第一题.矩阵法,梯形法积分
分别利用矩形法梯形法辛普森法对定积分进行近似计算并比较计算效果
分别利用矩形法梯形法辛普森法对定积分进行近似计算并比较计算效果定积分是微积分中重要的概念之一，表示在一个区间上函数的面积。
在计算定积分时，有时候我们无法通过解析方法求得精确的结果，这时候可以利用数值方法来进行近似计算。
常见的数值方法包括矩形法、梯形法和辛普森法。
本文将分别对这三种方法进行介绍并进行比较。
1.矩形法（矩形近似法）：矩形法是最简单的数值方法之一，它的基本思想是将函数曲线上每个小区间的面积近似为一个矩形的面积，然后将这些矩形的面积相加，即可得到函数曲线下的面积。
根据矩形法的计算公式可以得到：∫f(x)dx ≈ Δx·(f(x₁)+f(x₂)+...+f(xₙ))其中，Δx为区间的长度，f(x)为函数在区间上的值。
2.梯形法（梯形近似法）：梯形法同样是利用近似的思想，将函数曲线上每个小区间的面积近似为一个梯形的面积，然后将这些梯形的面积相加，即可得到函数曲线下的面积。
梯形法的计算公式为：∫f(x)dx ≈ （Δx/2）·[f(x₀)+2f(x₁)+2f(x₂)+...+2f(xₙ-1)+f(xₙ)]其中，Δx为区间的长度，f(x)为函数在区间上的值。
3.辛普森法（抛物线近似法）：辛普森法是一种基于三次多项式插值的数值积分方法，它通过将函数曲线上每个小区间的面积近似为一个抛物线的面积，然后将这些抛物线的面积相加，即可得到函数曲线下的面积。
辛普森法的计算公式为：∫f(x)dx ≈ （Δx/3）·[f(x₀)+4f(x₁)+f(x₂)+4f(x₃)+...+4f(xₙ-1)+f(xₙ)]其中，Δx为区间的长度，f(x)为函数在区间上的值。
例：计算函数f(x)=√(1+x²)在区间[0,1]上的定积分。
接下来，我们分别利用矩形法、梯形法和辛普森法对这个定积分进行近似计算，并比较计算结果。
1)矩形法：将区间[0,1]平均分为n个小区间，取xᵢ=i/n，其中i=0,1,2,...,n。
集中供热系统热负荷的概算和特征
第六章 集中供热系统的热负荷概述热负荷是大型集中供暖系统工程中十分重要的一个环节，它是工程设计方案是否可行作出基本保证，而在大型工程的前期准备中，概算是十分重要的。
应用广泛。
对实际工程而言，每个用户热负荷是实际计算，而对集中供热系统中的某用户的热负荷是采用概算或估算的方法计算。
第一节 集中供热系统热负荷的概算和特征集中供热系统热用户种类：供暖、通风、空调、热水供应和生产工艺等.特点：a ）前三者为季节性负荷，后两者为全年性负荷 B ）它们是供热规划和设计的最主要依据。
C ）在规划阶段，各类建筑仅有规模。
功能 数据不全，故通常采用概算指标计算方法来确认热负荷、一 供暖设计热负荷供暖设计热负荷在供热系统中所占比重很大，并可由两种热指标法进行计算，即，体积指标法和面积指标法进行计算、 1） 体积指标法3'(')10n v w nw Q q V t t -=-⨯ KW式中 'n Q ——建筑物的供暖设计热负荷，kw VW 建筑物的外围体积，M3 Tn 供暖室内计算温度 Tw 供暖室内计算温度Qv 建筑物的供暖体积热指标，其含义为各类建筑物，在室内外温差1℃时，每1m 3 建筑物外围体积的平均供暖热负荷。
Qv 的特征：a ）大小取决于围护结构与外形B ）来源：已有建筑计算数据统计与实测所汇总的手册( 注：应用不多) 2） 面积热指标法 3'10n f Q q F -=⨯ 建筑物供暖设计热负荷 建筑物的建筑面积 建筑物供暖面积热指标含义：每1m 3 建筑面积的平均供暖设计热负荷 Qf 的特征：a ） 大小取决于围护结构与外形和功能 B ）来源已完成设计数据与实测 C ）应用广泛（见附录6-1，讲解） 3）城市规划指标法以人为本→人均建筑面积→各类建筑比例→各类建筑面积→总规划热指标或者以土地面积→建筑面积→各类建筑比例→综合热指标→总热负荷。
应用：用来作近期或远期规划热负荷用。
matlab实验报告--定积分的近似计算
abs((inum2-integrate)/integrate))
fprintf('the relative error between inum3 and real-value is about: %g\n\n',...
abs((inum3-integrate)/integrate)) 【调试结果】
○2 使用函数 quad()
quad('sin(x)./x',0,inf) 【调试结果】 ans =
NaN
○3 程序法
%矩阵法
format long
n=inf;a=0;b=inf;
syms x fx
fx=sin(x)./x;
i=1:n;
xj=a+(i-1)*(b-a)/n; xi=a+i*(b-a)/n;
实验目的：
本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法。对于定 积分的近似数值计算，Matlab 有专门函数可用。
实验原理与数学模型：
1． 矩形法 根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即
在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计 算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度．
【调试结果】
inum =
0.78539816339745
the relative error between inum and real-value is about: 2.82716e-016
【情况记录】
1、梯形法和抛物线法程序设计较为顺利。但要注意使用 for 循环函数和求和函数时
的不同 matlab 命令，避免混淆出错。使用函数 trapz()，quad()时要注意被积函数是数 值形式，应使用数组计算，应用点除即 ./ ，否则将出错，不能调试出结果。
c++ 矩形法 梯形法 抛物线法求定积分
c++ 矩形法梯形法抛物线法求定积分矩形法、梯形法和抛物线法都是数值积分的常见方法，用于计算定积分的近似值。
矩形法（Rectangle Method）是最简单的数值积分方法之一。
它将积分区间等分为若干个小矩形，然后计算这些小矩形的面积之和作为整个区间上的定积分的近似值。
矩形法有两种常见的计算方式：左矩形法和右矩形法。
左矩形法（Left Rectangle Method）在每个子区间上选择区间左端点的函数值来计算小矩形的面积。
具体计算方法如下：```def left_rectangle(f, a, b, n):h = (b - a) / n # 子区间的宽度result = 0for i in range(n):x = a + i * h # 子区间的左端点result += f(x) * h # 计算小矩形的面积并累加return result```右矩形法（Right Rectangle Method）则选择区间右端点的函数值计算小矩形的面积：```def right_rectangle(f, a, b, n):h = (b - a) / n # 子区间的宽度result = 0for i in range(1, n + 1):x = a + i * h # 子区间的右端点result += f(x) * h # 计算小矩形的面积并累加return result```梯形法（Trapezoid Method）是一种稍微复杂一些的数值积分方法，它通过用梯形来逼近曲线下面积来计算定积分的近似值。
具体计算方法如下：```def trapezoid(f, a, b, n):h = (b - a) / n # 子区间的宽度result = (f(a) + f(b)) / 2 # 首先加上首尾两个端点的函数值for i in range(1, n):x = a + i * h # 子区间的点result += f(x) # 加上子区间内的函数值result *= h # 乘以子区间宽度return result```抛物线法（Parabolic Method）则采用二次插值的方式来逼近曲线下面积，计算定积分的近似值。
几种定积分的数值计算方法
几种定积分的数值计算方法摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明.关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals Abstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods.Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid1. 引言在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况:(1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx e x ⎰-102, ⎰10sin dx xx等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。
数值分析笔记
第一章1.设x 为准确值，x*为x 的一个近似值.称e*=x*-x 为近似值的绝对误差，简称误差。
ε*=|e*|叫做近似值的误差限，e ∗x=x ∗−x x为相对误差，εr∗=ε∗|x ∗| 为相对误差限。
2.采用四舍五入原则时，值的误差不超过末位数字的半个单位(对π估计值取3.14时，误差|π-3.14|≤0.5 * 10-2). 3.ε(x 1∗±x 2∗)≤ ε(x 1∗)+ε(x 2∗) ε(x 1∗·x 2∗)≤|x 1∗|ε(x 2∗)+|x 2∗|ε(x 1∗) ε(x 1∗/x 2∗)≤|x 1∗|ε(x 2∗)+|x 2∗|ε(x 1∗)|x 2∗|24.相近数相减、大数吃小数等问题会加大误差。
T1. 已测得某场地长Ɩ的值为Ɩ*=110m ，宽d 的值为d*=80m ，已知 |Ɩ - Ɩ*| ≤ 0.2m ，|d – d*| ≤ 0.1m.试求面积s=Ɩd 的绝对误差限与相对误差限。
解：因为s= Ɩd, ðs ðƖ=d,ðsðd =Ɩ.故 ε(s∗)≈|(ðs ðl)∗|ε(l ∗)+|(ðs ðd)∗|ε(d ∗), (ðs ðl )∗=d ∗=80m (ðsðd)∗=l ∗=110m ε(l ∗)=0.2m ε(d ∗)=0.1m得绝对误差限 ε(s ∗)=27(m 2)相对误差限εr∗=ε(s ∗)|s ∗|=ε(s ∗)l ∗d ∗≈0.31%T3. 计算I n =e −1∫x n e xdx(n =0,1,…)1并估计误差。
解：由分部积分可得I n =e −1∫x n d (e x )=e −1(x n e x |01−∫e x d (x n )1)1=1−e −1n ∫x n−11e xdx =1−nI n−1 I 0=e−1∫e x10dx =1−e −1得到通式{I n =1−nI n−1 (n =1,2,…)I 0=1−e −1(1)为计算出I 0须先计算e -1,采用泰勒展开式，取k=7，使用四位小数计算。
计算方法第七讲
计算方法第七讲一、数值积分数值积分是通过近似计算定积分的方法。
常用的数值积分方法有矩形法、梯形法、辛普森法等。
1.矩形法：矩形法是将定积分区间均分为若干小矩形，然后计算小矩形的面积之和作为定积分的近似值。
具体步骤如下：①将积分区间[a,b]分为n份，每份的长度为h=(b-a)/n。
②对于每段长度为h的小区间，取其左端点或右端点的函数值作为积分被近似函数的值。
③将这些小矩形的面积相加即为定积分的近似值。
2.梯形法：梯形法是将定积分区间均分为若干个小梯形，然后计算小梯形的面积之和作为定积分的近似值。
具体步骤如下：①将积分区间[a,b]分为n份，每份的长度为h=(b-a)/n。
②对于每段长度为h的小区间，将其两个端点的函数值连接起来，形成一个梯形。
③将这些小梯形的面积相加即为定积分的近似值。
3.辛普森法：辛普森法是将定积分区间均分为若干个小区间，然后将每个小区间近似为一个二次函数，再计算二次函数的积分作为该小区间的近似值，最后将所有小区间的近似值相加得到定积分的近似值。
具体步骤如下：①将积分区间[a,b]分为n份，每份的长度为h=(b-a)/n。
②对于每段长度为h的小区间，根据端点和区间中点的函数值，构造一个二次函数。
③计算每个小区间近似的二次函数的积分，并将它们相加得到定积分的近似值。
二、微分方程的近似数值解法微分方程是描述事物变化过程的数学模型，其中包含了未知函数的导数。
通过近似数值解法可以方便地计算微分方程的近似解。
常见的近似数值解法有欧拉法、改进的欧拉法和龙格-库塔法。
1.欧拉法：欧拉法是一种一阶常微分方程的近似解法。
基本思想是将微分方程的导数的差分近似代替成为有限差商，然后迭代求解未知函数的值。
具体步骤如下：①将微分方程转化为差分方程，即将导数近似代替为有限差商。
②根据初始条件，计算出未知函数的初始值。
③根据差分方程进行迭代计算，得到未知函数的逐步逼近值。
2.改进的欧拉法：改进的欧拉法是对欧拉法的改进，可以提高近似解的精度。
数值分析课程第五版课后习题答案
数值分析课程第五版课后习题答案课后习题一：a) 求解非线性方程f(x) = x^3 - 2x - 5的根。
解答：可使用牛顿迭代法来求解非线性方程的根。
牛顿迭代法的迭代公式为：x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，其中x_n为第n次迭代的近似解。
对于给定的方程f(x) = x^3 - 2x - 5，计算f'(x)的导数为f'(x) = 3x^2 - 2。
选择一个初始近似解x_0，并进行迭代。
迭代的终止条件可以选择两次迭代间的解的差值小于某个预设的精度。
b) 计算矩阵加法和乘法的运算结果。
解答：设A和B为两个矩阵，A = [a_ij]，B = [b_ij]，则A和B的加法定义为C = A + B，其中C的元素为c_ij = a_ij + b_ij。
矩阵乘法定义为C = A * B，其中C的元素为c_ij = ∑(a_ik * b_kj)，k的取值范围为1到矩阵的列数。
c) 使用插值方法求解函数的近似值。
解答：插值方法可用于求解函数在一组给定点处的近似值。
其中，拉格朗日插值法是一种常用的方法。
对于给定的函数f(x)和一组插值节点x_i，i的取值范围为1到n，利用拉格朗日插值多项式可以构建近似函数P(x)，P(x) = ∑(f(x_i) * l_i(x))，其中l_i(x)为拉格朗日基函数，具体表达式为l_i(x) = ∏(x - x_j)/(x_i - x_j)，j的取值范围为1到n并且j ≠ i。
课后习题二：a) 解决数值积分问题。
解答：数值积分是求解定积分的数值近似值的方法。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法和辛普森法。
矩形法采用矩形面积的和来近似曲边梯形的面积，梯形法采用等距离子区间上梯形面积的和来近似曲边梯形的面积，而辛普森法则利用等距离子区间上梯形和抛物线面积的加权和来近似曲边梯形的面积。
b) 使用迭代方法求解线性方程组。
解答：线性方程组的求解可以通过迭代方法来进行。
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梯形法数值积分
A ．算法说明：
梯形法数值积分采用的梯形公式是最简单的数值积分公式，函数()f x 在区间[a,b]上计算梯形法数值积分表达式为：
()[()()]2b a b a f x dx f a f b -≈+⎰ 由于用梯形公式来求积分十分粗糙，误差也比较大，后来改进后提出了复合梯形公式：b a
h n -=,其中，n 为积分区间划分的个数；h 为积分步长。
在MATLAB 中编程实现的复合梯形公式的函数为：Combine Traprl.
功能：复合梯形公式求函数的数值积分。
调用格式：[I,step]=CombineTraprl(f,a,b,eps).
其中，f 为函数名；
a 为积分下限；
b 为积分上限；
eps 为积分精度；
I 为积分值；
Step 为积分划分的区间个数
B ．流程图
C．复合梯形公式的原程序代码：
function[I,step]=CombineTraprl(f,a,b,eps)
% 复合梯形公式求函数f在区间[a,b]上的定积分
%函数名：f
%积分下限：a
%积分上限：b
%积分精度：eps
%积分值：I
%积分划分的子区间个数：step
if(nargin==3)
eps=1.0e-4; %默认精度为0.0001
end
n=1;
h=(b-a)/2;
I1=0;
I2=(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b))/h;
while abs(I2-I1)>eps
n=n+1
h=(b-a)/n;
I1=I2;
I2=0;
for i=0:n-1 %第年n次的复合梯形公式积分
x=a+h*i; %i=0 和n-1时，分别代表积分区间的左右端点
x1=x+h
I2=I2+(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),x)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),x1));
end
end
I=I2;
step=n;
D．应用举例
复合梯形法求数值积分应用举例，利用复合梯形法计算定积分
dx x
⎰
-
4
221
1
流程图
原程序代码：
[q,s]=CombineTraprl('1/(x^2-1)',2,4) %精度为默认的10-4
结果
q=
0.2945
S=
15
[q,s]=CombineTraprl('1/(x^2-1)',2,4,1.0e-6) %精度为10-6
结果：
q=
0.2939
s=
66 所以从复合梯形公式可以得出dx x ⎰-4
221
1≈0.2939 矩形法数值积分
源程序代码
function[I,step]=CombineTraprl(f,a,b,eps)
% 复合矩形公式求函数f 在区间[a,b]上的定积分
%函数名：f
%积分下限：a
%积分上限：b
%积分精度：eps
%积分值：I
%积分划分的子区间个数：step
if(nargin==3)
eps=1.0e-4; %默认精度为10-4
end
n=1;
h=b-a;
I1=0;
I2=(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b))/h; while abs(I2-I1)>eps
n=n+1
h=(b-a)/n;
I1=I2;
I2=0;
for i=0:n-1 %第年n 次的复合矩形公式积分
x=a+h*i; %i=0 和n-1时，分别代表积分区间的左右端点 x1=x+h
I2=I2+h*subs(sym(f),findsym(sym(f)),x1);
end
end
I=I2;
step=n;
应用举列：
复合矩形法求数值积分应用举例，利用复合矩形法计算定积分dx x 2
12
流程图
原程序代码：
[q,s]=CombineTraprl('x^2',1,2) %精度为默认的10-4结果：
q=
2.3340
s=
16。