数值计算方法(第1章)

2
d 2 所以 ml mg sin 2 dt 2 d g 即 sin 0 2 dt l g 当很小时, sin , 令 l d 2 2 则有 0 2 dt
2
解微分方程得1， 2 ，故有
c1 cost c2 sin t c c . sin(t )
x e (x ) x e (x )
* 2 r * 1 * 1 r * 2
同理得
x1* * * er ( * ) er ( x1 ) er ( x2 ) x2
* * * x1* x2 e( x1* ) x1 e ( x2 ) e( * ) * 2 x2 ( x2 )
设函数y f ( x), 当x用近似数x 代替
0
由Newton Leibniz公式无法求解，仅可用数值方 1 法求解。仍选择n 2, h ,的复化simpson公式进 2 行数值求解有 I 2 0.746855379 。
例1.1.3
求解初值问题
2x dy y y dx y ( 0) 1 解 该方程是Bernoulli 方程，令u y 2解得 2 x 1。本题数值方法很多，如
1 0.00000734 ...... 10 4 2 * 称 3.1416 具有五位有效数字的近似数。
1 mn 设x 10 0.a1a2 a3 ...an ..., 若 10 则 2 an为有效数字，且a1 , a2 ...an 1均为有效数。
m
在计算机中表示为：
数值计算方法
主讲 刘玲 南京大学计算机科学与技术系
第1章 绪论

随着科学技术的飞速发展，科学计算愈 来愈显示出其重要性。科学计算的应用 之广已遍及各行各业，例如：气象资料 的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形 设计，高科技研究等都离不开科学计算。 因此，作为科学计算的数学工具数值计 算方法已成为各高等院校数学、物理和 计算机应用专业等理工科本科生的专业 基础课,也是工科硕士研究生的学位必修 课。
2 1 2 2
因此
l T 2 g
2
现在我们来分析单摆周期求解过程的误差情况：
忽略空气阻力 1 模型误差 忽略o点处的摩擦力
0
2 0 截断误差： sin 由Taglor展式： sin [
3
3! 5! 30 观察误差：g 9.8米 / 秒 2 , l长度 4 0 舍入误差.： ,,*, /, 开方
* *
* x f (x ) * 若记C | f ( x ) |, C r | |, 当C 1, * f (x ) *
C r 1时有 e( f ) e( x * ) er ( f ) er ( x )
*
这表明当C 1, C r 1时，函数值的误差 是可以控制的，或是稳定的。
*
在实际计算绝对误差和相对误差时， 哟由于准确 书 x 未知，因此常用
* e ( x ) * er ( x ) * x
表示 er ( x* ) 。
有效数字

在工程上，误差的概念就转化为有效数字。
例如 则
3.14159265 ......的近似数 3.1416
*
e( * ) 3.1416 3.14159265 ...

数值计算方法——〉程序设计——〉计算结 果：根据数学模型提出求解的数值计算方法， 直到编出程序上机算出解，是计算数学的任 务。

数值计算方法重点研究：求解的数值方 法及与此有关的理论

包括：方法的收敛性，稳定性，误差分析， 计算时间的最小（也就是计算费用）,占用 内存空间少.

有的方法在理论上虽不够严格，但通过 实际计算，对比分析等手段，被证明是 行之有效的方法，也可以采用。因此， 数值分析既有纯数学高度抽象性与严密 科学性的特点，又有应用的广泛性与实 验的高度技术性特点，是一门与使用计 算机密切结合的实用性很强的数学课程。

数值分析或数值计算方法主要是研究如 何运用计算机去获得数学问题的数值解 的理论和方法.对那些在经典数学中,用解 析方法在理论上已作出解的存在,但要求 出他的解析解又十分困难,甚至是不可能 的这类数学问题,数值解法就显得不可缺 少,同时有十分有效.

计算机解决科学计算问题时经历的几个 过程


实际问题——〉数学模型——〉数值计算方 法——〉程序设计——〉上机运行求出解 实际问题——〉数学模型：由实际问题应用 科学知识和数学理论建立数学模型的过程， 是应用数学的任务。

5
...]
误差的分类


模型误差 从实际问题建立的数学模型往 往都忽略了许多次要的因素,因此产生的 误差称为模型误差. 观测误差 一般数学问题包含若干参数,他 们是通过观测得到的,受观测方式、仪器 精度以及外部观测条件等多种因素，不 可能获得精确值，由此而来产生的误差 称为观测误差。
I1 4 arctan x |1 0 4 arctan1 4 arctan 0 1 数值方法有多种，如选择n 2, h , 被积函数 2 4 f ( x) 的复化Simpson公式有 2 1 x
h 1 1 3 I1 [ f (0) 4 f ( ) 2 f ( ) 4 f ( ) f (1)] 6 4 2 4 3.141568627 1 2 -x 2 x （2）I 2 e dx,由于f ( x) e 无原函数，因此，
* *

绝对误差，相对误差，有效数是度量近似数 精度的常用三种。实际计算时最终结果均以 有效数给出。同时也就隐含了绝对误差和相 对误差界。
如
*
x 2 , x* 1.4142 , m 1, n 5
1 4 则x 的绝对误差界 10 2
而相对误差界估计为 1 4 10 * 5 2 | e r ( x ) | * 4 10 1.4142 x 即 r 4 10 5
一般分别称C , Cr为f ( x)在绝对意义下 和相对意义下的条件数 。 当C 1称f ( x)为良态； 当C 1称f ( x)为病态。
例题
例1.2.2 讨论函数
*
f ( x) x x 10100 在正根附近的性态。 解 由f ( x) 0解得x1 101, x2 100 x 100
*
计算函数值则f ( x * )时，则误差为 e( f ) f ( x * ) f ( x ) df ( x * )
* * * * f ( x )( x x) f ( x )e( x )
或
x f ( x ) * er ( f ) er ( x ) * f (x )
解析解y
我们选择经典的四阶R K方法 :
1 yn 1 yn 6 (k1 2k 2 2k3 k 4 ) k hf (t , y ) n n 1 h k1 k 2 hf (t n , yn ) 2 2 k hf (t h , y k 2 ) n n 3 2 2 k 4 hf (t n h, yn k3 )) 2x 这里, f ( x, y ) y ；h为步长。 y
2.04939 2.04939
2.14476 2.14476 2.23607 2.23607 … …
1.2误差概念和有效数

在任何科学计算中其解的精确性总是相
对的,而误差则是绝对的.我们从下面这个
例子就可以了解误差产生的原因.
例1.2.1 试求摆长为L的单摆运动周期.
l 在物理学中我们知道单摆周期T 2 g 其中 : l为摆长；g为自由落体加速度；m是质点 的质量。如图所示：由牛顿定律 d f mg sin ma ml 2 dt
法计算的，但有可能给出估计。误
差界就是用于误差估计的。
误差估计
定义1.2.2 设x 是精确数x的一个近似数,
*
若有正数和 r 满足 : | e( x ) || x x |
* * * | x x| * | er ( x ) | r | x|
则称和 r为近似数x 的绝对误差界和相对误差界。
数学问题的数值解法例示
例1..1.1试求函数方程x=cosx在区间 内的 一个根。 解 令f ( x) x cos x, 易知f ( x)在[0, ]上是连续函数, 且

(0, ) 2

f (0) f ( ) (1) * 0 2 2


2
由零点定理知, 方程f ( x) 0在(0, )内至少有一个零点. 2 又由f ( x) 1 sin x 0, x (0, ) 2 知上述零点唯一.
* 1
* 2
e( x ) e( x )
* 1 * 2
er ( x x ) d ln( x x ) d (ln x ln x )
* * 1 2 * * 1 2 * 1 * 2 * * * * d ln x1 d ln x2 er ( x1 ) er ( x2 )
* * * * * * * 故：e( x1* x2 ) x1* x2 er ( x1 x2 ) x1 x2 [er ( x1* ) er ( x2 )]


截断误差 在求解过程中，往往以近似替 代，化繁为简，这样产生的误差称为截 断误差。 舍入误差 在计算机上运算时受机器字长 的限制，一般必须进行舍入，此时产生 的误差称为舍入误差。
误差和有效数字
定义1.2.2
*
设x *为准确数x的一个近似数, 称
*
e( x ) x x 和 e( x ) er ( x ) ( x 0) x 为近似数x *的绝对误差和相对误差。
现取h=0.05,其结果见下表: xn yn y xn yn y