，进而为水资源规划和防灾减灾提供科学依据。
3.提供设计水文统计指标：频率分析可根据工程需求，提供一系列设计水文统计指标，如设防洪水位、取水量的最低保证率等，为水利工程规划和设计提供理论依据。
二、频率分析的方法1.构建概率分布函数：常用的概率分布函数有正态分布、对数正态分布、伽玛分布等，将观测数据拟合到适当的概率分布函数中，以反映其频率特征。
2.估计参数：对于选定的概率分布函数，需要通过参数估计的方法来确定其参数值，常用的估计方法有矩估计法、极大似然估计法、贝叶斯估计法等。
3. 拟合度检验：利用拟合度检验检验选定的概率分布函数与观测数据的拟合程度，常用的检验方法有卡方检验、Kolmogorov-Smirnov检验等。
4.经验公式法：经验公式法是根据大量的实测资料，通过统计方法建立的经验公式，常用于快速估计设计水文统计指标，如暴雨量、设计洪水等。
三、频率分析的应用1.洪水预报与防洪调度：通过对历史洪水资料的频率分析，可以估计其中一水位、流量或洪峰值发生的概率，进而进行洪水预警和防洪调度。
2.水资源管理与规划：频率分析可以为水资源管理提供重要的科学依据，包括合理配置水资源、制定水资源管理方案、制定取水许可计划等。
3.城市排水系统设计与规划：频率分析可用于城市排水系统的设计与规划，包括雨洪分析，计算合理设防洪水位，为城市排水系统的设计提供参考。
工程水文学 第四章水文统计基本知识
f(x)()(xa0)e(xa0) （密度分布图）
其中：
4 ； 2 ；
Cs
XCsCv
a0
X(1 2Cv Cs
)
三个参数： X，Cs，Cv
分布函数：
F(Xxp) xp f(x)dx
x p X X (C v 1 ) K pX
查值表K； p值表
如何求 X，Cs，Cv 在以后介绍
@COPY RIGHT 扬大陈平
600 500 400 300 200
0.01
1
10
50
图XX XXX站年雨量频率曲线
90 99.9%
@COPY RIGHT 扬大陈平
四、三参数对曲线的影响规律
前面配线时，如果配合不好，则改变参数，继 续求Xp值，第二次配线。
参数有3个，改变哪一个呢？无从下手。 这就需要弄清3参数对曲线的影响规律。
第四节 统计参数估计
一、样本与总体 1.总体：随机变量所有可能取值的全体。 水文总体往往是无限的。 2.样本：从总体中任意抽取的一部分。 3.样本容量：样本中包含的项数。n 4.总体与样本的关系：样本来自总体； 样本的分布基本上反映总体的分布规律。 水文的总体是无限的，所以采用样本来估计总 体；样本（实测资料）的分布反映总体分布规律。
@COPY RIGHT 扬大陈平
二、样本统计参数的估算
1.矩法估计
X 1 n
X
；
i
(Xi X)2
n
离差系数：
Cv
X
； 偏态系数：
Cs
(Ki 1)3 (n3)Cv3
2.无偏估计
X
1 n
Xi
1
CvX
(XiX)2 (ki1)2
20105水文统计频率分布与计算
则可导出：
xN axn l
N a n l
xN 1ja1xj N naj inl1xi
C v1 x N 1 1 ja 1xjx2N n lai n l 1xix2
式中，xj 特大洪水，j＝1，2，…，a；xi 一般洪水i＝ℓ＋1，ℓ
＋2，…，n。 由于Cs属于高阶矩，直接计算的误差较大，故一般参考附近地
1867 1852 1832 1921
1921
1949 1903
1949
1832
1903
N2=141
1935
N1=70
n=33
1972
10
解：据调查从1832～1972年，有调查期N2＝141年
1867年
独立样本法
统一样本法
PM21
1 0.0071 1411
1852年 1832年
PM22
2 0.0141 1411
同独立样本法
PM23
3 0.0 1411
2
1
1
1921年
PM24
14 0.0 411 Nhomakorabea2
82
11
据调查期从1903～1972，有调查期N1＝70年
独立样本法
统一样本法
1921年 已被抽到上面排序
1949年
2
PM12 0.0282(10.028)2
PM12
0.0282 701
21 0.042
7011
其中 ,PMa
a N1
7
Q(m3/s)
a项特大洪水 M=1,2,...,a
实测期内特大洪水，l 项
PM
PMa
... ...
实测一般洪水，n – l 项 m = l + 1, l + 2, ..., n
水文频率计算
《水文频率计算》根据某水文现象的统计特性,利用现有水文资料,分析水文变量设计值与出现频率（或重现期）之间的定量关系的工作过程称为水文频率计算。
自然界的现象按发生情况可分成：必然事件，即在一定条件下必然会发生的事情，如降雨以后就要涨水是必然发生的；不可能事件，即在各条件实现之下永远不会发生的事情，如只在重力作用下的水由低处向高处流是不可能的；随机事件（也称偶然事件），即在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，如每条河流每年出现一个流量的年最大值是必然的，但这个最大值可能是这个值也可能是那个值，它在数量上的出现是一种随机事件。
频率计算中是以1来表示必然事件出现的可能性（即百分之百出现）,以0表示不可能事件出现的可能性，随机事件出现的可能性介于0与1之间。
水文要素。
如降雨、流量等在量的出现方面都有随机性的特点，水文变量如年雨量、年最大洪峰流量、枯季最小流量等都属于随机事件，均可用频率分析方法来分析计算。
水文频率分析主要包括：利用现有水文资料组成样本系列，选择合适的频率曲线线型和估计它的统计参数，根据所绘制的频率曲线推求相应于各种频率（或重现期）的水文设计值。
样本系列。
无限个成因相同、相互独立的同类水文变量的集合称为该水文变量的总体。
这个总体是未知的，现有水文资料只是过去发生过的和今后可能发生的整个总体中的一个样本。
把现有水文资料的水文变量按大小次序排列组成一个系列，称为样本系列，其中所含水文变量的项数（系列长度）叫做样本容量。
系列愈长，样本容量愈大。
水文频率分析就是通过样本系列的统计特征来估计其总体的统计特征，如各种统计参数、某水文变量的频率等。
因此，样本系列是水文频率分析的基础。
用样本系列去推估容量很大或无限的总体的情况，会产生因抽样而引起的误差，这就是抽样误差。
水文统计分析中所估计出的各种数值（如频率、分析中的各个参数、相关系数等）都有抽样误差。
样本的容量越大误差越小，否则误差越大。
抽样误差分析方法有两种：①解析法。
洪水频率计算规范方法
洪水频率计算规范方法 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】附录A 洪水频率计算A1 洪水频率曲线统计参数的估计和确定 参数估计法A1.1.1 矩法。
对于n 年连序系列，可采用下列公式计算各统计参数: 均值 ∑==ni i X n X 11（A1）均方差 ∑=--=ni i X X n S 12)(11或 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑∑==n i n i i i X n X n S 1212)(111（A2）变差系数 XSC v =（A3）偏态系数 3313)2)(1()(vni i sCX n n X X n C ---=∑=或 3313112132)2)(1()(23vni ni i n i i ni i i s CX n n n X X X n X n C --+⋅-=∑∑∑∑====（A4）式中 X i ——系列变量（i=1，…，n ）； n ——系列项数。
对于不连序系列，其统计参数的计算与连序系列的计算公式有所不同。
如果在迄今的N 年中已查明有a 个特大洪水（其中有l 个发生在n年实测或插补系列中），假定（n-l ）年系列的均值和均方差与除去特大洪水后的（N-a ）年系列的相等，即l n a n l n a N S S X X ----==,，可推导出统计参数的计算公式如下：)(111∑∑+==--+=nl i i a j j X l n a N X N X （A5）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+--=∑∑++==n l i i a j jv X X l n a N X X N XC 1212)()(111（A6）331313)2)(1()()(vn l i ia j j s C X N N X X l n a N X X N C --⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=∑∑+==（A7）式中 X j ——特大洪水变量（j=1，…，a ）；X i ——实测洪水变量（i=l +1，…，n ）。
工程水文学复习题(27题)
复习1、水文现象是一种自然现象，它具有什么特性，各用什么方法研究？答：1）成因分析法:根据水文变化的成因规律，由其影响因素预报、预测水文情势的方法。
如降雨径流预报法、河流洪水演算法等。
2）数理统计法：根据水文现象的统计规律，对水文观测资料统计分析，进行水文情势预测、预报的方法。
如设计年径流计算、设计洪水计算、地区经验公式等。
水文计算常常是二种方法综合使用，相辅相成，例如由暴雨资料推求设计洪水，就是先由数理统计法求设计暴雨，再按成因分析法将设计暴雨转化为设计洪水。
此外，当没有水文资料时，可以根据水文现象的变化在地区分布上呈现的一定规律（水文现象在各流域、各地区的分布规律）来研究短缺和无资料地区的水文特征值。
2、蒸发能力与蒸发率以及下渗能力、下渗率的概念及相互关系。
答：通常，将处在特定气象环境中，具有充分供水条件的可能达到的最大蒸发量，称为蒸发能力，又称潜在蒸发量或最大可能蒸发量。
单位时间内单位面积上蒸发出来的水汽的质量称为蒸发速率（蒸发率）。
下渗能力是指土壤在充分供水的条件下的下渗率。
下渗率指水分自地表渗入土壤中的强度。
蒸发量的大小主要决定于气象要素及土壤湿度，这可以用流域蒸发能力和土壤含水量来表征。
3、水量平衡原理的应用。
答：对任一地区、任一时段进入的水量与输出的水量之差，必等于其蓄水量的变化量，这就是水量平衡原理，是水文计算中始终要遵循的一项基本原理。
依此，可得任一地区、任一时段的水量平衡方程。
对一闭合流域：设 P 为某一特定时段的降雨量，E 为该时段内的蒸发量，R 为该时段该流域的径流量，则有：P=R+EC+△U△U为该时段流域内的蓄水量，△U=U1+U2。
对于多年平均情况，△U ＝0，则闭合流域多年平均水量平衡方程变为：⎺P=⎺R+⎺E影响水资源的因素十分复杂，水资源的许多有关问题，难于由有关的成因因素直接计算求解，而运用水量平衡关系，往往可以使问题得到解决。
因此，水量平衡原理在水文分析计算和水资源规划的分析计算中有广泛的应用。
洪水频率计算(规范方法)
A1洪水频率曲线统计参数的估计和确定A1.1 参数估计法A1.1.1矩法。
对于n 年连序系列，可采用下列公式计算各统计参数n 系列项数。
对于不连序系列，其统计参数的计算与连序系列的计算公式有所不同。
如果 在迄今的N 年中已查明有a 个特大洪水（其中有I 个发生在n 年实测或插补系列 中），假定（n-l ）年系列的均值和均方差与除去特大洪水后的（N-a ）年系列的 相等，即X N 』= X n4,S n 』=S n 4，可推导出统计参数的计算公式如下：— 1 a N — a n X 二丄C X j X i ）（A5）N J j n — I 4附录A 洪水频率计算均值均万差或变差系数偏态系数或式中 lUi-X)2n-1 二 X i 2-n ([X i )2n7 (X i - X)3i £(n —1)( n —2)X 3C ；nnnnn 2 v X ； _3 n^ X i X 22(^ X J 3i #i£i住i 仝：X i --------- 系列变量（i=1，…，n ）；(A1)(A2)(A3)(A4)式中X j --------- 特大洪水变量（j=1，…，a ）; X i ――实测洪水变量（i=l +1,…，n ）oA1.1.2概率权重矩法。
概率权重矩定义为皮尔逊川型频率曲线的三个统计参数不能用概率权重矩的显式表达。
但经 推导有：Cs =N_1 一)2NJX j —X)3 活二X i -对(A6)(A7)(N -1)( N _2)X Cv1 .M . = o xF J (x)dFj=0,1,2,… (A8)C v H(M2-M0/3M^ M0/2式中，H和R都和C s有关，并已有近似的经验关系如下: 广 2 3 4C s =16.41u-13.51U 州0.72u +94.54UR—1"(4/3-R)0122 3 4H =3.545+29.857 —29.15V +363.8V +6093V(1 < R ：4)3(A9) (A10) (A11)(A12) (A13)为保证C v和C s有二位小数准确，要求在用式（A11）计算R时，M。
洪水频率计算(规范方法)
附录A 洪水频率计算A1 洪水频率曲线统计参数的估计和确定A1。
1 参数估计法A1。
1。
1 矩法。
对于n 年连序系列,可采用下列公式计算各统计参数： 均值∑==ni i X n X 11 （A1）均方差 ∑=--=ni i X X n S 12)(11或 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑∑==n i n i i i X n X n S 1212)(111 （A2）变差系数XSC v =(A3）偏态系数3313)2)(1()(vni i s C X n n X X n C ---=∑=或 3313112132)2)(1()(23vn i ni i ni i ni i i sC X n n n X X X n X n C --+⋅-=∑∑∑∑==== （A4)式中 X i —-系列变量（i=1，…，n ）; n —-系列项数。
对于不连序系列,其统计参数的计算与连序系列的计算公式有所不同。
如果在迄今的N 年中已查明有a 个特大洪水(其中有l 个发生在n 年实测或插补系列中)，假定(n-l)年系列的均值和均方差与除去特大洪水后的（N —a)年系列的相等,即l n a n l n a N S S X X ----==,，可推导出统计参数的计算公式如下：)(111∑∑+==--+=nl i i a j j X l n a N X N X （A5）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+--=∑∑++==n l i i a j jv X X l n a N X X N XC 1212)()(111 （A6）331313)2)(1()()(vn l i ia j j s C X N N X X l n a N X X N C --⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=∑∑+== （A7） 式中 X j ——特大洪水变量(j=1,…,a ）；X i ——实测洪水变量(i=l +1，…，n ）。
A1。
1。
2 概率权重矩法。
概率权重矩定义为⎰=10)(dF x xF M j j j=0,1，2，… （A8）皮尔逊Ⅲ型频率曲线的三个统计参数不能用概率权重矩的显式表达。
洪水频率计算(要求规范方法)
附录A 洪水频率计算A1 洪水频率曲线统计参数的估计和确定A1.1 参数估计法A1.1.1 矩法。
对于n 年连序系列，可采用下列公式计算各统计参数: 均值∑==ni i X n X 11 （A1）均方差 ∑=--=ni i X X n S 12)(11或 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑∑==n i n i i i X n X n S 1212)(111 （A2） 变差系数XSC v =（A3）偏态系数3313)2)(1()(vni i s CX n n X X n C ---=∑=或3313112132)2)(1()(23vni ni i n i i ni i i s CX n n n X X X n X n C --+⋅-=∑∑∑∑==== （A4）式中 X i ——系列变量（i=1，…，n ）； n ——系列项数。
对于不连序系列，其统计参数的计算与连序系列的计算公式有所不同。
如果在迄今的N 年中已查明有a 个特大洪水（其中有l 个发生在n 年实测或插补系列中），假定（n-l ）年系列的均值和均方差与除去特大洪水后的（N-a ）年系列的相等，即l n a n l n a N S S X X ----==,，可推导出统计参数的计算公式如下：)(111∑∑+==--+=nl i i a j j X l n a N X N X （A5）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+--=∑∑++==n l i i a j jv X X l n a N X X N XC 1212)()(111 （A6）331313)2)(1()()(vn l i ia j j s C X N N X X l n a N X X N C --⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=∑∑+== （A7） 式中 X j ——特大洪水变量（j=1，…，a ）；X i ——实测洪水变量（i=l +1，…，n ）。
A1.1.2 概率权重矩法。
概率权重矩定义为⎰=10)(dF x xF M j j j=0,1,2,… （A8）皮尔逊Ⅲ型频率曲线的三个统计参数不能用概率权重矩的显式表达。
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1972
1973 1974
27500
7620 23900
1975
12100
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
23900 18600 17400 15400 15200 12700 12600 12100 12000 11400
2.101
1.635 1.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ29
1.101
0.635 0.53
1.2119
经验频率及统计参数计算表 m (序号/频数) X (实测值) 递 减 排 序 合计 n 0.00
理论线 表
Kp
(Kp -1)
(Kp -1)2
P = m / (n+1)
(%)
理论频率曲线计算表
项 P%
Cv/Cs
目 Xp= x (1+Cvφp)
0.01
0.1 1 5 10 … 95 99 99.9
1 2 3
二. 适线法
以经验频率点数据为基础，给它选配一条拟合最 佳的频率曲线[理论曲线]。 1 目估适线法 2 优化适线法
1
1. 目估适线法
绘制经验累积频率点据
确定样本统计参数的初值 选定线型, 绘制理论曲线 适线，调参 推求设计频率对应的设计值 误差计算
步骤— 表格
√ 实际计算水文频率时，通过制表完成上述的步骤 。
0.4032 0.2803
1.353
1.336 1.116
0.354
0.336 0.116
0.1251
0.1129 0.0135
1.108
1.063 1.055
0.108
0.064 0.055
0.0115
0.0040 0.0030
1.002
0.002
4.4E-06
7.407 11.11 14.81 18.52 22.22 25.93 29.63 33.33 37.04 40.74
Cv >0.5， Cs = (2~3)Cv 设计年径流量及年降水量 Cs = 2Cv
三点法
Cv
(K
i
1)
2
3. 三点法 目估一条与经验频率点据呈最佳的配合线（理论线） 线上选定三点，则有：
x1 x (1 C v 1 ) x 2 x (1 C v 2 ) x x (1 C ) v 3 3
0.0059 0.0059 0.0192 0.0192
44.44
48.15 51.85 55.56 59.26
1981
1982 1983 1984 1985
4080
10500 15200 4830 7940
17
18 19 20 21
8830
8500 7940 7620 6770
0.776
0.747 0.698 0.669 0.595
三点的取法： 或 或 或 1～50～99% 3～50～97% 5～50～95% 10～50～90%
（3-22）
参数计算公式
1 x3 3 x1 x 1 3
x1 x3 Cv 1 x3 3 x1
（3-23）
（3-24）
x1 x3 2 x2 1 3 2 2 =S 偏度系数 x1 x3 1 3 （3-25）
0.4 0.5
0.723 …
… …
… … … … … …
… … … … … …
… 1.217
… …
… … … … … …
… … … … … …
1.01 …
… …
1.042 …
… …
0.6
0.7 0.8 0.9
2.133
2.529 3.009 3.714
… … …
… … … … … … … … …
…
… … …
1976
1977 1978 1979 1980
12700
12000 17400 8830 12600
12
13 14 15 16
10900
10500 10500 9800 9800
0.958
0.923 0.923 0.861 0.861
-0.04
-0.08 -0.08 -0.14 -0.14
0.0017
1 x n Cv Cs
x
i 1
n
i
n 1 3 ( K i 1) ( n 3)C v
3
(K
i
1)
2
经验法
2. 经验关系法
1 n x xi n i 1 n 1 3 Cs初值： ( K 1 ) i Cs 3 Cs = 3.5 Cv 设计暴雨量 (n 3)C v 设计最大流量 Cv < 0.5， Cs = (3~4)Cv
… … …
… … … … … … … … …
…
… … …
…
… … …
求参步骤
√ 三点法估求参数步骤：
① 据(3-25)式左端计算得S值，且已知P1,P2,P3,查
附录C,求得参数Cs； ② 据Cs查附录B,得φ
p1、φ p2，代入(3-23)、
(3-24)式,求得 x , Cv , C 。s
适线法
序号 m (3)
递减排序
模比系数
Q(m3/s) (4)
Ki (5) 2.417
Ki－1 (6) 1.417
(Ki－1)2 (7) 2.0088
p
m 100% n 1
(8)
1
27500
3.704
1966
1967 1968
10900
15400 10500
1969
1970 1971
18600
11400 9800
p
Xp=x (1+Cvφp)
p
Xp= (1+Cvφp)
x
p
例题
【例题3.3—目估适线法】
求：最大洪峰流量Q1% = ？
Q1% = 31114 m3/s
Q1% = 30450 m3/s
（经验法初估参数 ）
（三点法初估参数）
计算表 题 P66
年份 (1) 1965
最大流量
Q(m3/s) (2) 9800
§3-4 水文频率计算方法
( The methods of calculating frequency on hydrology )
频率计算推求
xp
参数初估
适线法
一. 统计参数初估方法
1 2 3
4 5
矩法 经验关系法 三点法
权函数法 概率权重矩法
矩法
1.矩法 依据实测系列计算三个统计参数： x , Cv , C s
S f (Cs , P)
S表
附录C P-III曲线三点法 S 与 Cs 关系表
P368
P = 5 ~ 50 ~ 95%
S 0 0.1 0 0 0.364 1 2 3 4 … … 5 6 7 8 0.29 0.65 9 0.327 0.687 … … … … … … … … … … … …
0.2 0.3
-0.22
-0.25 -0.3 -0.33 -0.4
0.0501
0.0639 0.0912 0.1090 0.1639