用梯形法近似计算定积分的数学说明
数值分析积分实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法，研究几种常见的数值积分方法，包括梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法，并比较它们在计算精度和效率上的差异。
通过实验，加深对数值积分理论和方法的理解，提高编程能力和实际问题解决能力。
二、实验内容1. 梯形法梯形法是一种基本的数值积分方法，通过将积分区间分割成若干个梯形，计算梯形面积之和来近似积分值。
实验中，我们选取了几个不同的函数，对积分区间进行划分，计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
2. 辛普森法辛普森法是另一种常见的数值积分方法，它通过将积分区间分割成若干个等距的区间，在每个区间上使用二次多项式进行插值，然后计算多项式与x轴围成的面积之和来近似积分值。
实验中，我们对比了辛普森法和梯形法的计算结果，分析了它们的精度差异。
3. 复化梯形法复化梯形法是对梯形法的一种改进，通过将积分区间分割成多个小区间，在每个小区间上使用梯形法进行积分，然后计算所有小区间积分值的和来近似积分值。
实验中，我们对比了复化梯形法和辛普森法的计算结果，分析了它们的精度和效率。
4. 龙贝格法龙贝格法是一种通过外推加速提高计算精度的数值积分方法。
它通过比较使用不同点数（n和2n）的积分结果，得到更高精度的积分结果。
实验中，我们使用龙贝格法对几个函数进行积分，并与其他方法进行了比较。
三、实验步骤1. 编写程序实现梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法。
2. 选取几个不同的函数，对积分区间进行划分。
3. 使用不同方法计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
4. 分析不同方法的精度和效率。
四、实验结果与分析1. 梯形法梯形法在计算精度上相对较低，但当积分区间划分足够细时，其计算结果可以接近实际积分值。
2. 辛普森法辛普森法在计算精度上优于梯形法，但当积分区间划分较细时，计算量较大。
3. 复化梯形法复化梯形法在计算精度上与辛普森法相当，但计算量较小。
4. 龙贝格法龙贝格法在计算精度上优于复化梯形法，且计算量相对较小。
matlab复合梯形法求定积分
matlab复合梯形法求定积分
Matlab中的复合梯形法是一种求解定积分问题比较有效的方法。
它的基本思想是用一些梯
形的面积累加的方式来近似地求出积分。
具体来说，首先将定积分区间定义为[a,b]，则复合梯形法对这一区间进行划分，生成n个
子区间，每个子区间都可以由一组等距的端点构成，也就是x0, x1, x2,…, xn。
在每个子区
间中，假设被积函数y=f(x)的值分别为y0, y1, y2,…, yn，则复合梯形法的近似值可以用如
下公式表示：
I=∑i=0n[(x_{i+1}-x_i)/2][f(x_i)+f(x_{i+1})]
以上所述是Matlab中复合梯形法求解定积分的基本思想和步骤，总体流程是给定定积分，首先将区间划分为n个子区间，其每个子区间有一组等距的端点，然后用上面提到的公式
累加每个子区间在相应端点处的函数值，就可以得到最终的定积分结果。
它比一般的数值
积分方法收敛要快，计算结果也更精确，所以在很多定积分求解问题中仍然作为有效的计
算方法。
trapz梯形法的原理-概述说明以及解释
trapz梯形法的原理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数值分析和计算方法中，trapz梯形法是一种常用的数值积分方法。
它通过将曲线分割为若干小的梯形来逼近曲线下方的面积，从而计算出曲线的定积分值。
这种方法的原理简单易懂，计算速度较快，因此被广泛应用于各种工程和科学领域中。
本文将深入探讨trapz梯形法的定义、原理和应用，希望能够帮助读者更好地理解和应用这种数值积分方法。
同时，我们将对该方法的优缺点进行分析，为读者提供更全面的视角和认识。
1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将介绍本文的概述、文章结构和目的，为读者提供一个整体的了解。
正文部分将详细介绍trapz梯形法的定义、原理和应用，帮助读者深入了解这一数值积分方法。
最后，在结论部分将对本文进行总结，展望未来的研究方向，并陈述作者的结束语，为整篇文章画上完美的句号。
整体结构清晰，内容丰富，旨在为读者提供相关知识的全面介绍。
1.3 目的trapz梯形法作为一种数值积分方法，其目的在于通过计算梯形面积来近似求解函数在给定区间上的定积分值。
这种方法的应用广泛，可以用于解决实际问题中需要进行积分计算的场景，如物理学、工程学、经济学等领域。
本文旨在深入探讨trapz梯形法的原理，帮助读者更加深入了解这一数值积分方法的运作机制，为其在实际应用中提供更好的指导和帮助。
同时，通过对trapz梯形法的应用案例进行分析，展示其在实际问题中的有效性和可靠性，进一步加深读者对该方法的理解和信任。
希望通过本文的阐述，能够使读者对trapz梯形法有一个清晰的认识，为其在数值积分问题中的应用提供参考和启发。
2.正文2.1 trapz梯形法的定义在数值积分领域，trapz梯形法是一种常用的数值积分方法，用于对离散数据进行积分近似计算。
该方法利用梯形的面积来逼近曲线下的积分值，通过将曲线分割成若干小梯形，计算各个梯形的面积并求和，从而得到曲线下的积分值的近似解。
实验二：定积分的近似计算
0 1 x2
解： a=0, b=1, n=100, f (x) = 1/( 1+x2 )
==> h =1/100=0.01, xi = i*h, yi = f (xi)
==>
1 dx 0 1 x2
h
y0 2
y1
yn1
yn 2
0.78539399673078
相对误差： 0.78539399673078 / 4 5.305 10-6 /4
>> quad('1./(1+x.^2)',0,1,10e-16)
函数表达式一定要用 单引号 括起来！ 涉及的运算一定要用 数组运算！
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二重积分的计算
抛物线法计算二重积分： dblquad
dblquad(f,a,b,c,d,tol)
bd
a c f (x, y)dxdy
tol 为计算精度，若不指定，则缺省精度为 10-6
1
中点法：
0
1
dx x
2
n
h
i 1
f
(
xi1 2
xi
)
0.78540024673078
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矩形法举例
误差分析
理论值：
1 dx 0 1 x2
arctan x
1 0
π 4
左点法相对误差：0.78789399673078 / 4 0.003178 /4
右点法相对误差：0.78289399673078 / 4 0.003188 /4
i 1
x
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梯形法
曲边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积来近似
定积分近似计算方法
定积分的近似计算方法摘要 本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法,例如插值型求积公式、龙贝格求积公式、高斯求积公式等近似计算方法,在用这些方法计算定积分时,会产生一些误差,为了减少误差, 可以利用复化求积公式、复化高斯公式等.本文围绕这些方法,系统介绍它们的计算公式以及截断误差,并用例题分析它们产生误差的大小、计算量等.关键词 插值型积分 龙贝格积分 高斯积分 误差分析 近似计算1引言在计算定积分的值()b aI f x dx =⎰时,常常根据微积分学基本定理求出)(x f 的一个原函数)(x F ,再用牛顿-莱布尼茨公式求的积分,()()()baI f x dx F b F a ==-⎰.但在实际应用中,这种方法只限于解决一小部分定积分的求值问题.当函数没有具体表达式,只是一些实验测得数据形成的表格或图形或者是()F x 无法用初等函数表示,例如,2bx ae dx ⎰,2sin ba x dx ⎰等等,这就需要我们用一些近似方法求的积分值.与数值积分一样,把积分区间细分,在每个小区间上,找到简单函数)(x ϕ来近似代替()f x ,且()bax dx ϕ⎰的值容易求的.这样就把计算复杂的()baf x dx ⎰转化为求简单的积分值()bax dx ϕ⎰.因此,定积分的近似计算实质上是就是被积函数的近似计算问题.2常见数值方法 2.1牛顿-科茨数值方法牛顿-科茨求积公式是求积节点等距离分布的插值型求积公式.利用插值多项式来构造数值积分公式是最常用、最基本的方法,具体做法是：给定区间[,]a b 上一组节点01...n a x x x b =<<<=,以及节点处函数()(0,1,2,i f x i n =,作()f x 的n 次拉格朗日多项式()()()nn i i i x f x l x ϕ==∑,其中 011011()()()()()()()()()i i n i i i i i i i n x x L x x x x L x x l x x x L x x x x L x x -+-+----=----,将插值公式(1)1()()()()(1)!n n n f f x x x n ξϕω++=++. 其中 1012()()()()()n n x xx x xx x L x x ω+=----,[,]a b ξ∈,依赖于变量x , 上式积分得(1)1()()()()(1)!n bb bn n aa af f x dx x dx x dx n ξϕω++=++⎰⎰⎰(1)(1)0()()()()(1)!n nb biiin aai f f x l x dx x dx n ξω++==++∑⎰⎰(1)(1)0()()()()(1)!n nb bi i n aai f f x b l x dx x dxn ξω++==++∑⎰⎰若记 (),(0,1,2,bi ia A l x dx i ==⎰….. )n (1)(1)1()[]()(1)!n bn af R f x dxn ξω++=+⎰, (2)则有()()[]nbi i ai f x dx A f x R f ==+∑⎰(3)称式(3)为插值求型公式,其中(0,1,2,i A i =…. )n 与()f x 无关,叫求积系数, i x 为求积节点,[]R f 为求积公式余项,其中求积系数由(1)决定.2.1.1梯形求积公式1梯形公式当插值节点01,x x 分别选取区间端点,a b 时,由式(3)分别求出求积系数10012bb aa x x xb b aA dx dx x x a b ---===--⎰⎰,01102bb aa x x x ab a A dx dx x x b a ---===--⎰⎰.从而的求积公式()[()()]2bab af x dx f a f b -≈+⎰. (4) 称求积公式(4)为梯形求积公式,简称梯形公式.2梯形公式截断误差: 3*()[](),12b a R f f ξ-''=- *[,]a b ξ∈. (5) 3梯形求积公式的代数精度:1 当()1f x =时,式(5)中 1(1)2bab adx b a x b a -=-=+=-⎰. 精确成立.2.1.2 辛普森求积公式1辛普森求积公式当选取节点为012,,2a bx a x x b +===时,由式(1)求下列求积系数 1200102()()()()2()()6()()2b b a a a b x x b x x x x b a A dx dx a b x x x x a a b +-----===+----⎰⎰,0211002()()()()2()()()3()()22bb aa x x x x x a xb b a A dx dx a b a b x x x x a b -----===++----⎰⎰.0122021()()()()2()()6()()22b b a a a bx a x x x x x b a A dx dx a b a b x x x x a b +-----===++----⎰⎰ .从而求积公式()[()4()()]62bab a a bf x dx f a f f b -+≈++⎰. （6）称式(6)为抛物线积分公式或辛普森积分公式.2抛物线求积公式误差估计定理1.若()f x 在[,]a b 上有四阶连续导数,则抛物线公式(6)的余项为:5(4)**()[](),[,]2880b a R f f a b ξξ--=∈. (7) 3抛物线公式的代数精度为3.易验证,当23()1,,,f x x x x =时,式(6)精确成立,而当4()f x x =时,式(6)不能精确成立.2.1.3 牛顿-科茨公式1牛顿-科茨公式在等距离节点i x a ih =+下,其中(0,1,2b ah i n-==…. )n .作为变量替换x a th =+,那么由求积公式(1),得系数:10(1)(1)(1)()!(1)(1)!ni n t t t i t i t n A h dt i n ---+---==--⎰10(1)(1)...(1)(1)...()(0,1,2,...)!(1)!n nb a t t t i t i t n dt i n n i n -----+---=-⎰ (8)则 ()()n i iA b a C =- (9)于是差值求积公式为:()0()()()[]nbn i i ai f x dx b a C f x R f ==-+∑⎰(10)称公式(10)为牛顿-科茨求积公式,其中()n iC 称为科茨系数.显然,科茨系数与被积函数()f x 及积分区间[,]a b 无关,它指依赖于n ,且为多项式积分.因此,只要给出n ,就能看出i A ,并写出相应地牛顿-科茨公式.2牛顿-科茨公式的截断误差与代数精度.当1n =与2n =情况分析牛顿-科茨公式的截断误差为(1)()[]()()()(1)!n b b bn aaaf R f f x dx x dx x dxn ξϕω+=-=+⎰⎰⎰牛顿-科茨公式的截断误差还可以写成(2)*1()[]()((2)!n bn a f R f x dx n n ξω++=+⎰为偶数）(1)*1()[]()(1)!n bn af R f x dx n ξω++=+⎰ (n 为奇数） (11) 其中*[,]a b ξ∈,且不依赖于x ,101()()()...()n n x x x x x x x ω+=---,对()f x 为任何并不超过n 次多项式,均有(1)()0n fx +≡,因而[]0R f ≡,即0()()nbi i ai f x dx A f x ==∑⎰精确成立,也就是说,牛顿-科茨公式的代数精度至少为n ,牛顿-科茨公式在n 为偶数时,至少具有1n +次代数精度,在n 为奇数情况时,至少具有n 次代数精度.2.1.4复化梯形求积公式将区间[,]a b 等分,节点为i x a ih =+ (步长b ah n-=),0,1,2...,i n =)在每个小区间1[,]i i x x -上采用梯形公式(4)得11111()()[(()()]2ii nnbx i i i i ax i i x x f x dx f x dx f x f x ---==-=≈+=∑∑⎰⎰11[()()]2ni i i hf x f x +=+=∑11[()2()()]2n i n i hf a f x f b T -=++=∑ (12)称式(12)为复化梯形公式. 复化梯形公式余项为()2()()()12i n b a R f h f η-''=-(13) 2.1.5复化辛普森求积公式在每个小区间],[1+i i x x 上,辛普森公式(6)得11102()[()4()()]6n bi i ai i hf x dx f x f x f x -++==++∑⎰（14）111012[()4()2((6)]6n n i i i i hf a f x f x f --+===+++∑∑记 )]()(2)(4)([6111021b f x f x f a f hS n i i n i i n +++=∑∑-=-=+ (15)式中,21+i x为],[1+i i x x 的中点,即h x x i i 2121+=+.式(15)称为复化辛普森公式,其余项为∑-=-=-=10)4(4)()2(180)()(n i i n n f h h S f I f R η, 1(,).i i i x x η+∈ 故 ),(),()2(180)(R )4(4b a f h a b f n ∈--=ηη (16) 为复化辛普森的截断误差. 2.1.6复化科茨求积公式将区间[,]a b n 等分, 4n m =,m 为正整数,在每个子区间444[,]k k x x -上用科茨求积公式得到复化求积公式:412()[7()7()32()45mbk ak hf x dx f a f b f x -≈++∑⎰14241411112()32()14()mmm k k k N k k k f xf x f x C ---===+++=∑∑∑ (17)其中 4b a b ah n m--==, k x a kh =+ 其截断误差为6(6)2()[,](),()945n b a R f C h f a b ηη-=-<. 2.1.7 变步长复化求积方法复化求积公式虽然计算简单,也达到了提高精度的目的,但为了满足精度要求必须顾及误差,利用误差公式往往很困难,因为误差表达式中含有未知函数的导数,而估计各阶导数的最大值不太容易.我们可以采取把积分的区间[,]a b 细分的办法,在计算积分时将步长逐步折半,利用前后两次结果进行误差估计,如此继续,直到相邻两次结果相差不大,取最小的步长算出的结果为积分值,这种方法称为变步长积分法.以复化梯形公式为例,把区间[,]a b 分成n 等分,设复化梯形公式的近似值为n T ,原积分值为I ,由复化梯形公式误差公式(14)知:2"11()()()n b a b a I T f a b N N ηη--=-<<再把区间[,]a b 分成2n 等分,得近似值2n T ,则2222()()()122k b a b a I T f a b nηη--''=-<< 假定()f x ''在[,]a b 上变化不大,既有12()()f f ηη''''≈. 由上式得 .24kkI T I T -≈-于是 222211()()341n n n n n n I T T T T T T ≈+-=+-- (18) 式(18)表明若用2n T 作为I 的近似值,其截断误差约为2()3n n T T - (19)2.2 龙贝格求积公式龙贝格积分法的基本思想是采用复化梯形求积方法不断折半步长过程中,在积分结果中加入时候误差估计值进行补偿,使积分计算的收敛性加速,就可以加工出,,,...n n n S C R 精度较高的积分结果.由式(19), 2n T 的误差大致为23n nT T -,因此,可用这个误差值作为2n T 的一种补偿,加到2n T 上,则可得到积分准确值I ,比2n T 的更好近似值~T .222141()333n n n n nT T T T T T =+-=-2221(2)21n n T T =-- (20)式(20)左端1n =时 记122121141()333S T T T T T =+-=- 112()()332a b T b a f +=+- [()4()()]62b a a b f a f f b -+=++恰好为[,]a b 上应用辛普生公式(16)的结果.在每个小区间应用辛普生公式:11[()2()()]2n n k k hT f a f x f b -==++∑121()112[()2()()2()]4n n n k k k k hT f a f x f b f x --===+++∑∑代入式(20)的左端得11111[()2()()2()32n nk k k k h f a f x f b f x -==+++--∑∑ 11[()2()()]2n k k h f a f x f b -++∑11111[()4()2()()]62n n k k k k f a f x f x f b -===+-++∑∑nS =从而复化辛普森公式与复化梯形公式公式有以下关系式2441n nn T T S -=- (21)类似也可以推证,在辛普森序列基础上,利用以下关系式22242161151541n n n n n S S C S S -=-=- (22)可以造出收敛速度更快的科茨序列12,...,...n C C C 将此推行下去,在科茨序列基础上,通过243431n nn C C R -=- (23)构造出收敛速度比科茨序列更快的龙贝格序列12,,......n R R R .以上这种通过逐步构造龙贝格序列的积分近似值法就称为龙贝格积分法.2.3高斯求积公式由定理()()()baf x F b F a =-⎰知,插值型求积公式的代数精度与求积节点的个数有关,具有1n +个节点的插值型求积公式至少具有n 次代数精度.不仅如此,代数精度与节点的选取有关,在构造牛顿-科茨求积公式时,为了简化处理过程,限定用等分节点作为求积节点,这样做,虽然公式确实得到简化,但同时也限制了公式的代数精度. 设积分,1,1=-=b a 本段讨论如下求积公式11()()ni i i f x A f x -==∑⎰(24)对任意积分区间[,]a b ,通过变 22ba t ab x ++-= 可以转换到区间]1,1[-上,这时11()()222bab a b a a bf x dx f t dt ---+=+⎰⎰ 此时,求积公式写为0()()222n bii ai b a a b b af x dx A f t =-+-=+∑⎰若一组节点]1,1[.....,10-∈n x x x 使插值型求积公式(24)具有21n +次代数精度,则称此组节点为高斯点,并称相应求积公式(24)为高斯求积公式.2.3.1 高斯求积公式的余项(2)2()[]()()()(22)!n nbb k k aa k f R f f x dx A f x x dx n ηω+==-=+∑⎰⎰ 其中 01()()()...(),[,]n x x x x x x x ab ωη=---∈,且不依赖于x .2.3.2 复化高斯求积公式复化高斯求积公式的基本思想是:将积分区间[,]a b 分成n个等长小区间1[,](1,...)i i t t i m -=,然后在低阶(2n =)高斯求积公式算出近似值,最后将他们相加的积分()baf t dt ⎰的近似值m G ,即11111111()()[]222ii mmbt i i i i i i at i i t t t t t t f t dt f t dt dt -----==-+-==+∑∑⎰⎰⎰1111[()]222m i h ha i h x dx-==+-+∑⎰101[()]222m n j j mi j h hA f a i h x G ==≈+-+≈∑∑ (25)其中mab h -=,j A 与(0,1,2,...,)j t j n =可由书中表中查出. 3 应用3.1插值型积分的应用例1 用牛顿-科茨公式(1,2,4n =)计算积分12211I x =+⎰. 解 1n =时2210112[]0.4512101()2I -≈+=++2n =时22211112[4]0.463725116101()1()42I -≈++=+++4n =时2222111112[7321232]0.46363311390101()1()1()848I =++++≈++++例2 利用复化梯形求积公式计算积分 12211I dx x =+⎰解 设211)(xx f +=,分点个数为n =1,2,4,5时,求出相应积分n T , 111[(()())],21,2(),.n n i i i i i T f a f b f h b a h n n f x f x a ih ih -=⎧=++⎪⎪-⎪==⎨⎪=⎪⎪=+=⎩∑列表如下:n =1的计算结果见表1-1所列 n h0x 1x 0f1f1T10.50.00.51.0 0.8 0.45n =2的表格如下 n hx1x2xf1f2f2T20.250.00 0.25 0.50 1.00 0.941765 0.80 0.460294n =4时计算结果如下表 n h 0x1x2x3x4x40.1250.00 0.125 0.25 0.375 0.50f1f2f3f4f4T1.00 0.9846154 0.9411765 0.876712 0.80 0.462813n = 5时计算结果如下 n hx1x2x3x4x5x50.10.0 0.1 0.2 0.3 0.40.5f1f2f3f4f5f5T1.0 0.990099 0.9615385 0.91743 0.862069 0.80.463114例3 利用复化求积公式120x e dx ⎰,问积分区间为多少等分才能得证有5位有效数字？解 由式（14）知322()[],()()1212n b a b a R f h f n f n n--''''=-=- 有1(),(),2x x f x e f x e b a ''==-=,当]21,0[∈x 时,在12|()|f x e ''≤,所以122|[]|96n eR f n≤ 由于120x e dx ⎰的准确值具有一位整数,所以要使近似值具有5位有效数字,n 必须满足4242211048,102196⨯≥⨯≤-e n n e 或 取对数有 19=n .即将区间]21,0[19等分可满足给定的精度要求.例4 利用复化抛物线求积公式计算 120211I dx x =+⎰. 解 设11)(2+=x x f ,取m =1,2, 3时,公式()⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=+=====-=+++=+---=-=+∑∑.)12(,2),(),(),(,,242[31221212221111,1222h i a x ih a x x f f x f f b f f a f f m a b n f f f f h S i i i i i i b a m i m i i b a m当m =1,2,3时结果如下表所示 当m =1时m h(0.0)f )25.0(f )5.0(f2S1 0.25 1.0 0.9411765 0.80 0.463725当m =2时mh(0.0)f(0.125)f (0.025)f (0.35)f )5.0(f4S20.125 1.0 0.9846154 0.9411765 0.8767123 0.80 0.463653当m =3时mh(0.0)f(0.08333)f (0.16667)f (0.35)f(0.33333)f (0.14166667)f )5.0(f4S30.83331.00.99310340.9729730.9411760.90.852070.80.4636例5 用复化梯形公式,辛普森公式和科茨公式计算积分10sin xdx x ⎰的近似值.解按精度要求确定]1,0[分多少等分,即确定步长,要使6441021)1(28801|],[|-⨯≤≤M m S f R n ,只需.4642880102M m ⨯≥令10sin ()cos xf x txdt x==⎰,则1()0sin ()()(cos )k kk k k d xd fx tx dt dx x dx==⎰ 1cos().2k t tx kdt π=+⎰dt ktx t x f k k |)2cos(|max )(|max 10)(π+≤⎰11.1k t d t t≤=+⎰)10(≤≤x (4)1max |()| 5.f x ≤所以只要,9.13831288010264=⨯⨯≥-m 取m =4即可, 当4n =时,在每个子区间上用式(25）,或(14),或(17),结果.9460829.0,9460833.0,9456911.0888===C S T3.2 龙贝格积分公式应用例6 用龙贝格算法计算积分1241I dx x=+⎰的近似值,要求误差小于510-. 解 .3,0,14)(2==+=b a x x f 步骤如下:2)1(,4)0()1(==f f 得.3)]1()0([211=+=f f T )2(计算,1.3)]21([21,516)21(12=+==f T T f 由此得301333334121=-=T T S . (3)算出），（43),41(f f 从而,3013118)]43()41([412124=++=f f T T,14157.334242=-=T T S .30142121516121=-=S S C(4)计算),87(),85(),83(),81(f f f f 从而得到:13899.3)]87()85()83()81([812148=++++=f f f f T T ,,14159.334482=-=T T S ,14059.31516242=-=S S C.1458.36364121=-=C C R (5)再计算),1615(),1613(),1611(),169(),167(),165(),163(),161(f f f f f f f f 从而得到: 14094.316=T30141598=S ,,14159.3,14159.324==R C 51210||-≤-R R , 所以12043.14159.1dx x ≈+⎰3.3高斯求积公式的应用例7 用两点复化高斯求积公式计算10,x I e dx =⎰要求允许误差.106-=ε解 在本算法中取21=+n 时,,110==A A 其中;,)(mab h e x f x-== =++--=∑=)22(2201j jj b a x a b f A a b G.87189637800.1][21)32121()32121(=++-eem =2时, h =21, ]4121)21([4120202j i j j x i f A G +⨯-=∑∑==.57182571650.1)(41341333413341333413=+++=++--eeee m =3时, h =31. .37182769352.1]631)21([6130203=+⨯-=∑∑==j i j j x i f A G.101027.71||||56323--<⨯≈+-G G G3.4 几种方法的比较分析例8 计算积分211ln 2dx x =⎰，精确到0.001.(1)利用矩形公式计算, 因为对于x x f 1)(=,有320()2f x x''<=<(如果1<x <2),所以按照公式0)2(S =+-dx ba xb a . 0<n R <2112n . 如果取n =10,则我们公式的余项的余数得31010.84101200R -<<⨯,我们还必须加进由于在计算函数值实行四舍五入所产生的误差的界限相差于0.16⨯310-,为了这个目的只要计算1x的值到四位小数精确到0.00005就够了.我们有1232527292132152172192 1.051.151.251.351.551.651.751.851.95x x x x x x x x x =========5128.05405.05714.06061.06897.07407.08.08696.09524.02192172152132927252321=========y y y y y y y y y和6.928469284.0109284.6= (2) 按照梯形公式作同样的计算,在这种情况下,作公式 210,||6n n R R n<<在这儿也试一试取n =10,虽然此时仅可以证3107.16001||-⨯<<n R ,纵坐标是9.18.17.16.15.14.13.12.11.1987654321=========x x x x x x x x x 5263.05556.05882.06250.06667.07143.07692.08333.09091.0987654321=========y y y y y y y y y和1877.669377.01877.621500101=+）（ (3) 用辛普森公式做同样的计算作公式 .0))(()2(180)()4(45<≤≤⨯--=n n R b a f n a b R ξξ 并且n =5时有55104.1||-⨯<R .实行计算到五位数字,精确到0.0000058.16.14.12.14321====x x x x 45636.555556.062500.071429.083333.04321和====y y y y 9.17.15.13.11.12927252321=====x x x x x83820.1352632.058824.066667.076923.090909.029********和=====y y y y y.20.150==x x 50000.150000.060000.150和==y y6931525.083820.345636.550000.1301=++）（. 由此可见，用辛普森公式计算得到的值误差最小，计算量相对一般；而用矩形公式计算得到的值误差较大，计算量也比较大；用梯形公式计算的值误差比用矩形公式得到的值要误差小，计算量也是如此.所以我们计算定积分时用辛普森公式往往得到的值误差小，而对没有要求误差大小的，则可以选择辛普森或者是梯形公式，因为这两种方法计算量相对较小.结 束 语本文只讨论了一些一维数值积分方法及其它们的应用,误差分析等有关内容.其中最常用的方法是插值型积分以及复化方法、龙贝格积分方法和高斯积分方法,并讨论了相关求积方法的代数精度和误差分析,并给出了一些例题,分析各种方法的近似值,得出误差分析最小的近似方法.由于篇幅有限,对于高维数值积分方法本文便不再讨论.参考文献[1] 华东师范大学数学系，数学分析（第一版）[M]，北京:高等教育出版社,2001. [2] 李庆阳,关治,白峰杉，数值计算原理（第二版）[M]，北京: 清华大学出版社, 2008. [3] 肖筱南，现代数值计算方法（第一版）[M]，北京: 北京大学出版社, 1999.[4] 菲赫金格尔茨，微积分学教程（第三版）[M]，北京: 高等教育出版社, 2005. [5] 裴礼文，数学分析中的典型问题与方法（第一版）[M] ，北京: 北京大学出版社,2004. [6] 李桂成，计算方法（第三版）[M]，北京: 高等教育出版社,2010.[7] Yin Y uezhu ,Yang Zhonglian.Calculating Skillfully the Curve Integral and Surface Integral Type 2 bySymmetry, SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION ,2008(30)The Approximate Numerical Method of the Definite IntegralAbstract This paper mainly discusses common numerical methods of unary function, such as approximate calculation method of interpolation integral, Lebesgue integral and Gauss integration. With these methods in calculating the integral, it will produce some error. In order to reduce the error, we can use after the formula for product and after the Gauss formula. This paper focus on these methods introducing formula of introduction and truncation errors .In addition they can provide examples to analysis size of the error and computation.Keywords interpolation integral Lebesgue integral Gauss integral error analysis approximate computation。
梯形公式的余项证明
梯形公式的余项证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：梯形公式是求解定积分的一种常用方法，它基于将被积函数在区间上近似为梯形，进而使用梯形的面积计算来估计定积分的值。
梯形公式的精确性取决于梯形的宽度和被积函数的性质。
在实际应用中，我们常常需要考虑梯形公式的余项，即估计梯形公式与实际定积分值之间的误差。
梯形公式的余项证明是一个较为复杂的数学问题，需要借助一些高等数学知识来进行推导和分析。
下面我将介绍一种典型的方法，来证明梯形公式的余项。
我们考虑一个定义在闭区间[a, b]上连续的函数f(x)，并将该区间均等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。
对于每个小区间[i, i+1]，我们可以构造一个梯形，其上底边为f(xi)（其中xi是小区间[i, i+1]的中点），下底边为f(xi+1)，高度为Δx。
第i个梯形的面积可以表示为Ai=1/2[f(xi)+f(xi+1)]Δx。
根据梯形公式的定义，我们可以将整个定积分[a, b]的值近似为所有梯形的面积之和，即：∫[a, b] f(x)dx ≈ ΣAi = Σ1/2[f(xi)+f(xi+1)]ΔxΣ表示对i从1到n求和。
这就是梯形公式的基本形式。
如果我们定义Tn为梯形公式的近似值，则有Tn=Σ1/2[f(xi)+f(xi+1)]Δx。
接下来，我们考察梯形公式的余项，即真实定积分值与梯形公式的近似值之间的误差。
我们可以将该余项表示为Rn=∫[a, b] f(x)dx - Tn。
接着，我们需要利用微积分的知识来求解余项Rn。
我们可以将余项Rn表示为∫[a, b] f(x)dx - Σ1/2[f(xi)+f(xi+1)]Δx。
然后，利用泰勒展开定理，我们可以将函数f(x)在xi附近展开为f(xi)+f'(xi)(x-xi)+O(Δx^2)的形式，其中O(Δx^2)表示高阶无穷小项。
ξi和ξi+1分别是小区间[i, i+1]和[i+1, i+2]上的某个点，ξi∈[xi,xi+1]，ξi+1∈[xi+1, xi+2]。
梯形递推化方法求定积分的近似值
附件：梯形递推化方法框图
实验报告
辽宁科技大学研究生学院（系）2012年9月23日
课名：数值分析
题目：梯形递推化方法
班级：研12
姓名：
学号：
专业：机械工程
任课教师：
实验程序：
Private Sub Command1_Click()
Dim T(40): T(0) = 4.5: K = 1: a = 1
梯形递推化方法求定积分的近似值递推积分方法化梯形梯形的递推化梯形定积分不定积分定积分公式梯形面积
实验:梯形递推化方法（变步长设计；
2.学会梯形递推化方法求定积分的近似值，以解决其它科学实验的计算问题。
实验内容：
用梯形递推化方法计算
给出精度达到0.001的定积分近似值。
Do
h = 1 / 2 ^ (K - 1)
s = 0
x = a + h / 2
Do
s = s + x ^ 3
x = x + h
Loop Until x >= 2
T(K) = 0.5 * T(K - 1) + 0.5 * h * s
Print "第"; K; "次递推的近似值为"; T(K)
n = T(K) - T(K - 1)
m = Abs(n)
K = K + 1
Loop Until m < 0.001
End Sub
实验结果：
综合实验一 定积分的近似计算
a
f ( x )dx ≈ ∑ f ( xi )xi = h ∑ f ( xi )
i =1 i =1
n
中点法:
b
a
f ( x )dx ≈ ∑
i =1
n
n xi 1 + xi xi 1 + xi f( )xi = h ∑ f ( ) 2 2 i =1
矩形法举例
数学实验
例:用不同的矩形法计算下面的定积分 ( 取 n=100 ), 并比较这三种方法的相对误差.
解: a=0, b=1, n=100 ==> h =1/100=0.01, xi = i*h,
dx ≈ h f ( x ) = h 1 左点法:∫0 ∑ i1 ∑ 1 + x 2i1 1 + x2 i =1 i =1
1
1 n
dx ∫0 1 + x 2
1
n
n
(i = 0,1,2,...,100)
dx ≈ h ∑ f ( xi ) ≈ 0.78289399673078 右点法: ∫0 2 1+ x i =1
二重积分的计算
抛物线法计算二重积分: dblquad
数学实验
dblquad(f,a,b,c,d,tol)
∫∫
a
b
ห้องสมุดไป่ตู้
d
c
f ( x, y )dxdy
tol 为计算精度,若不指定,则缺省精度为 10-6 f(x,y) 可以由 inline 定义,或通过一个函数句柄传递 [a,b] 是第一积分变量的积分区间,[c,d] 是第二积分变量 的积分区间 按字母顺序,大写字母排在小写字母的前面
实验二, 实验二,定积分的近似计算
矩形法
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用梯形法近似计算定积分的数学说明
根据定积分的几何意义就是曲线，直线
，及轴所围的面积，因此可以用下述梯形法近似计算定积分。
梯形法就是把曲边梯形分成若干窄小曲边梯形，然后用相应的窄小梯形来近似代替窄小曲边梯形，以窄小梯形的面积之和作为曲边梯形的近似值。
具体做法
如下：用分点将区间 [，] 分成个等长的小区间，每个
小区间的长度记为，设函数y =f (x)对应于各分点的函数值为y0, y
, y2 ,…y n，则每一个窄小梯形的面积为
1
＝
＝ (i=1,2,…n)
从而有
＝ (1)
(1)式称为梯形法公式。