中考数学中考数学压轴题 易错题测试提优卷试题

一、中考数学压轴题

1．如图，在平面直角坐标系中，点(1,2)A ，(5,0)B ，抛物线2

2(0)y ax ax a =->交x 轴正半轴于点C ，连结AO ，AB ．

（1）求点C 的坐标；

（2）求直线AB 的表达式；

（3）设抛物线22(0)y ax ax a =->分别交边BA ，BA 延长线于点D ，E ．

①若2AE AO =，求抛物线表达式；

②若CDB △与BOA △相似，则a 的值为 ．（直接写出答案）

2．如图所示，在平面直角坐标系中，点(),C m m 在一三象限角平分线上，点(),0B n 在x 轴上，且m=2n -+2n -+4，点A 在y 轴的正半轴上；四边形AOBC 的面积为6 （1）求点A 的坐标；

（2）P 为AB 延长线上一点，//PQ OC ，交CB 延长线于Q ，探究OAP ∠、ABQ ∠、Q ∠的数量关系并说明理由；

（3）作AD 平行CB 交CO 延长线于D ，BE 平分CBx ∠，BE 反向延长线交CO 延长线于，若设ADO α∠=，F β∠=，试求2αβ+的值．

3．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数．其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”． 例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”．

（1）直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是__________； （2）求同时满足下列条件的所有“和平数”：

①个位上的数字是千位上的数字的两倍；

②百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数；

（3）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”．

例如：1423于4132为“相关和平数”

求证：任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数．

4．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．

（概念感知）

（1）如图1，在ABC 中，12AC =，10BC =，30ACB ∠=︒，试判断ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由．

（问题探究）

（2）如图2，ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，把ABC 沿BC 翻折得到DBC △，连AB 接AD 交BC 的延长线于点E ，若点C 恰好是ABD △的重心，求AB BC

的值．

（拓展提升） （3）如图3，12l l //，且直线1l 与2l 之间的距离为3，“准黄金”ABC 的“金底”BC 在直线2l 上，点A 在直线1l 上．105

AB BC =，若ABC ∠是钝角，将ABC ∠绕点C 按顺时针方向旋转()090αα︒<<︒得到A B C ''，线段A C '交1l 于点D ．

①当30α=︒时，则CD =_________；

②如图4，当点B 落在直线1l 上时，求

AD CD 的值．

5．如图，在等边ABC ∆中，延长AB 至点D ，延长AC 交BD 的中垂线于点E ，连接BE ，DE ．

（1）如图1，若310DE =，23BC =，求CE 的长；

（2）如图2，连接CD 交BE 于点M ，在CE 上取一点F ，连接DF 交BE 于点N ，且DF CD =，求证：12

AB EF =；

（3）在（2）的条件下，若45AED ∠=︒直接写出线段BD ，EF ，ED 的等量关系

6．如图，在平面直角坐标中，点O 为坐标原点，ABC ∆的三个顶点坐标分别为()A O m ,，(),B m O -，(),C n O ，5AC =且OBA OAB ∠=∠，其中m ，n 满足725m n m n +=⎧⎨-=⎩

．

（1）求点A ，C 的坐标；

（2）点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负方向运动，设点P 的运动时间为t 秒.连接BP 、CP ，用含有t 的式子表示BPC ∆的面积为S （直接写出t 的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，是否存在t 的值，使得ΔΔ32

PAB POC S S =，若存在，请求出t 的值，并直接写出BP 中点Q 的坐标；若不存，请说明理由．

7．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和图形M ，若图形M 上存在两点P ，Q ，使得3AP AQ =，则称点A 是图形M 的“倍增点”．

（1）若图形M 为线段BC ，其中点()2,0B -，点()2,0C ，则下列三个点()1,2D -，()1,1E -，()0,2F 是线段BC 的倍增点的是_____________；

（2）若

O 的半径为4，直线l ：2y x =-+，求直线l 上O 倍增点的横坐标的取值范围；

（3）设直线1y x =-+与两坐标轴分别交于G ，H ，OT 的半径为4，圆心T 是x 轴上的动点，若线段GH 上存在T 的倍增点，直接写出圆心T 的横坐标的取值范围．

8．如图，直线y ＝12x ﹣2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，抛物线y ＝ax 2﹣32x+c 经过A ，B 两点，与x 轴的另一交点为C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）M 为抛物线上一点，直线AM 与x 轴交于点N ，当32MN AN =时，求点M 的坐标； （3）P 为抛物线上的动点，连接AP ，当∠PAB 与△AOB 的一个内角相等时，直接写出点P 的坐标．

9．对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ，

，如果满足x y a += (x ≥0，a 为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”．

（1）当2≤a ≤3时，

①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中，满足此条件的特征点为__________________；

②⊙W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围；

（2）已知函数()10Z x x x

=+>，请利用特征点求出该函数的最小值．

10．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点．

已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．

（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；

（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；

（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝

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x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．