数值分析与算法变步长梯形求积法计算定积分
数值分析4-4(李查逊外推加速法)
重复同样的手续，依据柯特斯公式的误差阶
为h6，可进一步导出下列龙贝格公式：
64 1 Rn C 2 n C n 63 63
综合上面的加工过程，有
龙贝格公式三步： 对梯形公式加工： 对辛甫生公式加工： 对柯特斯公式加工：
4 1 S n T2 n Tn 3 3 16 1 C n S2n Sn 15 15 64 1 Rn C 2 n C n 63 63
采用变步长 的计算方案
1.定义：变步长求积法 变步长求积法就是在步长逐次分半（即
步长二分）的过程中，反复利用复化求积公式
进行计算，直至所求得的积分值满足精度要求 为止。 下面讨论变步长的梯形法的计算规律。
2. 变步长的梯形法 设将区间[a, b]分为n等份，共有 n+1 个分点
ba 其步长 h ，在每个小区间[xk，xk+1]上 n
实质：将粗糙的梯形公式值逐步加工成精度较 高的公式
现在的问题是：
能否对龙贝格公式再加工 取得较高精度的公式？
李查逊（Richardson）
外推加速法
三、李查逊外推加速法
李查逊外推加速法基于如下原理 定理 设
f ( x ) C [a , b] ，则成立
T ( h) I a1h2 a2 h4 a3 h6 ... ak h2 k ...
变步长的梯形法设将区间ab分为n等份共有n1个分点其步长如果再二分一次则步长减半即h2分点增至2n1个记区间x只需计算新增分点的函数值这里的h是二分前的步长举例计算积分值sindx详见书上本节例2计算时要注意公式中步长的含义
一、梯形法的递推化
前面介绍的复化求积公式对提高精度 是行之有效的，但使用前必须给出合适的 步长h，如何给出？ h太小则计算量增加 h太大则精度不满足
变步长辛卜生求积法 高级语言课程设计
高级语言课程设计——simpson积分公式班级：信息与计算科学（2003070201~3）小组成员：宋亚东200307020126周晓春200307020116瞿子易200307020335指导教师：王玉兰2005年1月12日算法原理:辛卜生积分是一个数值积分，所求的值是近似值。
变步长辛卜生（Simpson）积分求积法是计算定积分S=∫a b f(x)dx的经典方法，其计算步骤如下：1)用梯形公式计算T n=h[f(a)+f(b)]/2，其中n=1，h=b-a,且S n=T n。
2)用变步长梯形法则计算T2n=1/2T n+h/2∑f(x k+h/2)3)用辛卜生求积公式计算S2n=(4T2n-T n)/3若|S2n-S n|≧ε,则令2n=n，h/2=h，转到步骤（2）继续进行计算；否则结束，S2n即为所求积分的近似值。
其中ε为事先给定的求积精度。
设计分析：由分析可将程序分为运算函数和数值输入输出两部分，其重点应为辛卜生积分公式的算法实现。
首先建立一个类函数，其中包括函数的运算对象及其基本运算，然后构造关于梯形计算公式的运算函数。
最后构造关于辛卜生计算公式的函数，根据原理中|S2n-S n|与ε的关系（ε为给定的精度），可以确定一个while函数，设计积分数值的精度与给定精度的关系为判断条件。
用for函数计算各部分和，最后求出积分值。
算法实现：#include<iostream>using namespace std;#include<math.h>class simpsonValue{public:double x_lowValue,x_highValue,epsValue;simpsonValue(double x_lowInitialValue,double x_highInitialValue,double epsInitialValue) {x_lowValue=x_lowInitialValue;x_highValue=x_highInitialValue;epsValue=epsInitialValue;}double Func(double x){return 1+x+x*x;}double getResults(){int n,k;n=1;double h,T1,T2,S1,S2,ep,p,xValue;h=x_highValue-x_lowValue;T1=h*(Func(x_lowValue)+Func(x_highValue))/2.0;S1=T1;ep=epsValue+1.0;while(ep>epsValue){p=0.0;for(k=0;k<=n-1;k++){xValue=x_lowValue+(k+0.5)*h;p=p+Func(xValue);}T2=(T1+h*p)/2.0;S2=(4.0*T2-T1)/3.0;ep=fabs(S2-S1);T1=T2;S1=S2;n=n+n;h=h/2.0;}return S2;}};void main(){double x_low,x_high,eps;cout<<"enter the double x_low number:";cin>>x_low;cout<<"enter the double x_high number(the number you enterd should be greater than x_low):";cin>>x_high;cout<<"enter the double-type ε :";cin>>eps;simpsonValue myResult(x_low,x_high,eps);double results=myResult.getResults();cout<<"the result is : "<<results<<" "<<endl;}结果分析：可以改变ε的精度来得到所想要的积分值的精度，同时，可以改变|4T2n-T n|/3为|6T2n-T n|/5，|8T2n-T n|/7……，增加积分值的精度。
(完整word版)《数值分析》matlab实验报告-梯形、辛普森求积公式
东莞理工学院《数值分析》实验报告实验名称：牛顿插值法系别：计算机学院专业：2013级信息与计算科学班级：1班姓名：学号：实验日期：1、实验内容用不同数值方法计算积分104ln 9x xdx =-⎰。
2、算法说明 梯形求积公式算法：将积分区间[,]a b 划分为n 等份，步长b ah n-=分点为 ,1,2,...,k x a kh k n =+=。
积分10()2nk k k h I x x +==+∑。
辛普森求积公式算法：5(4)012()(4)()390xx h h f x dx y y y f c =++-⎰其中h 为步长。
3、Matlab 软件程序清单梯形求积公式TiXing_quad(a,b,h)：function t = TiXing_quad(a,b,h) %a 为积分下界，b 为积分上界，h 为步长。
format long x = a:h:b;y = sqrt(x).*log(x); y(1) = 0;t = 0;for k=1:(b-a)/h,t=t+y(k)+y(k+1);endt=t*h/2;辛普森求积公式Sinpson_quad(a,b,h)：function s=Sinpson_quad(a,b,h)format longx=a:h:b;y=sqrt(x).*log(x);z=sqrt(x+h/2).*log(x+h/2);y(1)=0;s=0;for k=1:(b-a)/h,s=s+y(k)+y(k+1)+4*z(k);ends=s*h./6;4、运行结果真值I=-4/9=-0.444444444444444次数I（梯形公式）I（辛普森公式）50 -0.441090226387332 -0.443793798301150100 -0.443117905322695 -0.444194********* 200 -0.443925359444891 -0.4443490454521025、分析与思考“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
变步长辛卜生求积法
算法原理
变步长辛卜生求积法是计算定积分 步骤如下：
b
f (x的)d经x典方法，其 a
1. 用梯形公式计算，Tn h f a f b 2其中
且令
2. 用变步S 长梯n 形法则T计n算
n 1, h b a
3.
用辛卜生S求2n积分1
xk
h 2
S2n 4T2n Tn 3
谢谢观看
若 | S2n | Sn ，则 令 2n n ，h/2 h,转到步骤（2）继续进
行计算；否则结束， 即为S所2n求积分的近似值。其中 为事
先给定的求积精度.
算法实现
根据上述算法，可以实现Cintegrai类变步长辛卜生求积法的函数 GetValueSimpson,其代码如下：
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, //变步长辛卜生求积分法 // //调用时，须覆盖计算函数f(x)值的虚函数double Func(double x) // 参数： //1.a – Double型变量，积分下限 //2.b –Double型变量，积分上限，要求b>a //3.esp –Double型变量，积分精度要求 // //返回值：double型，积分值
抽象类只能作为基类来使用其纯虚数的实现由派生类给出2用梯形公式计算其中用辛卜生求积分公式计算变步长辛卜生求积法是计算定积分的经典方法其步骤如下
抽象类的介绍
带有纯虚数的类叫抽象类 抽象类是一种特殊的类，它是为了抽象和设计的目的 而建立的，他处于继承层次结构的较上层。 抽象类的主要的作用是将有关的组织在一个继承层次 结构中，由它来为它们提供一个公共的根，相关的子 类是从这个根派生出来的。 抽象类刻画了一组子类的造作接口的通用语义这些语 义也传给子类。 抽象类只能作为基类来使用，其纯虚数的实现由派生 类给出1
c.2数值积分中复化simpson公式和变步长梯形法内容
c.2数值积分中复化simpson公式和变步长梯形法内容1. 引言1.1 概述数值积分是数学领域中重要的计算方法之一，广泛应用于工程、物理、经济学等多个学科。
它通过近似求解定积分来解决无法进行解析求解的复杂函数问题。
在数值积分方法中，复化Simpson公式和变步长梯形法都是常见且有效的技术手段。
1.2 文章结构本文将围绕复化Simpson公式和变步长梯形法展开讨论，并对它们进行比较与选择。
文章主要分为引言、复化Simpson公式、变步长梯形法、两者比较与选择以及结论部分。
1.3 目的本文旨在介绍复化Simpson公式和变步长梯形法这两种数值积分方法，探讨它们的基本原理、方法步骤以及在实际应用中的优势和适用场景。
通过对比与选择这两种方法，可以为读者提供更好地理解和运用数值积分技术的指导，并为未来研究方向和改进空间提供一定参考。
2. 复化Simpson公式:2.1 基本原理:复化Simpson公式是一种数值积分方法，用于近似计算定积分的值。
它基于简单的Simpson公式，并将区间等分为若干子区间，在每个子区间上应用Simpson公式来进行积分计算。
2.2 方法步骤:下面是复化Simpson公式的具体步骤：1. 将要积分的区间[a, b]等分为n个子区间，每个子区间宽度为h。
2. 根据Simpson公式，计算每个子区间的积分值。
3. 将所有子区间的积分值相加，得到整个区间[a, b]上的近似积分值。
具体而言，对于每个子区间[x(i-1), x(i)], i从1到n，使用Simpson公式进行积分近似。
即将该子区间均匀地划分为两部分，并以梯形面积和抛物线面积来逼近曲线下面积。
然后将所有n个子区间的近似积分值相加，得到最终的数值积分结果。
2.3 应用和优势:复化Simpson公式在数学和工程领域中广泛应用于需要进行定积分计算的问题。
它的优势包括：1. 相比于简单的Simpson公式，复化Simpson公式可以更准确地近似计算定积分的值。
高校(理工类)数学变步长的梯形法则教学(课堂讲义)
1 (Tn (h) 2 H n (h)) 3 h 1 h h 所以S 2 n ( ) (T2 n ( ) 2 H 2 n ( )) 2 3 2 2
变步长Simpson求积公 式
程序实现的基本思想： Tn (h) H n (h) S n (h) h h h T2 n ( ) H 2 n ( ) S 2 n ( ) 2 2 2 h h 当 S 2 n ( ) S n (h) 时，取S 2 n ( )为 2 2 定积分的近似值，否则 将分点加密一倍， 重复上述过程。
[例2]
11 1 1 1 I S 5 ( h) [( ) 2 ( 6 5 1 0 11 1 0.2 1 1 1 1 )] 1 0.4 1 0.6 1 0.8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 2 ( )) 30 2 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0.69315 24 ( 4) 因为 f ( x) 24 5 1 x
变步长Simpson求积算 法
1.输入a, b, , M ; 2. 计算Tn (h), H n (h), S n (h) h( f (a) f (b)) (1) n 1; h b a; T1 ; 2 ab 1 (2) H n hf ( ); S1 (T1 2 H n ); 2 3 h h h 3. 计算T2 n ( ), H 2 n ( ), S 2 n ( ) 2 2 2 1 h (1) T2 (T1 H n ); n 2n; h ; 2 2 n 1 1 (2) H n h f (a ( j )h); S 2 (T2 H n ); 2 3 j 1
复化梯形公式和变步长法的比较
复化梯形法 变步长法
变步长梯形求积法计算定积分(word文档良心出品)
变步长梯形求积法计算定积分1．原理：变步长求积法的思想是利用若干小梯形的面积代替原方程的积分，当精度达不到要求时，可以通过增加点数对已有的区间再次划分，达到所需精度时即可；其中由于新的式子中有原来n点中的部分项主要公式：T2n=T n/2+(h/2)*Σf(x k+0.5);2．源程序如下：#include"math.h"#include"iostream.h"double f(double x){double s;s=log(x*x);return(s);}double ffts(double a,double b,double eps){int n,k;double fa,fb,h,t1,p,s,x,t;fa=f(a);fb=f(b);n=1;h=b-a;t1=h*(fa+fb)/2;p=eps+1;while(p>=eps){s=0;for(k=0;k<=n-1;k++){x=a+(k+0.5)*h;s=s+f(x);}t=t1/2+h*s/2;p=fabs(t1-t);cout<<"步长n为:"<<n<<"时的"<<"Tn="<<t1<<'\t'<<"T2n="<<t<<'\t'<<"误差变化:"<<p<<endl;t1=t;n=n*2;h=h/2;}return(t);}void main(){double result,a,b,eps;cout<<"需要求解的积分式为f(x)=log(x^2)"<<endl;cout<<"输入边界值a="<<'\t';cin>>a;cout<<"输入边界值b="<<'\t';cin>>b;cout<<"输入误差限"<<'\t';cin>>eps;result=ffts(a,b,eps);cout<<"经过变步长梯形求积法得方程结果为:"<<result<<endl;}3．运行结果：根据程序提示依次输入积分上限和积分下限，然后输入误差限；本程序需要预先在程序中输入需要积分方程的表达式。
变步长梯形积分算法求函数定积分PPT文档共19页
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律ห้องสมุดไป่ตู้为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
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变步长梯形求积法计算定积分
1．原理：
变步长求积法的主要思想是利用若干小梯形的面积代替原方程的积分，当精度达不到要求时，可以通过增加点数对已有的区间再次划分，达到所需精度时即可；其中由于新的式子中有原来n点中的部分项，故可以省略一些计算，符合了计算机计算存储的思想。
主要公式：T2n=T n/2+(h/2)*Σf(x k+;
2．C++语言实现方式：
通过每次的T n值和新增的函数值点计算T2n，再通过判断|T n-T2n|的大小来判断是否达到精度要求。
3．源程序如下：
#include""
#include""
double f(double x)//预先输入的待积分函数
{
double s;
s=log(x*x);
return(s);
}
double ffts(double a,double b,double eps)
{
int n,k;
double fa,fb,h,t1,p,s,x,t;
fa=f(a);
fb=f(b);
n=1;
h=b-a;
t1=h*(fa+fb)/2;
p=eps+1;
while(p>=eps)
{
s=0;
for(k=0;k<=n-1;k++)
{
x=a+(k+*h;
s=s+f(x);
}
t=t1/2+h*s/2;
p=fabs(t1-t);
cout<<"步长n为:"<<n<<"时的"<<"Tn="<<t1<<'\t'<<"T2n="<<t<<'\t'<<"误差变化:"<<p<<endl;
t1=t;
n=n*2;
h=h/2;
}
return(t);
}
void main()
{
double result,a,b,eps;
cout<<"需要求解的积分式为f(x)=log(x^2)"<<endl;
cout<<"输入边界值a="<<'\t';
cin>>a;
cout<<"输入边界值b="<<'\t';
cin>>b;
cout<<"输入误差限"<<'\t';
cin>>eps;
result=ffts(a,b,eps);
cout<<"经过变步长梯形求积法得方程结果为:"<<result<<endl;
}
4．程序运行结果：
根据程序提示依次输入积分上限和积分下限，然后输入误差限；本程序需要预先在程序中输入需要积分方程的表达式。
程序运行的结果如下图所示：
5．实验小结：
通过本次实验，我学会了变步长梯形求积法的实现方式。
其本质在于通过增加函数值点来获得精度的提高。
而定积分的实质就是面积的计算，这样就可以利用若干小梯形来代替原来的函数。
但缺点是函数必须是符号单一的，否则无法获得准确的积分值。
同样，本次实验用到的积分式必须预先给定。