变步长梯形求积公式函数设计
教案二复化求积公式、变步长求积方法
=
T (h 2)
− T (h))
=
T (h 2)
− T (h)) .
3
4 −1
总结：变步长求积方法的优点： 1）不需要事先确定步长；
3
2）能对每步计算结果估计误差； 3）与相应的复化求积公式计算量相当； 4）是一种稳定的和收敛的求积方法. 类似于上述讨论，也可以将步长求积方法用于复化辛普森求积公式。. 例 3.3.1 利用变步长方法计算
∫1 sin xdx
0x 使截断误差不超过 0.5 ×10−3 . 本例目的：1）演示变步长方法的计算过程；2）说明算法如何终止。 课堂小结 布置作业 参考文献 1. Burden R L, Faires J D.Numerical Ananlysis(Fourth Edition). Prindle, Boston, Weder and Schmidt,1989. 2. Stoer J.,Bulirsch R.,Introduction to Numerical Analysis, Second Edition, SpringerVerlag, NewYork, 1992. 3. A. Ralston and P.Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis, Dover Publication, 2001. 4. Cuyt A., Wuytack L., Nonlinear Methods in Numerical Analysis, Elsevier Science Publishers, B.V.,1987. 5. Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Numerical Analysis (Seventh Edition), Brooks Pub. Co.,2001. 6. 蔡大用，白峰杉. 高等数值分析. 清华大学出版社，北京，1998. 7. 邓建中，刘之行. 计算方法（第二版）.西安交通大学出版社，2001. 8. 韩旭里. 数值分析. 中南大学出版社，2003.
复化梯形法 复化矩形法 变步长梯形 变步长辛普森
陕西科技大学机械教改班用C++的积分其实积分的思想就是,微分—>求和—>取极限，如果是用纯手工法那就是先对一个函数微分，再求出它的面积，在取极限，因为我们的计算速度和计算量有限，现在有了计算机这个速度很快的机器，我们可以把微分后的每个小的面积加起来，为了满足精度，我们可以加大分区，即使实现不了微分出无限小的极限情况，我们也至少可以用有限次去接近他，下面我分析了四种不同的积分方法，和一个综合通用程序。
一．积分的基本思想1、思路：微分—>求和—>取极限。
2、Newton —Leibniz 公式 ⎰-=ba a Fb F dx x f )()()( 其中，)(x F 被积函数)(x f的原函数。
3、用计算机积分的思路在积分区间内“微分—>求和—>控制精度”。
因为计算机求和不可以取极限，也就是不可以无限次的加下去，所以要控制精度。
二．现有的理论1、一阶求积公式---梯形公式⎰=+-=b a T b f a f a b dx x f )]()([2)( 他只能精确计算被积函数为0、1次多项式时的积分。
2、二阶求积分公式——牛顿、科特斯公式 ⎰=+++-=ba Sb f a b f a f a b dx x f )]()2(4)([6)(他只能精确计算被积函数为0、1、2、3次多项式时的积分。
三．四种实现方法1.复化矩形法将积分区间[a,b]等分成n 个子区间:],[],[],[],[],[112322110n n n n x x x x x x x x x x ---、、、 则h=(b-a)/n,区间端点值k x =a+kh)hf(x ))f(x x (x I 11121=-=)()()x (22232x hf x f x I =-=............................)()()(111n ---=-=n n n n x hf x f x x I∑==ni i x hf T 1n )(源程序：#include <iostream.h>#include<math.h>double f(double x) //计算被积函数{double y;y=log(1+x)/(1+x*x); //被积函数return y;}double Tn(double a,double b,int n) //求Tn{double t=0.0;double xk; //区间端点值double t1,t2; //用来判断精度do{double h=(b-a)/n;for(int k=1;k<=n-1;k++) //每一小段的矩形叠加 {t1=t;xk=a+k*h;t+=h*f(xk);t2=t;}n++; //如果精度不够就对区间再次细分，直到达到精度要求 }while(fabs(t1-t2)<=1e-7); //判断计算精度return t;}void main(){double a=0.0; //积分下线double b=2.0; //积分上限int n=1024; //把区间分为1024段cout<<Tn(a,b,n)<<endl; //输出积分结果}执行结果：2.复化梯形法方法和复化矩形法类似，只是把原来的矩形小面积变成了梯形小面积，但是精确度明显提高了，也就是说达到同样的精度需要的时间少了。
变步长梯形公式(C语言)
变步长梯形公式（C语言）程序：// cehngxu.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//#include"stdafx.h"#include"stdio.h"#include"math.h"double f(double x) //这里自定义了函数，因为出现sin(0)/0的情况，系统无法计算；{double y;if (x == 0)y = 1; //把x=0作为一种情况，单独拿出来；elsey = sin(x) / x; //正常情况下的函数；return(y);} //编写这个自定义函数便于你在作业中的计算，对于不用的题目只需改动一下函数即可计算；void main() //主函数；{double a , b ,h,k,s,t[4998]; //数组的定义中不能出现变量，故对其任意取值，一般取一个很大的数；int n = 1, m = 0;printf("please input a=");scanf_s("%lf", &a); //在VC环境下用scanf输入没有问题，但是在我这编译环境visual studio 2013下需要用scanf_s()输入；printf("please input b=");scanf_s("%lf", &b);t[1] = (b - a)*(f(a) + f(b)) / 2;do{h = (b - a) / n;s = 0;for (k = 0; k < n; k++){s += f(a + (k + 0.5)*h);}t[2 * n] = t[n] / 2 + h / 2 * s; //梯形的递推公式n = 2*n;m = m + 1;}while (fabs(t[n]- t[n/2]) >= 0.0000001);printf("\n计算次数=%d",m);printf("\n计算结果=%.7lf", t[n]);printf("\n误差为=%.10lf", fabs(t[n] - t[n / 2]));}新加入的程序部分我做了批注，你应该能看懂，整个程序变化不大，主要是把下标我给你改成了数组，这样看起来比较直观，不容易迷糊。
变步长梯形求积matlab
变步长梯形求积matlab
变步长梯形求积法是一种数值积分的方法，用于计算一个函数在给定区间上的定积分。
在MATLAB中，可以使用以下代码来实现变步长梯形求积法：
```matlab
function integral = trapezoidal_rule(a, b, n, f)
h = (b - a) / n;
x = a:h:b;
y = f(x);
integral = (h/2) * (y(1) + 2*sum(y(2:end-1)) + y(end)); end
```
其中，`a`和`b`是积分区间的上下限，`n`是划分的梯形数目，`f`是要求积的函数。
函数内部的变量`h`计算出每个梯形的宽度，`x`生成了在区间上等间隔的节点，`y`根据`f`函数计算了这些节点上的函数值。
最后，利用梯形公式，将每个梯形面积加总并乘以梯形宽度的一半，得到了定积分的近似值。
使用时，可以将要求积的函数定义为一个匿名函数，并将其作为参数传递给`trapezoidal_rule`函数。
例如，计算函数`f(x) = x^2`在区间`[0, 1]`上的定积分，可以执行以下代码：
```matlab
f = @(x) x.^2;
a = 0;
b = 1;
n = 100;
integral = trapezoidal_rule(a, b, n, f);
disp(integral);
```
上述代码将会输出`0.3333`，这是函数`f(x) = x^2`在区间`[0, 1]`上的定积分的近似值。
高校(理工类)数学变步长的梯形法则教学(课堂讲义)
1 (Tn (h) 2 H n (h)) 3 h 1 h h 所以S 2 n ( ) (T2 n ( ) 2 H 2 n ( )) 2 3 2 2
变步长Simpson求积公 式
程序实现的基本思想： Tn (h) H n (h) S n (h) h h h T2 n ( ) H 2 n ( ) S 2 n ( ) 2 2 2 h h 当 S 2 n ( ) S n (h) 时，取S 2 n ( )为 2 2 定积分的近似值，否则 将分点加密一倍， 重复上述过程。
[例2]
11 1 1 1 I S 5 ( h) [( ) 2 ( 6 5 1 0 11 1 0.2 1 1 1 1 )] 1 0.4 1 0.6 1 0.8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 2 ( )) 30 2 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0.69315 24 ( 4) 因为 f ( x) 24 5 1 x
变步长Simpson求积算 法
1.输入a, b, , M ; 2. 计算Tn (h), H n (h), S n (h) h( f (a) f (b)) (1) n 1; h b a; T1 ; 2 ab 1 (2) H n hf ( ); S1 (T1 2 H n ); 2 3 h h h 3. 计算T2 n ( ), H 2 n ( ), S 2 n ( ) 2 2 2 1 h (1) T2 (T1 H n ); n 2n; h ; 2 2 n 1 1 (2) H n h f (a ( j )h); S 2 (T2 H n ); 2 3 j 1
复化梯形公式和变步长法的比较
复化梯形法 变步长法
变步长梯形求积法计算定积分(word文档良心出品)
变步长梯形求积法计算定积分1．原理：变步长求积法的思想是利用若干小梯形的面积代替原方程的积分，当精度达不到要求时，可以通过增加点数对已有的区间再次划分，达到所需精度时即可；其中由于新的式子中有原来n点中的部分项主要公式：T2n=T n/2+(h/2)*Σf(x k+0.5);2．源程序如下：#include"math.h"#include"iostream.h"double f(double x){double s;s=log(x*x);return(s);}double ffts(double a,double b,double eps){int n,k;double fa,fb,h,t1,p,s,x,t;fa=f(a);fb=f(b);n=1;h=b-a;t1=h*(fa+fb)/2;p=eps+1;while(p>=eps){s=0;for(k=0;k<=n-1;k++){x=a+(k+0.5)*h;s=s+f(x);}t=t1/2+h*s/2;p=fabs(t1-t);cout<<"步长n为:"<<n<<"时的"<<"Tn="<<t1<<'\t'<<"T2n="<<t<<'\t'<<"误差变化:"<<p<<endl;t1=t;n=n*2;h=h/2;}return(t);}void main(){double result,a,b,eps;cout<<"需要求解的积分式为f(x)=log(x^2)"<<endl;cout<<"输入边界值a="<<'\t';cin>>a;cout<<"输入边界值b="<<'\t';cin>>b;cout<<"输入误差限"<<'\t';cin>>eps;result=ffts(a,b,eps);cout<<"经过变步长梯形求积法得方程结果为:"<<result<<endl;}3．运行结果：根据程序提示依次输入积分上限和积分下限，然后输入误差限；本程序需要预先在程序中输入需要积分方程的表达式。
变步长梯形公式
变步长梯形公式变步长梯形公式是数值积分中一种用于近似计算定积分的方法。
在数学中，定积分是一个数学概念，代表了曲线与坐标轴之间的面积。
然而，有些曲线的积分无法通过解析方法进行求解，因此需要使用数值积分方法进行近似计算。
变步长梯形公式是一种数值积分方法，它通过将被积函数的曲线分割成多个小梯形来近似计算定积分的值。
这个方法的核心思想是将整个积分区间分割成多个小区间，然后在每个小区间内使用梯形公式来计算面积，并将这些面积相加得到最终的近似值。
变步长梯形公式的具体实现步骤如下：1. 将积分区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。
2. 在每个小区间内，使用梯形公式来计算面积。
梯形公式可以表示为：S = (f(x[i])+f(x[i+1]))*h/2，其中x[i]和x[i+1]分别表示小区间的左边界和右边界，f(x)表示被积函数。
3. 将每个小区间的面积相加得到整个积分区间的近似值：I ≈(f(a)+2f(x1)+2f(x2)+.+2f(x[n-1])+f(b))*h/2。
4. 如果需要提高计算精度，可以通过增加小区间的数量n来减小步长h，进而得到更精确的近似值。
变步长梯形公式的优点是简单易懂、易于实现，适用于一般的函数。
然而，它也存在一些缺点。
首先，当被积函数在积分区间上的变化较大时，梯形公式可能会产生较大的误差。
其次，该方法对积分区间的分割方式较为敏感，不同的分割方式可能会得到不同的近似值。
因此，在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的分割方式和步长。
尽管变步长梯形公式存在一些局限性，但它仍然是一种常用的数值积分方法，广泛应用于科学计算、工程计算等领域。
在实际问题中，可以根据需要选择合适的数值积分方法，以获得更精确的结果。
第三章 第四节 变步长积分法
一、引言
变步长积分法
二、以梯形公式为例来介绍这一算法
一、引言
利用复化梯形公式和复化Simpson公式来进行定积 分的近似计算既简便， 又可以达到满意的计算精度。
但是为了确定把积分区间 a, b 分成多少个子区间，即 n
取多大， 则需依据误差表达式作事先估计， 就要Байду номын сангаас析
被积函数的高阶导数，而这是很困难的。
S2n Sn
(4.4)
来控制计算过程。
2n
k 0
f k f x dx
b a
则得到
I Tn 4 I T2 n
I T2 n
1 T2 n Tn 3
(4.3)
这说明，若用不等式(4.1)来控制计算过程。则 T2n 与积 分精确值之差大约是允许误差的三分之一，因此计算可 以至此为止。误差的这种估计法称为后天估计（或事后 估计）。 对于 Simpson 公式， 也可以同样进行区间逐次分 半，并可由不等式
T n
1 ba T E2 n f I T2 n 12 2n
3 2 n 1 k 0
f
k
将两式相除并注意当 n 充分大时
b a n 1
n
f
k 0 k
b
a
f x dx
b a 2 n 1
T2n Tn
（取绝对误差）
(4.1)
T2 n Tn T2 n
（取相对误差）
(4.2)
是否满足，如果满足，则取 T2n 为所求定积分之近似 值，否则区间继续分半，重复上述过程直至条件满足。
现在我们来分析为什么可以通过（4.1）式来控制 计算过程。由（3.2）式可知
变步长的梯形积分方法的应用
CENTRAL SOUTH UNIVERSITY 数值分析实验报告变步长的梯形积分方法的应用一、问题背景实际问题当中常常需要计算积分，有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相关联。
依据人们所熟知的微积分基本定理，对于积分()dx x f I a ⎰=b， 只要找到被积分函数()x f 的原函数()x F ，便有下列牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式：()()()a F b F dx x f b-=⎰a . 但实际使用这种求积分方法往往有困难，因为大量的被积函数，诸如()0sin ≠x xx ，2x e -等，其原函数不能用初等函数表达，故不能用上述公式计算。
即使能求得原函数的积分，有时计算也十分困难。
例如对于被积函数()611x x f +=，其原函数 ()C x x x x x x x x F ++-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=1313ln 3411arctan 61arctan 3122， 计算()a F ，()b F 仍然很困难，另外，当()x f 是由测量或数值计算给出的一张数据表时，牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用。
因此有必要研究积分的数值计算问题。
二、数学模型由于牛顿-科特斯积分公式在8≥n 时不具有稳定性，故不能通过提高阶数的方法来提高求积精度。
为了提高精度通常可以把积分区间划分成若干的子区间（通常是等分），再在每个子区间上用低阶求积公式。
这种方法称为复合求积法。
复合梯形法虽然方法简单，但是却不能估计积分精度，这有时候是很不方便的。
要想控制积分精度，可以采用如下的方法，设积分区间已经划分为n 个子区间，这时再把区间划分更细，给出新的积分结果，如果前后两次积分的差比给定的误差容限小的话，则停止细华否则继续增加积分区间。
这种方法原理很简单也 容易实现，但是实际计算中一般采用的比较少，因为这种方法比较机械效率不是太高，实际上采用比较多的通常是Romberg 方法。
7.4变步长求积公式PPT课件
f
(4) ( ).
与(7.32)比较，则得
I( f
) S2 (a,b)
1 15
S(a,b) S2 (a,b)
1 15
S1 S2
,
这里 S1 S (a, b), S2 S2 (a, b) .如果有 S1 S2 15 ,
则可期望得到
I ( f ) S2 (a,b) ,
(7.33)
此时可取 S2 (a, b)作为 I
7.4 变步长求积公式
复合求积公式
随着n的增加可以减少积分误差，但高阶N-C公式又 会造成数值不稳定，因而采用复合求积公式。
复化梯形 公式
b a
f
( x)dx
h[ 2
f
(a)
n1
2
k 1
f
(xk )
f
(b)]
复化辛普森公式
b a
f
( x)dx
h[ f 3
(a)
f
m
(b) 4
k 1
因此，若给定精度ε,则以递推公式计算积分近似值， 直至 终止计算，并以当前值为近似值。
7.4.2 自适应simpson公式
复合求积方法是用于被积函数变化不太大的积分. 如果在求积区间中被积函数变化很大，有的部分函数值 变化剧烈，另一部分变化平缓，这时统一将区间等份用复合 求积公式计算工作量就会很大. 要达到误差要求对变化剧烈部分必须将区间细分，而平 缓部分则可用大步长，即针对被积函数在区间上不同情形采 用不同的步长，使得在满足精度前提下积分计算的工作量尽 可能小.
I(
f
)
S2 (a,b)
ba 180
( h )4 4
f
(4) ( ),