第五章定积分的应用01284
第五章定积分及其应用(精)
n
注意 当 f ( i ) xi 的极限存在时，其极限 I 仅与被积函数 f (x) 及积分区间 [ a, b] 有关，如果既不
i1
改变被积函数 f (x) 也不改变积分区间 [a, b] ，不论把积分变量 x 改成其它任何字母，如 t 或 u ，此和的极
限都不会改变，即定积分的值不变．就是
b
f ( x)dx
就越高，若把区间 [a, b] 无限细分下去，即使每个小区间的长度都趋于零，这时所有窄矩形面积之和的极
限就可定义为曲边梯形的面积，这就给出了计算曲边梯形面积的思路，现详述如下：
（ 1）将区间 [ a, b] 划分为 n 个小区间，即在区间 [ a, b] 内任意插入 n 1 个分点：
a x0 x1 x2
记为 Ai (i 1,2, , n) ，在每个小区间 [ xi 1, xi ] 上任取一点 i ( xi 1 i xi ) ，用以 [ x i 1 , x i ] 为底、 f ( i )
为高的窄矩形近似代替第 i 个小曲边梯形 (i 1,2, , n) ，则 Ai f ( xi ) xi ， (i 1,2, , n) ．这样得到
b
方，按照定义， 这时定积分 f ( x)dx 的值应为负， 因此 a
表示上述曲边梯形面积的负值；
b
f ( x)dx
a
（ 3）若在区间 [ a, b] 上， f ( x) 既取得正值又取得负值时，对
应的曲边梯形的某些部分在 x 轴的上方，某些部分在 x 轴的下方，
这时定积分
b
f ( x)dx 表示由直线 x a 、 x b 、 x 轴和曲线
b
a
（ 1）当 a b 时， f ( x)dx 0 ；即 f ( x)dx 0 ．
高等数学第五章定积分及其应用
⾼等数学第五章定积分及其应⽤第五章定积分及其应⽤第⼀节定积分概念1、内容分布图⽰★曲边梯形★曲边梯形的⾯积★变速直线运动的路程★变⼒沿直线所作功★定积分的定义★定积分存在定理★定积分的⼏何意义★定积分的物理意义★例1 ★定积分的近似计算★例2★内容⼩结★课堂练习★习题5-1 ★返回2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1利⽤定积分的定义计算积分01dx x 2?.讲解注意：例2的近似值．⽤矩形法和梯形法计算积分-102dx ex讲解注意：第⼆节定积分的性质1、内容分布图⽰★性质1-4★性质5及其推论★例1★性质6★例2★例3★性质7★例4★函数的平均值★例5★内容⼩结★课堂练习★习题5-2★返回2、讲解注意：例1⽐较积分值dx e x ?-2和dx x ?-2的⼤⼩.讲解注意：例2估计积分dx xπ+03sin 31的值.讲解注意：例3估计积分dx xxππ/2/4sin 的值.讲解注意：例4设)(x f 可导1)(lim =+∞→x f x 求且,,dt t f tt x x x ?++∞→2)(3sin lim .讲解注意：例5计算纯电阻电路中正弦交流电t I i m ωsin =在⼀个周期上的()功率的平均值简称平均功率.讲解注意：第三节微积分基本公式1、内容分布图⽰★引例★积分上限函数★积分上限函数的导数★例1-2★例3★例4★例5★例6★例7-8 ★例9★例10★例11★例12★例13★例14★内容⼩结★课堂练习★习题5-3★返回2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1?x tdt dxd 02cos 求[].讲解注意：例2dt e dxdx t ?321求[].讲解注意：例3.)()((3);)()((2);)((1).,)(00sin cos )(?-===x x x x t f dt t x f x F dt t xf x F dt e x F x f 试求以下各函数的导数是连续函数设讲解注意：例4求.1cos 02x dte x t x ?-→讲解注意：设)(x f 在),(+∞-∞内连续0)(>x f .证明函数且,??=xxdtt f dtt t x F 00)()()(在),0(+∞内为单调增加函数.f 例5讲解注意：例6],1[)ln 21()(1上的最⼤值与最⼩在求函数e dt t t x I x ?+=.值讲解注意：例7求.dx x ?12讲解注意：例8求.1dxx ?--12讲解注意：例9设求??≤<≤≤=215102)(x x x x f ?2讲解注意：例10.|12|10-dx x 计算讲解注意：.cos 1/3/22?--ππdx x 计算例11讲解注意：例12求.},max{222?-dx x x讲解注意：例13计算由曲线x y sin =在,0π之间及x .轴所围成的图形的⾯积x =x =A讲解注意：例14?,./5.,362了多少距离问从开始刹车到停车刹车汽车以等加速度到某处需要减速停车速度⾏驶汽车以每⼩时s m a km -=汽车驶过设讲解注意：第四节换元法积分法和分部积分法1、内容分布图⽰★定积分换元积分法★例1★例2★例3★例4★定积分的分部积分法★内容⼩结★课堂练习★习题5-4★返回★例5★例6★例7★例16★例17★例182、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1计算.sin cos /25?πxdx x讲解注意：例2?a0dx 计算.0a >)(-2x 2a讲解注意：例3计算.sin sin 053?π-dx x x讲解注意：例4计算定积分dx x x ++412.2?讲解注意：例5当)(x f 在],[a a -上连续,,,)(x f 为偶函数当当有(1)(2)则 ??-=aaadx x f dx x f 0)(2)()(x f 为奇函数有?-=aa dx x f 0)(.;讲解注意：例6.--+dx e x x x 计算讲解注意：例7计算.11cos 21122?--++dx x xx x讲解注意：例8若)(x f 在]1,0[上连续证明,(1)?=00)(cos )(sin dx x f dx x f ;(2)πππ=)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ,由此计算?π+02cos 1sin dx x x x ./2π/2π讲解注意：例9计算.arcsin 0?xdx 1/2讲解注意：例10计算.2cos 10+x xdx/4π讲解注意：例11计算.sin 0?xdx /2π2x讲解注意：例12.1dx e x 计算1/2讲解注意：例13.1)1ln(102++dx x x 求定积分讲解注意：例14-22ln e e dx x x求.讲解注意：例15.,612ln 2x e dt xt 求已知?=-π讲解注意：例16).(,)(13)()(1022x f dx x f x x x f x f 求满⾜⽅程已知? --=讲解注意：例17证明定积分公式xdx I n n n 0--?-??--?-=n n n n n n n n n n ,3254231,22143231π为正偶数.为⼤于1的正奇数./2π/2π??讲解注意：例18?π05.2cos dx x 求讲解注意：第五节定积分的⼏何应⽤1、内容分布图⽰★平⾯图形的⾯积A ★例1 ★例2 ★平⾯图形的⾯积B ★例3 ★例4 ★平⾯图形的⾯积C ★例5 ★平⾯图形的⾯积D★例6 ★例7 ★例8 旋转体★圆锥★圆柱★旋转体★旋转体的体积★例9 ★例 10 ★例 11 ★平⾏截⾯⾯积为已知的⽴体的体积★例 12 ★例 13 ★内容⼩结★课堂练习★习题5-5 ★返回2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1]1,1[]1,0[2之间的⾯积.和轴上⽅在下⽅与分别求曲线-∈∈=x x x x y讲解注意：例2],1[ln 之间的⾯积.轴上⽅在下⽅与求e x x y =讲解注意：例3.1,1,03所围图形⾯积与直线求=-===x x y x y讲解注意：例44,0,042所围图形⾯积.和直线求由曲线===-=x x y x y讲解注意：例5.2所围成平⾯图形的⾯积与求由抛物线x y x y ==讲解注意：例642,2,所围成图形的⾯积.求由三条直线=-=+=y x y x x y422围成图形的⾯积与求+-==x y x y讲解注意：例8.0cos sin 之间所围图与在和求由曲线π====x x x y x y 形的⾯积讲解注意：例9r 圆锥体的直线、h x =及x 轴围直线连接坐标原点O 及点),(r h P 成⼀个直⾓三⾓形.x 轴旋转构成⼀个底半径为计算圆锥体的体积.h ,将它绕⾼为,的讲解注意：例10.12222y x V V y x by a x 和积轴旋转所得的旋转体体轴和分别绕求椭圆=+讲解注意：例112,22轴旋转⽽成的旋转体的体积.轴和所围成的图形分别绕求由曲线y x x y x y -==讲解注意：例12⼀平⾯经过半径为R 的圆柱体的底圆中⼼计算这平⾯截圆柱体所得⽴体的体积.并与底⾯交成,,⾓讲解注意：例13.的正劈锥体的体积的圆为底、求以半径为h R ⾼位平⾏且等于底圆直径的线段为顶、讲解注意：第六节积分在经济分析中的应⽤1、内容分布图⽰★由边际函数求原经济函数★需求函数★例1★总成本函数★例2★总收⼊函数★例3★利润函数★例4由边际函数求最优问题★例5★例6其它经济应⽤★例7⼴告策略★消费者剩余★例8★国民收⼊分配★例9★返回2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1),80,(80,4) (,==-='q pp qp格的函数关系.时即该商品的最⼤需求量为且边际需求的函数已知对某商品的需求量是价格求需求量与价讲解注意：例2, 90,2)(0.2 ==ceqCq 求总成本函数.固定成本的函数若⼀企业⽣产某产品的边际成本是产量讲解注意：例310,40),/(2100)(个单位时单位时的总收⼊及平均收⼊求⽣产单位元单位时的边际收⼊为已知⽣产某产品-='q q R q 并求再增加⽣产所增加的总收⼊.讲解注意：例45,10,413)(,225)(0==-='-='q c q q C q q R 时的⽑利和纯利.求当固定成本为边际成本已知某产品的边际收⼊讲解注意：例5吨产品时的边际成本为某企业⽣产q )/30501)(吨元q q C +='(?,900试求产量为多少时平均成本最低元且固定成本为讲解注意：例6q q q C q q R ,1(3)?(2);54(1)),/(/44)(),/(9)(+='-='求总成本函数和利润函数.万元已知固定成本为当产量为多少时利润最⼤万台时利润的变化量万台增加到试求当产量由其中产量万台万元成本函数为万台万元假设某产品的边际收⼊函数为以万台为单位.边际讲解注意：例70.02,10%,,100000,130000)(,.10%,1000000t e t 则决如果新增销售额产⽣的利润超过⼴告投资的美元的⼴告活动对于超过按惯例⾏⼀次类似的总成本为以⽉为单位下式的增长曲线⼴告宣传期间⽉销售额的变化率近似服从如根据公司以往的经验平均利润是销售额的美元某出⼝公司每⽉销售额是美元的⼴告活动.试问该公司按惯例是否应该做此⼴告.1000000公司现在需要决定是否举定做⼴告讲解注意：8例.2,318)(-=CS q q D 并已知需求量为如果需求曲线为个单位试求消费者剩余,表⽰某国某年国民收⼊在国民之间分配的劳伦茨曲线可近似地由讲解注意：第七节⼴义积分1、内容分布图⽰★⽆穷限的⼴义积分★⽆穷限的⼴义积分⼏何解释★例1★例2★例3★例4★例5★例6★⽆界函数的⼴义积分例7★例8★例9★例10★例11★例12★例13★内容⼩结★课堂练习★习题5-7★返回★2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1?∞+-0.dx e x 计算⽆穷积分讲解注意：例2.sin 0的收敛性判断⽆穷积分∞+xdx讲解注意：例312?∞+∞-+x dx计算⼴义积分讲解注意：例4计算⼴义积分.1sin 12∞+dx x x 2/π讲解注意：例5计算⼴义积分∞+-pt dt e 且0>p 时收敛p 是常数,(). t 0讲解注意：例6证明⼴义积分∞+11dxx p当1>p 时收敛当1≤p 时发散.,讲解注意：例7计算⼴义积分).0(022>-?a x a dxa讲解注意：例8证明⼴义积分11dx x q当1""讲解注意：例9计算⼴义积分.ln 21x dx讲解注意：例10计算⼴义积分.30dx1=x 瑕点)1(2/3-x .讲解注意：例11计算⼴义积分?∞+03+x x dx1().讲解注意：例12.)1(arcsin 10-dx x x x计算⼴义积分讲解注意：例13.11105?∞+++x x x dx 计算⼴义积分讲解注意：。
定积分的应用共29页
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12
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一、平面图形的面积
若函数 f (x) 、 g(x) 在[a,b] 上连续，且 f (x) g(x) ，
则由曲线 y f (x) 、 y g(x) 及直线 x a 、 x b 所围
成的平面图形的面积为 Aabf(x)g(x)dx
其中面积 A 的元素为 d A f (x) g(x)d x ．
a
c1
c2
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3
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一般地，由曲线 y f (x) ，直线 x a ， x b 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积 S 可表示为
S
b
|
f
(x) | dx
.
a
类似地，由曲线 x ( y) ，直线 y c ， y d 及
y 轴所围成的曲边梯形的面积 S (如图 5-13 所示)可
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二、定积分的元素法
1. 什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
表示为
定积分定义
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ax
bx
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特别 , 当考虑连续曲线段
轴旋转一周围成的立体体积时, 有 y
当考虑连续曲线段
oa x
x
y f (x)
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有
同济大学(高等数学)_第五章_定积分及其应用
5
01(1 x)dx
1 11 2
1 2
图 5-4
例 3 利用定积分的几何意义，证明 1 1 x 2 dx .
1
2
证明
令 y 1 x2 , x [1,1]
，显然 y 0 ，则由 y 1 x 2 和直线
x 1, x 1， y 0 所围成的曲边梯形是单位圆位于 x 轴上方的半圆.如图 5-5 所示.
b
a
f
( x)dx
c
a
f
(x)dx
b
c
f
(x)dx
这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性
值得注意的是不论 a, b, c 的相对位置如何总有等式
b
a
f
(x)dx
c
a
f
(x)dx
b
c
f
(x)dx
成立 例如 当 a b c 时 由于
c
a
f
(x)dx
b
a
f
(x)dx
求曲边梯形的面积的精确值
显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积 A 的近似值就越接近 曲边梯形面积 A 的精确值 因此 要求曲边梯形面积 A 的精确值 只需无限地增加分点 使
每个小曲边梯形的宽度趋于零 记 maxx1, x2 ,L , xn , 于是 上述增加分点 使每
si v( i )ti (i 1,2,L , n).
于是这 n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程 S 的近似值 即
n
S v(i)ti i 1
求精确值
定积分的简单应用 课件
物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)
所做的功为W＝
b
aF(x)dx
.
[点睛] 变速直线运动物体的路程、位移与定积分的关系
如果做变速直线运动物体的速度－时间函数为v＝v(t)，
b
则物体在区间[a，b]上的位移为定积分
a
v(t)dt；物体在区间
b
[a，b]上的路程为a|v(t)|dt.
即4t2－23t3＝0，解得t＝0或t＝6， 因为t＝0对应于点P刚开始从原点出发的情况，所以t＝6为所求．
有关路程、位移计算公式 路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b 所经过的路程s和位移s1分别为 (1)若v(t)≥0(a≤t≤b)，
b
则s＝av(t)dt；
b
s1＝av(t)dt.
∴将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功
0.15
W＝ 2 0
000xdx＝1
000x200.15
＝22.5(J)．
求变力做功的方法步骤 (1)要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向 上的位移． (2)利用变力做功的公式W＝bF(x)dx计算．
a
[注意] 将力与位移的单位换算为牛顿(N)与米(m)， 功的单位才为焦耳(J)．
＝1
0
x＋13xdx＋132－23xdx
＝23x
3 2
＋16x210
＋2x－13x213
＝23＋16＋6－13×9－2＋13＝163.
利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形． (2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上 限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素： ①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和 积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式． (5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．
第5章 定积分及其应用(共132页)
10:31:46
23
课后作业
课前预习
5.2 定积分的计算
书面作业
P128: 2；3；计算
5.2.1 变上限积分 5.2.2 牛顿-莱布尼兹公式 知识回顾与小结
10:31:46
25
5.2.1 变上限积分
设函数 f ( x ) 在闭区间
变上限积分动态演示
上述和式的极限，即得曲边梯形的面积
A lim f ( i ) x i
0
i 1 n
7
变速直线运动的路程
设某物体的运动速度 v v ( t )是时间 t 的连续函数，
T2 ]内所走过的路程 s . 求物体在时间间隔 [ T1 ，
第一步 分割
T2 ]中任意插入 n 1 个分点， 在时间间隔 [ T1 ，
微积分学基本定理
b]上连续， F ( x )是 f ( x ) 设函数 f ( x ) 在闭区间 [a ， b] 上的一个原函数， 则 在 [a ，
b a
f ( x )d x F (b) F (a )
称为牛顿-莱布尼兹公式，或称为 N-L 公式.
32
N-L 公式表明：
b ]上的定积分等于它的 一个连续函数在区间 [ a ，
第三步
求和，即
求和
把 n 个子时间段内物体所走过的路程
s v ( i ) t i
i 1 n
第四步
取极限
记 max { t 1 ， t2 ， ， t n } ，取
上述和式的极限，即得变速直线运动的路程
s lim v ( i ) t i
0
与 u x 2 复合
而成的，所以
定积分及其应用
第5章 定积分及其应用学习目标理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质. 掌握变上限定积分的导数的计算方法.熟练应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分，熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法. 了解定积分在经济管理中的应用，会利用定积分计算平面图形的面积.定积分和不定积分是积分学中密切相关的两个基本概念,定积分在自然科学和实际问题中有着广泛的应用.本章将从实例出发介绍定积分的概念、性质和微积分基本定理,最后讨论定积分在几何、物理上的一些简单应用.5.1 定积分的概念与性质定积分无论在理论上还是实际应用上，都有着十分重要的意义，它是整个高等数学最重要的内容之一.5.1.1实例分析1.曲边梯形的面积在初等数学中,我们已经学会计算多边形和圆的面积,至于任意曲边所围成的平面图形的面积,只有依赖于曲边梯形并利用极限的方法才能得到比较完满的解决.所谓曲边梯形,就是在直角坐标系中,由直线0,,===y b x a x 及曲线)(x f y =所围成的图形，如图5.1(a),(b),(c)都是曲边梯形.现在求0)(≥x f 时，在连续区间],[b a 上围成的曲边梯形的面积A （如图5.1(a),(b)所示），用以往的知识没有办法解决.为了求得它的面积，我们按下述步骤来计算：(1)分割——将曲边梯形分割成小曲边梯形在区间],[b a 内任意插入1-n 个分点：b x x x x x a n n =<<⋅⋅⋅<<<=-1210，把区间(a)],[b a 分成n 个小区间：],[,],[],,[],,[1,12110n n i i x x x x x x x x -- ，第i 个小区间的长度为),,1(1n i x x x i i i ⋅⋅⋅=-=∆-，过每个分点作垂直于x 轴的直线段，它们把曲边梯形分成n 个小曲边梯形（图5.2），小曲边梯形的面积记为),2,1(n i A i ⋅⋅⋅=∆.(2)近似——用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积在小区间],[1i i x x -上任取一点),,2,1(n i i ⋅⋅⋅=ξ，作以],[1i i x x -为底，)(i f ξ为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，则),,2,1()(n i x f A i i i ⋅⋅⋅=∆≈∆ξ.(3)求和——求n 个小矩形面积之和n 个小矩形面积之和近似等于曲边梯形之和A ，即n A A A A ∆+⋅⋅⋅+∆+∆=21n n x f x f x f ∆+⋅⋅⋅+∆+∆≈)()()(2211ξξξi ni i x f ∆=∑=)(1ξ.(4)取极限令{}i ni x ∆=≤≤1max λ，当分点n 无限增多且0→λ时，和式ini ix f ∆∑=)(1ξ的极限便是曲边梯形的面积A ，即i ni i x f A ∆=∑=→)(lim 1ξλ.2．变速直线运动的路程设一物体作变速直线运动，其速度是时间t 的连续函数)(t v v =，求物体在时刻1T t =到2T t =间所经过的路程S .我们知道，匀速直线运动的路程公式是：vt S =，现设物体运动的速度v 是随时间的变化而连续变化的，不能直接用此公式计算路程，而采用以下方法计算：(1)分割——把整个运动时间分成n 个时间段图5.2在时间间隔],[21T T 内任意插入1-n 个分点：21101T t t t t T n n =<<⋅⋅⋅<<=-，把],[21T T 分成n 个小区间：],[,],[],,[],,[1,12110n n i i t t t t t t t t --⋅⋅⋅⋅⋅⋅，第i 个小区间的长度为),,2,1(1n i t t t i i i ⋅⋅⋅=-=∆-第i 个时间段内对应的路程记作),2,1(n i S i ⋅⋅⋅=∆.(2)近似——在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程 在小区间],[1i i t t -上任取一点),2,1(n i i ⋅⋅⋅=ξ,用速度)(i v ξ近似代替物体在时间],[1i i t t -上各个时刻的速度，则有),,2,1()(n i t v S i i i ⋅⋅⋅=∆≈∆ξ.(3)求和——求n 个小时间段路程之和将所有这些近似值求和，得到总路程的近似值，即n S S S S ∆+⋅⋅⋅+∆+∆=21n i t v t v t v ∆+⋅⋅⋅+∆+∆≈)()()(2211ξξξi ni i t v ∆=∑=)(1ξ.(4)取极限令{}i ni t ∆=≤≤1max λ，当分点的个数n 无限增多且0→λ时，和式ini it v ∆∑=)(1ξ的极限便是所求的路程S .即i ni i t v S ∆=∑=→)(lim 1ξλ从上面两个实例可以看出，虽然二者的实际意义不同，但是解决问题的方法却是相同的，即采用“分割-近似-求和-取极限”的方法，最后都归结为同一种结构的和式极限问题.类似这样的实际问题还有很多，我们抛开实际问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质特征，从数学的结构加以研究，就引出了定积分的概念.5.1.2定积分的概念定义5.1 设函数)(x f 在区间],[b a 上有定义，任取分点b x x x x x a n n =<<⋅⋅⋅<<<=-1210 把区间],[b a 任意分割成n 个小区间],[1i i x x -，第i 个小区间的长度为),,1(1n i x x x i i i ⋅⋅⋅=-=∆-，记{}i ni x ∆=≤≤1max λ.在每个小区间],[1i i x x -上任取一点),,2,1(n i i ⋅⋅⋅=ξ作和式ini ix f ∆∑=)(1ξ，当0→λ时，若极限ini ix f ∆∑=→)(lim1ξλ存在（这个极限值与区间],[b a 的分法及点iξ的取法无关），则称函数)(x f 在],[b a 上可积，并称这个极限为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记作⎰b adx x f )(，即⎰b adx x f )(i ni i x f ∆=∑=→)(lim 1ξλ .其中，“)(x f ”称为被积函数，“dx x f )(”称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，],[b a 称为积分区间.根据定积分的定义，前面所讨论的两个实例可分别叙述为： ①曲边梯形的面积A 是曲线)(x f y =在区间],[b a 上的定积分.⎰=badx x f A )((0)(≥x f ).②变速直线运动的物体所走过的路程S 等于速度函数)(t v v =在时间间隔],[21T T 上的定积分.⎰=21)(T T dt t v S .关于定积分的定义作以下几点说明：⑴闭区间上的连续函数是可积的；闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的. ⑵定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数)(x f 和积分区间],[b a ，而与积分变量使用的字母的选取无关，即有⎰⎰=bab adt t f dx x f )()(.⑶在定积分的定义中，有b a <，为了今后计算方便，我们规定：⎰⎰-=baa bdx x f dx x f )()(.容易得到0)(=⎰a adx x f .5.1.3定积分的几何意义设)(x f 是[]b a ,上的连续函数，由曲线)(x f y =及直线0,,===y b x a x 所围成的 曲边梯形的面积记为A .由定积分的定义及5.1.1实例1，容易知道定积分有如下几何意义：（1）当0)(≥x f 时，A dx x f b a =⎰)( （2）当0)(≤x f 时，A dx x f b a-=⎰)(（3）如果)(x f 在[]b a ,上有时取正值，有时取负值时，那么以[]b a ,为底边，以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形可分成几个部分，使得每一部分都位于x 轴的上方或下方.这时定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图5.3所示，有321)(A A A dx x f b a+-=⎰其中321,,A A A 分别是图5.3中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数.例5.1.1 利用定积分的几何意义，证明21112π=-⎰-dx x .证 令]1,1[,12-∈-=x x y ，显然0≥y ， 则由21x y -=和直线1,1=-=x x ，0=y 所围成的曲边梯形是单位圆位于x 轴上方的半圆. 如图5.4所示.因为单位圆的面积π=A ，所以 半圆的面积为2π. 由定积分的几何意义知：21112π=-⎰-dx x .5.1.4定积分的性质由定积分的定义，直接求定积分的值，往往比较复杂，但易推证定积分具有下述性质，其中所涉及的函数在讨论的区间上都是可积的.性质5.1.1 被积表达式中的常数因子可以提到积分号前，即⎰⎰=bab adx x f k dx x kf )()(.性质5.1.2 两个函数代数和的定积分等于各函数定积分的代数和，即[]⎰⎰⎰±=±bab abadx x g dx x f dx x g x f )()()()(.这一结论可以推广到任意有限多个函数代数和的情形. 性质5.1.3（积分的可加性）对任意的点c ，有⎰⎰⎰+=bcc ab adx x f dx x f dx x f )()()(.注意 c 的任意性意味着不论c 是在],[b a 之内，还是c 在],[b a 之外，这一性质均成立.性质5.1.4如果被积函数c c x f (,)(=为常数),则⎰-=b aa b c cdx )(.特别地,当1=c 时,有⎰-=b aa b dx .性质5.1.5（积分的保序性）如果在区间],[b a 上,恒有)()(x g x f ≥，则⎰⎰≥b abadx x g dx x f )()(.性质5.1.6（积分估值定理）如果函数)(x f 在区间],[b a 上有最大值M 和最小值m ,则).()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰性质 5.1.7 (积分中值定理) 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则在),(b a 内至少有一点ξ,使得⎰-=b aa b f dx x f ))(()(ξ ),(b a ∈ξ.证 因)(x f 在],[b a 内连续，所以)(x f 在],[b a 内有最大值M 和最小值m ， 由性质5.1.6知： ).()()(a b M dx x f a b m b a-≤≤-⎰从而有 .)(1M dx x f a b m b a≤-≤⎰这就说：⎰-b adx x f a b )(1是介于m 与M 之间的一个实数. 由连续函数的介值定理1.10知：至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)()(1ξf dx x f ab b a =-⎰.即⎰-=b aa b f dx x f ))(()(ξ ),(b a ∈ξ.注 性质5.1.7的几何意义是:由曲线)(x f y =,直线b x a x ==,和x 轴所围成曲边梯形的面积等于区间],[b a 上某个矩形的面积,这个矩形的底是区间],[b a ,矩形的 高为区间],[b a 内某一点ξ处的函数值)(ξf ， 如图5.5所示.显然，由性质5.1.7可得⎰-=b a dx x f ab f )(1)(ξ，)(ξf 称为函数)(x f 在区间],[b a 上的平均值.这是求有限个数的平均值的拓广.性质5.1.8(对称区间上奇偶函数的积分性质) 设)(x f 在对称区间],[a a -上连续,则有 ①如果)(x f 为奇函数,则⎰-=a a dx x f 0)(； ②如果)(x f 为偶函数,则⎰⎰-=a aadx x f dx x f 0)(2)(.例5.1.2 估计定积分dx ex ⎰--112的值.解 设2)(x e x f -=,22)('x xe x f --=，令0)('=x f ,得驻点0=x ，比较0=x 及区间端点1±=x 的函数值,有1)0(0==e f ,ee f 1)1(1==±-.显然2)(x e x f -=在区间]1,1[-上连续,则)(x f 在]1,1[-上的最小值为em 1=,最大值为1=M ，由定积分的估值性质,得22112≤≤⎰--dx e ex . 例5.1.3 比较定积分dx x ⎰102与dx x ⎰13的大小.解 因为在区间]1,0[上,有32x x ≥,由定积分保序性质,得dx x ⎰12dx x ⎰≥13.定积分定积分的原始思想可以追溯到古希腊．古希腊人在丈量形状不规则的土地的面积时，先尽可能地用规则图形(例如矩形和三角形)把要丈量的土地分割成若干小块，并且忽略那些边边角角的不规则的小块．计算出每一小块规则图形的面积，然后将它们相加，就得到土地面积的近似值．后来看来，古希腊人丈量土地面积的方法就是面积思想的萌芽．在十七世纪之前，数学家们没有重视古希腊人的伟大思想，当时流行的方法是不可分量法．这种方法认为面积和体积可以看作是由不可分量的运动产生出来的．这种方法没有包含极限概念，也没有采用代数与算数的方法．因此，不可分量的思想没有取得成功．虽然积分概念未能很好得建立起来，然而，到牛顿那个年代，数学家们已经能够计算许多简单的函数的积分．虽然十三世纪就出现了利用分割区间作和式并计算面积的朦胧思想(奥雷姆，法国数学家)．但是建立黎曼积分(即定积分)的严格定义的努力基本上由柯西开始．他比较早地用函数值的和式的极限定义积分(他还定义了广义积分)．但是柯西对于积分的定义仅限于连续函数．1854年，黎曼指出了积分的函数不一定是连续的或者分段连续的，从而把柯西建立的积分进行了推广．他把可积函数类从连续函数扩大到在有限区间中具有无穷多个间断点的函数．黎曼给出关于黎曼可积的两个充分必要条件．其中一个是考察函数)(x f 的振幅；另一个充分必要条件就是对于区间],[b a 的每一个划分b x x x a n =≤≤≤= 10，构造积分上和与积分下和:S=i ni ix M∆⋅∑=1s=i ni i x m ∆⋅∑=1其中M i 和m i 分别是函数)(x f 在每个子区间上的最大值和最小值.)(x f 在],[b a 黎曼可积的充分必要条件就是0)(lim 0max =-→∆s S x至今，这个定理仍然经常出现在微积分和数学分析的教科书中．达布(法国数学家)对于黎曼的积分的定义作了推广．他严格地证明了不连续函数，甚至有无穷多个间断点的函数，只要间断点可以被包含在长度可以任意小的有限个区间之内就是可积分的．在牛顿和莱布尼兹之前，微分和积分作为两种数学运算、两种数学问题，是分别加以研究的．虽然有不少数学家已经开始考虑微分和积分之间的联系，然而只有莱布尼兹和牛顿(各自独立地)将微分和积分真正沟通起来，明确地找到了两者之间内在的直接的联系，指出微分和积分是互逆的两种运算．而这正是建立微积分的关键所在．牛顿在1666年发表的著作《流数简论》中，从确定面积率的变化入手，通过反微分计算面积，把面积计算看作是求切线的逆．从而得到了微积分基本定理．在1675年，莱布尼兹就认识到，作为求和过程的积分是微分的逆．他于1675—1676年给出了微积分基本定理)()(a f b f dx dx dfba-=⎰ 并于1693年给出了这个定理的证明．简单直观并且便于应用，是黎曼积分的优点.黎曼积分的缺点主要是理论方面的．一方面,黎曼积分的可积函数类太小．基本上是“分段连续函数”构成的函数类．另一方面，黎曼积分在处理诸如函数级数的逐项积分、重积分的交换积分顺序以及函数空间的完备性这样一些重要的理论问题时，存在许多不可克服的障碍于．是在上一世纪末到本世纪初，一种新的积分理论—勒贝格积分应运而生．它是黎曼积分的推广，勒贝格积分的建立是积分学领域的重大发展．它在很大程度上克服了黎曼积分在理论上遇到的上述困难．勒贝格积分是近代分析数学发展的重要动力和基础．习题5.11.用定积分表示由曲线322+-=x x y 与直线4,1==x x 及x 轴所围成的曲边梯形的面积.2.利用定积分的几何意义,作图证明：(1)⎰=1012xdx (2)20224R x R Rπ=-⎰3.不计算定积分,比较下列各组积分值的大小. (1)dx x ⎰10,dx x ⎰12 (2)dx e x ⎰1,dx e x ⎰-12(3)⎰43ln xdx ,xdx ⎰432ln (4)⎰40cos πxdx , ⎰40sin πxdx4.利用定积分估值性质,估计下列积分值所在的范围. (1)dx e x ⎰10 (2)⎰-2)2(dx x x(3)dx x x⎰+2121 (4)dx x x ⎰--20295 5.试用积分中值定理证明0sin lim 1=⎰++∞→dx xxn n n .5.2 定积分的基本公式定积分就是一种特定形式的极限，直接利用定义计算定积分是十分繁杂的，有时甚至无法计算.本节将介绍定积分计算的有力工具——牛顿—莱布尼兹公式.5.2.1变上限定积分定义5.2 设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，对于任意],[b a x ∈，)(x f 在区间],[x a 上也连续，所以函数)(x f 在],[x a 上也可积.显然对于],[b a 上的每一个x 的取值，都有唯一对应的定积分⎰x adt t f )(和x 对应，因此⎰xadt t f )(是定义在],[b a 上的函数.记为⎰=Φxadt t f x )()(，],[b a x ∈.称)(x Φ叫做变上限定积分,有时又称为变上限积分函数.变上限积分函数的几何意义是： 如果0)(>x f ，对][b a ,上任意x ，都对应唯一一个曲边梯形的面积)(x Φ， 如图5.6中的阴影部分.因此变上限 积分函数有时又称为面积函数.函数)(x Φ具有如下重要性质.定理 5.1 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则⎰=Φx adt t f x )()(在],[b a 上可导，且)()()()(b x a x f dt t f dxd x xa ≤≤==Φ'⎰.证 给定函数)(x Φ的自变量x 的改变量x ∆，函数)(x Φ有相应的改变量∆Φ.则⎰⎰⎰∆+∆+=-=Φ-∆+Φ=∆Φx x xx ax x adt t f dt t f dt t f x x x )()()()()(.由定积分的中值定理，存在),(),(x x x x x x ∆+∆+∈或ξ，使x f dt t f x x x∆=⎰∆+)()(ξ成立.所以)()(lim )(lim )(lim lim)()(000x f f f xxf x x x f x x x x 连续ξξξξ→→∆→∆→∆==∆∆=∆∆Φ=Φ'.由定理 5.1可知，如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则函数⎰=Φx adt t f x )()(就是)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数.由定理5.1我们有下面的结论.定理5.2（原函数存在定理） 如果)(x f 在区间],[b a 上连续，则它的原函数一定存在，且其中的一个原函数为⎰=Φxadt t f x )()(.注 这个定理一方面肯定了闭区间],[b a 上连续函数)(x f 的一定有原函数（解决了第四章第一节留下的原函数存在问题），另一方面初步地揭示积分学中的定积分与原函数之间的联系.为下一步研究微积分基本公式奠定基础.例5.2.1 计算tdt e dx d x tsin 0⎰-. 解 tdt e dx d x t sin 0⎰-=]sin [0'⎰-tdt e x t =x e xsin -. 例5.2.2 求⎰+→xx dt t x020)1ln(1lim .解 当0→x 时，此极限为00型不定式，两次利用洛必塔法则有⎰+→x x dt t x20)1ln(1lim =2)1ln(limx dt t x x ⎰+→ =xx x 2)1ln(lim0+→=211lim 0x x +→=21例5.2.3 求dt t dx d x )1(212+⎰. 解 注意，此处的变上限积分的上限是2x ，若记2x u =，则函数dt t x )1(212+⎰可以看成是由dt t y u)1(12+=⎰与2x u =复合而成，根据复合函数的求导法则得dt t dx d x )1(212+⎰=dxdu dt t du d u ])1([12+⎰=x u 2)1(2+ =x x 2)1(4+=x x 225+.一般地有，如果)(x g 可导，则)()]([])([])([)()(x g x g f dt t f dt t f dxd x x g a x g a '='=⎰⎰. 上式可作为公式直接使用.例5.2.4 求极限402sin limx tdt x x ⎰→.解 因为0lim 4=→x x ，⎰⎰==→20000sin sin limx x tdt tdt ，所以这个极限是0型的未定式，利用洛必塔法则得42sin limx tdt x x ⎰→=32042sin lim x x x x ⋅→=2202sin lim x x x → =220sin lim 21xx x → =21.5.2.2微积分基本公式定理5.3 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且)(x F 是)(x f 的任意一个原函数，那么⎰-=b aa Fb F dx x f )()()(.证 由定理5.2知，⎰=Φx adt t f x )()(是)(x f 在区间],[b a 的一个原函数，则)(x Φ与)(x F 相差一个常数C ，即C x F dt t f x a+=⎰)()(.又因为C a F dt t f a a+==⎰)()(0，所以)(a F C -=.于是有)()()(a F x F dt t f x a -=⎰. 所以⎰-=b aa Fb F dx x f )()()(成立.为方便起见，通常把)()(a F b F -简记为ba x F )(或b a x F )]([，所以公式可改写为)()()()(a F b F x F dx x f b a b a-==⎰上述公式称为牛顿—莱布尼兹（Newton-Leibniz ）公式，又称为微积分基本公式. 定理5.3揭示了定积分与被积函数的原函数之间的内在联系，它把求定积分的问题转化为求原函数的问题.确切地说，要求连续函数)(x f 在],[b a 上的定积分，只需要求出)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数)(x F ，然后计算)()(a F b F -就可以了.例5.2.5 计算dx x ⎰102.解 因为C x dx x +=⎰3231，所以 dx x ⎰12=10331x =33031131⨯-⨯=31. 例5.2.6 求dx e e xx⎰-+111. 解 dx e e xx ⎰-+111=⎰-++111)1(x xe e d =11)1ln(-+x e =)1ln()1ln(1-+-+e e =1.例5.2.7 求dx x ⎰--312.解 根据定积分性质5.1.3，得dx x ⎰--312=⎰⎰⎰⎰---+-=-+-21322132)2()2(|2||2|dx x dx x dx x dx x=322212)221()212(x x x x -+--=2129+=5.例5.2.8 求极限.)321(lim 4333nn n ++++∞→ 解 根据定积分定义,得.4141)(1lim )321(lim 14110334333====++++∑⎰=∞→∞→x dx x n i n n n n i n n牛顿与莱布尼兹牛顿（Newton ，Isaac ，1643～1727）英国物理学家，数学家，天文学家.经典物理学理论体系的建立者.莱布尼兹（Gottfriend Wilhelm Leibniz,1646-1716）是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才.他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献.微积分创立的优先权，数学上曾掀起了一场激烈的争论.实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼兹，但莱布尼兹成果的发表则早于牛顿.莱布尼兹在1684年10月发表的《教师学报》上的论文，“一种求极大极小的奇妙类型的计算”，在数学史上被认为是最早发表的微积分文献.牛顿在1687年出版的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家G 、W 莱布尼兹的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，……这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法.他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外.”（但在第三版及以后再版时，这段话被删掉了.）因此，后来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自独立地创建微积分的.牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹.莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的.莱布尼兹认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一.因此，他发明了一套适用的符号系统，如，引入dx 表示x 的微分，∫表示积分，等等.这些符号进一步促进了微积分学的发展.1713年，莱布尼兹发表了《微积分的历史和起源》一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性.你知道为什么称为牛顿---莱布尼兹公式了吧！习题5.21.求下列函数的导数： (1)dt t x F x ⎰+=021)( (2)dt ttx F x a⎰=2sin )( (3) dt e t x F xt⎰-=12)( (4)tdt x F x x⎰-=22cos )(2.求下列函数的极限：(1)xtdt x x ⎰→020cos lim(2)211)1()1(lim--⎰→x dtt t x x(3)2arctan limxtdt x x ⎰→ (4)2)11(limxdtt t x x ⎰--+→3.求函数⎰-=xdt t t x F 0)2()(在区间]3,1[-上的最大值和最小值.4.求由曲线x x y 22+-=与直线2,0==x x 及x 轴所围成的曲边梯形的面积. 5.求下列定积分的值： (1)dx x x )1(212-+⎰(2)dx x x )2(21+⎰(3)dx x x⎰+2021 (4)dx x ⎰211(5)dx x ⎰πcos (6)dx e x⎰225.3 定积分的积分法在第四章我们学习了用换元积分法和分部积分法求已知函数的原函数.把它们稍微改动就是定积分的换元积分法和分部积分法.但最终的计算总是离不开牛顿-莱布尼兹公式.5.3.1定积分的换元积分法定理5.4 设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，并且满足下列条件： （1）)(t x ϕ=，且)(αϕ=a ，)(βϕ=b ；（2）)(t ϕ在区间],[βα上单调且有连续的导数)(t ϕ'； （3）当t 从α变到β时，)(t ϕ从a 单调地变到b . 则有⎰⎰'=b adt t t f dx x f βαϕϕ)()]([)(上述公式称为定积分的换元积分公式.在应用该公式计算定积分时需要注意以下两点： ①从左到右应用公式，相当于不定积分的第二换元法.计算时，用)(t x ϕ=把原积分变量x 换成新变量)(t ϕ，积分限也必须由原来的积分限a 和b 相应地换为新变量t 的积分限α和β，而不必代回原来的变量x ，这与不定积分的第二换元法是完全不同的.②从右到左应用公式，相当于不定积分的第一换元法（即凑微分法）.一般不用设出新的积分变量，这时，原积分的上、下限不需改变，只要求出被积函数的一个原函数，就可以直接应用牛顿—莱布尼兹公式求出定积分的值.例5.3.1 求dx xx ⎰+301.解 令t x =+1，则12-=t x ，tdt dx 2=，当0=x 时，1=t ，当3=x 时，2=t ，于是dx xx ⎰+301=tdt t t 21212⋅-⎰=dt t ⎰-212)1(2=213]31[2t t -=38 例5.3.2 求xdx x sin cos 203⎰π.解法一设x t cos =，则xdx dt sin -=，当0=x 时，1=t ；当2π=x 时，0=t ，于是xdx x sin cos 203⎰π=)(013dt t -⋅⎰=dt t ⎰103=104]41[t =41. 解法二xdx x sin cos 203⎰π=x xd cos cos 203⎰-π=204]cos 41[πx -=41. 解法一是变量替换法，上下限要改变；解法二是凑微分法，上下限不改变. 例5.3.3 求dx e x ⎰-2ln 01.解 令t e x =-1，则)1l n (2t x +=，dt t tdx 212+=，当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t ，于是dx e x⎰-2ln 01=dt t t t ⎰+⋅10212=dt t t ⎰+102212=dt t )111(2102⎰+- =10]arctan [2t t -=22π-.例5.3.4 设)(x f 在区间],[a a -上连续，证明： （1）如果)(x f 为奇函数，则⎰-=a a dx x f 0)(； （2）如果)(x f 为偶函数，则⎰⎰-=a aadx x f dx x f 0)(2)(.这结论是定积分的性质5.1.8，下面我们给出严格的证明.证 由定积分的可加性知x d x f x d x f x d x f aaaa⎰⎰⎰+=--00)()()(，对于定积分⎰-0)(adx x f ，作代换t x -=，得⎰-0)(a dx x f =⎰--0)(adt t f =⎰-adt t f 0)(=⎰-adx x f 0)(， 所以⎰⎰⎰-+-=aaaadx x f dx x f dx x f 0)()()(=⎰-+adx x f x f 0)]()([（1）如果)(x f 为奇函数，即)()(x f x f -=-，则0)()()()(=-=-+x f x f x f x f ， 于是⎰-=aadx x f 0)(.（2）如果)(x f 为偶函数，即)()(x f x f =-，则)(2)()()()(x f x f x f x f x f =+=-+，于是⎰⎰-=aaadx x f dx x f 0)(2)(.例5.3.5 求下列定积分： （1）dx xx x ⎰-+33421sin （2）dx x x 22224-⎰- 解 （1）因为被积函数421sin )(x xx x f +=是奇函数，且积分区间]3,3[-是对称区间，所以dx x xx ⎰-+33421sin =0.（2）被积函数224)(x x x f -=是偶函数，积分区间]2,2[-是对称区间，所以dx x x 22224-⎰-=dx x x 22242-⎰，令t x sin 2=，则tdt dx cos 2=，t x cos 242=-， 当0=x 时，0=t ；当2=x 时，2π=t ，于是dx x x22224-⎰-=tdt t ⎰2022cos sin 162π=tdt 2sin 8202⎰π=dt t ⎰-20)4cos 1(4π=20)4sin 4(πt t -=π2. 2.分部积分法定理5.5 设函数)(x u u =和)(x v v =在区间],[b a 上有连续的导数，则有)()()]()([)()(x du x v x v x u x dv x u bab aba⎰⎰-=.上述公式称为定积分的分部积分公式.选取)(x u 的方式、方法与不定积分的分部积分法完全一样.例5.3.6 求⎰21ln xdx x .解⎰21ln xdx x =⎰212)(ln 21x xd =)(ln 21ln 21212212x d x x x ⎰-=⎰-21212ln 2xdx =212412ln 2x -=432ln 2-.例5.3.7 求⎰πsin xdx x .解⎰πsin xdx x =⎰-πcos x xd =⎰+-ππ0cos cos xdx x x=ππ0sin x +=π.例5.3.8 求dx e x ⎰10.解 令t x =，则2t x =，tdt dx 2=,当0=x 时，0=t ；当1=x 时，1=t .于是dx e x⎰10=dt te t⎰12=⎰12ttde =dt e tet t ⎰-11022=1022t ee -=222+-e e =2.此题先利用换元积分法，然后应用分部积分法.习题 5.31.求下列定积分的值： (1)dx x xe ⎰+1ln 1 (2)dx x x ⎰-1021(3)dx e x x12121⎰ (4)⎰++3011x dx (5)⎰+6413xx dx (6)dx xx ⎰-1011(7)dx e x x 2202⎰ (8)⎰1arctan xdx(9)⎰-+10)1ln(e dx x (10)xdx e x cos 202⎰π2.求下列定积分：(1)dx x x x x )cos sin 3(2112++⎰- (2)dx x x xx ⎰-++11242312sin (3)dx ax x a a⎰-+222 (4)dx xx ⎰--+1121sin 15.4 定积分的应用由于定积分的概念和理论是在解决实际问题的过程中产生和发展起来的，因而它的应用非常广泛.问题1 在机械制造中，某凸轮横截面的轮廓线是由极坐标方程)cos 1(θ+=a r)0(>a 确定的，要计算该凸轮的面积和体积.问题2 修建一道梯形闸门，它的两条底边各长6m 和4m ，高为6m,较长的底边与水面平齐，要计算闸门一侧所受水的压力.为了解决这些问题，下面先介绍运用定积分解决实际问题的常用方法——微元法，然后讨论定积分在几何和物理上的一些简单应用.读者通过这部分内容的学习，不仅要掌握一些具体应用的计算公式，而且还要学会用定积分解决实际问题的思想方法.5.4.1定积分应用的微元法为了说明定积分的微元法，我们先回顾求曲边梯形面积A 的方法和步骤：(1)将区间],[b a 分成n 个小区间，相应得到n 个小曲边梯形，小曲边梯形的面积记为i A ∆),2,1(n i =；(2)计算i A ∆的近似值，即i i i x f A ∆≈∆)(ξ（其中],[,11i i i i i i x x x x x --∈-=∆ξ）；(3)求和得A 的近似值，即ini ix f A ∆≈∑=1)(ξ；(4)对和取极限得⎰∑=∆==→b aini idx x f x f A )()(lim1ξλ.下面对上述四个步骤进行具体分析：第(1)步指明了所求量（面积A ）具有的特性：即A 在区间],[b a 上具有可分割性和可加性.第(2)步是关键，这一步确定的i i i x f A ∆≈∆)(ξ是被积表达式dx x f )(的雏形.这可以从以下过程来理解：由于分割的任意性，在实际应用中，为了简便起见，对i i i x f A ∆≈∆)(ξ省略下标，得x f A ∆≈∆)(ξ，用],[dx x x +表示],[b a 内的任一小区间，并取小区间的左端点x 为ξ，则A ∆的近似值就是以dx 为底，)(x f 为高的小矩形的面积（如图5.7阴影部分），即dx x f A )(≈∆.通常称dx x f )(为面积元素，记为dx x f dA )(=.将(3),(4)两步合并，即将这些面积元素在],[b a 上“无限累加”，就得到面积A .即⎰=badx x f A )(.一般说来，用定积分解决实际问题时，通常按以下步骤来进行：图5.7（1）确定积分变量x ，并求出相应的积分区间],[b a ；（2）在区间],[b a 上任取一个小区间],[dx x x +，并在小区间上找出所求量F 的微元dx x f dF )(=；（3）写出所求量F 的积分表达式⎰=b adx x f F )(，然后计算它的值.利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法. 注 能够用微元法求出结果的量F 一般应满足以下两个条件： ①F 是与变量x 的变化范围],[b a 有关的量；②F 对于],[b a 具有可加性，即如果把区间],[b a 分成若干个部分区间，则F 相应地分成若干个分量.5.4.2定积分求平面图形的面积1.直角坐标系下面积的计算(1)由曲线)(x f y =和直线0,,===y b x a x 所围成曲边梯形的面积的求法前面已经介绍，此处不再叙述.(2)求由两条曲线)(),(x g y x f y ==，))()((x g x f ≥及直线b x a x ==,所围成平面的面积A （如图5.8所示）.下面用微元法求面积A . ①取x 为积分变量，],[b a x ∈.②在区间],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，该区间上小曲边梯形的面积dA 可以用高)()(x g x f -，底边为dx 的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素dx x g x f dA )]()([-=.③写出积分表达式，即⎰-=badx x g x f A )]()([.⑶求由两条曲线)(),(y x y x ϕψ==，))()((y y ϕψ≤及直线d y c y ==,所围成平 面图形（如图5.9）的面积.这里取y 为积分变量，],[d c y ∈， 用类似 (2)的方法可以推出：⎰-=dcdy y y A )]()([ψϕ.例5.4.1 求由曲线2x y =与22x x y -= 所围图形的面积.解 先画出所围的图形（如图5.10）由方程组⎩⎨⎧-==222xx y x y ，得两条曲线的交点为图5.8图5.9)1,1(),0,0(A O ，取x 为积分变量，]1,0[∈x .由公式得dx x x x A )2(122⎰--=1032]32[x x -=31=.例5.4.2 求曲线x y 22=与4-=x y 所围图形的面积. 解 画出所围的图形（如图5.11）.由方程组⎩⎨⎧-==422x y xy 得两条曲线的交点坐标为)4,8(),2,2(B A -，取y 为积分变量，]4,2[-∈y .将两曲线方程分别改写为4212+==y x y x 及得所求面积为 dy y y A ⎰--+=422)214(4232)61421(--+=y y y 18=. 注 本题若以x 为积分变量，由于图形在]8,2[]2,0[和两个区间上的构成情况不同，因此需要分成两部分来计算，其结果应为：⎰⎰--+=8220)]4(2[22dx x x dx x A82223223]421322[324x x x x+-+=18=.显然，对于例5.4.2选取x 作为积分变量，不如选取y 作为积分变量计算简便.可见适当选取积分变量，可使计算简化.例5.4.3 求曲线x y x y sin cos ==与在区间],0[π上所围平面图形的面积.解 如图5.12所示，曲线x y x y sin cos ==与的交点坐标为)22,4(π，选取x 作为 积分变量，][π,0∈x ，于是，所求面积为2x x -图5.104-=x。
定积分第五节定积分的应用
=p
b2 a2
[a
2
x
-
1 3
x3 ]a-
a
=
4 p ab
3
2
.
例8由y x3 x 2 y 0所围成的图形 分别绕x轴及y轴旋转 计算所得两个旋转体的 体积
解：
绕x轴旋转所得旋转体 的体积为
绕y轴旋转所得旋转体 的体积为
Vx02y2dx02x6dx
2
Vy22808x2dy3208y3dy
3233y5864 1x7 2 128 5 05 7 0 7
给出, 其中f(x)在区间[a, b]上具有一阶连续导数. 现
在来计算这曲线弧的长度. 弧长元素(弧微分) :
y
yf(x)
ds
ds(x d)2(d y)2 1y2dx
因此所求弧长 s b 1y2 dx o a xxdxb x a
曲线
y f(x)(a x b)的
弧长：
解：
例12
sab1y2d x
计算曲线y ln x上相应于
曲线弧的长为 s 2 ( ) 2 ( ) d
da22sa2da12d
s02a12d2a[2142l2n142)( ]
sab1y2d x
s02a12d2a[2142l2n142)( ]
曲线
( )(
)的弧长：
例15 求阿基米德螺线 a (a>0)相应于 从0到2 一段的弧长.
解
立体的体积为
平行截面面积为已知 的立体的体积
A(x)dx.
A(x)
VabA(x)d x
截面面积为A(x)的立体体积V ： a b A ( x ) d
例10 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角. 计算这平面截圆柱所得立体的体积.
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O a x x dx b x 图5 1 微元法图形
b
(2)将上式右端在区间a,b上积分,得A f (x)dx一般地, a
若所求量A与x变化区间 a, b 有关.且关于区间 a, b 具有可加性, 在a,b上的任意一个小区间x, x dx上找出所求量的一微小量
的近似值dA f (x)dx,然后把它作为被积表达式,从而得到所求
b
元dA g2 ( y) g1( y),面积A g2 ( y) g1( y) c
例1 求抛物线y 4 x2与x轴所围成的平面图形面积.
解 如图17 4所示,取积分变量为x,为了确定平面图形所在范围,
先求抛物线y
4
x2与x轴的交点.为此解方程组
y
4
x2
y 0
交点为(2, 0)与(2, 0), 可知积分
y y
x2 2 x
得交点为(0,0)与(1,1),故积分
y
区间为0,1,其面积微元为dA
( x x2 )dx.(等式右端为什么不
y2 x
能表示为(x2 - x )dx ?)因而所求
y x2
图形面积为
A
1
(
0
x
x2 )dx
2 3
3
x2
1 3
1
x
3
0
1 3
O
x
图5-5 例2示意图
例3 求由抛物线y2 2x与直线y x 4所围成的平面图形的面积.
b
量A的积分表达式A f (x)xdx a
这种方法叫做微元法(或叫做元素法),dA f (x)xdx称为所求 量A的微元或元素.
思考题 1.使用定积分微元法要满足哪些条件?
答案
2.请用定积分表示由曲线y= 1 , y x, x 2所围图形的面积S. x 答案
3.应用微元法解决实际问题,最重要的一步是什么?
第一节 定积分的微元法
在第十六章中，利用定积分表示曲边梯形的面积、变 速直线运动的路程这些量时，均采用了分割、近似、求和、 取极限四个步骤，建立了所求量的积分式.以求曲边梯形面 积为例子，简单回顾一下求解过程.
设函数y f (x)在区间a,b上连续,且f (x) 0,求以曲线
y f (x)为曲边,以a,b为底的曲边梯形的面积A.
第五章 定积分的应用
第一节 第二节 第三节 第四节
定积分的微元法 定积分在几何中的应用 定积分在物理中的应用 定积分在经济问题中的简单应用
本章用定积分方法分析和解决一些实际问题.通过一些 实际例子，不仅可以掌握某些量的计算公式，而且更重要 的是学会运用微分元法将一个未知量表达成定积分的分析 方法.
b
面积A f (x)dx a (2)由上,下两条曲线y f1(x), y f2 (x), f2 (x) f1(x) 及x a, x b, (a b)所围成的图形(见图5-2), 其面积微 b 元dA f2 (x) f1(x), 面面积A f2 (x) f1(x)dx a
1 6
4
y
3
2
18
图5-6 例3示意图
y
例4 求摆线
x
y
a(t sin t) a(1 cos t)
,
(0
t
2
)
的第一拱与x轴所围成的图形
面积(见图5-7)
解 以x为积分变量,当t 0时, x 0;
当t 2时,x 2.一进应用积分
的换元法得所求面积
O
2 a x
图5-7 例4示意图
2 a
(1)分割 将a,b任意分成n个子区间xi1, xi ,(i 1, 2, , n),相
应地将曲边梯形分成n个小曲边梯形;
(2)近似 在每一个子区间 xi1, xi 上任取一点i ,以f (i )和xi
为边长的小矩形的面积近似替代相应的小曲边梯形的面积Ai ,
即Ai f (i )xi
(3)求和
曲边梯形面积A的近似值为A
解
如图5
6所示, 取y为积分变量比较简便.解方程组
x
1 2
y2
得交点(2, 2)与(8, 4),所以积
x 4 y
分区间为2, 4.其面积元素为
dA
( y
4)
y2 2
dy,故所求图
形面积为
A
4 ( y 2
4)
y2 2
dy
y2 2x
(8, 4)
y x4
O (2, 2)
1 2
y2
4y
答案
课堂练习题
1.求由曲线y = ln x, y轴和直线 y = ln a,y = ln b b > a > 0
所围图形的面积.
答案
2.曲线r = 2a cos所围图形面积S为多少?
答案
第二节 定积分在几何中的应用
一、平面图形的面积 1. 在直角坐标系下的计算
(1)根据第一节的分析可知,由曲线y f (x) 0, x a, x b, (a b)及x轴所围成的图形(见图5 1),其面积微元dA f (x)dx
b
的定积分 f (x)dx被积表达式相同,从而可以把上述四步简化 a
为两步.
y
(1)选取积分变量x a,b,在
y f (x)
a,b上任取一代表性区间x, x dx
如图17 1所示,区间x, x dx上的小
dA
曲边梯形的面积A可近似以数f (x)为
高, dx为底的小矩形面积f (x)dx,即 A f (x)dx
2
A ydx a(1 cost)d a(t sin t)
y y f2(x)
y d x g1( y) y dy x g2 ( y)
a
x
x dx b x
dA y
O
y f1(x)
c
O
x
5-2 微元法求面积
5-3 微元法求面积
(3)由左右两条曲线x g1( y), x g2 ( y),g2 ( y) g1( y)
及y cy d,(c d )所围成的的图形(见图17 3),其面积微
区间为-2,2,其面积微元为dA
y 4 y 4 x2
(4 x2 )dx故所求图形面积为
A
2
(4 x2 )dx 2
2 (4 x2 )dx 32
2
0
3
2 O
2
x
图5-4 例1示意图
例2 计算由两条抛物线y x2与y2 x所围成的平面图形的面积.
解
如图5
5所示,
取x为积分变量.解方程组
n
Ai
n
f
(i )xi
i1
i1
(4)取极限 = max{x1,x2, ,xn},于是
n
b
A
lim
0 i1
f
(i )xi
f (x)dx
a
在上述四步中, 若从任意分割后的若干子区间上任取一个
代表来讨论,这个代表区间可记为x, x dx,而点i可以用x来
代替,那么(2)中的近似形式f (i )xi可表示为f (x)dx,它和(4)中