2013—2014海淀区第一学期期中高三数学(文科)参考答案

海淀区高三年级第一学期期中练习(答案)

数学（文科） 2013.11

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

BDCA B A AB

二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。 9. (,1][0,)-∞-+∞ 10.111. 312.

2π3,π

6

13. 314.3；6(31)n - （说明：第12和14题的两空，第一空3分，第二空2分）

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分14分）

解：（I

）π

()cos(2)2

f x x x +- ---------------------------------------2分

sin 2x x =+ -------------------------------------------------4分

π

2sin(2)3

x =+ -------------------------------------------------6分

()f x 最小正周期为T π=， -------------------------------------------------8分 （II ）因为ππ

32x -

≤≤，所以ππ4π2333x -≤+≤

--------------------------------------10分

所以π

sin(2)13

x ≤+≤ ---------------------------------------12分

所以π

2sin(2)23

x +≤，所以()f x

取值范围为[.---------------14分

16.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由60A =

和ABC S ∆=

1sin602bc = 分

所以6bc =，--------------------------------------3分

又32,b c =

所以2,3b c ==. ------------------------------------5分

（Ⅱ）因为2,3b c ==,60A =

,

由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得 ------------------------------------7分

2222367a =+-=

，即a =. ------------------------------------9分

由正弦定理

sin sin a b

A B =

2sin B =，---------------------------------12分

所以sin 7

B =

.------------------------------------13分 17.（本小题满分13分）

解：（I ）设等比数列{}n a 的公比为q ，

由313a a -=得21(1)3a q -=① ----------------------------------2分 由123a a +=得1(1)3a q +=②----------------------------------4分

两式作比可得11q -=，所以2q =， ----------------------------------5分

把2q =代入②解得11a =，----------------------------------6分

所以12n n a -=. ----------------------------------7分 （II ）由（I ）可得21141n n n b a -=+=+ ----------------------------------8分

易得数列1{4}n -是公比为4的等比数列， 由等比数列求和公式可得

141(41)143

n n n S n n -=+=-+-.------------------------------13分

（说明：未舍1q =-扣1分，若以下正确，给一半分；两个求和公式各2分，化简结果1分）

18.（本小题满分13分）

解：（I

t =，所以点P 的横坐标为21t -,----------------------------2分 因为点H 在点A 的左侧，所以2111t -<

，即t -<由已知0t >

，所以0t << -------------------------------------4分

所以2211(1)12,AH t t =--=-

所以APH ∆

的面积为21()(12),02

f t t t t =-<<.---------------------------6分 （II ）233'()6(2)(2)22

f t t t t =-=-+- --------------------------7分 由'()0f t =，得2t =-（舍）,或2t =. --------------------------8分

函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况如下：

------------------------------------12分 所以当2t =时，函数()f t 取得最大值8. ------------------------------------13分 19.（本小题满分14分）

解：（I ）当1a =时，()ln f x x x =+，1

'()1(0)f x x x

=+

>------------------------------1分 (1)1f =，'(1)2f = -------------------------------3分 所以切线方程为210x y --= --------------------------------5分

（II ）'()(0)x a

f x x x

+=

> -----------------------------6分 当0a ≥时，在(0,)x ∈+∞时'()0f x >，所以()f x 的单调增区间是(0,)+∞；-8分 当0a <时，函数()f x 与'()f x 在定义域上的情况如下：

------------------------------------10分 （III ）由（II ）可知

①当0a ≥时，(0,)+∞是函数()f x 的单调增区间，且有11()

1110a a

f e

e

--

=-<-=，(1)10f =>，

---------------11分

所以，此时函数有零点，不符合题意；---------------12分

②当0a <时，()f a -是函数()f x 的极小值，也是函数()f x 的最小值，

所以，当()(ln()1)0f a a a -=-->，即e a >-时，函数()f x 没有零点，-------13分 综上所述，当e 0a -<<时，()f x 没有零点.-----------------14分 20.（本小题满分13分）

解：（I ）集合A 的所有元素为：4,5,6,2,3,1. ----------------------3分

（说明：学生若写成{4,5,6,2,3,1}A =，不扣分，写不全的两个元素给1分） （II ）不妨设成等比数列的这连续7项的第一项为k a ，

如果k a 是3的倍数，则11

3

k k a a +=；如果k a 是被3除余1，则由递推关系可得22k k a a +=+，所以2

k a +是3的倍数，所以3213

k k a a ++=；如果k a 被3除余2，则由递推关系可得11k k a a +=+，所以1k a +是3的倍数，所以2113

k k a a ++=.

所以，该7项的等比数列的公比为1

3

.

又因为*n a ∈N ，所以这7项中前6项一定都是3的倍数，而第7项一定不是3的倍数（否则构成等比数列的连续项数会多于7项），

设第7项为p ，则p 是被3除余1或余2的正整数，则可推得63k a p =⨯ 因为67320143<<，所以63k a =或623k a =⨯.

由递推关系式可知，在该数列的前1k -项中，满足小于2014的各项只有：

1k a -=631,-或6231⨯-,2k a -=632,-或6232⨯-,

所以首项a 的所有可能取值的集合为

{663,23⨯,6631,231,-⨯-6632,232-⨯-}. -----------------------8分 （III ）若k a 被3除余1，则由已知可得11k k a a +=+,2312,(2)3

k k k k a a a a ++=+=+；

若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a +=+,21(1)3k k a a +=+,31(1)13

k k a a +≤++； 若k a 被3除余0，则由已知可得113k k a a +=,3123

k k a a +≤+； 所以3123

k k a a +≤+，

所以312

(2)(3)33k k k k k a a a a a +-≥-+=-

所以，对于数列{}n a 中的任意一项k a ，“若3k a >，则3k k a a +>”. 因为*k a ∈N ，所以31k k a a +-≥.

所以数列{}n a 中必存在某一项3m a ≤（否则会与上述结论矛盾！） 若1m a =,结论得证.

若3m a =,则11m a +=；若2m a =,则123,1m m a a ++==, 所以1A ∈. -----------------------------------------13分

说明：对于以上解答题的其它解法，可对照答案评分标准相应给分。